Qué no dice el teorema de Gödel

En la entrada anterior repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos.

1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial.

Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente.

El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una parte, no habría problemas para aceptar que una máquina pueda saltar de un sistema a otro. Por otra, la mente humana es finita y nunca podrá saltar indefinidamente de un sistema a otro. Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo. Simplemente se salta indefinidamente.

2. El teorema de Gödel no establece un dominio de la realidad que sea inaccesible a la mente humana.

Hay dos problemas históricos en la filosofía de la ciencia o del conocimiento. El primero es el problema de la realidad exterior: ¿existe? ¿es como se nos aparece? La ciencia no trata este tema ni, como se suele afirmar, lo supone a priori. Simplemente se dedica a dar cuenta de las regularidades que se nos aparecen en esta acaso apariencia de realidad exterior. Que haya tales regularidades no es ningún fundamente metafísico de la ciencia sino una constatación empírica.

El segundo problema es el de las otras mentes. No tenemos acceso al mundo de sensaciones, sentimientos, pensamientos,... que ocurren en las otras mentes. Ni siquiera tenemos constancia de que existan las otras mentes. Para esto último tenemos el test de Turing: las otras mentes lo pasan sin problema. Para saber de sensaciones y pensamientos no tenemos nada más que la posible empatía por pertenecer a la misma especie.

Quienes ven en el teorema de Gödel un nuevo límite a nuestro conocimiento de la realidad confunden el modelo con la realidad. Si la realidad es finita, por ejemplo, inmediatamente tenemos que no responde a los supuestos del teorema de Gödel y nada de lo que dice el teorema se aplica en ella.

Un  momento, dirá alguno, el sistema formal de las matemáticas está dentro de la realidad y, por tanto, todo lo que pase en ese modelo será parte de la realidad. Sí y no. Sí en un sentido débil, digamos. Es una parte de la realidad que podríamos decir creamos los seres inteligentes. No en un sentido fuerte, puesto que las matemáticas no son nada creado de verdad. Es decir, no hay nuevas partículas elementales, por ejemplo. Lo que hay es un juego inventado, un deducir cosas de acuerdo con unas reglas. Ocurre simplemente que con ciertas reglas no se puede llegar a establecer un valor de verdad a ciertas posiciones del juego. Que ese juego nos sirva a los mortales para interpretar cosas de la realidad es algo ajeno a la realidad.

Pero tampoco dice que no podamos entender la realidad, puesto que incluso si fuera pequeña, finita y abarcable al ser humano podríamos seguir construyendo modelos formales con teoremas de Gödel. Así que el problema que pueda plantear el teorema no es sobre la realidad, sino sobre las reglas deductivas, que no llegan a construir según qué enunciados.

¿Cómo cabe un sistema formal que contienen los números naturales, que son infinitos, en un mundo finito?

Sólo el darse cuenta de lo anterior debería ser suficiente para mostrar que los números naturales (así como los sistemas que los contienen) no existen más que como construcción nuestra y ciertamente nunca los construiremos todos. Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, no porque los hayamos escritos todos. Es la potencia del argumento recursivo lo que se limita en el teorema de Gödel, nada más. Las verdades de la ciencia siguen siendo las mismas, las establecidas empíricamente.

Qué dice el teorema de Gödel

Euclides basó toda la geometría griega en cinco postulados:

1. Por dos puntos solo pasa una recta.

2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.

3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela.

Durante mucho tiempo se pensó que el quinto postulado era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta).

Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.

La respuesta de Gödel es inquietante: Cualquier sistema formal consistente (que no contenga contradicciones) que permita describir la aritmética será necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones que se puedan expresar en el lenguaje del sistema cuya veracidad o falsedad no se puedan demostrar en ese sistema.

Demostrar una afirmación (o su negación) significa que, manipulando los símbolos del sistema según sus reglas, se puede construir tal afirmación (o su negación). Podría ser posible demostrar esa afirmación (o su negación) en otro sistema formal, pero ese otro sistema tendría, según el teorema, sus propias proposiciones indemostrables dentro de él.

Gödel demuestra su teorema haciendo ver que en un sistema formal T que reúna las características pedidas es posible enunciar una proposición X que diga lo siguiente: "La proposición X no es demostrable dentro del sistema T". Si la proposición X fuera demostrable, tendríamos una contradicción (sería demostrable porque la hemos demostrado, y no demostrable porque es lo que dice la proposición). Pero como no es demostrable, la proposición es cierta, porque dice justamente eso.

El teorema de Gödel dice, entonces, un par de cosas más. La primera es que existen proposiciones ciertas cuya veracidad no es demostrable dentro del sistema. La segunda es que hay que distinguir entre proposiciones bien construidas dentro de un sistema (las que se demuestran) y verdades deducidas fuera del sistema.

La veracidad de la proposición X se ha establecido fuera del sistema T. Se suele referir a esto como "saltar del sistema". Podemos ahora añadir esa proposición X al conjunto de axiomas del sistema T, pero entonces el sistema se habrá convertido en otro sistema, el T', que tendrá su propia proposición indecidible (indemostrable) X' que dirá "X' no puede demostrarse dentro del sistema T'.

Así pues tenemos que los sistemas formales que puedan describir los números serán necesariamente incompletos. Habrá proposiciones indecidibles. Las matemáticas no pueden ser completas.

No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa.

Resuelto el enigma de la isla de los fidelios

En la entrada anterior planteaba el caso de la isla de los fidelios. Para entender las razones de lo allí ocurrido conviene plantearse un caso más sencillo, que es siempre buen consejo para resolver problemas difíciles.

Pongamos que solo hubiera un hombre infiel. Tendríamos 49 mujeres que sabrían que el marido de la número 50 le era infiel, mientras que la mujer número 50 sabría que los 49 hombres que no son su marido son fieles a sus esposas. Si en esta situación llega el misionero y anuncia que hay al menos un hombre infiel, esta mujer número 50 deberá concluir que su marido es el infiel. Lo mataría esa noche y al día siguiente aparecería en el periódico de la isla.

Pongamos ahora que hubiera dos hombres infieles. 48 mujeres sabrían de dos hombres infieles y dos mujeres sabrían de un hombre infiel. Cada una de estas dos mujeres pensará que si su marido es fiel, la otra no estaría viendo ningún hombre infiel, así que, según el caso anterior, deberá matarlo tras el sermón del misionero. Como no lo hace y no aparece la noticia al día siguiente sólo puede ser porque está esperando a ver qué hace la otra y eso es porque ve un hombre infiel, así que estas dos mujeres matan a sus maridos la segunda noche.

Podemos seguir con tres, cuatro, ... cincuenta hombres infieles y el resultado es siempre así: si hay X hombres infieles morirán la noche número X.

¿Por qué hay que esperar a que el misionero diga nada, si ya se sabía que había hombres fieles?

Esto es un poco más sutil de entender. En el caso de un hombre infiel está claro que no todas las mujeres sabían que "hay al menos un hombre infiel" y entonces está claro que añade una información importante.

¿Qué pasa si hay dos hombres infieles? Es cierto que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel", pero ocurre que hay dos mujeres que no saben que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel". Son las parejas de los dos hombres infieles, sean las números 49 y 50. La 49 no sabe que la 50 sabe que "hay al menos un hombre infiel" y eso sigue así hasta que llega el misionero con su sermón. Sólo en ese momento puede empezar el razonamiento si no lo mata el primer día.

Cuando hay 50 hombres infieles todas saben que todas saben que todas saben (así hasta 49 veces) que "hay al menos un hombre infiel", pero no saben que todas saben que todas saben (así hasta 50 veces) que "hay al menos un hombre infiel".

El saber que todos saben que todos saben (así todas las veces que uno quiera) una proposición K es lo que se llama "conocimiento común" de la proposición K. El ejemplo de la isla de los fidelios debe dejar clara la necesidad de que ciertas cosas sean de conocimiento común para poder tomar decisiones.

Aquí hay otro ejemplo interesante.

La isla de los fidelios

En la isla de los fidelios habitan 50 parejas heterosexuales. Aislada del resto del mundo, tienen una curiosa ley: toda mujer que sepa que su pareja le es infiel debe matarla esa misma noche. La ley es tan tajante como aceptada por todas las mujeres, de manera que cada una de ellas no solo sería capaz de matar a su marido infiel sino que querría hacerlo. El periódico de la isla tiene la obligación de informar cada día del número de maridos muertos la noche anterior.

Como en cada pequeña población cada cual sabe todo sobre los demás, pero no necesariamente sabe todo lo que le afecta a uno mismo. En particular, cada mujer sabe si la pareja de cada una de las demás es infiel o no, pero no sabe si la suya lo es.

En esta situación llevan viviendo sin que la ley se haya tenido que aplicar nunca.

Un día llega un misionero a la isla. Enseguida se entera de la situación de la isla y oye en confesión ciertas cosas que le llevan a decir lo siguiente en el sermón del domingo:

-"Habitantes de Fidelia. He sabido, para mi desmayo, que en esta isla aparentemente feliz se esconde el pecado. Hay por lo menos un hombre infiel. Esto debe terminar."

Cincuenta días después se lee en el periódico de la isla que cincuenta maridos han muerto a manos de sus mujeres la noche anterior.

¿Por qué? ¿Cómo supo cada mujer que su marido era infiel? ¿Por qué no lo supieron antes? ¿Qué ha hecho el sermón del misionero?

Paternalismo y adoctrinamiento (2)

En la entrada anterior planteaba el siguiente problema:

¿Es posible rechazar racionalmente el adoctrinamiento?

Si, como proponía en la entrada, deben respetarse las preferencias del mayor de edad, y este, adoctrinado, prefiere que lo hayan adoctrinado, con este criterio no puede decirse nada en contra. ¿Cómo se podría convencer a una sociedad de personas adoctrinadas para que dejen de adoctrinar a sus menores?

Tal como está planteado el problema, no le veo solución. La sociedad adoctrinada creerá que es un error no adoctrinar, mientras que la no adoctrinada verá el error en la otra.

La clave está en que las sociedades no son como en ese planteamiento. Ocurrirá, como nos advertía Hugo, que el adoctrinamiento nunca es 100% efectivo. Elaborando sobre esta circunstancia, podemos fácilmente pensar que, aunque la mayoría de adoctrinados quiera el adoctrinamiento y la mayoría de no adoctrinados prefiera el no adoctrinamiento, seguramente suceda que haya un porcentaje mayor adoctrinados que se rebelan que de no adoctrinados que abrazan voluntariamente el adoctrinamiento.

Si eso es así, existirá una dinámica social que, a medio o largo plazo erosionará la aceptación del adoctrinamiento. Muchas circunstancias pueden afectar a la rebelión frente al adoctrinamiento. La comparación entre modos de vida puede favorecer a las sociedades con menos adoctrinamiento. En ese caso el acceso a esta información favorecerá la rebelión. Si el adoctrinamiento va en contra de aspectos importantes de la naturaleza humana (p.e., que separe a los hijos de sus padres), se empeña en afirmaciones que la ciencia contradice o produce un estancamiento de la sociedad será más fácil que la sociedad adoctrinada esté peor que la no adoctrinada.

Así, pues, la solución al problema no es un razonamiento apriorístico que permita establecer el error lógico del adoctrinamiento, sino una evidencia empírica de que los seres humanos vivimos mejor sin él.

Paternalismo y adoctrinamiento

Podemos definir el paternalismo como la toma de decisiones del padre o la madre por el menor de edad. En términos más amplios puede extenderse a las decisiones del Estado por el individuo, pero no hablaré de estas ahora. No compete al padre cualquier decisión. Hay problemas de variada índole en las que se deja al menor la potestad o en las que, por lo menos, se pide su opinión. Así, el consentimiento para tener relaciones sexuales, para casarse, para ser sometido a una operación de riesgo, para abortar, para ser custodiado por el padre o la madre, etc. puede otorgarse a edades más tempranas.

El criterio para dilucidar qué decisiones se deja al menor y a qué edad debe ser siempre el interés del menor, pero ¿cómo decidir esto? Si le preguntamos al menor si quiere decidir sobre tal o cual tema, normalmente dirá que sí a casi todos. La clave puede estar en quién tendrá unas preferencias más parecidas al menor de edad, si él mismo cuando llegue a la mayoría de edad o el progenitor en este momento.

Seguramente la persona a los dieciocho años querrá haber tenido una educación adecuada y haber recibido las vacunas y otros cuidados médicos a los que, de haberle preguntado en su momento, se habría negado. En estos casos es mejor dejar las decisiones a los padres, incluso desde la perspectiva de la persona de dieciocho años, que se alegrará de que no le hayan permitido decidir de pequeño.

En casos como los arriba expuestos, es más normal que el individuo de dieciocho años tenga preferencias más parecidas al de, por ejemplo, dieciséis. Eso justificaría permitir la decisión al menor de esa edad, que será lo que habrá querido cuando tenga los dieciocho.

La experiencia en trabajos con adolescentes en esas edades, las encuestas que puedan realizarse, la opinión de los expertos,... pueden ayudad a decidir si, efectivamente un tipo de problema se resuelve mejor permitiendo tomar la decisión al menor o a los padres.

Hay, sin embargo, una circunstancia en la que es imposible dilucidar de esta manera las cosas. Se trata del adoctrinamiento. Si las decisiones de los padres incluyen la posibilidad de adoctrinar o no al menor podemos fácilmente tener la situación siguiente:

-Por una parte, las preferencias del menor sin adoctrinar son más cercanas a las de esa misma persona al llegar a la mayoría de edad que a las de los padres que desean el adoctrinamiento.

-Por otra parte, las preferencias de la persona de dieciocho años adoctrinada son más cercanas a las de los padres adoctrinadores que a las del menor sin adoctrinar.

En la situación así descrita no es posible definir qué es lo mejor desde el punto de vista de la persona de dieciocho años. La adoctrinada prefiere haber sido adoctrinada y la no adoctrinada prefiere no haberlo sido.

¿Es posible resolver esta cuestión? Aquí una posible respuesta.

¿Dónde están las llaves?

Es muy conocido el chiste de aquel que pierde las llaves y las busca al pie de la farola porque es ahí donde hay luz. Normalmente se usa esta historia para enfatizar la necesidad de indagar nuevas maneras de solucionar problemas. Podemos buscar con las manos en la oscuridad o podemos intentar llevar luz allá donde no la hay. No negaré yo esto.

Pero sí que hay veces en que eso es lo único (y lo mejor) que podemos hacer. Si estimo que las llaves están con una probabilidad del 10% debajo de la farola y con un 90% de probabilidad en la oscuridad y si la probabilidad de encontrarla si están debajo de la farola y miramos ahí es del 100% y la probabilidad de encontrarlas en la oscuridad es del 1%, tiene todo el sentido del mundo empezar a mirar bajo la farola. La probabilidad de encontrarla ahí es el 10% (el 10% del 100%), mientras que la probabilidad de encontrarla en la oscuridad es del 0,9% (el 1% del 90%).

¿A qué viene esto? A nada especial. A que no me gusta aceptar como verdades frases hechas que, por mucha sabiduría que encierren, no son ciertas siempre y a que me gusta saber cuándo dicen algo sensato y cuando no.