La racionalidad de jugar a la lotería o por qué algunos matemáticos deberían estudiar economía antes de hablar

Como cada año por estas fechas hay alguien que nos recuerda que jugar a la lotería es una mala decisión. La razón básica es que el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional dedica el 70% de la emisión a premios. Esto quiere decir que la esperanza matemática (la media) al jugar es recuperar 70 céntimos por cada euro gastado, a lo que hay que restar los impuestos. ¿Es esto irracional?

1. No hay nada irracional en ser un amante de riesgo. La mayor parte de la gente prefiere 50 euros en mano que jugárselos a doble o nada tirando una moneda al aire, pero no hay nada contradictorio en preferir jugárselo. Más aún, lo mismo que mucha gente preferirá 45 euros en mano antes que tener 0 o 100 a cara y cruz, puede haber alguien que prefiera ese juego antes que 55 en mano.

2. Incluso si uno prefiere 45 en mano que 0 o 100 a cara y cruz, si el juego se estima emocionante, además del premio 100 habrá que sumar la emoción de jugar y eso bien puede dar una situación preferida. Esto es distinto de ser amante del riesgo, puesto que depende de que el juego sea emocionante o no.

3. Ana y Bea prefieren 55 euros antes que pagar esa cantidad por entrar en el juego de ganar 0 o 100 a cara y cruz, pero ambas se sentirán mal por no haber jugado si la otra gana. Solo se tira una moneda y ganan o pierden todas las que hayan jugado. Si Ana participa y Bea no, tendremos que Bea se sentirá mal con probabilidad ½. Así, en caso de no jugar, Bea tiene sus 55 euros y una probabilidad de sentirse mal. Eso puede ser peor que jugar y ganar 50 euros de media. Sucederá si la frustración por no haber jugado y que Ana gane (multiplicada o afectada de otra manera por la probabilidad de que ocurra) es mayor que 5 euros.

Podemos representar esta situación como un juego en que ambas deben decidir si entrar en la lotería a cara y cruz pagando 55 euros o no. Para fijar ideas pongamos que la frustración en caso de que la otra gane y no haber participado es de 20. El primer número de cada casilla antes de la coma es el pago de Ana y el segundo, tras la coma, el de Bea. Ambos están miden utilidad, no dinero.

En este juego hay dos equilibrios: (i) ambas juegan y (ii) ninguna juega. Si Bea juega, lo mejor que puede hacer Ana es jugar también (gana 50 en lugar de 45). Si Bea no juega, lo mejor para Ana es no jugar (gana 55 en lugar de 50). Las jugadoras pueden elegir su acción, pero no el equilibrio. Así que no hay nada irracional estar en un equilibrio u otro.

4. Eneko prefiere también 55 en mano que ciento volando (a cara y cruz), pero si pudiera ganar por lo menos 30.000 euros podría acceder a muchas cosas que ahora no puede. Por ejemplo, podría mantenerse durante un año y pagarse un máster que le garantice un buen trabajo. No hay nadie que le pueda prestar ese dinero ni tiene posibilidad alguna de ahorrarlo en un futuro cercano. Hay, sin embargo, una lotería que vende mil números y que ofrece un premio de 30.000 euros a uno de ellos al azar. No hay nada irracional en que Eneko compre un billete de esa lotería por 40 euros aunque su ganancia esperada sea de 30 euros, puesto que a los 30.000 euros en caso de ganar hay que añadir todo lo que puede ganar con esos 30.000 euros y que no puede ganar en ninguna proporción con una cantidad menor (esto último es la clave para no liarnos con otros ejemplos). En general, si con el premio puedes acceder a un estatus o a un bien o servicio indivisible a los que no puedes acceder en ninguna medida sin por lo menos ese premio, tendremos una justificación racional para jugar a la lotería.

Yo no juego a la lotería excepto por alguna pequeña participación o algún décimo que siempre me acaban colocando en la de Navidad. No lo hago porque no soy amante del riesgo, porque no me emociona demasiado apostar en juegos de azar, porque no me da envidia que alguien gane y yo no lo haga (o no la suficiente para que, ponderada por su probabilidad, me merezca la pena jugar), y porque no se me ocurre nada que me coloque en el caso 4 (no que no se me ocurran cosas que hacer con ese dinero, sino cosas que sean un salto cualitativo tan grande al que no pueda acceder en menor proporción sin tanto dinero y que combinadas con la probabilidad de ganar me merezcan la pena). Pero ese soy yo, y no le voy a decir a nadie lo que tiene que hacer, excepto que esté seguro que lo que sea que le motiva a jugar esté bien ponderado con las probabilidades de ganar y perder.

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Hace cinco años en el blog: La Tierra es plana, pero la homeopatía no es Medicina.
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La apuesta de Pascal

Esta es la apuesta de Pascal, que nos recuerda Siesp en su blog Misterios al Descubierto:

1. Si no crees que dios exista y en realidad no existe, no pasa nada.
2. Si no crees que dios exista y en realidad sí existe, vas al infierno.
3. Si crees que dios existe y en realidad no existe, no pasa nada.
4. Si crees que dios existe y en realidad sí existe, vas al cielo.

Es decir, en caso de que dios no exista, da igual lo que creas. En caso de que exista, es mejor creer que existe. Por lo tanto, es mejor creer en dios.

Ante este dilema (creer o no) como argumento para la creencia en dios se han opuesto muchas posturas:

• No hay razón para pensar que las consecuencias de creer o no creer sean las referidas en las proposiciones anteriores.
• La creencia por utilitarismo no sería aceptable.
• El razonamiento se basa en que la cuestión de la existencia de dios es debida al azar.

Estas tres posturas, y algunas otras, van en la dirección de no reconocer las premisas del dilema (he de confesar que no entiendo bien la tercera -debida a Bunge-, aunque eso ahora no importa). Yo creo que la crítica fundamental al dilema va mucho más allá. Incluso si aceptamos las cuatro proposiciones del planteamiento no podemos dar sentido a lo que significa el dilema, puesto que las creencias no se eligen. Lo podemos ver más claro si nos planteamos lo siguiente:

1. Si no crees que el ratoncito Pérez exista y en realidad no existe, no pasa nada.
2. Si no crees que el ratoncito Pérez exista y en realidad existe, te quitará dinero.
3. Si crees que el ratoncito Pérez existe y en realidad no existe, no pasa nada.
4. Si crees que el ratoncito Pérez existe y en realidad existe, te dará dinero.

No me imagino a los filósofos, que desde Voltaire a Bunge se molestaron en buscar inconsistencias al dilema de Pascal, tomándose el dilema del ratoncito Pérez lo suficientemente en serio como para hablar de si el premio es suficiente tentación como para tener una creencia sólida (Voltaire) o de si el tomar la existencia del ratoncito como algo azaroso tiene sentido científico, o es moral o filosóficamente confuso (Bunge). Más bien creo que la postura mayoritaria sería decir que la creencia en el ratoncito Pérez no se puede basar en la posibilidad de enunciar este tipo de dilemas, sino únicamente en las pruebas que tengamos de su existencia. El argumento con dios en lugar del ratoncito es exactamente igual, a pesar de que emocionalmente nos embargue más o menos uno u otro.

Esa es la postura racional, y se puede argüir que alguien irracional puede elegir creer o no creer en cosas por las razones que le dé la gana, no necesariamente las racionales. Esto es muy cierto. Lo que estaría queriendo en ese caso es lo siguiente: si alguien es irracional a la manera de elegir creencias según dice Pascal que se deben elegir, entonces elegirá creer según el argumento de Pascal. Todo muy redundante y de muy poco interés.

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P.D.: Esto de rechazar la racionalidad para decir que la gente es irracional de la manera que me interesa para que mi teoría sea correcta es algo que vemos a menudo en los que critican el uso de la racionalidad en algunos modelos económicos. Pascal, por lo menos, no rechazaba la racionalidad, simplemente creía erróneamente que el argumento racional era el suyo.

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Hace cinco años en el blog: Ni la reforma del gobierno ni la del PP.
Hace tres años en el blog: Los efectos de la inmigración en el mercado de trabajo (1).
Y también: Los efectos de la inmigración en el mercado de trabajo (2).
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¿Sabemos lo que quiere el pueblo?

La irrupción de los nuevos partidos ha atraído una renovada atención por los sistemas de votaciones. En esta entrada voy a recordar un ejemplo que se deberíamos estudiar todos desde pequeñitos, antes de que nos dejen votar. Es muy sencillo e ilustra cómo no existe “lo que quiere el pueblo”, la antesala al concepto de que no existe un sistema de votación (o de agregación de preferencias) que tenga todas las propiedades que nos gustaría (ver aquí).

Pongamos que hay una sociedad con 100 personas divididas en seis partidos (PT, PU, PV, PX, PY y PZ). Deben elegir entre cinco propuestas distintas, pero cada grupo las ordena de mejor a peor según se indica en la tabla.

Partido (# personas)	PT (33)	PU (16)	PV (3)	PX (8)	PY (18)	PZ (22)
	---------	---------	--------	--------	---------	---------
Ránking	A	B	C	C	D	E
	B	D	D	E	E	C
	C	C	B	B	C	B
	D	E	A	D	B	D
	E	A	E	A	A	A

Por ejemplo, las 100 personas pueden ser parlamentarios, los grupos, partidos políticos y las propuestas, candidatos a la presidencia.

Cuál es el candidato que debe ser elegido? Es pregunta trampa, no hay tal cosa como “el que debe ser elegido” (enunciado normativo) sin hacer referencia a una norma, y la norma puede ser una entre muchas, sin que ninguna de ellas sea claramente la más justa y mejor. Tomemos cinco posibles normas (sistemas de votación) y veamos quién gana si las personas votan sinceramente:

Regla de la pluralidad (mayoría relativa): Cada uno vota la propuesta preferida y la que más votos obtenga es la que sale elegida.

Gana A con 33 votos frente a los 16 de B, los 11 de C, los 18 de D y los 22 de E.

Recuento de Borda: Cada votante asigna cuatro puntos a su propuesta preferida y luego tres, dos, uno y cero a cada una de las siguientes según decrezcan sus preferencias. Gana la que más puntos tenga.

Gana B, que suma 33x1 + 16x4 + (3+8+22)x2 + 18x1 = 171 puntos, más que cualquier otro (p.e., A suma 33x4 + 3x1 = 136).

Método de Condorcet: Gana aquella propuesta que vence a cada una de las demás por separado. (No siempre hay un ganador de Condorcet).

Gana C: Cuando se enfrenta a A, C tiene 77 votos (y A el resto hasta 100). Frente a B, D, y E, la propuesta C tiene 51, 66 y 60, respectivamente.

Voto único transferible (segunda vuelta instantánea): Se vota una primera ronda, la propuesta con menos votos se elimina. Se vota una segunda vuelta entre las restantes, de nuevo se elimina la menos votada. Así hasta que solo queda una.

Gana D: En al primera ronda se elimina C. En la segunda ronda, de los 11 que votaron C, 3 votarán D y 8 votarán E (de ahí lo de transferible) y se eliminará B. En tercera ronda los 16 votos de B pasan a D y la cosa queda: A con 33, D con 37 y E con 30, con lo que se elimina E. Entre A y D gana D con 77 votos.

Doble vuelta: Los dos con más votos en una primera vuelta se enfrentan en segunda vuelta. Quien más votos tenga en la segunda vuelta, gana.

Gana E: En primera vuelta A y E quedan primero y segundo, respectivamente. En la segunda vuelta A obtiene 36 votos frente a los 64 de E.

Pues eso. ¿Qué quiere el pueblo?

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Hace cinco años en el blog: La economía de la discriminación (4).

Hace tres años en el blog: ¿Ha matado Excel a la estrella de la Troika?

Y también: La protección de los derechos de autor y el número de obras (2).

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Arrow y la imposibilidad de la razón moral

Hay N votantes. Cada uno ordena según sus preferencias a los M candidatos a presidente (o a los M distintos proyectos públicos). El teorema de imposibilidad de Arrow dice que es imposible tener un sistema de agregación de las preferencias de los N votantes (un sistema de votación, p.e.) que nos dé un ránking de los candidatos para cualesquiera preferencias individuales y que cumpla las siguientes características:

1. No dictadura. Es decir, que el sistema de decisión no se fije únicamente en lo que diga uno de los votantes.
2. Monotonía. Si un votante pasa de preferir X sobre Y a preferir Y sobre X, entonces el sistema no podrá ahora elegir a X sobre Y si antes no lo hacía.
3. Independencia de alternativas irrelevantes. El orden de preferencia entre X e Y según el sistema de agregación de preferencias debe depender solo de cómo los votantes ordenan X e Y (y no de cómo ordenan, p.e., Z con respecto a X e Y).
4. Unanimidad. Si todos los votantes prefieren X antes que Y, el sistema también lo hará.

La demostración es muy ilustrativa: si un sistema cumple 2, 3 y 4 (digamos que un sistema así es coherente), entonces será dictatorial (no cumplirá 1). Hay que optar: o incoherencia o dictadura.

Voy a proponer otro territorio para el teorema. Pongamos que en lugar de N votantes tenemos N fines o ideales que uno quisiera ver cumplidos en una sociedad (libertad, igualdad, fraternidad, seguridad, responsabilidad, solidaridad, justicia, identidad,…) y los M proyectos son los M tipos de sociedades distintas que uno debe valorar. Esto tiene sentido si yo, a la hora de juzgar distintas sociedades, me fijo en cómo de bien aparecen en el ránking de la libertad, la igualdad, la fraternidad,... e intento tener una manera coherente de ponderar cada una de estas propiedades. Es decir, en mi mente estarán votando la libertad, la igualdad, la fraternidad,... para dar una valoración a cada sociedad.

Ahora hay que ver cuánto de cada uno de esos ideales cumple cada tipo de sociedad. Pongamos, por ejemplo, que una sociedad tiene mucho de libertad, poco de seguridad, y anda normal de justicia (y que solo importan estas tres cosas). Si la libertad pesa mucho, estará alta en el ránking, si la que pesa mucho es la seguridad, estará abajo. Si ambas pesan más o menos igual, o si la que más pesa es la justicia, alcanzará una posición media. Pues bien, el teorema de Arrow ahora dice que no es posible ponderar todos esos ideales de una manera coherente (que cumpla los puntos 2, 3 y 4) y que no sea dictatorial, lo que en este contexto significaría juzgar una sociedad por lo que hace en solo uno de esos ideales.

Dado lo anterior, uno puede entender la tentación de la dictadura para aquellas gentes incapaces de aceptar las imperfecciones de la democracia. También se puede entender la tentación de restringir las posiciones morales e identificarse solo con un ideal. De esta forma todo es más sencillo. Si uno identifica la libertad como el bien supremo, con solo ver qué pasa en esta dimensión tendrá una manera sencilla de evaluar moralmente todas las sociedades (y todas las propuestas de cambio de una sociedad). Esta sencillez se tendrá por profunda y superior a otras, al haber conseguido un método de análisis coherente (satisface 2, 3 y 4). Lo mismo ocurre si uno ha escogido la igualdad como valor supremo, la gloria de la patria o cualquier otro fin.

Frente a esos simples (anarcocapitalistas, comunistas, nacionalistas, etc.), víctimas de su propia dictadura moral, estamos los que intentamos tener en cuenta más fines y optamos por la democracia moral, que aquí no significa que lo que se vote sea lo aceptable moralmente, sino que cada uno de nosotros queremos ponderar todos los fines morales. Y optamos por ella a pesar de sus imperfecciones e incoherencias, a pesar de que esto requiere estar ponderando todo constantemente y a pesar de la complejidad que añade al análisis. O tal vez no a pesar de eso, sino por todo eso, porque nos obliga a estar mucho más vigilantes, actitud que uno quiere trabajar siempre en cuestiones de elección moral.

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Hace cinco años en el blog: La isla de los fidelios.
Hace tres años en el blog: Experimentos con mercados (1).
Y también: Experimentos con mercados (2).
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Una solución a la paradoja del diablo

En esta entrada planteé la paradoja. En esta otra examiné la causa de la paradoja. Una vez entendido por qué el argumento de la paradoja es falaz toca encontrar un argumento que no lo sea y que nos resuelva el problema de decisión planteado.

La cuestión principal, recordemos, era encontrar una manera de valorar los infinitos días en el cielo (por la probabilidad de que esto ocurra), si la lotería del diablo nos envía allá, y compararlos con el daño de esperar unos días en el infierno hasta que la lotería tenga lugar y con los infinitos días en el infierno en caso de que no tengamos suerte.

Hay varias soluciones coherentes posibles. Voy a exponer una, la que creo es más natural. Imaginémonos en el infierno. En lugar de la lotería de esta paradoja, el diablo nos da a elegir entre pasar un día en el cielo hoy o pasarlo dentro de un año. Lo normal es valorar más un mismo grado de satisfacción ahora que en el futuro. Si estas son las preferencias (y si son más complicadas se pueden hacer argumentos parecidos, pero eso ya lo veremos) podemos hablar de una tasa de descuento. Por ejemplo, un día en el cielo dentro de un año equivale (en el momento presente) a 0,9 días en el cielo hoy. De manera más general podemos decir que estar mañana en el cielo equivale a D días en el cielo hoy (donde D será un número positivo menor que uno y que llamaremos tasa de descuento), estar un día en el cielo pasado mañana equivale entonces a DxD días hoy y así sucesivamente. Con estas últimas preferencias, la felicidad de estar en el cielo para siempre a partir de ahora según mi valoración de hoy será:

Si repasamos nuestras matemáticas de bachillerato sabremos que la suma anterior es exactamente igual a

siempre y cuando D sea un número mayor o igual que cero y menor que uno, pero eso es exactamente lo que es, por ser una tasa de descuento. Podemos hacer lo mismo para calcular la infelicidad de estar toda la eternidad en el infierno si C es la de un día.

1. Si decidimos jugar (día uno) hoy esperamos ganar:

Es decir: la probabilidad de ganar multiplicada por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el cielo menos la probabilidad de perder por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el infierno.

2. Si decidimos esperar a mañana (día dos) tendremos:

Es decir: el fastidio de estar hoy en el infierno (C) más la misma ganancia neta calculada antes, pero a partir de mañana (por eso la multiplicamos por la tasa de descuento).

3. Si esperamos un día más (día tres), la utilidad esperada será:

Y así sucesivamente.

Obsérvese que podemos calcular los valores numéricos de las expresiones en cuanto sepamos los valores de F, C y D. Es decir, en cuanto sepamos la valoración de estar un día en el cielo (F), un día en el infierno (C) y la paciencia (D), cosas todas ellas que tienen que ver con las preferencias personales de cada uno. Una vez valoradas las expresiones, basta elegir el día que corresponda a la de valor más alto. Para los más avanzados, se puede escribir la expresión de un día general y usar el cálculo diferencial para encontrar el día óptimo.

Haciendo unos cálculos se encuentra que para los impacientes (con tasa de descuento D=0,9), con F=1 y C=-1, lo mejor es hacer la apuesta el tercer día. Si uno es más paciente (D=0,99), para conjuntos de valores muy amplios de F y C conviene esperar hasta el noveno o décimo día.

La entrada ya se ha alargado bastante. En otra próxima discutiremos algunos aspectos de esta metodología de cálculo y algunas alternativas.

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Hace tres años en el blog: Derechos humanos y derechos contractuales.
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La falacia en la paradoja del diablo

Recordemos la paradoja presentada en la entrada anterior, a la que me remito para los detalles:

1. Estás en el infierno para siempre.
2. El diablo te da la opción de elegir un día (y solo uno) para entrar en una lotería cuya ganancia es ir al cielo para siempre.
3. Las condiciones: si eliges hoy, la probabilidad de ir al cielo es 1/2; si eliges mañana es 2/3; si pasado mañana, 3/4; al día siguiente, 4/5, y así sucesivamente.
4. La paradoja: siempre merece la pena esperar un día más, pues se cambia un día en el infierno por aumentar la probabilidad de estar toda la eternidad en el cielo.

Y ahora, con ustedes, la resolución de la paradoja.

La cuestión principal es que la paradoja asume una suma infinita de felicidad. Cada día en el cielo nos da una felicidad, y una suma infinita de días nos da una suma infinita de felicidad. Multiplicada por un incremento de probabilidad por pequeño que sea nos da un incremento de felicidad infinito si esperamos un día más, puesto que el coste es una infelicidad finita de estar un día más en el infierno.

El problema es que no existe tal cosa como una suma infinita. Si el nivel de felicidad por pasar un día en el cielo es, digamos, F (en la escala apropiada), estar toda la eternidad en el cielo no implica tener una felicidad de

F+ F + F + F +…,

entre otras cosas porque tal operación no existe. La suma se define como una operación binaria (entre dos elementos) que, por satisfacer ciertas propiedades (conmutativa, asociativa), se puede extender a la suma de finitos elementos, pero no a la suma de infinitos. Cuando se cumplen ciertas condiciones sí se puede hablar de sumas infinitas, pero para ello la serie sumas parciales tiene que converger. Así, se puede hablar de la suma de

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…,

cuyo resultado es 1. Y se puede hacer porque dando como resultado el límite de las sumas parciales se mantienen las misma propiedades de las sumas finitas (operación cerrada, elemento neutro, elemento simétrico, conmutativa, asociativa,…). Para series no convergentes tal cosa no es posible.

Es decir, que el enunciado de la paradoja nos está metiendo un gol al hacer parte de su argumentario una suma infinita carente de significado. No es que diga algo falso cuando dice eso, sino que dice un sinsentido. Lo falso es concluir algo de un sinsentido y esa es la falacia. Cosas parecidas nos encontramos en la paradoja de la lámpara de Thompson.

La cuestión siguiente será: ¿qué es lo que hay que hacer, entonces? Esperen ustedes unos días más en el infierno de la ignorancia y en la próxima entrada contestaré a la pregunta y les llevaré a la felicidad de la sabiduría por siempre jamás.

En una próxima entrada diré cómo afrontar esta oferta del diablo.

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Hace tres años en el blog: France Télécome, ¿tenemos un problema?
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La paradoja del diablo

Esta es la paradoja del diablo:

Estás en el infierno, condenado para toda la eternidad. El diablo te ofrece una salida. Solo tienes que decidir qué día participar en una lotería en la que, si ganas, vas al cielo también para toda la eternidad y, si pierdes, te quedas como estabas, en el infierno para siempre jamás. El truco es que las probabilidades de ganar cambian cada día de la siguiente manera: si eliges que la lotería sea hoy la probabilidad de ganar es 1/2, si eliges que sea mañana pasará a ser 2/3, pasado mañana será 3/4, al día siguiente 4/5 y así sucesivamente. Como vemos, a medida que esperas la probabilidad de ganar aumenta. Permíteme que insista: la lotería es solo una vez, ganes o pierdas, ya no habrá más. Suponemos, habrá que decirlo, que el infierno te disgusta mucho (quema y eso) y el cielo te encanta (hay más atracciones aparte de estar tocando la lira).

La paradoja surge porque pareciera que siempre conviene esperar un día más. Por mucho que te disguste el infierno y te guste el cielo, esperar un día más supone estar un día en el infierno a cambio de un aumento de la probabilidad de estar infinitos días en el cielo. Por pequeño que sea este aumento, es un aumento y es por infinitos días. Claro que si siempre merece la pena esperar, entonces te quedas siempre en el infierno, cosa que tampoco quieres.

Este es el planteamiento. Hay quien lo relaciona con la apuesta de Pascal (podéis verlo aquí). Yo las veo muy distintas, pero de eso ya hablaré en otro momento. Ahora os dejo la paradoja para que le deis vueltas. En una próxima entrada explicaré la falacia y en otra daré la solución.

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Hace tres años en el blog: Preguntas últimas, preguntas siguientes.
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