Al monte se va con botas. La paradoja de Moore.

Nos recuerda Jesús, en su barco, la paradoja de Moore. Hela aquí en sus términos:

Considérense estas dos proposiciones, "Grecia saldrá del euro antes de 2015" y "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro antes de 2012". ¿Son estas dos proposiciones lógicamente contradictorias? No, porque AMBAS pueden ser verdaderas a la vez. En cambio, supongamos que Solbes dice "Grecia saldrá del euro antes de 2015, pero yo creo que no". Esto sí que suena a paradoja, o sea, a autocontradicción, ¿verdad? Pero, ¿Cómo puede uno cometer una contradicción afirmando dos proposiciones que no son contradictorias?

Esta es mi contestación:

Querer manejar saberes y creencias con solo lógica proposicional nos lleva a eso. Al monte se va con botas, y para manejar creencias hacen falta más cosas. Hay varias maneras, uno puede definir varios operadores, uno que signifique "saber" y otro "creer", con axiomas distintos, pero eso es en general bastante insatisfactorio. En alguna parte debería entrar la incertidumbre que separe creencias de saberes. Si no, acaban siendo lo mismo y entonces las dos proposiciones primeras sí son contradictorias. Una vez que introducimos incertidumbre tenemos probabilidades y todo lo que eso conlleva (en particular el no liarse con la lógica proposicional para hacerle decir lo que no dice).

Una manera (no la única) de tener un modelo formal del asunto sería lo siguiente:

Ejemplo bayesiano de modelización: Antes de tener ninguna información, Grecia saldrá del euro o no con probabilidades 1/3, 2/3, respectivamente. En estas condiciones Sobes cree que no saldrá (la probabilidad es mayor).

Ahora puede haber una información que indique que la situación de Grecia es peor de lo que se pensaba, de manera que la probabilidad de que salga del euro antes de esa fecha es del 100%, pero Solbes ignora esa nueva información. Claramente se cumple que "Grecia saldrá del euro..." y que "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro...".

En cambio, si Solbes dice "Grecia saldrá ... y yo creo que Grecia no saldrá..." estará incurriendo en contradicción, pues si tiene información para afirmar lo primero no puede afirmar también lo segundo. Por lo menos, no para cualquier sentido razonable que asignemos a esas proposiciones.

El verdadero problema es el de buscar una manera interesante y rigurosa de definir "saber" y "creer". Sostengo que esa manera interesante debe incluir considerar probabilidades y que todas las discusiones desde la lógica proposicional que las ignore están abocadas a la confusión. Una vez tengamos esto podremos resolver la paradoja. También podremos tener definiciones que la mantengan, pero tal vez no sean las interesantes.

Al monte se va con botas: La paradoja de Hempel

Hace unas semanas nos planteó Santiago en su blog La Máquina de Von Neumann la paradoja de Hempel, que dice lo siguiente. La proposición “todos los cuervos son negros” aumenta su verosimilitud a medida que encontramos cuervos y observamos que son negros.  La proposición “todo lo que no es negro es algo distinto de un cuervo” aumenta su verosimilitud si buscamos objetos no negros y observamos que no son cuervos. Como ambas son proposiciones lógicamente equivalentes, esta última manera de buscar objetos no negros sirve también para validar la primera proposición.

La paradoja estriba en que la segunda búsqueda se nos antoja bastante inútil y nos resistimos a creer que, efectivamente, sirva para validar la primera proposición. He aquí un ejemplo de las frases que abundan en esta postura (en esta ocasión digo el pecado, pero no el pecador).

El que encontremos una tiza blanca “apoya” (hempelianamente) tanto que todos los cuervos son negros como que todos los cuervos son verdes, o rojos, o blancos, o a topos o no existen los cuervos. Y como es irrelevante para ella, no cuenta para verificarla.

Para ver cómo para este monte hacen falta las botas de la probabilidad bayesiana y no la lógica proposicional, que parece estar detrás del argumento anterior, propongo el siguiente ejemplo-modelo:

1. Cojamos unas cartas en blanco (tamaño naipe), por ejemplo 20. Pongámoslas sobre una mesa y escribamos en cada una de ellas una de las siguientes palabras: cuervo, canario. Por ejemplo, sea cuervo en 5 y canario en 15.

2. Cojamos a un niño de ocho años y pidámosle que pinte cada carta (por el lado que no está escrito) de uno de los siguientes colores: negro, amarillo. Nos vamos para no ver lo que hace el niño. Le decimos que deje las cartas por el lado pintado. Al volver observamos que hay, por ejemplo, 8 cartas negras y 12 amarillas.

3. Para validar la hipótesis “todos los cuervos son negros” podemos ahora hacer varias cosas:

(a) Pedir al niño que deje las cartas del lado de los nombres, buscar cuervos y darles la vuelta para ver el color. Cada cuervo negro aumenta la probabilidad de que la proposición sea cierta. Por ejemplo, si pensamos que el niño pintó al azar los papeles. A priori pensaremos que la probabilidad es:

8/20 x 7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.0036

(La probabilidad de que cualquier carta sea negra es el número de cartas negras entre el total, 8 sobre 20; descartada la primera, quedan 7 cartas negras sobre 19,…).

Después de coger un cuervo y ver que es negro, la probabilidad pasa a ser

7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.009

b) Dejar las cartas del lado coloreado, buscar cartas amarillas y darles la vuelta para ver qué pájaro ocultan. Cada carta amarilla que tenga un canario detrás aumenta la probabilidad de que la proposición “todo lo no negro (amarillo) es un no cuervo (canario)” y, por tanto, la proposición “todo cuervo es negro”. Con la hipótesis de que el niño pintó al azar, a priori pensamos que la probabilidad de que la hipótesis “lo no negro es no cuervo” es:

15/20 x 14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0036

(Fijémonos que es igual a la de antes, no podía ser de otra manera).

Después de coger una carta amarilla y ver que es canario, la probabilidad pasa a ser:

14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0048.

La probabilidad ha aumentado, aunque menos que antes. Q.E.D.

Si teníamos otra teoría sobre cómo pintó el niño las cartas, cambiarán las probabilidades, pero tendremos el mismo proceso, siempre eliminando el primer factor y, por tanto, aumentando la probabilidad. Lo mismo si no sabemos exactamente cuánto hay de cada cosa: tendremos una hipótesis a priori y trabajaremos con ella.

El problema con las opiniones acerca de que la paradoja es falsa es que hacen hincapié en casos que no están recogidos en la paradoja. Así, si uno observa un canario amarillo o una tiza blanca y dice que esto es irrelevante para el color de los cuervos, está saliéndose de los términos de la paradoja. Si uno busca, por ejemplo, cosas amarillas y sabe que no hay cuervos amarillos (solo dudaba entre negros y blancos) está tan fuera de los términos de la paradoja como si observa cuervos que ya sabe que son negros. Ni lo uno ni lo otro alteran las probabilidades que ya teníamos aceptadas, fueran las que fueran. Esto se traduciría en que el primer factor en el cálculo de la probabilidad sería exactamente uno y la probabilidad no aumentaría al eliminarlo. Lo mismo en la prueba de la proposición directa como de la contrarrecíproca.

Otro error habitual es confundir este tipo de inferencias estadísticas con relaciones causales

Los canarios amarillos no causan el color de los cuervos, por lo que encontrar el primero es irrelevante para saber el color del segundo.

Lo primero es cierto, lo segundo, como hemos visto, no. Si se buscaron cosas no negras aleatoriamente y sin información a priori acerca de que tales cosas no pudieran ser cuervos (es decir, se detectó una cosa amarilla y se observó luego que era un canario, como en el ejemplo de las cartas), entonces, el haber encontrado un canario amarillo disminuye (marginalmente) el conjunto de cosas no negras que puedan ser cuervos, por lo que aumenta (marginalmente) la probabilidad de que la proposición se cumpla.

Al monte se va con botas: La paradoja del examen sorpresa.

Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente. Los alumnos razonan de la siguiente manera. El viernes no podrá ser, puesto que si llega el viernes sin haber tenido examen, sabremos que será ese día. El jueves tampoco podrá ser, puesto que hemos descartado el viernes, así que si llega el jueves, tampoco será sorpresa. Por inducción, no podrá ser ningún día de la semana. Los alumnos deducen que la profesora no podrá poner ningún examen sorpresa.

Para asombro de todos, llega el miércoles y la profesora pone el examen.

La paradoja está resuelta desde hace muchos años. Se trata de mostrar que el enunciado de la profesora consta de varias proposiciones incompatibles entre sí. Lo vemos mejor si la semana solo tuviera dos días. Así, la profesora está diciendo:

1. Si el examen es el día 1, la víspera (o ese día antes de clase) de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 1.
2. Si el examen es el día 2, la víspera de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 2 y sabrán que no ha sido el día 1.
3. El examen será alguno de esos dos días.

Es posible, usando las reglas de la lógica proposicional, mostrar que las tres afirmaciones no pueden ser ciertas a la vez (no lo voy a hacer). Hasta aquí no hay problema, todos los lógicos están de acuerdo. Lo que ha creado una larga confusión es que, a pesar de que la profesora ha dicho algo falso, resulta que consigue su objetivo de dar un examen sorpresa.

Llegados a este punto, la discusión ha dado lugar a decenas de artículos en revistas serias. Casi todos van al monte sin botas. Hay autores que se inventan ramas de la lógica sólo para intentar abordar la cuestión.

Borwein y compañía miden el grado de sorpresa con una definición de entropía y buscan así una estrategia para la profesora que maximice la tal entropía.

Según Shaw, la profesora hace unas afirmaciones autorreferenciales de tal manera que nada bueno se puede deducir de ellas.

Olin y Sorensen se ponen a definir “puntos ciegos” epistemológicos y no sé qué diantre hacen con ellos.

Otros se ponen a decir cosas como que saber una preposición un día no es lo mismo que saberla otro día.

Sober, que propone una buena manera de abordar el problema, sin embargo se pone a decir que hay que distinguir entre predicciones prudenciales y evidenciales para concluir no sé tampoco muy bien qué cosa.

En realidad, la cosa es más sencilla. Pensemos en una semana de dos días. Cada día la profesora decide si poner o no un examen, y cada día los alumnos apuntan un SÍ o un NO en un sobre. Si hay examen y apuntaron SÍ, o si no hay examen y apuntaron NO, no hay sorpresa. En caso contrario sí la habrá. Pongamos que la sorpresa le reporta un beneficio (felicidad, utilidad, como quiera llamarse) de 1 a la profesora y de -1 a los alumnos. La no sorpresa cambia el beneficio de cada uno. Los pagos son arbitrarios y podemos cambiarlos si se quiere.

Si no ha habido examen el día 1, el día 2 se enfrentarán al siguiente juego

Día 2	SÍ	NO
Examen	-1,1	1,-1
No examen	1,-1	-1,1

La única manera de elegir consistentemente en este juego es echar a cara o cruz entre poner examen o no por parte de la profesora y escribir SÍ o NO por parte de los alumnos. El beneficio esperado para cada uno será cero.

Sabido esto, el día 1 el juego es parecido. Ambos tienen que elegir como antes, pero aquí surge un problema. Si la profesora elige no poner examen y los alumnos eligieron SÍ, ¿seguimos con el juego? Si es así, esto querría decir que los alumnos pueden anticipar el examen cada día, de manera que alguno acertarán. Una cosa sensata es decir que, en ese caso, perdieron su oportunidad y el juego se acaba. Otra es decir que esto les impide decir SÍ en el futuro, de manera que el juego del día dos tras (No examen, SÍ) habría sido trivial, con la profesora poniendo el examen los alumnos sorprendidos. Voy a seguir el primer caso, que deja así el primer día:

Día 1	SÍ	NO
Examen	-1,1	1,-1
No examen	1,-1	0,0

En la casilla (No examen, No) hemos puesto ceros, que son los pagos que se esperan obtener el día siguiente. La casilla (No examen, NO) la podemos interpretar como que el juego se acaba o como que, aún siguiendo, los beneficios son (1,-1) no importa lo que pase el segundo día, porque ya se erraron los alumnos en su elección. La única manera consistente de decidir ahora es, para la profesora, elegir poner examen con probabilidad 2/3 y, para los alumnos, elegir SÍ con probabilidad 1/3. (Otras posibles variantes las tengo publicadas con Jesús Zamora aquí. Se puede leer también aquí.) En el análisis vemos claramente los dos hechos fundamentales de la paradoja:

No es posible poner un examen y que sea sorpresa. Pero esto es porque no es posible que ocurra con probabilidad uno. Vemos que, en nuestro análisis, hay una probabilidad 1/3 x 1/2 = 1/6 de que no hay examen, y una probabilidad positiva de que, habiéndolo, no sea sorpresa. Podíamos haber insistido en que debía haber examen, sólo habría que alterar el juego del día 2 y tendríamos la misma conclusión acerca de que el examen no puede se sorpresa con probabilidad 1.

¡Pero la profesora consigue poner un examen sorpresa! Esto es porque nos cuentan sólo uno de los posibles finales de la historia, cuando los dados cayeron de manera que la profesora pone el examen y los alumnos no lo adivinaron. Lo que he expuesto aquí dice que eso sólo puede pasar con alguna probabilidad si, al lado, está la probabilidad de que no pase.

Lo que ha pasado es que ni alumnos ni profesora pueden razonar al margen de lo que crean que va a hacer el otro, ni al margen de cómo valoren acertar o no, y esto nos coloca en el mundo de la Teoría de los Juegos, puesto que la lógica proposicional no podrá dar cuenta de la interacción entre las acciones y creencias de los dos jugadores. No estaban hechas esas botas para este monte.

Al monte se va con botas: ¡Judy Benjamin salvada!

Recordemos a la soldado Judy Benjamin. Hace cinco entradas la dejamos perdida en un terreno dividido en cuatro cuadrantes, NO, NE, SO, SE, donde las letras son los puntos cardinales. Llama al cuartel general y le dicen "si estás en el Norte, no estás en el Este", ahí la comunicación se interrumpe.

Se trata de saber qué probabilidades asignará Judy Benjamin a los otros tres cuadrantes. Algunos autores proponen resolver el problema con complicaciones como las siguientes para resolver el problema:

Principio de reflexión
Principio de simetría
Probabilidad Cinemática
Análisis semántico

El Principio de Simetría lo mencionó BaUmol que interpretó que la frase “si estás en el Norte, no estás en el Este” es equivalente a “si estás en el Oeste, no estás en el Norte” y, por tanto, no tendría sentido privilegiar la separación Norte/Sur de la Este/Oeste, así que la respuesta no puede dar 1/2 de probabilidad a NO sin dársela también a SE.

No interesa mucho ahora explicar lo que es cada uno de estos conceptos, baste decir que son intentos de deducir cosas cuando no hay información suficiente apelando a principios que, a priori, pueden parecer razonables. Estos principios pueden tener una definición precisa y llevar a deducciones lógicas a partir de ellos.

Argumentaré que nada de esto es necesario. Es más, argumentaré que cualquier intento de resolver el problema está abocado al fracaso. Simplemente no hay datos suficientes para resolverlo. Es como si nos preguntan a qué hora se encontrarán dos trenes que salen desde dos ciudades distintas y no nos dicen a qué velocidad van o a qué hora han salido. Cualquier cábala para dar una respuesta, por muy razonable que parezca, no puede dar lugar a una manera general de resolver problemas sin datos. Y esto es lo que intentan hacer todos los proponentes de soluciones para el problema en cuestión.

En el problema de Judy Benjamín, nos falta el dato de cómo obtiene el cuartel general la información. Puede ser de muchas formas. Veamos dos:

• El Cuartel General puede usar un satélite una vez nada más. Apunta el satélite al Norte, pero solo hay visibilidad en el cuadrante NE, donde no hay señales de Judy. No pueden hacer nada más con el satélite e informan a Judy: “Si estás en el Norte, no estás en el Este”.
• El Cuartel General puede usar un satélite una vez nada más. Apunta el satélite al Norte y eligen decirle a Judy un cuadrante en el que no está (si no está en ninguno, le dicen uno al azar). El mensaje es, nuevamente: “Si estás en el Norte, no estás en el Este”.

Lo que cambia según cuál de los casos sea el que ocurre es la probabilidad condicional de que se obtenga la información “Si estás en el Norte, no estás en el Este” (u otra proposición lógicamente equivalente a ella). En el primer caso, la información tiene 1/3 de probabilidad de ocurrir si está en cualquier lugar que no sea NE y tiene 0 de probabilidad si está en NE. En el segundo caso, la probabilidad de la información es 1 si está en NW, es 0 (cero) si está en NE, 1/2 si está en SW y 1/2 si está en SE.

Estas distintas probabilidades darán, metidas en la fórmula de Bayes, las probabilidades que Judy debe asignar a cada cuadrante NO, NE, SO y SE, y que serán (1/3, 0, 1/3, 1/3) en el primer caso y (1/2, 0, 1/4, 1/4) en el segundo. La conclusión de todo esto es que, como ya hemos advertido varias veces en este blog, para ir al monte de la incertidumbre hay que ir con las botas de la teoría de la probabilidad. No basta con la lógica proposicional, ni hace falta inventarse teorías ad hoc. Sabiendo usar el equipamiento adecuado podremos disfrutar del monte sin perdernos.

Efectivamente, el caso se parece al de Monty Hall (cuando no se sabía cómo se elegía la puerta) y no al de la Bella Durmiente ni al del Dormilón, donde la historia sí especificaba cómo se obtenía la información. El ganador es Roberto, que acertó con esta idea.

Al monte se va con botas: ¡Salvad a la soldado Judy Benjamin!

Judy Benjamin se pierde en un terreno que se puede dividir en cuatro zonas: NO, NE, SO y SE, donde las letras N, S, E y O hacen referencia a los cuatro puntos cardinales. A priori estima que tiene iguales probabilidades de estar en cualquiera de los cuadrantes. Llama al cuartel general, que tiene acceso a un satélite que podría localizarla, pero las comunicaciones con el cuartel no son buenas, y solo acierta a oír: “Si estás en el Norte no estás en el Este”.

¿Qué probabilidades asignará Judy Benjamin a cada cuadrante tras esta información?

Está claro que la probabilidad de estar en NE es cero, pero, a partir de ahí, las cosas se complican. Hay un grupo de autores que sostiene que las nuevas probabilidades son de 1/3 para cada uno de los otros cuadrantes, puesto que eran todos equiprobables antes y no tienen por qué no seguir siéndolo ahora.

Otro grupo sostiene que, puesto que la probabilidad era de 1/2 para Norte y 1/2 para Sur, esta distribución debe seguir siendo cierta en la nueva estimación, así que las probabilidades serán 1/2 para NO, 1/4 para SO y 1/4 para SE.

¿Qué grupo tiene razón?

Al monte se va con botas: El dilema del prisionero

Para que no se me acuse de meterme siempre con la metafísica, hoy propongo otro tema en el que observamos a la gente echándose al monte sin un buen equipo. Para más señas, esta gente estará individualizada en un autor muy apreciado por mí, como se puede comprobar por las entradas que en este blog hasta ahora han sido.

El monte al que vamos de excursión es el dilema del prisionero. Quienes conozcan este juego pueden pasar a los párrafos siguientes. Para quienes no lo conozcan, aquí va la versión más famosa.

Dos presuntos delincuentes son apresados por perpetrar un crimen. La policía los separa y le dice a cada uno de ellos lo siguiente: No tenemos pruebas de que seáis los autores, pero si tú confiesas y tu compañero no, tú sales libre por colaborar con la justicia y tu compañero se carga con toda la culpa (diez años de cárcel). Si los dos confesáis, os repartís la culpa (siete años a cada uno). Si ninguno confiesa os acusaremos de un delito menor (posesión ilícita de armas) y pasaréis cada uno un año en la cárcel. Una tabla nos ayuda a entender el juego:

                     Confesar     No confesar
Confesar          7,7                0,10
No confesar   10,0                 1,1

Así las cosas, ambos prisioneros debe decidir qué hacer. Si se pudieran poner de acuerdo y tomar la decisión conjuntamente decidirían, casi seguro, no confesar. Pero como deben decidir individualmente, cada uno verá que, haga lo que haga el compañero, lo mejor es confesar: Si mi compañero confiesa, mejor confieso yo también (siete años es mejor que diez), y si mi compañero no confiesa, yo mejor confieso (cero años de cárcel son mejor que uno). Ambos acaban confesando y disfrutando de siete años a la sombra.

Volveremos más adelante sobre la solución anterior. Veamos ahora lo que dice Douglas Hofstadter en su libro Metamagical Themas sobre el dilema del prisionero:

"Si la razón dicta una respuesta, ambos prisioneros llegarán a ella independientemente. Una vez que uno se da cuenta de esto, se sigue que todos los jugadores racionales elegirán Confesar o todos elegirán No confesar. Esta es la clave. Cualquier cantidad de pensadores racionales enfrentados a la misma situación y que sobrelleven agonías de razonamientos similares llegarán a la misma respuesta siempre que la razón sea la única guía de sus conclusiones. Si no, la razón sería subjetiva, y no objetiva como la aritmética. Una conclusión alcanzada por la razón debe ser cuestión de preferencia, no de necesidad. Algunas personas pueden pensar esto otro, pero los pensadores racionales entienden que un argumento válido debe ser universalmente vinculante, si no, no es un argumento válido. Todo lo que cada uno de los prisioneros tienen que preguntarse es lo siguiente: “Como ambos vamos a tomar la misma decisión, ¿cuál es la más lógica? Esto es, ¿cuál es la mejor para el pensador racional individual: una con dos prisioneros confesando o no confesando?” La respuesta es inmediata: “Me caerán siete años si ambos confesamos y sólo un año si no confesamos. Claramente yo prefiero un año a siete. Como soy un pensador típico, no confesar debe ser preferido también por mi compañero. Así que cooperaré.”

Los intentos de Hofstadter por convencernos, vía argumentos lógicos y racionales, de que ambos terminarán cooperando podrían alargarse muchas líneas más y seguirían sin dar con la línea de análisis correcta. Deducir el comportamiento de grupo del comportamiento individual es una falacia lógica.

El argumento individual toma el de los demás como dado durante todo el razonamiento y llega a una conclusión. Al final será la misma que la de los demás, pero sólo al final, no durante el proceso de deducción. Es decir, durante el razonamiento, un prisionero se plantea cuál es su mejor acción dado lo que pueda estar haciendo el otro. En equilibrio, lo que se postula para el otro se corresponde con lo que también sea su mejor acción dada cuál sea mi acción. Esta es la clave del concepto de equilibrio de Nash, la mayor contribución de este premio Nobel de Economía y que ahora es la pieza central de la Teoría de los Juegos. Como vemos en el dilema del prisionero, no es un concepto intuitivo y no es deducible fácilmente a partir de la lógica individual. El propio von Neumann, de quien ya hemos hablado varias veces, no le prestó atención al joven Nash cuando éste se lo propuso.

Si alguien duda del análisis de la Teoría de Juegos, en este vídeo tiene una de las mejores demostraciones. También puede echar un vistazo a la imagen que abre la entrada. La lógica del dilema del prisionero está detrás de todos los problemas ahí señalados.

Al monte se va con botas: El anteproyecto de reforma fiscal

Se acerca una nueva reforma fiscal. Tras subir los impuestos en 2012 el gobierno plantea bajarlos en dos fases, una en 2015 y otra en 2017. No me parece buena idea, con los déficits que mantenemos y con la nula (más bien contraria) evidencia de que disminuyendo impuesto aumente la recaudación. Se oye hablar mucho de cuánto afecta la disminución a cada tramo de renta, a menudo con comentarios de gente que desconoce lo que significan los términos que se usan. Para que podamos ir por este monte con las botas adecuadas y opinar con criterio pongo aquí un par de tablas para el impuesto sobre la renta (IRPF), pero antes definamos bien los términos.

1. En 2012 hubo una subida y ahora hay una bajada de impuestos. Evaluar el impacto progresivo o regresivo tomando como referencia solamente la situación de 2012 es dejar las cosas a medias. Lo justo será ver también cómo queda la situación respecto al año anterior.

2. Un error frecuente al evaluar la carga impositiva es olvidarse del mínimo exento y de lo que eso significa. La tasa impositiva no se aplica sobre la renta, sino sobre la base imponible. Si alguien gana 20.000€ y su mínimo exento es 8.000€, eso quiere decir que a los efectos de aplicar las tablas impositivas su base imponible es de 12.000€.

3. El otro error es pensar que un tipo impositivo se aplica a toda la base imponible. No es así, si el tipo impositivo es de un 10% para bases inferiores a 10.000€ y del 20% para bases entre 10.000 y 20.000€, una persona cuya base imponible sea de 18.000€ pagará el 10% de sus primeros 10.000€ y el 20% de los 8.000€ restantes. Por ello hay gente que prefiere hablar del tipo medio.

4. Antes y después de la reforma los tramos son distintos, lo que hace difícil comparar el efecto.

Teniendo esto en cuenta, las siguientes tablas computan el pago total para los distintos tramos y el pago medio (porcentaje de renta que se paga por el impuesto IRPF). Los tramos incluyen los de antes y los de después de la reforma. Las tablas suponen un mínimo exento de 2.650 por declaración individual más 5.150 por rentas de trabajo (el anteproyecto todavía no aclara si estos cambiarán). La situación personal variará si tiene más deducciones de la base imponible (declaración conjunta, hijos, otros dependientes, inversión en fondos de pensiones,...). La renta se mide siempre después de quitar las cotizaciones a la seguridad social por parte del trabajador y que se incluyen en la nómina (normalmente un 6,35%).

Pago total de impuestos por tramos de renta (mínimo de 7.800 exento)

Porcentaje de los ingresos que se pagan como impuestos (mínimo de 7.800 exento) 

Vemos que, con respecto a 2011, al final de la reforma, en 2017, se habrán beneficiado más las rentas más bajas. Con respecto a 2012 se habrán beneficiado, además, las muy altas.

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Hace tres años en el blog: Mi palabra más bonita.
Y también: La economía de la discriminación (8).
Hace cinco años en el blog: Al monte se va con botas: ¡Salvad a la soldado Judy Benjamin!
Y también: Las piezas lego de la naturaleza. La historia más extraña jamás contada (3).
Y también: La cuestión vasca.
Y también: El país de los simios.
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Al monte se va con botas. Cómo no enseñar Filosofía.

Leo en un libro de Filosofía de 1º de Bachillerato (Bien Pensado, ed. Alhambra):

"Las ciencias naturales incurren a veces en errores lógicos: argumentos incorrectos desde el punto de vista de la lógica.

"El esquema de argumentación que utiliza la verificación de una hipótesis es lógicamente incorrecto pues incurre en una falacia de afirmación del consecuente. Veámoslo con un ejemplo:

"1. Si llueve, las calles están mojadas.

"2. Las calles están mojadas.

"3. Por lo tanto, ha llovido."

Y el autor, Javier Pérez Carrasco, se queda tan campante.

Uno puede decir que las afirmaciones de la ciencia, siendo que dependen de la verificación empírica, no pueden ser nunca deducidas lógicamente. Nos referimos a las afirmaciones acerca de los hechos o de las leyes y teorías científicas. Nadie nunca ha negado tal cosa. Pero esto dista mucho de ser una falacia lógica, pues nunca se hace la afirmación que critica JPC.

Tal vez lo que se quiere decir es que las hipótesis que concuerdan con los observables se aceptan con mayor probabilidad que las que no concuerdan (si las calles están mojadas la hipótesis de que haya llovido gana puntos frente a la alternativa de que no haya llovido, siempre a la espera de dar o quitar puntos según tengamos más información). Pero esto no se dice. Ni una palabra acerca de la inferencia estadística, que es un modelo formal en el que se muestra la lógica escrupulosa y nada falaz de este tipo de afirmaciones, que son las científicas.

Un profesor quiere hablar de validación de hipótesis sin hablar (¿sin saber?) de inferencia estadística. Eso es echarse al monte sin botas.

¿Cuándo ocurrió que la filosofía quedó en manos de la gente de letras? La filosofía, desde sus inicios ha sido siempre una disciplina de ciencias (que no entre aquí el que no sepa geometría). En algún momento, sobre todo en la Europa continental y, sobre todo, en España, quedó en manos de gente anumérica, salvo honrosas excepciones.

La filosofía debe plantear preguntas, cuestionar actitudes, proponer maneras de vivir, buscar hilos conductores en el pensamiento,... Muy poco de este quehacer se puede tratar sin la ciencia. Las preguntas corren el riesgo de ser ridículas y las críticas de caer, digamos, fuera de tiesto.

Al monte se va con botas o ¡si tuviera un martillo...!

(Lowlight 5, publicado el 3/4/09) 

Para ir al monte hay que equiparse. Si uno lleva el calzado inadecuado podrá perder interés en la subida por ganarlo en el descanso o en objetivos secundarios, como recoger bayas.

Hay una máxima en psicología que dice que si únicamente tenemos un martillo por herramienta,  todo se nos vuelve clavos.

Esto que parece un chiste encierra grandes verdades y explica grandes sesgos en nuestro razonamiento. Pondré unos pocos ejemplos que espero desarrollar en futuras entradas (pero no me comprometo en cuán futuras serán):

• Hay políticos que no pasaron del estudio de los mercados competitivos y creen que todo en la economía funciona como en ellos.
• Hay filósofos que quieren resolver problemas de elección en situaciones de incertidumbre usando la lógica proposicional.
• Hay lógicos que extrapolan las conclusiones de la racionalidad individual a los grupos de individuos.
• Hay metafísicos que quieren llegar a conclusiones sobre el origen de la consciencia usando sólo el lenguaje.
• Hay juristas que pretenden deducir qué leyes son las justas a partir de principios metafísicos.

Hace falta equiparse con la Economía, la Teoría de la Probabilidad, la Teoría de Juegos, la Biología y las Ciencias Sociales, respectivamente, (y no únicamente con ellas) para poder estudiar con mínima coherencia cada uno de esos temas.

Voy a poner sólo un ejemplo para empezar. Hegel criticó la física de Newton (aquí la comentamos en su día) con citas como estas que aparecen en su Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas:

«[...] hay que cobrar conciencia de la inundación que sufre la mecánica física por parte de una metafísica indescriptible que –contra experiencia y concepto– tiene como fuente única aquellas determinaciones matemáticas»

«La ilusión fundamental en el empirismo científico es siempre la misma: utiliza las categorías metafísicas de materia y fuerza, además de las de uno, múltiple, universalidad, infinito, etc., y siempre sin advertir su contenido metafísico, utilizando estas categorías y sus relaciones de manera acrítica e inconsciente»

Supongo que entendéis tanto como yo lo que significa lo anterior (nada). Hegel comenzó cuestionando el concepto de fuerza en Newton, que no se sabía bien lo que era. A continuación intentó alguna manera de poder resolver el problema reivindicando la Física de Aristóteles y acabó deduciendo por una extraña combinación de metafísica y numerología que no podían existir más cuerpos en órbita alrededor del Sol de los ya conocidos. Justo un año después se descubrió el asteroide Ceres entre Marte y Júpiter, donde Hegel decía que no podía haber nada. Más tarde se clasificó como asteroide y no como planeta, pero esto es otra historia. 

Una coda:

Newton, en cambio, era consciente de que el elemento "fuerza" de su mecánica no estaba explicado. Sin embargo también era consciente que al relacionarla con la masa y la aceleración en su segunda ley permitía una comprensión del mundo muy superior a la que había en ese momento. El no entretenerse en cuestiones metafísicas le permitió avanzar. No estaba el propio Newton libre de pecado, pues, aunque sin relación con su Física, sí se enredó en otras metafísicas teológicas. Pero claro, por ellas no pasó a la posteridad.

Al monte se va con botas: Las hipótesis vacías

Un elemento clave del equipamiento para subir al monte del conocimiento es la formulación de buenas hipótesis. En ciencia se formulan hipótesis continuamente. La mayoría resultarán falsas, unas pocas serán validadas por la realidad, momentáneamente, mientras que explique los datos mejor que las alternativas que se tienen hasta ese momento.

Según el tipo de explicación, la hipótesis no tiene por qué ser tremendamente realista, basta con que lo sea en aspectos relevantes para lo que se va a explicar. Si tenemos dos sospechosos de un crimen, un hombre y una mujer, para conocer quién de los dos es el culpable bastará aceptar o rechazar la hipótesis “ha sido un hombre”, sin más detalles, por ejemplo buscando testigos que recuerden haber visto una persona de uno u otro sexo. Una hipótesis que diga “el culpable puede ser cualquiera” no sirve para nada. No ofrece ninguna línea de investigación, no ayuda a buscar la verdad.

En economía, muchos modelos definen a un consumidor por sus preferencias y su restricción presupuestaria. Algo poco realista, puesto que sabemos que los seres humanos somos más que eso, pero la hipótesis parece abarcar mucho de los consumidores ya que implica ciertas cosas acerca de su comportamiento que se ven reflejadas en la realidad.

Una tierra plana es una hipótesis falsa, pero lo que predice para distancias pequeñas es tan bueno que vale bien para andar por las calles de una ciudad y, si uno no necesita gran precisión, para recorrer las carreteras de un país. También es buena porque nos da pistas sobre qué observaciones o experimentos sirven para confirmarla o refutarla (por ejemplo, observar a ver qué pasa con los barcos que se alejan del puerto).

Incluso en derecho se presentan como adecuadas ciertas otras hipótesis, como que los seres humanos somos iguales frente al derecho, para construir un ordenamiento jurídico. De esa hipótesis se seguirán unas consecuencias y no otras.

Podemos incluso formular algunos modelos sobre ética y moral basándonos en supuestos que podemos aceptar o no, pero que si aceptamos nos llevan a unas conclusiones y no a otras. La literatura de Elección Social está llena de este tipo de modelos.

Hay quien observa este panorama y dice:

“-Vaya, vaya, así que se pueden aceptar hipótesis no probadas e, incluso, falsas, a condición de que sirvan de algo. Se me ocurre entonces proponer que un par de dioses crearon el mundo, que un diseñador inteligente modeló los seres vivos y que los extraterrestres hicieron las pirámides de Egipto. De esta manera explico por qué existe el mundo y la moralidad humana, por qué existe la variedad de vida en la tierra y por qué hay pirámides en Egipto.”

Cómo hay gente que se convence con esta insensatez de argumento es un misterio para mí. Esas hipótesis no explican nada, no permiten concluir unas cosas y no otras. Como en el caso de la hipótesis anterior que decía “el culpable puede ser cualquiera”, estas hipótesis no ayudan a encontrar la verdad. El diseñador inteligente puede diseñar cosas interesantes o chapuzas, no sabemos. Así que para cualquier cosa que encontremos en la biosfera podremos decir “es que el diseñador lo quiso así”.

La existencia de un dios no explica la existencia de la moral humana, ni el bien ni el mal. A la hipótesis del dios habrá que añadir siempre aquello que queremos explicar (que si esos dioses son buenos, que si nos dan libre albedrío,…), nunca se deduce nada de su existencia. Todos los argumentos metafísicos para conectar una cosa con la otra caen en la misma falacia.

-¿Y los extraterrestres?

-Digo de los dioses y del diseñador inteligente lo mismo que muchos creyentes dicen de los extraterrestres.

Las hipótesis vacías y los castillos en el aire. Cuánto intelecto humano desperdiciado.

Al monte se va con botas. We all live in a yellow submarine.

Siguiendo una entrada anterior, mostramos aquí otro ejemplo del cuidado que debemos tener con los argumentos incompletos, malas botas para una buena ascensión al monte de la filosofía y de la ciencia. Como en la otra entrada, es también un ejemplo muchas veces traído a colación en el muy recomendable blog de Héctor, El libro de Arena. Maturana nos propone el caso de un submarino y su tripulación a bordo. Ésta es desconocedora de lo que es un mar, sus fondos y sus arrecifes, pero recibe también una serie de instrucciones para manejar los instrumentos del submarino dependiendo de lo que digan ciertos sensores.

Cuando llegan a buen puerto y son felicitados por haberse manejado tan bien para esquivar los arrecifes, las corrientes, la excesiva presión de las profundidades y otros peligros, la tripulación se asombra.

-“¿Qué arrecifes? ¿Qué es eso de las corrientes? ¿A qué presión se refieren? Sólo hemos apretado botones respondiendo a lucecitas que se encendían y siguiendo el libro de instrucciones.”

Con este ejemplo se intenta decir que la realidad no tiene por qué tener ningún tipo de semejanza estructural con nuestra percepción de ella.

Es posible que eso sea así, pero el ejemplo no es ninguna ilustración de esa posibilidad. Cuando tengamos unas instrucciones bien detalladas que permitan esquivar los arrecifes y otros peligros y cuando veamos que esas instrucciones no tienen nada que ver con la realidad de los arrecifes podremos dar como relevante el argumento, no antes.

Mientras tanto, lo que sabemos es que cualquier serie de instrucciones para guiar un submarino guarda semejanzas estructurales con los mares que tiene que atravesar.

Aclaremos esto de las semejanzas estructurales. Un mapamundi de Bilbao y la ciudad de Bilbao son cosas distintas. El mapa está hecho de papel y tinta y Bilbao de ladrillos y titanio, entre otros materiales, pero hay semejanzas estructurales si uno mira bien, como mira cualquiera que sabe leer un mapa.

Entre unas líneas del mapa y las calles de Bilbao hay un homomorfismo. Lo mismo entre unas manchas del mapa y los edificios de la ciudad, y lo mismo entre unas relaciones (de distancia reticular, por ejemplo) entre puntos del mapa y entre puntos de la ciudad. Esta es una semejanza estructural en un nivel importante, puesto que implica un cierto conocimiento de la ciudad al conocer el mapa, en el sentido que con el mapa podemos hacer más cosas que sin él.

Todos los ejemplos que tenemos de interpretación de una realidad compleja con un modelo más sencillo (los mapas son solo un ejemplo, los modelos de inferencia estadística son otro) nos hablan de semejanzas estructurales. Ningún ejemplo tenemos que nos muestre la posibilidad del submarino maturano.

Al monte se va con botas. El explorador y el nativo.

Hay que tener cuidado con los argumentos incompletos. Si uno quiere mostrar que a un monte puede subirse sin un determinado material, debe mejor probarse haciendo la subida y mostrando las fotos de la escalada. O, como poco, debe darse un plan detallado de cómo se pueden superar todas las dificultades sin usar botas y otros elementos. No basta con que se nos pida suponer que eso se puede hacer así.

Hace unos meses mostré cómo el pretendido problema de la habitación china se disuelve en cuanto uno intenta completar los detalles del argumento. Resumo: Un individuo que no sabe chino está en una habitación. Se le entregan preguntas en chino y una serie de instrucciones que le permiten escoger una serie de ideogramas chinos que son, justamente, la respuesta a estas preguntas. ¿Sabe chino el individuo? La paradoja asume que es posible dar tal conjunto de instrucciones sin dar el conocimiento del lenguaje implicado.

Hasta que tal cosa no se muestre como posible, todos los ejemplos que conocemos de comunicación en un idioma nos hacen pensar que esa lista de instrucciones debe contener el conocimiento del lenguaje (no necesariamente perfecto, ni falta que hace).

Algo parecido ocurre con el argumento del explorador y el nativo, debido a Quine y que a menudo se recuerda en el muy recomendable blog “El libro de arena ”.

Un explorador llega a un poblado de una región desconocida. No hay un idioma común en que comunicarse y el nativo, señalando un conejo exclama ¡Gagavai! El explorador entiende, o cree entender, que “gagavai” significa conejo. Es posible imaginar, sin embargo, que ¡Gagavai! sea una expresión de sorpresa al ver un animal que no debería estar ahí, o significar solo conejo de día, pero no conejo de noche, o el movimiento de la hierba al pasar cualquier animal, o puede no tener nada que ver con conejos y ser solo una casualidad que exclamara esa expresión (¡Gagavai! más el gesto con el dedo) que en su aldea significa “¡Tengo sed, maldita sea!” cuando, en el mismo instante, a un conejo le dio por dejarse ver.

Todo esto lo podemos imaginar, efectivamente, y nos habla de las dificultades para entender un idioma desconocido y para traducir de un idioma a otro. Pero este ejemplo nada nos dice acerca de la posibilidad de tener dos idiomas completamente distintos entre los cuales la traducción sea imposible.

Por supuesto que la traducción exacta entre idiomas es muchas veces imposible, pero para ese viaje sí que no hacen falta esas alforjas. Esto ocurre entre lenguajes con sobradas semejanzas estructurales.

Yo soy incapaz de producir un ejemplo de dos lenguajes, uno para el nativo y otro para el explorador, de manera que uno y otro crean haber aprendido (más o menos) el lenguaje del otro y, sin embargo, estén completamente engañados, hasta el extremo de que puedan pasar una tarde entera en agradable plática y uno piense que han hablado de la escasez de caza en los últimos tiempos y el otro acerca de la posibilidad de que el ser, aunque sea por un ratito, no sea.

Todos los ejemplos que conocemos de varios idiomas entre los que aparentemente hay comprensión mutua muestran, de manera muy terca, bastantes homomorfismos, si uno los sabe leer. Es decir, que no tenemos un ejemplo de dos estructuras en las que sea posible que una “entienda” a la otra y que sean completamente distintas, hasta el extremo de no mostrar ningún tipo de homomorfismo en ningún nivel. O dicho todavía de otra manera, no hay razón para hablar de ontologías distintas entre lenguajes que pueden traducirse entre sí (no sé en realidad qué significa eso de la ontología de un lenguaje) y justificar con ello un relativismo ontológico .

Es posible que tal cosa suceda y que en algún momento alguien muestre tal ejemplo. Mientras tanto, el caso del explorador y del nativo no puede ser usado como argumento para hacernos ver esta posibilidad y, con ella, la posibilidad de que nuestro conocimiento sobre la realidad no guarde ningún tipo de homomorfismo y en ningún nivel con la propia realidad.

Al monte se va con botas: El ser y la casa

No sé si acabaré abriendo jarras de Pandora tras mi compromiso hace unas cinco de entradas de mostrar gente que va al monte sin botas. El caso es que en el Otto Neurath podéis leer una serie de comentarios sobre cuándo está acabada una casa y cuándo lo está un ser humano. Por alguna razón que se me escapa, la siguiente argumentación metafísica de un contertulio demuestra que una casa está acabada cuando se van los constructores, pero el ser humano lo está cuando únicamente tenemos son los planos contenidos en el ADN del cigoto:

“Al contrario de lo que ocurre con los movimientos transitivos, los movimientos vitales se caracterizan porque tienen fin: télos. Por eso el acto del ser humano es muy distinto del acto de una cosa hecha por el hombre como la casa. Hay dos sentidos principales de acto en Aristóteles (enérgeia y entelequia). El acto del ser humano es enérgeia. Es un acto — enérgeia — perfecto: en cuanto se ejerce, ya está en su fin. Cuando pienso, tengo lo pensado. No voy por lo pensado, sino que lo tengo. Si fabricara con mi conocimiento lo que conozco, ejercería mi conocer antes de conocer algo, lo cual es manifiestamente inadmisible. Por eso en el ser humano podemos hablar de intimidad (inmanencia), algo que no podemos afirmar de las cosas. Una casa no tiene “intimidad”.”

Me gusta especialmente eso de que “Cuando pienso, tengo lo pensado”. Cómo me gustaría poderle dar la razón, pero no os digo lo que aprovecharía para pensar. Hay trampas por todas partes en este discurso. Se define, sin ninguna evidencia, que el ser humano es perfecto, que tiene un fin, que su acto es enérgeia y que tiene intimidad. Vale, esto último puede tener algo de cierto (es decir, si no hay un gran hermano o un dios vigilante que le quite esa intimidad –mirad, si no, esta otra entrada también en el Otto Neurath-). No sé cómo se deduce que si el ser humano es perfecto, entonces un cigoto también lo es. Pero es que ni siquiera somos perfectos. Esta es otra cosa que me gustaría que fuera verdad. Así, el número de estultos dejaría de ser infinito.

El caso es que mi contertulio me acusa de que el problema es mío, que no me sé la metafísica. En su defensa he de decir que tampoco yo me expresé muy bien al contestar que “la parte contratante de la primera parte será considerada como la parte contratante de la primera parte”. ¿Alguien me la explica?

P.D.: Como reza en la cabecera de mi blog, a mi contertulio lo respeto, a pesar de que él llama nazis en su blog a los que no piensan como él (cosas de la metafísica bien entendida). A sus ideas, no.

Al monte se va con botas o ¡si tuviera un martillo...!

Para ir al monte hay que equiparse. Si uno lleva el calzado inadecuado podrá perder interés en la subida por ganarlo en el descanso o en objetivos secundarios, como recoger bayas.

Hay una máxima en psicología que dice que si únicamente tenemos un martillo por herramienta,  todo se nos vuelve clavos.

Esto que parece un chiste encierra grandes verdades y explica grandes sesgos en nuestro razonamiento. Pondré unos pocos ejemplos que espero desarrollar en futuras entradas (pero no me comprometo en cuán futuras serán):

-Hay políticos que no pasaron del estudio de los mercados competitivos y creen que todo en la economía funciona como en ellos.

-Hay filósofos que quieren resolver problemas de elección en situaciones de incertidumbre usando la lógica proposicional.

-Hay lógicos que extrapolan las conclusiones de la racionalidad individual a los grupos de individuos.

-Hay metafísicos que quieren llegar a conclusiones sobre el origen de la consciencia usando sólo el lenguaje.

-Hay juristas que pretenden deducir qué leyes son las justas a partir de principios metafísicos.

Hace falta equiparse con la Economía, la Teoría de la Probabilidad, la Teoría de Juegos, la Biología y las Ciencias Sociales, respectivamente, (y no únicamente con ellas) para poder estudiar con mínima coherencia cada uno de esos temas.

Voy a poner sólo un ejemplo para empezar. Hegel criticó la física de Newton (aquí la comentamos en su día) con citas como estas que aparecen en su Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas:

. «[...] hay que cobrar conciencia de la inundación que sufre la mecánica física por parte de una metafísica indescriptible que –contra experiencia y concepto– tiene como fuente única aquellas determinaciones matemáticas»

«La ilusión fundamental en el empirismo científico es siempre la misma: utiliza las categorías metafísicas de materia y fuerza, además de las de uno, múltiple, universalidad, infinito, etc., y siempre sin advertir su contenido metafísico, utilizando estas categorías y sus relaciones de manera acrítica e inconsciente»

Supongo que entendéis tanto como yo lo que significa lo anterior (nada). Hegel comenzó cuestionando el concepto de fuerza en Newton, que no se sabía bien lo que era. A continuación intentó alguna manera de poder resolver el problema reivindicando la Física de Aristóteles y acabó deduciendo por una extraña combinación de metafísica y numerología que no podían existir más cuerpos en órbita alrededor del Sol de los ya conocidos. Justo un año después se descubrió el asteroide Ceres entre Marte y Júpiter, donde Hegel decía que no podía haber nada. Más tarde se clasificó como asteroide y no como planeta, pero esto es otra historia.

Una coda:

Newton, en cambio, era consciente de que el elemento "fuerza" de su mecánica no estaba explicado. Sin embargo también era consciente que al relacionarla con la masa y la aceleración en su segunda ley permitía una comprensión del mundo muy superior a la que había en ese momento. El no entretenerse en cuestiones metafísicas le permitió avanzar. No estaba el propio Newton libre de pecado, pues, aunque sin relación con su Física, sí se enredó en otras metafísicas teológicas. Pero claro, por ellas no pasó a la posteridad.