La Teoría de Juegos explica cómo juegan los profesionales (2)

Esta es la segunda parte de la traducción de mi artículo de junio en Mapping Ignorance. Debe leerse la primera para entender esta:

Los siguientes estudios vienen del fútbol. Chiappori et al. (2002) [2] usan datos de 459 tiros de penalti en las ligas francesas e italiana durante un periodo de tres años. Igual que en el saque del tenis, las estrategias del tirador y del portero pueden considerarse simultáneas a todos los efectos. Los autores no pueden realizar tests individuales puesto que ningún jugador está presente en cinco o más tiros, así que todo el análisis se realiza a nivel agregado. Los autores consideran tres estrategias: izquierda, centro y derecha. Comoquiera que en portero rara vez se queda en el centro realizan un supuesto: si tanto el tirador como el portero eligen "centro" la probabilidad de gol es cero. Una consecuencia del comportamiento según el equilibrio de Nash en estrategias mixtas (ENEM) es que la ganancia esperada de cada una de las posibles opciones usadas debe ser la misma (si una opción otorga una probabilidad de gol mayor entonces debe ser usada con más frecuencia). Los autores encuentran que los datos están de acuerdo con esta predicción.

En un estudio posterior, Palacios-Huerta (2003) [3] realiza un análisis más completo. Al igual que en Chiappori et al. (2002), usa todos los tiros de penalti durante un periodo y unas ligas especificados de antemano para evitar sesgos (Walker y Wooders, 2001, eligieron solo partidos de tenis largos, que pueden ser debidos a que los jugadores jugaban especialmente bien según la teoría). Además, recoge más datos: 1471 tiros de penalti entre septiembre de 1995 y junio de 2000 de las ligas profesionales de España, Italia, Inglaterra y otros países, incluyendo 22 tiradores y 20 porteros que aparecen en 30 tiros o más, y que pueden ser usados para realizar tests estadísticos a nivel individual. Antes de realizar el análisis principal, el autor realiza otros sobre las hipótesis del modelo. Primero, hay jugadores diestros y zurdos, así que el modelo usa el término "derecha" para indicar el lado natural del jugador. Ambos tipos de jugadores se agrupan en solo uno al no encontrarse diferencias estadísticamente significativas entre ambos en las probabilidades de marcar. Segundo, la estrategia "centro" se agrupa con la del lado natural como respuesta a las declaraciones de los jugadores, que consideran que son tan hábiles en esta opción como en su lado natural. De todas maneras, la estrategia "centro" se usa muy pocas veces y los resultados no cambian según se agrupe o no. Finalmente, el trabajo incluye una simulación usando el método de Montecarlo para asegurarse de que los tests empleados tienen la potencia estadística suficiente para distinguir entre el comportamiento de equilibrio frente a otro distinto.

Palacios-Huerta (2003) encuentra que las dos predicciones de la teoría del equilibrio se cumplen tanto en el nivel agregado como en el individual: las probabilidades de gol son las mismas para ambas estrategias (alrededor del 80%), y no hay correlación serial en la elección de la estrategia ni en los penaltis que tienen lugar durante el juego regular ni en las tandas de penaltis para deshacer empates, lo que indica que los tiros son tan aleatorios como pueden ser. Dadas las diferentes probabilidades de marcar, el equilibrio de Nash predice que el tirador debe usar su lado natural un 58,01% de las veces y que el portero debe ir hacia el lado natural del tirador un 61,46% de las veces. Las frecuencias observadas son el 57,69% y el 60,02%, respectivamente. Es importante notar que en esta clase de juegos, esto es suficiente para caracterizar la teoría del ENEM.

Más recientemente, Azar y Bar-Eli (2011) [4] confirman los resultados principales para un conjunto de datos distinto, completando el análisis con tres estrategias (derecha, centro e izquierda) y contrastando cómo se ajustan los datos a la teoría del ENEM frente a otras alternativas para elegir las estrategias basadas en la información de las distribuciones marginales de los tiros o de los saltos del portero. Los autores muestran que la teoría del ENEM explica mejor los datos.

Referencias:

1. Walker, M., and Wooders, J. 2001. Minimax Play at Wimbledon. American Economic Review 91, 1521-38.

2. Chiappori, P.A., Levitt, S., and Groseclose, T. 2002. Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: the case of penalty kicks in soccer. American Economic Review 92, 1138-1151.

3. Palacios-Huerta, I. 2003. Professionals play minimax. Review of Economic Studies 70, 395-415.

4. Azar, O.H., and Bar-Eli, M. 2011. Do soccer players play the mixed-strategy Nash equilibrium? Applied Economics 43, 2591-3601.

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Hace tres años en el blog: Demasiado grandes para caer.

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La Teoría de Juegos explica cómo juegan los profesionales (1)

Esta es la primera parte de la traducción de mi artículo de junio en Mapping Ignorance:

Juegas a "piedra-papel-tijeras" con alguien. ¿Cuál es la mejor estrategia? Por supuesto, depende de lo que haga tu oponente. Si es alguien que siempre elige "piedra", entonces la mejor jugada es elegir "papel". Pero si tu oponente no es tan ingenuo y busca también jugar su mejor estrategia, ¿qué debes hacer? Lo primero que hay que notar es que uno debe ser impredecible. Lo siguiente es calcular las probabilidades de elegir cada una de las opciones. En este juego, puesto que lo que se gana es independiente de con qué elección se ha ganado, se puede mostrar fácilmente que se debe elegir cada una de las opciones un tercio de las veces. Dada esta manera de jugar, tu oponente no puede hacer nada mejor que seguir también esta estrategia, lo mismo que te pasará a ti. Esta situación de equilibrio en que los jugadores eligen aleatoriamente su acción se llama equilibrio de Nash en estrategias mixtas (ENEM).

La noción de equilibrio de Nash es central en la Teoría de Juegos y tiene un papel importante a la hora de analizar problemas económicos y sociales. Sin embargo, el hecho de que la teoría sugiera que hay situaciones en las que los agentes deben decidir aleatoriamente su curso de acción es problemático. ¿Juegan los agentes aleatoriamente de acuerdo con la teoría? Si lo hacen ¿sus probabilidades son las marcadas por la teoría?

Ha habido varios enfoques para estudiar este asunto. Algunos se basan en investigación empírica para encontrar datos ejemplos de aleatoriedad en la vida real, otros en encontrar mejores descripciones de la interacción que evite el uso de las estrategias mixtas y aún otros intentan comprobar la teoría en el laboratorio. La realidad es que no tenemos muchos datos sobre la evidencia empírica, mientras que los datos de laboratorio no avalan bien la teoría. En este artículo examinaremos un enfoque distinto: veamos lo que ocurre cuando se juega un deporte en una situación real. Los deportes nos ofrecen escenarios en los que comprobar la teoría al estar muy bien estructurados, ser simples y tener jugadores que son expertos en lo que hacen.

El primer estudio de este estilo se llevó a cabo por Walker y Wooders (2001) [1]. En este trabajo los autores estudian el comportamiento de los jugadores de tenis en Wimbledon, concretamente en la fase de saque y resto. En el tenis, el saque es una parte muy importante del juego. A pesar de que quien saca puede hacerlo apuntando a cualquier parte de la pista contraria en la que el oponente espera, la mayoría de los saques caen en dos categorías: izquierda (I) o derecha (D). Los saques son muy rápidos y el jugador que resta debe intentar adivinar por dónde le llegará la pelota y moverse hacia ese lugar en el momento en el que quien saca la golpea. Si el que saca juega, digamos, "izquierda" y el que resta juega "derecha", hay una mayor probabilidad de que el que saca gane el punto comparado con la situación en el que el que resta hubiera elegido también "izquierda". Al contrario que en el juego de "piedra-papel-tijeras", el ganador (el que saca, si engaña o el que resta, si adivina) no lo es sino en términos estadísticos, y las probabilidades de ganar dependen de las estrategias: "izquierda-derecha" puede dar a quien saca una mayor probabilidad de ganar el punto que "derecha-izquierda". Un partido de tenis permite a los autores completar una tabla con todas las estadísticas relevantes para todas las combinaciones de estrategias en el "saque-resto": I-I, I-D, D-I y D-D. Debido a la asimetría en las probabilidades de ganar, el equilibrio no implica que ambas estrategias, izquierda y derecha, se jueguen con la misma probabilidad. El estudio estadístico revela que los jugadores profesionales juegan sus estrategias según las proporciones de la teoría del ENEM. Sin embargo no juegan esas proporciones de una manera realmente aleatoria, puesto que cambian con más frecuencia de lo que deberían.

Referencias:

1. Walker, M., and Wooders, J. 2001. Minimax Play at Wimbledon. American Economic Review 91, 1521-38.

Enlace relacionado: Servicio de Nadal, resta Federer.

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Hace tres años en el blog: Las propiedades emergentes.

Hace cinco años en el blog: Al monte se va con botas: La paradoja del examen sorpresa.
Y también: Una imagen distorsionada vale menos que 435 palabras.
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Los mercados financieros y los juegos de suma cero

En tiempos recientes se ha tratado la hipótesis de que los mercados financieros sean juegos de suma cero tanto en el Otto Neurath como en las Penas del Agente Smith, dos blogs que leo con frecuencia y que recomiendo sin dudar. Un juego de suma cero es aquel como el póker donde lo que uno gana lo pierden los demás sin crear riqueza. Según esta hipótesis, los mercados financieros serían igual. He aquí mi respuesta:

Los mercados financieros se basan, como todo mercado, en una parte que compra y otra que vende. Si uno compra X es porque ve esa alternativa como mejor, si uno vende X es porque tiene otras alternativas mejores. Lo mismo si X son patatas o activos financieros. Las circunstancias que hacen que un activo financiero sea preferido a otro son:

-Su rentabilidad esperada

-El riesgo asociado

-La dispersión de los dividendos que pague a lo largo del tiempo

-La capacidad de controlar las decisiones de una empresa

-Su liquidez

-Etc.

Para algunas de estas circunstancias puede interpretarse que el intercambio se basa en el error de una de las partes, pero no hace justicia a lo que hay detrás. El que una parte crea que un activo va a tener más rentabilidad solo implica diferencias de opinión o de información (posiblemente incompleta en las dos partes). La información incompleta está sujeta a error, claro está. Pero eso mismo hace que los mercados financieros premien la adquisición de información, de manera que en el mercado habrá más información, lo cual siempre es bueno.

En las otras circunstancias no se puede hablar de error, y son una parte importante de la razón de ser de los activos financieros (mi hipoteca es un buen ejemplo).

Dicho esto (muletilla de tertuliano), vamos al tema central de la hipótesis y explorarla, no en la parte de los mercados financieros que sirven para financiar (¡sorpresa!) o para las otras finalidades apuntadas arriba, sino para apostar a un valor que creo que ganará. Una cosa que tener en cuenta al invertir en bolsa es que no se puede ganar en media más que lo que gana en media el conjunto de la bolsa, lo cual es de perogrullo, pero por lo menos indica que uno podrá esperar ganar razonablemente la tasa de beneficio histórica. Para ganar más hay que saber dónde se mete uno. En mi opinión, hacer análisis de tendencias y cosas así apenas sirve. Lo que sirve es saber qué valores van a ir mejor, y para eso es más útil saber por dónde van los tiros en la economía, en un sector en particular o en una empresa todavía más en particular. La información privilegiada ayuda, claro, pero también conocer el negocio (no invertir en empresas que hacen reglas de cálculo cuando la competencia ya está fabricando calculadoras, p.e.).

Si uno, así todo se mete y lo hace en valores que son más especulativos (pongamos, esos que son contratos de futuros sobre el precio de algún bien y que solo son apuestas sobre el precio) que de inversión, no está de más recordar la vieja máxima:

“Si te han invitado a una partida de póker y no sabes quién es el primo es que el primo eres tú.”

Por una feliz casualidad, el repaso de "hace tres años en el blog" nos trae cómo se trata el tema (una parte de él) en Teoría de los Juegos:

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Hace tres años en el blog: La Teoría de los Juegos. La historia más lúdica jamás contada. Parte 11: La información privilegiada.
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La Teoría de los Juegos. La Historia Más Lúdica Jamás Contada. Parte 4.

Servicio de Nadal, resta Federer

Nos quedamos, en la segunda parte de esta historia más lúdica jamás contada, con la necesidad de analizar los juegos que no son de suma cero. Sigamos manteniendo la necesidad, porque seguiremos un poco más con los juegos de suma cero,… que dan todavía mucho juego. Propongo analizar hoy el saque de Nadal y el resto de Federer en una final de Grand Slam. A pesar de que me inventaré los números, creo que será de interés tanto para los aficionados al tenis como para quien quiera saber un poco más de la Teoría de los Juegos.

Siendo una entrada corta, habrá que simplificar mucho, así que convengamos lo siguiente:

1. Un buen saque marca mucho la probabilidad de llevarse el punto en juego.
2. Nadal saca hacia la izquierda o hacia la derecha (no hay centro ni centro-izquierda ni otras sutilezas).
3. En el resto, Federer va por la pelota a la izquierda o desde la derecha.
4. Federer no puede esperar a ver por dónde va el saque de Nadal. Debe decidir en el mismo momento del saque.
5. Si Federer no adivina por dónde va el saque, Nadal tiene más probabilidades de sorprender a Federer y de llevarse el punto.
6. Sorprender por la izquierda o por la derecha dan distintas probabilidades de llevarse el punto.

Pongamos números a este planteamiento. Por ejemplo, si Nadal sorprende por la izquierda, sea que gana el 90% de los puntos, pero si sorprende por la derecha solo gana el 70%. Si saca sin sorprender a Federer (por cualquier lado), se lleva el punto el 50% de las veces. Federer, claro está, se lleva el punto el otro tanto por ciento de las veces. Estos porcentajes pueden ser mas medias históricas de los enfrentamientos entre ambos en este tipo de torneo o, incluso, las medias que se van observando en el partido concreto que están jugando.

La siguiente tabla resume todo lo dicho:

		Federer
		Izquierda	Derecha
Nadal	Izquierda	50%, 50%	90%, 10%
	Derecha	70%, 30%	50%, 50%

¿Cuál es la mejor estrategia de Nadal? ¿cuál la de Federer?

Si Nadal saca siempre por la izquierda, Federer responderá siempre por la izquierda. Pero si Federer responde siempre por la izquierda, Nadal debería sacar siempre por la derecha. Pero en ese caso Federer responderá por la derecha, lo que hace que a Nadal le irá mejor si saca por la izquierda y estamos como al comienzo.

Cualquiera que haya jugado al tenis (o algún juego parecido) sabrá que la mejor estrategia es ser imprevisible. Veamos cómo se hace esto.

Nadal deber echar a suertes de manera que Federer no tenga ventaja con un resto u otro. Esto se consigue sacando por la izquierda el 1/3 de las veces. Si Federer resta por la izquierda obtendrá el 1/3 x 50% + 2/3 x 30% = 110/3 = 36,66% de los puntos. Si resta por la derecha tendrá el 1/3 x 10% + 2/3 x 50% = 110/3 = 36,66%. Es decir, le da igual por qué lado restar. Nadal tendrá los puntos que no tenga Federer, el 63,33%. Pero Federer, a su vez, deberá echar a suertes su resto para que Nadal no tenga más ventaja sacando a un lado que a otro, y esto lo consigue restando desde la izquierda en 2/3 de las ocasiones. Haga lo que haga Nadal, conseguirá el 63,33% y Federer el 36,66%.

Si Nadal pasa de todas estas consideraciones y se dedica, simplemente, a sacar por la izquierda o por la derecha con iguales probabilidades tendremos la siguiente situación para Federer. Si resta por la izquierda, la mitad de las veces (cuando Nadal saque por la izquierda) tendrá el 50% de los puntos y la otra mitad (cuando saque por la derecha) tendrá el 30%.  En media Federer ganará el 40% de las veces. En cambio si resta por la derecha (se fijará ahora en sus números de la columna derecha) ganará el 10% o el 50%, en media el 30% de las veces. Así que Federer restará siempre por la izquierda y ganará el 40% de los tantos, mientras que Nadal ganará el 60%, que es menos que el 63,33% de antes.

Ha sido un poco pesado, pero hemos visto cómo calcular un equilibrio en juegos de suma cero. Ahora solo queda hacernos asesores de algún tenista famoso.

O tal vez no. Según algunos estudios, los tenistas profesionales saben bastante bien lo que hacen y, aún sin la Teoría de los Juegos, han aprendido a maximizar el rendimiento de su saque. Lo cual no esta mal, como no estaba mal que las manzanas supieran caerse de acuerdo con la ley de la gravedad antes de que llegara Newton.