martes, 30 de noviembre de 2010

¿Cambiamos sobres?


Silvia decide dar un premio a su amigo Bruno, y lo hace de la siguiente manera. Hay dos sobres, uno con el doble de dinero del otro. Para simplificar, pongamos que las cantidades pueden ser potencias de dos: …1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8,…

Bruno elije uno de los dos sobres y se dispone a ver su premio, cuando Silvia lo para y le da la oportunidad de cambiar. Bruno, en un primer momento ve esto absurdo. ¿Qué más dará un sobre que otro? Pero, luego, reflexiona de la siguiente manera:
“Si mi sobre tiene, digamos, 4 euros, el otro puede tener 8 o 2, que en media me da un número mayor, 5. Y lo mismo pasa con cualquier otra cantidad. ¡Vaya, vaya! Después de todo no es tan mala idea cambiar.”
¿Debe cambiar o es un absurdo? ¿Por qué?

La clave está en el porqué. Todos podemos tener una idea clara de cuál es la respuesta correcta, pero tal vez no sepamos decir exactamente la razón. De eso se trata en este acertijo, de dar buenas razones para tomar buenas decisiones.

26 comentarios:

  1. El mismo argumento que expresa Bruno para pensar que es buena elección cambiar de sobre puede ser aplicado a la inversa, tomando como punto de partida el valor del otro sobre y siendo el que él ha escogido el doble o la mitad de aquel. Por tanto es indiferente su elección.

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  2. Con eso llegas a una contradicción: de ser válido el argumento, el sobre A es mejor que el B y el B mejor que el A. Así que seguramente será un mal argumento. La pregunta sigue siendo: ¿por qué está mal? ¿cuál es la falacia?

    Por decirlo de otra manera. Es como si hubieras demostrado, por reducción al absurdo, que algo tiene que existir; pero eso no define ni muestra ni construye ese algo.

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  3. "El mismo argumento que expresa Bruno para pensar que es buena elección cambiar de sobre puede ser aplicado a la inversa.."

    No está usando la herramienta correcta.

    La probabilidad es del 50 por ciento o dicho de otra manera 1/2. En este caso no tiene sentido
    la reflexión de calcular la media. No importa la diferencia de cantidad dentro de los sobres.

    Es usual tratar de dar soluciones a problemas utilizando herramientas que sirven para resolver otros.

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  4. "En este caso no tiene sentido la reflexión de calcular la media."

    ¿Podrías ser más específico? ¿Por qué dices primero que la probabilidad es del 50% y luego que no tiene sentido calcular la media?

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  5. Hay una probabilidad de 1/2 de tener en las manos el sobre alto y una probabilidad de 1/2 de tener el sobre bajo, por lo que el valor esperado del juego es el mismo cuando cambia el sobre y cuando se queda con el que ya tiene.

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  6. De nuevo, eso muestra que el argumento de Bruno es erróneo. El enigma es encontrar la falacia del argumento de Bruno.

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  7. El error está en calcular la media aritmética, debería haber calculado la media geométrica, ¿no?

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  8. Porque se trata de una progresión geométrica. Si, en lugar del doble hubiese dicho que en uno de los sobres hay 2 euros más que en el otro sí habría sido correcto el planteamiento, sólo que en ese caso los sobres habrían tenido 2 ó 6 euros y la media aritmética sería 4.

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  9. Pero a ti te interesa la media aritmética, no importa cómo se han obtenido los valores, sean de una progresión geométrica o exponencial o factorial. La media geométrica sirve para esto:

    http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2010/10/para-que-sirve-la-media-geometrica-o.html

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  10. Hola,
    Creo que es absurdo por el hecho que realmente estoy eligiendo entre 0 (nada) y lo que elegí, es decir un sobre que ya tiene una cantidad y que está segura.

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  11. Realmente endiablado Ferreira ¿ En el contexto de que divagaciones has encontrado semejante perla ?

    Veamos:

    Tenemos n y 2n.

    El otro sobre puede tener el doble o la mitad del número del sobre elegido al que una vez descubierto se le numerara 4, elegir el otro sobre pondera 5 por tanto. Pero es que el propio sobre que se elige puede contener el doble o la mitad del valor que sera descubierto y al que se le llamara 4, ponderando 5.

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  12. En el contexto de años trabajando la teoría de la decisión y de los juegos, aunque la paradoja anda por ahí libre. Dentro de un par de entradas (más o menos, no me toméis la palabra) daré la solución. Hasta entonces me gusta oír lo que tengáis que decir. Por ver si lo sacáis y por tener una idea de qué intuición tenemos al pensar sobre estas cosas, que es buena cosa de aprender.

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  13. Ah pero algun problema equivalente ya existia? Como se llama?

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  14. Es que si te digo su nombre oficial lo miras en gugel :) Lo diré con la solución.

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  15. Secuestrando conocimiento...Demasiada escuela has cogido dando teoria de juegos. Puedes enviarme el nombre a mi email y no lo publicare o si me entero por mi cuenta lo publicare, palabra. :)

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  16. Es absurdo cambiar el sobre. Si lo hiciera entonces también debería cambiar el otro una vez escogido y se pasaría la vida cambiando sobres.

    Para empezar creo que un fallo del argumento es asumir que es un medio la probabilidad de que haya el doble de dinero en el otro sobre. Para eso tenemos que usar bayes theorem y no sabemos el prior de Silvia a la hora de repartir los sobres.

    Si el prior fuera un medio, tal y como Bruno supone entonces con probabiliodad 1/2 tendras X y con probabilidad 1/2 tendrás 2x. Si cambias el sobre tu probabilidad seguirás siendo exactamnete la misma de tener x o 2x, así que tu valor esperado seguirá siendo 3x/2.

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  17. (Perdón por el siguiente tocho.)

    Mientras el número de cantidades distintas que pueden contener los sobres sea finito (que no lo es en el enunciado), se ve con más o menos claridad que el razonamiento es erróneo: pongamos que puede haber entre 1 y 16 euros. Si en nuestro sobre hay 2, 4 u 8 euros, sí es cierto que en el otro puede haber el doble o la mitad; pero si hay 16 euros, en el otro sólo puede haber 8, lo que en ese caso nos trae una pérdida de 8 euros que, haciendo unas cuentas, podemos ver que compensa exactamente (en media) las otras ganancias.

    Si vamos aumentando las posibles cantidades, por ejemplo permitiendo 32 euros, para el caso de 16 euros en nuestro sobre se vuelven a tener las dos posibilidades (8 ó 32 en el otro sobre), con lo que parecería que aumenta nuestra posible ganancia; pero, si tenemos 32 euros, en el otro sobre sólo puede haber 16, con lo que también ha aumentado la pérdida posible (ahora 16) equilibrándose ganancia y pérdida de nuevo.

    Así que para cualquier cantidad límite, aunque sea astronómicamente grande, en realidad la ganancia media obtenida al cambiar de sobre es 0: en la mayor parte de los casos ganaríamos con el cambio, pero esto se equilibra con una pérdida mucho mayor si nuestro sobre tiene ya la cantidad máxima.

    El enunciado permite, por lo menos en potencia, que en los sobres haya cantidades arbitrariamente grandes. Aunque a cualquier persona normal le parecerá que suponer un límite superior es lo lógico (no puede haber más euros en el sobre que átomos en el universo), voy a seguir un rato con el caso infinito. Por desgracia me voy a poner un poco técnico, pero es que no lo sé decir de otra forma :(

    El argumento de Bruno mezcla dos tipos de incertidumbre distintos: la incertidumbre sobre cuál es el sobre con más dinero, y la incertidumbre sobre qué cantidad de dinero hay en los sobres. Vamos a ver si lo explico.


    [Sigo]

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  18. Un argumento que parece correcto sería decir: supongamos, por decir algo, que en el sobre "mayor" hay 4 euros. Entonces, o bien yo tengo 4 y en otro hay 2 (y pierdo 2 al cambiar), o tengo 2 y en el otro hay 4 (y gano 2 al cambiar). Por tanto, me da igual cambiar que quedarme como estoy.

    En este argumento da igual poner 4, que 8, o que cualquier número.

    Pero el argumento de Bruno dice: supongamos que yo tengo 4 euros, entonces en el otro sobre puede haber 2 u 8. Pero en las dos situaciones estamos hablando de pares de sobres distintos. En el primer caso los sobres tienen 2 y 4 euros, y en el segundo tienen uno 4 y el otro 8 euros. Se están mezclando dos "escenarios" distintos, y si en el segundo sobre hay 8 euros también habrá que considerar que yo podría tener 8 euros y entonces en el otro sobre podría haber 16 euros, y entonces... El razonamiento condicional que hace Bruno no se agota en que él tenga 4 euros (como él cree), sino que por ese encadenamiento de unos "escenarios" con otros debe calcular cuanto esperaría ganar "globalmente", independientemente de cuánto tenga. Es decir, cuánto espera ganar al cambiar de sobre sin fijar primero la cantidad que tiene. Aquí es donde el argumento parece muy persuasivo, porque Bruno respondería: Pero me da igual cuál es la cantidad concreta que yo tengo, si tengo x yo espero ganar en media (si echamos las cuentas) x/4; si salgo ganando sea cual sea x, ¿cómo podría ser que "en global" no saliera ganando?

    Aquí es donde ya no me puedo seguir explicando sin tecnicismos. Un problema es la asignación de probabilidades condicionadas que hace Bruno. Echando unas cuentas se puede ver que las probabilidades de que en el otro sobre haya el doble o la mitad (condicionadas a que en el mío hay 4) pueden ser iguales como él dice, pero no pueden seguir siendo iguales conforme condicionamos a que yo tenga 8, 16, 32 euros, etc. Pues entonces todos los valores de euros que puede haber en mi sobre resultan tener la misma probabilidad; pero esto es imposible porque son infinitos valores y sus probabilidades tienen que sumar 1 (y la suma de infinitos valores iguales podría ser 0 o infinito, pero nunca 1).

    Es decir, en lenguaje técnico, lo que Bruno está haciendo sin saberlo es poner una distribución a priori uniforme sobre todos los valores posibles que puede haber en su sobre; pero como son infinitos, esa distribución es impropia (no corresponde a ninguna distribución de probabilidad). Por esa razón, no se cumple el teorema de la esperanza iterada y, aunque cada esperanza (o sea, la media) condicionada sea estrictamente positiva, la esperanza "global" no se puede calcular como la esperanza de todas las esperanzas condicionadas [En la demostración del teorema hay un intercambio de esperanzas que no se puede hacer cuando una de las dos es infinita.] Eso explica que la esperanza sea 0 aunque cada esperanza condicionada por un valor de x sea x/4, que es estrictamente mayor que 0.

    Si queda algún lector aún, fijaos en que, en cada problema con un máximo fijado, la ganancia esperada era 0, y en el límite sigue siendo 0, no infinita como diría Bruno si prosiguiera con su argumentación para 8, 16, 32 euros,... Por este tipo de problemas es por lo que hay libros extremistas como el de Jaynes que rechazan todo argumento "infinitario" y defienden que sólo tiene sentido considerar probabilidades en procesos "infinitos" si las consideramos como límites de procesos "finitos" especificando de qué forma se pasa del caso finito al infinito, en este caso aumentando sucesivamente el límite máximo de dinero que puede haber en los sobres. En lugar de hacer cálculos directamente con la situación "en" el infinito, lo que en este caso lleva a eliminar la pérdida que ocurre cuando nos deshacemos del sobre que ya tiene la cantidad máxima posible.

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    No sé si tú ves el problema igual, José Luis (a lo mejor no), en todo caso yo no he sabido explicarme de forma que un no-experto me entienda :(

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  19. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  20. Mario Bunge ha argumentado que la Teoría de juegos corre el riesgo de convertirse en pseudociencia. No sé qué pensar, compañeros.

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  21. Pedro:

    Bienvenido al blog.

    Te llevas el premio. Lo has clavado. Es exactamente lo que comenté hace años en una página de matemáticas recreativas:

    http://ende.cc/agujero/juegos/Dos_Sobres_R.html

    José Manuel:

    La Teoría de Juegos corre el mismo riesgo de convertirse en pseudociencia que la Teoría de la Probabilidad. Como teoría es una indagación de las interacciones estratégicas entre individuos racionales o con racionalidad limitada de maneras pre-fijadas.

    Su uso indebido como teoría descriptiva (¿cuál de sus modelos alternativos?) podrá estar injustificado, pero nadie nos manda hacer un uso injustificado. La teoría no, desde luego.

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  22. Gracias por el premio simbólico :)

    La verdad es que nunca me había parado a pensar en la paradoja, pero luego me arrepentí de comentar porque la gente se lo estaba pasando bien pensando y no es fácil encontrar "paradojas" como esta a las que merezca la pena darle unas cuantas vueltas. Ahora algunos pensarán que es tan abstruso como yo lo cuento; espero que hagas esa entrada y lo expliques mejor que yo.

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    Lo que sí me intriga es qué conclusión sacas tú, como defensor de la probabilidad, de que haya cosas que podamos decir en palabras pero no exista ninguna distribución de probabilidad que las refleje.

    De hecho, en el enlace que das hay un punto que no se trata, que es precisamente que el enunciado del problema no habla de la distribución conjunta de pares que se pueden obtener, eso es una cosa a la que vamos nosotros porque en nuestro marco teórico las probabilidades condicionadas están definidas a partir de una probabilidad conjunta. Una persona que no esté acostumbrada a pensar así podría decir: "Pues si tú me dices que para resolver el problema vas a calcular una distribución conjunta de la que no habla el enunciado, y luego resulta que esa distribución no existe, está claro que es tu forma de resolver el problema la que está mal".

    (No sé si se me entiende.)

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  23. Tal vez quieras echar un vistazo a la discusión de la entrada siguiente. El enunciado no habla de una distribución apriorística, pero la manera en que Bruno intenta resolver el problema la requiere.

    Hay cosas que decimos con palabras y que son imposibles o que están mal definidas, o que se pueden definir de varias maneras incompatibles entre sí. Es por eso que necesitamos del lenguaje preciso, de la lógica y de las matemáticas.

    La serie de entradas "al monte se va con botas" va de muchos errores cometidos por no tener esto en cuenta. En particular ese ha sido el problema de toda la metafísica (como pretensión de estudiar el ser, sea lo que sea eso).

    A pesar de que casi todo científico y también muchos filósofos saben esto, algunos no se han enterado y siguen creyendo que tal cosa es posible (estudiar las propiedades de la realidad a priori, deducir una moral, creer que existe un derecho natural,...).

    Son a la filosofía moderna lo que los defensores del modelo Geocéntrico a la Astronomía moderna.

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