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sábado, 27 de agosto de 2022

¿Qué es el azar?

Recojo en esta entrada un hilo sobre el azar que publiqué en twitter, para darle algo más de permanencia.

1/10

¿Existe el azar?

No: lo que pasa es que no sabemos todas las causas o no tenemos capacidad para conocer los efectos con precisión.

Sí: hay fenómenos sin causa, p.e., ¿por qué se desintegra un átomo de uranio y no el de al lado, que es exactamente igual?

2/10

A mi entender la cuestión y las respuestas están mal enfocadas:

La cuestión prejuzga una causalidad imposible de definir bien. Solo en un modelo riguroso podremos atribuir causalidad a los cambios en las condiciones iniciales que implican cambios en algunas variables.

3/10

La primera respuesta prejuzga que todo debe tener causa. Es algo que corresponde a nuestra intuición, pero que todo deba tener una causa es una afirmación indemostrable.

4/10

La segunda prejuzga que nuestro conocimiento de la realidad es lo suficientemente completo para hacer esa afirmación. Podríamos estar viviendo en un mundo Matrix donde se ha programado que este átomo se desintegre y ese otro, no.

5/10

Incluso si decimos que para ciertas cosas no existe el azar fundamental (?) (tirar una moneda) y para otras sí (mecánica cuántica), seguimos sin saber si, a pesar de ello, podemos hablar de azar (¿subjetivo?) en las primeras.

6/10

La (vieja) discusión matemática y, con ella, la filosófica, venía de ahí: ya sabéis, que si el frecuencialismo, que si el bayesianismo.

¿Tiene, p.e., sentido hablar de probabilidad (azar) para eventos que ocurren solo una vez?

Hay quien dice que no.

7/10

Pero nunca hay dos eventos exactamente iguales. Cada evento solo ocurre una vez. Ante esto, se permite hablar de eventos repetidos cuando podemos controlar bien que sean muy parecidos. Esto huele a trampa: es cuestión de grado, sin que se hable de nada fundamental.

8/10

¿Cómo salir de esto? Aceptando que lo que importa es cómo organizar nuestro conocimiento. Para ello construimos modelos, algunos con una parte aleatoria. Nos quedamos con los modelos que nos permiten interactuar mejor (según lo que podemos conocer) con la realidad.

9/10

La desigualdad de Bell, empíricamente demostrada, ¿no nos dice que hay eventos intrínsecamente azarosos? Pues sí, si nos creemos que no estamos en un universo Matrix con alguien que se quiere burlar de nosotros. Pero esto no nos dice nada sobre otros azares macroscópicos.

10/10

La parte aleatoria del modelo es el azar. La teoría moderna de la probabilidad no presenta ningún problema lógico. Filosóficamente lo presenta si quieres un fundamento distinto de la simple definición de variable aleatoria y que agrade a tus prejuicios sobre la causalidad.

martes, 21 de julio de 2020

Piensa mal y no acertarás

Este es un hilo sobre encontrar patrones donde no los hay, desde los números aleatorios al posmodernismo en Economía. El hilo original puede verse aquí.

1
Vía @gilbellosta veo esta página en la que probar a encontrar números aleatorios entre 1 y 100.
macartan.shinyapps.io/fish/
Juega un poco antes de seguir con este hilo /16 en el que al final hablaré de posmodernismo y economía. Sorpresa!

2
Verás que eres incapaz de generar una secuencia aleatoria según las exigencias de la página. A veces porque escribes demasiados sietes, a veces porque pones números muy altos o por lo que sea.

3
Lo sigues intentando y no hay manera. Pones números generados por Excel o por cualquier otro programa y tampoco. Siempre hay una razón por la cual no son aleatorios. ¿Qué está pasando?

4
Veamos esta respuesta a una secuencia introducida por mí.


Como veis, en este caso hay demasiados doses. Algo que solo ocurriría con un 14 % de probabilidad en caso de que los números fueran aleatorios. ¿Está claro, no?

5
Pues no. Habiendo 10 dígitos, la probabilidad de que precisamente uno preseleccionado se repita 4 veces es del 14 %, pero la probabilidad de que alguno cualquiera se repita 4 veces es altísima.

6
Si añadimos las probabilidades de que sean altos, bajos, extremos, medios, ascendentes, descendentes, demasiado seguidos, demasiado espaciados o mil cosas más, la probabilidad de que algo de eso pase es el 100 %.
 
7
Esto quiere decir que el test para ver si los números son aleatorios no es tal. Un test así debe incluir: (i) una especificación ex-ante de lo que va a buscar y (ii) un cálculo de probabilidades teniendo en cuenta todo lo que busca, no solo una cosa.

8
No hacer lo anterior implica encontrar patrones donde no los hay. Y eso, my friends, nos lleva a graves problemas, mucho más allá de este juego.

9
Por ejemplo, hipótesis mal definidas nos llevan a encontrar muchísimos ejemplos que nos la confirman. Cualquier cosa se puede adaptar a ella.

10
Por ser más específico, piénsese en cosas como
-la lucha de clases es el motor de la historia,
-los traumas de la infancia provocan trastornos en la personalidad, o
-el lenguaje no es neutral.

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Son hipótesis que pueden abrir líneas de investigación, pero solo si se acotan y definen bien. Si no, se cometerán los errores del marxismo, psicoanálisis o posmodernismo que tanto confunden a personas por lo demás inteligentes.

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Sobre esta parte del marxismo y del psicoanálisis ya habló Popper de manera lúcida. No diré más que lo que he dejado dicho aquí:

https://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2015/04/la-debilidad-del-marxismo-y-del.html

13
Sobre el lenguaje no neutral, dejad que me explaye:
Aún admitiendo que no lo sea, para que se pueda trabajar con esa afirmación como hipótesis habrá que especificar muchas cosas para saber qué buscar y qué concluir.

14
¿Cómo tener una idea de si un lenguaje es más o menos neutral?
¿qué mecanismo de causa-efecto hay entre una medida de falta de neutralidad del lenguaje y el mantenimiento del sesgo social en el que no es neutral?
¿cómo de potente es el mecanismo?
¿importa mucho o casi nada?

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Lamentablemente, cuando se lee sobre la falta de neutralidad del lenguaje nunca se ven contestadas estas preguntas. Eso nos lleva a escaladas increíbles en los argumentos.

16
Ejemplo leído recientemente:
-El lenguaje de los economistas no es neutral, tampoco sus modelos.
-No son todo lo pesimistas que deberían, por lo que mantienen el statu quo.
-Así, sirven al poder, que los usa para perpetuar el neoliberalismo y no combatir el cambio climático.

lunes, 28 de agosto de 2017

La racionalidad de jugar a la lotería o por qué algunos matemáticos deberían estudiar economía antes de hablar


Como cada año por estas fechas hay alguien que nos recuerda que jugar a la lotería es una mala decisión. La razón básica es que el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional dedica el 70% de la emisión a premios. Esto quiere decir que la esperanza matemática (la media) al jugar es recuperar 70 céntimos por cada euro gastado, a lo que hay que restar los impuestos. ¿Es esto irracional?

1. No hay nada irracional en ser un amante de riesgo. La mayor parte de la gente prefiere 50 euros en mano que jugárselos a doble o nada tirando una moneda al aire, pero no hay nada contradictorio en preferir jugárselo. Más aún, lo mismo que mucha gente preferirá 45 euros en mano antes que tener 0 o 100 a cara y cruz, puede haber alguien que prefiera ese juego antes que 55 en mano.

2. Incluso si uno prefiere 45 en mano que 0 o 100 a cara y cruz, si el juego se estima emocionante, además del premio 100 habrá que sumar la emoción de jugar y eso bien puede dar una situación preferida. Esto es distinto de ser amante del riesgo, puesto que depende de que el juego sea emocionante o no.

3. Ana y Bea prefieren 55 euros antes que pagar esa cantidad por entrar en el juego de ganar 0 o 100 a cara y cruz, pero ambas se sentirán mal por no haber jugado si la otra gana. Solo se tira una moneda y ganan o pierden todas las que hayan jugado. Si Ana participa y Bea no, tendremos que Bea se sentirá mal con probabilidad ½. Así, en caso de no jugar, Bea tiene sus 55 euros y una probabilidad de sentirse mal. Eso puede ser peor que jugar y ganar 50 euros de media. Sucederá si la frustración por no haber jugado y que Ana gane (multiplicada o afectada de otra manera por la probabilidad de que ocurra) es mayor que 5 euros.

Podemos representar esta situación como un juego en que ambas deben decidir si entrar en la lotería a cara y cruz pagando 55 euros o no. Para fijar ideas pongamos que la frustración en caso de que la otra gane y no haber participado es de 20. El primer número de cada casilla antes de la coma es el pago de Ana y el segundo, tras la coma, el de Bea. Ambos están miden utilidad, no dinero.


En este juego hay dos equilibrios: (i) ambas juegan y (ii) ninguna juega. Si Bea juega, lo mejor que puede hacer Ana es jugar también (gana 50 en lugar de 45). Si Bea no juega, lo mejor para Ana es no jugar (gana 55 en lugar de 50). Las jugadoras pueden elegir su acción, pero no el equilibrio. Así que no hay nada irracional estar en un equilibrio u otro.

4. Eneko prefiere también 55 en mano que ciento volando (a cara y cruz), pero si pudiera ganar por lo menos 30.000 euros podría acceder a muchas cosas que ahora no puede. Por ejemplo, podría mantenerse durante un año y pagarse un máster que le garantice un buen trabajo. No hay nadie que le pueda prestar ese dinero ni tiene posibilidad alguna de ahorrarlo en un futuro cercano. Hay, sin embargo, una lotería que vende mil números y que ofrece un premio de 30.000 euros a uno de ellos al azar. No hay nada irracional en que Eneko compre un billete de esa lotería por 40 euros aunque su ganancia esperada sea de 30 euros, puesto que a los 30.000 euros en caso de ganar hay que añadir todo lo que puede ganar con esos 30.000 euros y que no puede ganar en ninguna proporción con una cantidad menor (esto último es la clave para no liarnos con otros ejemplos). En general, si con el premio puedes acceder a un estatus o a un bien o servicio indivisible a los que no puedes acceder en ninguna medida sin por lo menos ese premio, tendremos una justificación racional para jugar a la lotería.

Yo no juego a la lotería excepto por alguna pequeña participación o algún décimo que siempre me acaban colocando en la de Navidad. No lo hago porque no soy amante del riesgo, porque no me emociona demasiado apostar en juegos de azar, porque no me da envidia que alguien gane y yo no lo haga (o no la suficiente para que, ponderada por su probabilidad, me merezca la pena jugar), y porque no se me ocurre nada que me coloque en el caso 4 (no que no se me ocurran cosas que hacer con ese dinero, sino cosas que sean un salto cualitativo tan grande al que no pueda acceder en menor proporción sin tanto dinero y que combinadas con la probabilidad de ganar me merezcan la pena). Pero ese soy yo, y no le voy a decir a nadie lo que tiene que hacer, excepto que esté seguro que lo que sea que le motiva a jugar esté bien ponderado con las probabilidades de ganar y perder.

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Hace cinco años en el blog: La Tierra es plana, pero la homeopatía no es Medicina.
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jueves, 24 de agosto de 2017

Una solución a la paradoja del diablo


En esta entrada planteé la paradoja. En esta otra examiné la causa de la paradoja. Una vez entendido por qué el argumento de la paradoja es falaz toca encontrar un argumento que no lo sea y que nos resuelva el problema de decisión planteado.

La cuestión principal, recordemos, era encontrar una manera de valorar los infinitos días en el cielo (por la probabilidad de que esto ocurra), si la lotería del diablo nos envía allá, y compararlos con el daño de esperar unos días en el infierno hasta que la lotería tenga lugar y con los infinitos días en el infierno en caso de que no tengamos suerte.

Hay varias soluciones coherentes posibles. Voy a exponer una, la que creo es más natural. Imaginémonos en el infierno. En lugar de la lotería de esta paradoja, el diablo nos da a elegir entre pasar un día en el cielo hoy o pasarlo dentro de un año. Lo normal es valorar más un mismo grado de satisfacción ahora que en el futuro. Si estas son las preferencias (y si son más complicadas se pueden hacer argumentos parecidos, pero eso ya lo veremos) podemos hablar de una tasa de descuento. Por ejemplo, un día en el cielo dentro de un año equivale (en el momento presente) a 0,9 días en el cielo hoy. De manera más general podemos decir que estar mañana en el cielo equivale a D días en el cielo hoy (donde D será un número positivo menor que uno y que llamaremos tasa de descuento), estar un día en el cielo pasado mañana equivale entonces a DxD días hoy y así sucesivamente. Con estas últimas preferencias, la felicidad de estar en el cielo para siempre a partir de ahora según mi valoración de hoy será:

Si repasamos nuestras matemáticas de bachillerato sabremos que la suma anterior es exactamente igual a
siempre y cuando D sea un número mayor o igual que cero y menor que uno, pero eso es exactamente lo que es, por ser una tasa de descuento. Podemos hacer lo mismo para calcular la infelicidad de estar toda la eternidad en el infierno si C es la de un día.

1. Si decidimos jugar (día uno) hoy esperamos ganar:
Es decir: la probabilidad de ganar multiplicada por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el cielo menos la probabilidad de perder por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el infierno.

2. Si decidimos esperar a mañana (día dos) tendremos:
Es decir: el fastidio de estar hoy en el infierno (C) más la misma ganancia neta calculada antes, pero a partir de mañana (por eso la multiplicamos por la tasa de descuento).

3. Si esperamos un día más (día tres), la utilidad esperada será:

Y así sucesivamente.

Obsérvese que podemos calcular los valores numéricos de las expresiones en cuanto sepamos los valores de F, C y D. Es decir, en cuanto sepamos la valoración de estar un día en el cielo (F), un día en el infierno (C) y la paciencia (D), cosas todas ellas que tienen que ver con las preferencias personales de cada uno. Una vez valoradas las expresiones, basta elegir el día que corresponda a la de valor más alto. Para los más avanzados, se puede escribir la expresión de un día general y usar el cálculo diferencial para encontrar el día óptimo.

Haciendo unos cálculos se encuentra que para los impacientes (con tasa de descuento D=0,9), con F=1 y C=-1, lo mejor es hacer la apuesta el tercer día. Si uno es más paciente (D=0,99), para conjuntos de valores muy amplios de F y C conviene esperar hasta el noveno o décimo día.

La entrada ya se ha alargado bastante. En otra próxima discutiremos algunos aspectos de esta metodología de cálculo y algunas alternativas.

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Hace tres años en el blog: Derechos humanos y derechos contractuales.
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miércoles, 23 de agosto de 2017

La falacia en la paradoja del diablo

Recordemos la paradoja presentada en la entrada anterior, a la que me remito para los detalles:
  1. Estás en el infierno para siempre.
  2. El diablo te da la opción de elegir un día (y solo uno) para entrar en una lotería cuya ganancia es ir al cielo para siempre.
  3. Las condiciones: si eliges hoy, la probabilidad de ir al cielo es 1/2; si eliges mañana es 2/3; si pasado mañana, 3/4; al día siguiente, 4/5, y así sucesivamente.
  4. La paradoja: siempre merece la pena esperar un día más, pues se cambia un día en el infierno por aumentar la probabilidad de estar toda la eternidad en el cielo.
Y ahora, con ustedes, la resolución de la paradoja.

La cuestión principal es que la paradoja asume una suma infinita de felicidad. Cada día en el cielo nos da una felicidad, y una suma infinita de días nos da una suma infinita de felicidad. Multiplicada por un incremento de probabilidad por pequeño que sea nos da un incremento de felicidad infinito si esperamos un día más, puesto que el coste es una infelicidad finita de estar un día más en el infierno.

El problema es que no existe tal cosa como una suma infinita. Si el nivel de felicidad por pasar un día en el cielo es, digamos, F (en la escala apropiada), estar toda la eternidad en el cielo no implica tener una felicidad de

F+ F + F + F +…,

entre otras cosas porque tal operación no existe. La suma se define como una operación binaria (entre dos elementos) que, por satisfacer ciertas propiedades (conmutativa, asociativa), se puede extender a la suma de finitos elementos, pero no a la suma de infinitos. Cuando se cumplen ciertas condiciones sí se puede hablar de sumas infinitas, pero para ello la serie sumas parciales tiene que converger. Así, se puede hablar de la suma de

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…,

cuyo resultado es 1. Y se puede hacer porque dando como resultado el límite de las sumas parciales se mantienen las misma propiedades de las sumas finitas (operación cerrada, elemento neutro, elemento simétrico, conmutativa, asociativa,…). Para series no convergentes tal cosa no es posible.

Es decir, que el enunciado de la paradoja nos está metiendo un gol al hacer parte de su argumentario una suma infinita carente de significado. No es que diga algo falso cuando dice eso, sino que dice un sinsentido. Lo falso es concluir algo de un sinsentido y esa es la falacia. Cosas parecidas nos encontramos en la paradoja de la lámpara de Thompson.

La cuestión siguiente será: ¿qué es lo que hay que hacer, entonces? Esperen ustedes unos días más en el infierno de la ignorancia y en la próxima entrada contestaré a la pregunta y les llevaré a la felicidad de la sabiduría por siempre jamás.

En una próxima entrada diré cómo afrontar esta oferta del diablo.

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Hace tres años en el blog: France Télécome, ¿tenemos un problema?
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martes, 22 de agosto de 2017

La paradoja del diablo


Esta es la paradoja del diablo:

Estás en el infierno, condenado para toda la eternidad. El diablo te ofrece una salida. Solo tienes que decidir qué día participar en una lotería en la que, si ganas, vas al cielo también para toda la eternidad y, si pierdes, te quedas como estabas, en el infierno para siempre jamás. El truco es que las probabilidades de ganar cambian cada día de la siguiente manera: si eliges que la lotería sea hoy la probabilidad de ganar es 1/2, si eliges que sea mañana pasará a ser 2/3, pasado mañana será 3/4, al día siguiente 4/5 y así sucesivamente. Como vemos, a medida que esperas la probabilidad de ganar aumenta. Permíteme que insista: la lotería es solo una vez, ganes o pierdas, ya no habrá más. Suponemos, habrá que decirlo, que el infierno te disgusta mucho (quema y eso) y el cielo te encanta (hay más atracciones aparte de estar tocando la lira).

La paradoja surge porque pareciera que siempre conviene esperar un día más. Por mucho que te disguste el infierno y te guste el cielo, esperar un día más supone estar un día en el infierno a cambio de un aumento de la probabilidad de estar infinitos días en el cielo. Por pequeño que sea este aumento, es un aumento y es por infinitos días. Claro que si siempre merece la pena esperar, entonces te quedas siempre en el infierno, cosa que tampoco quieres.

Este es el planteamiento. Hay quien lo relaciona con la apuesta de Pascal (podéis verlo aquí). Yo las veo muy distintas, pero de eso ya hablaré en otro momento. Ahora os dejo la paradoja para que le deis vueltas. En una próxima entrada explicaré la falacia y en otra daré la solución.

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Hace tres años en el blog: Preguntas últimas, preguntas siguientes.
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jueves, 17 de agosto de 2017

Tus parejas han tenido más parejas que tú


Esta es la llamada paradoja de la amistad, que paso a explicar.

Tengamos un grupo de 10 personas numeradas del 1 al 10. Del 1 al 9 todas tienen como amigo al 10 y a nadie más que el 10, mientras que el 10 tiene como amigos a todos (suponemos que la amistad siempre es recíproca). De esta manera hay 9 personas que tienen un amigo y una persona que tiene 9, La media de amistades es (9x1+1x9)/10 = 1,8.

Pero si ahora contamos la media que tienen los amigos de estas 10 personas la cosa cambia. Del 1 al 9 tienen amigos cuya media de amistades es 9 (su único amigo es el 10, que tiene 9 amigos). La media de amigos de los amigos del 10 es 1. Así que la media de amigos que tienen los amigos de este grupo es (9x9+1x1)/10 = 8,2.

Esto es así con cualquier manera en que puedan ser las relaciones de amistad mientras haya alguien que tenga más amigos que los demás. La razón, creo que se ve claro, es que es más probable ser amigo de alguien que tiene muchos amigos que de alguien que tiene pocos. También vemos que, en la media de amistades de amigos, la persona número 10 aparece muchas veces (en cada una de las personas del 1 al 9).

Por supuesto es una media estadística que se cumple en términos generales, no para todos los casos. En el ejemplo tenemos 9 personas cuyos amigos tienen más amigos que ellas de media, mientras que tenemos a una persona cuyos amigos tienen menos amigos que ella.

Así que ya sabéis, lo más probable es que se cumplan estas proposiciones, siempre en promedio (léase en voz alta para mayor escarnio propio):

-Mis amigos tienen más amigos que yo.
-Mis parejas han tenido más parejas que yo.
-Mis conexiones de linkedin tienen más conexiones que yo.
-Mis familiares tienen más familiares que yo.
-Aquellos a quienes sigo en twitter tienen más seguidores que yo.
-Los blogs en los que comento reciben más comentarios que el mío.
-Los escritores que leo tienen más lectores que yo.

Después del escarnio propio, veamos el lado reconfortante. Si bien es cierto que, en media, mis amigos tienen más amigos, no es cierto que la mayoría de la gente tenga más amigos que yo. Ocurre muy a menudo que son esos pocos amigos muy populares los que hacen subir la media. En nuestro ejemplo vemos que la mayoría de las personas de 1 a 9 tienen el mismo número de amigos, mientras que solo uno (el 10) tiene más.

Si nos tomamos la molestia de repetir las operaciones con el grupo de la figura veremos que la media de amigos es 2,85, mientras que la media de amigos de los amigos es 3,39. Sin embargo, para la gran mayoría de los 20 del grupo se cumple que el número de amistades con más amigos que uno mismo es una minoría.

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Hace tres años en el blog: O ano da morte de José Saramago.
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martes, 15 de agosto de 2017

Atrevida ignorancia


Una alumna me llama la atención por el artículo en El País sobre el anumerismo. Entre otras cosas se citan varios ejemplos de cómo el analfabetismo numérico nos puede hacer tomar malas decisiones. En particular se trata el famoso caso de las tres puertas, conocido como el problema de Monty Hall. Aquí lo expliqué con cierto detalle.

No interesa repetirlo ahora. Basta con decir que la respuesta al problema es una, mientras que la que parece intuitiva a la inmensa mayoría de la gente es otra. Hasta aquí todo bien, una paradoja más. Lo curioso es que el artículo de El País tiene más de 600 comentarios, la mayoría discusiones en torno a qué respuesta es la buena.

Llegados a este punto, uno (yo) no sabe qué pensar. Razonar una respuesta en ese problema requiere unos conocimientos mínimos de probabilidades. Quienes intentan razonar la respuesta intuitiva no tienen tales conocimientos. Si los tuvieran, habrían entendido la explicación correcta. Es más, lo más seguro es que ya la conocerían, puesto que el problema es un clásico en probabilidad y se enseña en todas partes. Así las cosas, ¿por qué tanta gente razona, hasta enfadada y con malas palabras, que la respuesta buena es la equivocada?

1. ¿Acaso no saben que sus conocimientos de probabilidad son muy limitados? (Atrevida ignorancia).

2. ¿Acaso creen que todos los que sí saben de probabilidad están engañados?

3. ¿Por qué no dedican unos segundos a buscar en google algo sobre el tema? Les hará ver, por lo menos, que los que se empeñan en mostrarles la solución correcta en los comentarios de El País no son unos locos que pasaban por ahí.

4. ¿Son gente a la que les importa un bledo la respuesta y solo quieren llamar la atención?

5. ¿Alguna otra sugerencia?

lunes, 14 de agosto de 2017

Qué no dice el teorema de Gödel


En la entrada anterior repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos.

1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial.

Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente.

El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una parte, no habría problemas para aceptar que una máquina pueda saltar de un sistema a otro. Por otra, la mente humana es finita y nunca podrá saltar indefinidamente de un sistema a otro. Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo. Simplemente se salta indefinidamente.

2. El teorema de Gödel no establece un dominio de la realidad que sea inaccesible a la mente humana.

Hay dos problemas históricos en la filosofía de la ciencia o del conocimiento. El primero es el problema de la realidad exterior: ¿existe? ¿es como se nos aparece? La ciencia no trata este tema ni, como se suele afirmar, lo supone a priori. Simplemente se dedica a dar cuenta de las regularidades que se nos aparecen en esta acaso apariencia de realidad exterior. Que haya tales regularidades no es ningún fundamente metafísico de la ciencia sino una constatación empírica.

El segundo problema es el de las otras mentes. No tenemos acceso al mundo de sensaciones, sentimientos, pensamientos,... que ocurren en las otras mentes. Ni siquiera tenemos constancia de que existan las otras mentes. Para esto último tenemos el test de Turing: las otras mentes lo pasan sin problema. Para saber de sensaciones y pensamientos no tenemos nada más que la posible empatía por pertenecer a la misma especie.

Quienes ven en el teorema de Gödel un nuevo límite a nuestro conocimiento de la realidad confunden el modelo con la realidad. Si la realidad es finita, por ejemplo, inmediatamente tenemos que no responde a los supuestos del teorema de Gödel y nada de lo que dice el teorema se aplica en ella.

Un  momento, dirá alguno, el sistema formal de las matemáticas está dentro de la realidad y, por tanto, todo lo que pase en ese modelo será parte de la realidad. Sí y no. Sí en un sentido débil, digamos. Es una parte de la realidad que podríamos decir creamos los seres inteligentes. No en un sentido fuerte, puesto que las matemáticas no son nada creado de verdad. Es decir, no hay nuevas partículas elementales, por ejemplo. Lo que hay es un juego inventado, un deducir cosas de acuerdo con unas reglas. Ocurre simplemente que con ciertas reglas no se puede llegar a establecer un valor de verdad a ciertas posiciones del juego. Que ese juego nos sirva a los mortales para interpretar cosas de la realidad es algo ajeno a la realidad.

Pero tampoco dice que no podamos entender la realidad, puesto que incluso si fuera pequeña, finita y abarcable al ser humano podríamos seguir construyendo modelos formales con teoremas de Gödel. Así que el problema que pueda plantear el teorema no es sobre la realidad, sino sobre las reglas deductivas, que no llegan a construir según qué enunciados.

¿Cómo cabe un sistema formal que contienen los números naturales, que son infinitos, en un mundo finito?

Sólo el darse cuenta de lo anterior debería ser suficiente para mostrar que los números naturales (así como los sistemas que los contienen) no existen más que como construcción nuestra y ciertamente nunca los construiremos todos. Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, no porque los hayamos escritos todos. Es la potencia del argumento recursivo lo que se limita en el teorema de Gödel, nada más. Las verdades de la ciencia siguen siendo las mismas, las establecidas empíricamente.

domingo, 13 de agosto de 2017

Qué dice el teorema de Gödel


Euclides basó toda la geometría griega en cinco postulados:

1. Por dos puntos solo pasa una recta.
2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.
3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela.

Durante mucho tiempo se pensó que el quinto postulado era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta).

Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.

La respuesta de Gödel es inquietante: Cualquier sistema formal consistente (que no contenga contradicciones) que permita describir la aritmética será necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones que se puedan expresar en el lenguaje del sistema cuya veracidad o falsedad no se puedan demostrar en ese sistema.

Demostrar una afirmación (o su negación) significa que, manipulando los símbolos del sistema según sus reglas, se puede construir tal afirmación (o su negación). Podría ser posible demostrar esa afirmación (o su negación) en otro sistema formal, pero ese otro sistema tendría, según el teorema, sus propias proposiciones indemostrables dentro de él.

Gödel demuestra su teorema haciendo ver que en un sistema formal T que reúna las características pedidas es posible enunciar una proposición X que diga lo siguiente: "La proposición X no es demostrable dentro del sistema T". Si la proposición X fuera demostrable, tendríamos una contradicción (sería demostrable porque la hemos demostrado, y no demostrable porque es lo que dice la proposición). Pero como no es demostrable, la proposición es cierta, porque dice justamente eso.

El teorema de Gödel dice, entonces, un par de cosas más. La primera es que existen proposiciones ciertas cuya veracidad no es demostrable dentro del sistema. La segunda es que hay que distinguir entre proposiciones bien construidas dentro de un sistema (las que se demuestran) y verdades deducidas fuera del sistema.

La veracidad de la proposición X se ha establecido fuera del sistema T. Se suele referir a esto como "saltar del sistema". Podemos ahora añadir esa proposición X al conjunto de axiomas del sistema T, pero entonces el sistema se habrá convertido en otro sistema, el T', que tendrá su propia proposición indecidible (indemostrable) X' que dirá "X' no puede demostrarse dentro del sistema T'.

Así pues tenemos que los sistemas formales que puedan describir los números serán necesariamente incompletos. Habrá proposiciones indecidibles. Las matemáticas no pueden ser completas.

No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa.

lunes, 7 de agosto de 2017

¿Se puede elegir un número al azar?


O, dicho con más precisión: ¿es posible elegir un número al azar de manera que cada número tenga las mismas probabilidades de salir?

Si tengo un número finito de números, sí es posible. Cada uno puede ser elegido con probabilidad 1/n, donde "n" es el número de números que tengo. Puedo elegir entre 2, 4 y 8 (tres números) cada uno con probabilidad 1/3.

Si tengo un número infinito ya no es posible. No hay manera de elegir entre los números naturales 0, 1, 2, 3,.... de manera equiprobable. Si así fuera, no podría ser una probabilidad positiva, porque, al multiplicarla por infinitos números, daría infinito, y la probabilidad total debe sumar uno. No puede ser cero, porque, multiplicado por infinito no me da nada definido (no está definida la operación), y debería dar uno y no otra cosa.

Cuando, en la entrada anterior, Bruno suponía (era un suponer) que en su sobre había un 4 y asignaba las mismas probabilidades a que el otro sobre hubiera un 2 o un 8 no cometía ningún error. Eso podía ser perfectamente posible. Pero suponer que el mismo razonamiento lo podía hacer con cualquier otro número (que el otro sobre tuviera la mitad o el doble con iguales probabilidades) es ya imposible.

Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números ... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1.

No es difícil demostrar que, con cualquier distribución de probabilidades, la ganancia esperada de cambiar es exactamente la misma que de no cambiar. Podéis ver ejemplos sencillos en los últimos comentarios de Pedro Terán en la entrada anterior. También podéis leer mi explicación de hace unos años en una página de matemáticas recreativas.

domingo, 6 de agosto de 2017

¿Cambiamos sobres?


Silvia decide dar un premio a su amigo Bruno, y lo hace de la siguiente manera. Hay dos sobres, uno con el doble de dinero del otro. Para simplificar, pongamos que las cantidades pueden ser potencias de dos: …1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8,…

Bruno elije uno de los dos sobres y se dispone a ver su premio, cuando Silvia lo para y le da la oportunidad de cambiar. Bruno, en un primer momento ve esto absurdo. ¿Qué más dará un sobre que otro? Pero, luego, reflexiona de la siguiente manera:
“Si mi sobre tiene, digamos, 4 euros, el otro puede tener 8 o 2, que en media me da un número mayor, 5. Y lo mismo pasa con cualquier otra cantidad. ¡Vaya, vaya! Después de todo no es tan mala idea cambiar.”
¿Debe cambiar o es un absurdo? ¿Por qué?

La clave está en el porqué. Todos podemos tener una idea clara de cuál es la respuesta correcta, pero tal vez no sepamos decir exactamente la razón. De eso se trata en este acertijo, de dar buenas razones para tomar buenas decisiones.

sábado, 5 de agosto de 2017

No viajes sin la media armónica



Un tren va de Madrid a Barcelona, que están separadas por 600 km. Hasta Zaragoza, exactamente a la mitad del trayecto, va a 100 km/h y después acelera hasta 300 km/h. Otro tren sale de Barcelona a Madrid y va a 200 km/h. ¿Cuál llegará antes a su destino?

A bote pronto parece que llegarían igual, ¿no es acaso 200 la media entre 100 y 300? Un sencillo cálculo, sin embargo, nos dice que el primer tren tardará cuatro horas (tres hasta Zaragoza y una más hasta Barcelona) mientras que el segundo tardará solamente tres.

Esto nos abre dos cuestiones de interés:

1. ¿A qué velocidad constante debe ir el segundo tren para tardar lo mismo que el primero? La respuesta es dividir 600 km entre 4 horas, naturalmente, y eso da 150 km/h. Quien sepa sumar y dividir fracciones podrá ver fácilmente que esos 150 son la media armónica entre 100 y 300.

2. Esta confusión entre media aritmética y media armónica es especialmente peligrosa cuando se viaja. Uno va de A a B y se encuentra con tráfico denso durante la mitad del camino. Luego quiere recuperar el tiempo en la segunda mitad. Si pensábamos ir a una media de 120 y hemos ido solo a 100, no basta con ir luego a 140, habrá que ir bastante más rápido para compensar, y eso es fuente de inquietud y estrés, pues uno va a 140 y ve que no se cumple su plan. Mejor no hacer esos planes compensatorios, nos dice la media armónica.

Un turista tiene 600 euros y llega al país X, cuya moneda es el Peso. Primero cambia 300 euros a un tipo de cambio de 1 euro por 1 peso. Cuando va a cambiar los otros 300 resulta que le cambian a 3 euros por 1 peso (cosas de las fluctuaciones de los mercados de divisas). El turista hace un cálculo rápido y estima que el cambio medio que ha tenido es de 2 euros por 1 peso. Craso error, el cambio medio es la media armónica, no la aritmética, y es de 1,5 euros por 1 peso. Los cálculos son los mismos que los del ejemplo del tren.

Moraleja: Si vas a viajar no te olvides de la media armónica.

P.D.: Como siempre, lamentablemente, mejor en la wiki en inglés, llena de ejemplos.

sábado, 13 de mayo de 2017

Un experimento sobre el sesgo de confirmación (2)

Esta es la segunda parte de la versión en español de mi artículo de abril en Mapping Ignorance. Debe leerse la primera parte para entender esta.


Los autores explican así los resultados de estos experimentos:

Uno puede imaginar al menos tres posibles resultados ex-ante. Primero, tenemos la hipótesis nula de que el entorno no tiene efecto a la hora de adaptar el comportamiento a las distintas condiciones experimentales. Segundo, el elemento estratégico puede servir para exacerbar los errores al actualizar las estimaciones para el jugador más interesado en conocer el estado de la naturaleza, particularmente cuando las bolas extraídas favorecen su estado de la naturaleza preferido. Tercero, esta consideración adicional puede servir para mejorar los errores de actualización del jugador Par en la parte estratégica del experimento, tal vez porque esto le induce a prestar más atención a la tarea o tal vez porque el sesgo de confirmación le ayuda a contrarrestar otros sesgos en la toma de decisiones.

De hecho, encontramos que los jugadores en el papel Par son menos susceptibles de caer en el sesgo de confirmación. Encontramos un grado considerable de conservadurismo (infra-actualización) en ambos jugadores y en ambas condiciones; los individuos raramente actualizan lo suficiente según las extracciones observadas. Los individuos sí estiman alrededor del 50% en el caso sencillo en que se extraen un número igual de bolas blancas o negras. Sin embargo, encontramos que la creencia media está más cerca al 50% que lo que debería según la predicción bayesiana para cualquier otra combinación de extracciones; más aún, los resultados de nuestras regresiones indican que la tendencia a infra-actualizar es mayor para los jugadores Impar que para los Par.

Como es esperable que un individuo que sufre de sesgo de confirmación diera más peso que un bayesiano a una señal confirmatoria, se puede ver esta mejora como una simple consecuencia. Sin embargo, el efecto en la actualización ocurre tanto cuando el estado de la naturaleza preferido (que para los jugadores Par es que se extraigan más bolas blancas) es probable como cuando es improbable. Nuestra manera de entender la situación es que una persona que tiene interés en un estado de la naturaleza particular estará, si acaso, emocionalmente inclinada a dar menos peso a una señal desfavorable que confirme el estado no preferido; en este caso uno esperaría ver un sesgo de disconfirmación, o al menos un menor sesgo de confirmación. Esto sugiere que el efecto puede ser debido a factores tales como el aumento de la atención que se presta al problema de actualización de las probabilidades o el que se presta a la complejidad del entorno.

Un aspecto del experimento es el juego que los individuos juegan tras las actualizaciones. Una especificación alternativa daría directamente un pago a los jugadores. La razón de elegir un juego era forzar a que se preste más atención a los estados de la naturaleza (el tipo de urna). Los juegos son muy simples y, efectivamente, los jugadores juegan las estrategias de equilibrio la mayoría de las veces (alrededor de un 85% los jugadores Impar y un 90% los Par). Para analizar esta característica del diseño experimental, los autores llevan a cabo un experimento con una especificación alternativa, y encuentran que los jugadores Par parecen ser menos conservadores que cuando los estados finales se asocian con juegos. Sin embargo, estos jugadores Par se ven más afectados por el sesgo de confirmación que en la especificación no estratégica. Esto sugiere que las creencias motivadas por el hecho de que los estados finales sean juegos se traduce en menos sesgo de confirmación debido a la mayor atención prestada, mientras que el nivel de conservadurismo puede no variar.

Finalmente, se realizó otro experimento con distintos juegos finales para asegurarse de que no había nada especial con algún juego en particular que afectara el comportamiento de los jugadores. No se encontraron resultados distintos en estos casos.

Los autores concluyen: Tal vez sorprenda que un efecto tan fuerte en el comportamiento resulte de nuestra pequeña manipulación para motivar creencias. La única diferencia en nuestro diseño es que un grupo de jugadores tiene un pago de equilibrio ligeramente superior en un estado de la naturaleza en comparación con el otro, mientras que el otro grupo de jugadores no lo tiene. Aún así, parece que la gente presta más atención cuando les importa cuál es el estado de la naturaleza.

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miércoles, 10 de mayo de 2017

Un experimento sobre el sesgo de confirmación (1)

Esta es la primera parte de la versión en español de mi artículo de abril en Mapping Ignorance.


Esta entrada resume el artículo “Confirmation bias with motivated beliefs”, de Charness y Dave, publicado en Games and Economic Behavior en 2017 [1].

El sesgo de confirmación puede definirse como la tendencia a buscar, interpretar y usar las evidencias de una manera sesgada hacia la confirmación de creencias o hipótesis preexistentes. Esto constituye un error de juicio que limita la capacidad de aprender que tiene el individuo (Rabin y Schrag, 1999 [2]), induce un cambio en las creencias para justificar acciones pasadas (Yariv, 2005 [3]), y puede conducir a un incremento de la polarización de las creencias dentro de una población (Wilson, 2014 [4]). Las implicaciones para situaciones de la vida real son abundantes: un exceso de volatilidad y de inercia a la hora de comprar y vender en la bolsa de valores, la perpetuación de los estereotipos y la falta de acierto en los diagnósticos médicos, entre muchas otras.

Una cuestión importante es, por tanto, qué clase de entornos hace que los individuos integren la nueva información sin caer en el sesgo de confirmación. Para este fin, Charness y Dave llevan a cabo un experimento en el que el aprendizaje racional debería seguir una actualización bayesiana, miden el sesgo de confirmación como la distancia a la actualización bayesiana y comparan las diferentes medidas en distintos escenarios para poder sacar conclusiones.

El experimento es como se indica a continuación:
  • Hay dos urnas, la “más negra” (MN) contiene 7 bolas negras y 3 blancas, mientras que la “más blanca” (MB) tiene 3 negras y 7 blancas.
  • Se elige una urna de manera aleatoria. Si resulta ser la urna MN, los jugadores experimentales juegan el juego MN. Si se elige la urna MB, juegan el juego MB. Ambos son juegos simples. Si los jugadores juegan correctamente, el jugador Impar gana 20 puntos, mientras que el jugador Par gana 25 en el juego MN y 30 en el juego MB. Si un sujeto es Impar o Par se determinará por adelantado, y se comunicará al jugador.
  • Antes de conocer la información sobre qué urna ha sido elegida, se extrae de ella una bola, que se enseña a los jugadores y se vuelve a introducir en la urna. Este proceso se repite seis veces antes de mostrar el contenido de la urna. Después de cada extracción se pide a los jugadores que estimen la probabilidad de que la urna sea MN o MB. Las mejores estimaciones se recompensan con más puntos.
  • Los sujetos experimentales juegan este juego, cada vez con un oponente distinto y anónimo, diez veces.

En este experimento hay unas probabilidades repartidas al 50% cada una de que la urna sea de un tipo o de otro, y hay una única manera correcta de actualizar estas probabilidades tras cada extracción de una bola, siguiendo la fórmula de Bayes. Las desviaciones con respecto a estas actualizaciones ofrecen una medida de un posible sesgo de confirmación. Finalmente, los autores presentan la hipótesis de que, en comparación con los jugadores Par, los jugadores Impar deberían mostrar un sesgo de confirmación mayor, en el sentido de que no usarán la información ofrecida por el color de las bolas extraídas de manera eficiente para corregir su estimación sobre si la urna es MN o MB, y en cambio realizarán actualizaciones más cercanas a las predicciones a priori que las que deberían hacerse. De acuerdo con esta hipótesis, los jugadores Impar no están interesados en el tipo de urna, puesto que sus pagos no dependen de ello. Por el contrario, los pagos de los jugadores Par sí dependen del tipo de urna y tiene un mayor interés en prestar atención a las actualizaciones de las probabilidades.

(Continúa aquí).

Referencias

1. Charness, G, y Chetan, D. 2017. Confirmation bias with motivated beliefs. Games and Economic Behavior 104, 1-23.

2. Rabin, M., y Schrag, J.L. 1999. First impressions matter: a model of confirmatory bias. Quarterly Journal of Economics 114, 37–82.


4. Wilson, A., 2014. Bounded memory and biases in information processing. Econometrica 82:6, 2257–2294.

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Hace tres años en el blog: El modelo de Cournot. Una historia de éxito (1).
Y también: El modelo de Cournot. Una historia de éxito (2).
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martes, 29 de noviembre de 2016

Los malos axiomas de los austriacos


Uno de mis libros favoritos es La Ética de Spinoza. Me gusta la ingenuidad del proyecto, la decisión con que se plantea, el estilo con que está escrito, la personalidad del escritor, la originalidad del método y el declarado respeto a la razón. Todo ello hacen de él un libro único y memorable. Es una lástima que esté todo mal, y que ninguna de las afirmaciones del libro se demuestren con el método geométrico que presume el autor. No quiere decir que todas las afirmaciones sean falsas o que las proposiciones normativas no sean razonables, sino que no están deducidas de la manera propuesta.

Spinoza quería deducir la Ética a partir de la Razón basándose en unos pocos axiomas y aplicando la deducción lógica. Ahora sabemos que al rigor de la lógica debe preceder el rigor de las definiciones y que estas solo pueden establecerse en un modelo formal. Esto no impide que podamos hacer también deducciones en un lenguaje no formal, pero será difícil llegar muy lejos, sobre todo en cuanto nos metamos en materias especializadas e intrincadas, donde tenemos que definir bien de qué estamos hablando. Spinoza creía que conceptos como “esencia” o ”naturaleza” estaban bien definidos y que con ellos podía definir “causa”, o que frases como “ser limitada por otra de su misma naturaleza” tienen un sentido evidente, y que con ellas puede tirar para adelante y demostrar la ética al modo geométrico. No lo consiguió, claro, lo que no implica que algunas de sus frases y conceptos no puedan ser apreciados. Lo serán, pero no por ser parte de una construcción formal, como pretendía. Eran otros tiempos, no se sabía de modelos formales más allá de la geometría y de otros pocos más y limitados a aspectos pequeños de otras ciencias.

En el siglo 20 ya sabíamos más de todo eso y, sin embargo, abundaban todavía pensadores que se permitían creer que con definiciones tan imprecisas como aquellas de Spinoza podían deducir proposiciones metafísicas, teológicas, morales, políticas o económicas. La justificación que siempre se da es que es posible mostrar ejemplos en los que se puede hacer (o parece que se puede hacer) este tipo de deducciones y tirar para adelante y pretender demostrar toda una doctrina. La ingenuidad de estos últimos no me inspira tanto candor como la de Spinoza. Ya debían saber que su empeño era imposible y que, de tener seguidores, los estarían condenando a defender lo indefendible. Es lo que me pasa con von Mises y su libro La Acción Humana. Von Mises cree poder deducir muchas cosas del hecho que consiste en que las personas procedemos de manera consciente y deliberada, sea esta fruto de una clara deliberación o de recuerdos olvidados y deseos reprimidos (son expresiones suyas, influenciado como estaba por las teorías freudianas).

Este es el argumento que hace Mises para mostrar que pensando apriorísticamente y sin empiria puede tener un conocimiento preciso y verdadero de la realidad:
El objeto específico de la praxeología, es decir, la acción humana, brota de la misma fuente donde nace el razonamiento. Actuación y raciocinio constituyen realidades cogenéricas y similares; cabría, incluso, considerarlas como dos manifestaciones distintas de una misma cosa. Por cuanto la acción es fruto del raciocinio, resulta que éste puede descubrir la íntima condición de aquélla. Los teoremas que e! recto razonamiento praxeológico llega a formular no sólo son absolutamente ciertos e irrefutables, al modo de los teoremas matemáticos, sino que también reflejan la íntima realidad de la acción, con el rigor de su apodíctica certeza e irrefutabilídad, tal como ésta, efectivamente, se produce en el mundo y en la historia. La praxeología proporciona conocimiento preciso y verdadero de la realidad.
No, Mises, del hecho de que la acción humana sea producto del raciocino no se deduce que el raciocinio pueda estudiar la acción humana de manera certera e irrefutable. Eso te pasa por razonar por analogía y huir de los modelos formales. Le pasarán cosas parecidas a lo largo del libro, como le pasan a sus defensores actuales. Veamos cómo razonan en el Mises Institute sobre el uso de las matemáticas frente al lenguaje normal:
Considérese, por ejemplo, las proposiciones (2) A un precio mayor corresponde una menor (o, por lo menos, no mayor) demanda. (2´) Si p denota el precio de un bien y q su demanda, entonces q = f(p) y dq/dp = f' (p) ≤ 0. Aquellos que encuentran la fórmula (2´) más precisa o “más matemática” que la frase (2) caen un uno completo error … la única diferencia entre (2) y (2´) es esta: como (2') se limita a funciones diferenciables y cuyas gráficas, por tanto, tienen tangentes … la frase (2) es más general, pero de ninguna manera es menos precisa: tiene la misma precisión que (2´).
Para empezar, en matemáticas se puede expresar que a un precio más alto corresponde una demanda menor sin restringirse a funciones diferenciables (por ejemplo, con correspondencias no necesariamente continuas) y tener la generalidad que quiere el redactor del párrafo anterior. El uso de conceptos más restringidos (que el redactor parece confundir con pretensiones de precisión) simplemente permite tener modelos más manejables, aunque simplificados. Para seguir, el hecho de que una relación se pueda expresar en lenguaje llano y seguirle la pista durante un pequeño razonamiento no implica que todo se pueda hacer así. Por continuar con el ejemplo del párrafo anterior, será muy difícil seguir la pista a un razonamiento que distinga la función de demanda marshalliana de la hicksiana e intente sacar conclusiones acerca de las consecuencias de ayudar a un consumidor según distintos mecanismos de ayuda.

Los austriacos han oído, por supuesto, este argumento. He aquí cómo lo desdeñan en el Mises Institute
A menudo se dice que la traducción de un concepto … del lenguaje ordinario al matemático lleva a una mayor precisión lógica del concepto y a mayores oportunidades de uso. Pero la falta de precisión matemática en el lenguaje ordinario refleja precisamente el comportamiento de los seres humanos en el mundo real…
Has leído bien, querido lector: está diciendo que quien quiera estudiar una realidad imprecisa debe usar un lenguaje también impreciso. Razonamientos, ninguno, otra vez hay discurso por analogía. Y todos estos errores de razonamiento son antes de empezar a hablar de economía.

En la historia del pensamiento económico ha habido varios intentos de encontrar la coherencia interna de teorías verbales y siempre se han encontrado problemas con la teoría. Sucede con El Capital de Marx, que se ha mostrado incoherente; con la Teoría General de Keynes, cuya modelización es controvertida, y con la Teoría Austríaca de los Ciclos Económicos, que se ha encontrado tan falta de contenido que la mejor aproximación formal conseguida necesita supuestos ad hoc completamente arbitrarios. Lo curioso es que, además de todo eso, la teoría de los ciclos económicos austriaca no se ha deducido ni remotamente a partir del axioma de la acción humana.


Esta enemistad con los modelos formales y el recurso a la dialéctica, la retórica, la apelación a intuiciones y, en el caso de los austriacos, a la praxeología, podrá justificarse de la manera que cada uno quiera (y, si se la cree, será esa su justificación), pero en la práctica lo que hace es dar rienda suelta a que cualquiera, apelando a la simpatía que generan los rebeldes, se haga llamar heterodoxo y reivindique un lugar en igualdad de condiciones a los que sí se molestan en detectar incoherencias internas en sus modelos, supuestos mejores, y evidencias empíricas. Todo ello con matemáticas, claro. 

Cuando hace ya un tiempo hablé de la pseudociencia austriaca y respondí (aquí y aquí) a la defensa de Rallo, este volvió a escribir y, aparte de repetir los argumentos que ya le había respondido, se pasó a la baza metodológica y, entre ella, a la defensa de las narrativas no formales en forma de una de Huerta de Soto. En su día dije que tal vez habría una coda para contestar otra vez a Rallo. No me animé porque los argumentos eran repetitivos y porque cuando la pseudociencia apela a otra forma de metodología distinta del método científico uno ya sabe que no hay nada que discutir (aquí he hablado de eso). Pero sirvan estas últimas líneas como la coda no prometida.

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martes, 8 de noviembre de 2016

De números y malas filosofías en el ojo ajeno

Parte I. De números

Tenemos un problema con el infinito. No ya que no lo concibamos, sino que no lo podemos siquiera tocar, escribir o señalar. Con el infinito grande podemos hacernos algunos trucos. Por ejemplo, hacer que el intervalo abierto (0, 1), que no incluye el cero ni el uno, esté en correspondencia con los números reales positivos. Entonces, si dibujamos el intervalo y si ponemos la punta del lápiz sobre el 1 nos podemos hacer a la idea de estar tocando el infinito, pero requiere un poco de imaginación.


Para el infinito pequeño las cosas son más difíciles. A pesar de que siempre podemos elegir dos números que estén muy cerca el uno del otro, más cerca que cualquier cantidad ridículamente pequeña que se nos ocurra, siempre estarán separados por una distancia positiva. Por eso siempre encontramos algún número racional entre cualesquiera dos irracionales y algún irracional entre dos racionales, a pesar de que haya en total muchísimos más irracionales que racionales (de hecho, hay un grado de infinito más). Y es que los números parecen no existir o, por lo menos, no estar definidos, hasta que interactuamos con ellos, cual partículas elementales del mundo cuántico.

Resultado de imagen de irrational numbers

Hemos interactuado con millones de números, pero nos faltan infinitos con los que interactuar. Nuestro modelo de números es tal que la definición de cualquier número cabe en él, pero también tal que nunca los definirá a todos. Podemos definir el cuatro, la raíz cuadrada de dos, pi,…, pero nunca todos. El modelo es recursivo y por eso, tras definir el uno y definir lo que significa “siguiente de”, podemos llegar al cuatro como el siguiente del siguiente del siguiente del uno. Y así llegamos a todos los naturales y, definiendo la resta, a los enteros. Luego definimos los racionales, dividiendo enteros, operación esta que también podemos definir. Luego llegan los irracionales, que son todos los números que se pueden definir como límites de secuencias de racionales, secuencias que se definen de manera recursiva. Y ahí está la recursión, que nos garantiza el poder definir cualquier número real, pero que nos deja la pesada carga de tener que hacerlo cada vez que queremos tocar uno nuevo.


Parte II. Las malas filosofías en el ojo ajeno

-Entonces, ¿existen o no esos números con los que no hemos interactuado todavía?
-Sí y no. Sí, si a tu definición de existir le basta la demostración de existencia de una secuencia aún sin encontrar la secuencia. No, si demandas su construcción.


-Entonces, ¿cuál es la verdadera noción de existencia cuando hablamos de números?
-La primera, si quieres que existan todos los números, aún los no interactuados. La segunda, si quieres que no.

-Entonces, ¿qué debo querer?
-Que existan, si quieres ventilar pragmáticamente un asunto que no tiene ninguna trascendencia para las matemáticas ni para sus aplicaciones. Que no existan, si quieres ponerte a filosofar a lo Sócrates, metiendo el dedo en el ojo solo por fastidiar.

-Entonces, ¿debo querer filosofar?
-Sí, si lo haces para poner en orden algún pensamiento relevante. No, si tu idea de la Filosofía es meter el dedo en el ojo solo por fastidiar.


-Entonces, ¿qué es lo relevante?
-Desde luego, no andar metiendo el dedo en el ojo ajeno. Antes inténtalo en el tuyo propio.

-¿No me dolerá?
-Seguramente, y además de ser irrelevante, también te dolerá que a nadie le importare un carajo.

-¿Importaba un carajo cuando metía el dedo en el ojo de los demás?
-Solo importaba la pérdida de tiempo de los demás.

-¿Entonces…? ¡Shh!
-“Pérdida de tiempo” he dicho.

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