Las piezas lego de la naturaleza. La historia más extraña jamás contada. Parte 10.

El secreto mejor guardado de la naturaleza: Grupos y simetrías
 

(Lowlight 8, publicado el 9/8/09)

El cubo de Rubik permite hacer giros en cada una de sus caras. Consideremos la cara que nos ponemos frente a los ojos. Se la puede hacer girar en el sentido de las agujas del reloj un cuarto, un medio, tres cuartos o una vuelta entera. Lo mismo se puede hacer en sentido contrario a las agujas del reloj. Lo mismo, también, con cualquier otra cara.

Estas operaciones tienen unas propiedades interesantes:

1. Cualquier secuencia de giros nos deja dentro del mundo de las posiciones del cubo de Rubik. (Ley de composición interna).
2. Existe un elemento neutro (no hacer ningún giro) que deja el cubo como estaba.
3. Para cada secuencia de giros, es posible encontrar una secuencia que deshaga esos giros, de manera que la secuencia con su inversa nos dé el mismo resultado que la operación neutra. (Elemento inverso).
4. Aplicar la secuencia A, después la B y, finalmente la C produce el mismo resultado que aplicar la secuencia A y después el resultado de haber aplicado B y C. Para que se entienda, si A=1/4 vuelta, B=1/2 vuelta, C=1/4 de vuelta (todas en el sentido de las agujas del reloj). El resultado de A+B+C es el mismo que el de A+D, donde D=1/4 vuelta en sentido contrario a las agujas del reloj. (Propiedad asociativa).

Estos elementos (giros) con esta operación (acumular giros después de otros) constituyen lo que, en matemáticas, se llama “un grupo”, precisamente por tener esas cuatro propiedades interesantes. Los grupos son importantes porque permiten descubrir propiedades en uno que se pueden trasladar a otros grupos con las mismas características (porque tengan, por ejemplo, el mismo número de elementos, o porque la operación asociada sea similar), porque permite descubrir nuevos elementos si se conocen algunos (por ejemplo, permite descubrir los elementos inversos) y porque puede ayudar a descubrir el resultado de algunas operaciones (aprovechando la propiedad 4, por ejemplo).

Un grupo importante lo constituyen los números enteros y la operación suma. Otro, la multiplicación de los elementos 1, -1, i, -i (i es la raíz cuadrada de -1). La división de números enteros no sirve para hacer un grupo, ya que 1/2 no es un número entero (la división de un número entero entre otro nos saca del mundo de los números enteros, no cumple la ley de composición interna). Hay muchos más, entre ellos, el que encontramos en la física de partículas.

Los elementos del grupo son las partículas elementales en sus distintos estados. La operación son las interacciones entre partículas que respetan las simetrías. Es decir, que las interacciones que no las respetan no existen. El meollo de la cuestión es, por tanto, entender qué es eso de las simetrías.

Ejemplos de simetrías:

• Traslación: las leyes de la física no cambian si las observamos desde un sistema inercial o desde otro. Por ejemplo, y como ya vimos en la parte 6 de La historia más grande jamás contada, la velocidad de la luz sigue siendo la misma.
• Paridad: las leyes de nuestro universo son las mismas que las que observaríamos en un universo reflejado en un espejo.
• Carga: la atracción entre dos cargas positivas es la misma que entre dos cargas negativas, así que si intercambiamos todas las cargas del universo, positivas y negativas (tendríamos, entonces, un universo de antimateria), el resultado sería un universo indistinguible del actual.
• Tiempo: en el nivel cuántico (no en el macroscópico) de una partícula elemental (o un átomo o molécula), si filmamos el comportamiento de las partículas y lo proyectamos hacia atrás, el universo sería también indistinguible.

Las anteriores son las más importantes, pero hay unas cuantas más. Por ejemplo, si cambiamos de una manera adecuada los colores de los quarks, tendremos de nuevo un universo indistinguible del nuestro. Esta es la simetría gauge SU(3).

En los años 50 se descubrió que la paridad y la carga se violaban por los neutrinos y por las interacciones débiles, respectivamente. Lo que no se viola es la simetría conjunta de paridad y carga. Es decir, que si cambiamos las cargas y lo vemos todo a través del espejo, entonces sí se mantiene la simetría y el universo sería indistinguible del que conocemos.

Una interacción que ya hemos encontrado en esta historia más extraña jamás contada es la de un fotón que es absorbido por un electrón, que pasa a un estado mayor de energía. ¿Cómo hemos de interpretar esto? ¿Es una o dos entidades este nuevo electrón? ¿Existen los fotones?

En el grupo que forman los números enteros y la suma podemos interpretar el número dos como uno más uno y hablar del dos como de la representación de dos entes distintos. En cambio, si giramos una cara de un cubo de Rubik, ¿existen los giros como entidades ontológicas? ¿es un cuarto de giro en sentido de las agujas del reloj lo mismo que tres cuartos de giro en sentido contrario? ¿es un cubo de Rubik al que se le ha hecho un giro un ente o dos entes, el cubo original más el giro?

Como en el ejemplo del cubo de Rubik, las preguntas sobre las entidades del grupo de las partículas elementales no tienen demasiado sentido. Existe el modelo matemático en que describimos las interacciones y existen los resultados de las interacciones en el modelo. La realidad se explica, de momento, por este modelo. En la física macroscópica tenemos intuición para hablar de objetos y podemos ver que una ciudad es algo distinto de los modelos que usamos para manejarnos en ella (un mapa, por ejemplo). En el caso de la física de partículas, nuestra concepción de lo que sean los objetos de la realidad que obedecen a estos modelos no es distinta que la concepción que tenemos del modelo, puesto que, al carecer de sentidos para percibirlos, no tenemos ninguna intuición para abarcarlos en toda su extrañeza.

Rawls, su velo de la ignorancia

(Lowlight 7, publicado el 17/5/09)

John Rawls (1921-2002) fue un filósofo interesado en la filosofía moral y política. A pesar de seguir un enfoque contractualista y ser, por tanto, consistente con el relativismo moral, o precisamente por eso, logró ser uno de los filósofos que más ha avanzado en cimentar de una manera razonable sus posturas en moral y política.

Voy a referirme a dos de los conceptos por los que es más famoso. En primer lugar, Rawls se planteó el problema de elegir entre dos órdenes sociales y propuso el criterio de elección tras el velo de la ignorancia. Según este criterio, se tomaría por más justo o mejor, el sistema social que los individuos eligieran antes de saber qué papel les tocaría representar en ese gran teatro del mundo. Dicho de otra manera, si uno no sabe quién de los millones de habitantes del país A o quién de los del país B le tocaría ser, ¿en qué país querría nacer?

Rawls pensaba que la consecuencia de la aplicación de este criterio sería que, enfrentados a esta incertidumbre, los individuos preferirían aquella sociedad en la que el peor tratado de los individuos estuviera mejor tratado. Este es el segundo concepto, que llamaremos criterio rawlsiano. Comparemos, por ejemplo, el 1% más pobre del país A y el 1% más pobre del país B. El país en que mejor estén estos individuos será la sociedad más justa.

El principio del velo de la ignorancia es interesante porque es posible formalizarlo con mucha precisión. En Economía corresponde al criterio de eficiencia ex-ante, es decir, al criterio de eficiencia antes de ser revelada la información que puedan obtener los individuos. Este criterio se puede aplicar para varios momentos en los que se revela información (sobre la salud, la habilidad para un oficio, …). Coincidirá con el criterio del velo de la ignorancia cuando la información se refiera a la propia identidad.

El criterio rawlsiano de escoger la sociedad que mejor trate al más desfavorecido también se puede formalizar fácilmente. Pero ocurre que no se deduce del criterio del velo de la ignorancia. Pongamos un ejemplo. Intentemos comparar las tres sociedades de la entrada anterior según Rawls. Recordemos que había cinco individuos y tenían de rentas (4,4,5,6,6), (3,4,5,6,7) y (4,4,4,4,9) respectivamente en cada una de las sociedades.

Según el criterio del más desfavorecido, las sociedades primera y tercera serían preferibles a la segunda.

Según el criterio del velo de la ignorancia necesitamos una estimación de lo que preferirían los individuos antes de saber quiénes serán en cada sociedad. Si sólo les interesa la renta media, estarán indiferentes entre las tres, pues en todas la renta media es de 5. Si, en cambio, tienen preferencias del tipo “más dinero es mejor, pero cantidades adicionales incrementan la felicidad cada vez menos” podrían elegir sociedades más igualitarias. Por ejemplo, si la felicidad es proporcional, no a la riqueza, sino a su logaritmo (algo no tan descabellado como pueda sonar, dado lo que nos dice la psicología), tendríamos que, en una sociedad con rentas (a,b,c,d,e) los individuos tendrían una felicidad media calculada así (la x es el signo de multiplicación):

Felicidad media = 1/5 x log(a) + 1/5 x log(b) + 1/5 x log(c) +1/5 x log(d) + 1/5 x log(e)

Como todas las sociedades tienen 5 individuos, en lugar de la felicidad media, podemos trabajar con la felicidad total, que es más fácil:

Felicidad total = log(a) + log(b) + log(c) + log(d) + log(e)

Si repasamos nuestras matemáticas y recordamos que el logaritmo del producto es la suma de logaritmos, podremos reescribir la fórmula así:

Felicidad total = log(a x b x c x d x e)

Si seguimos repasando nuestras matemáticas, recordaremos que el logaritmo de un número es mayor cuanto mayor sea ese número, así que para encontrar la sociedad que tiene una mayor felicidad basta encontrar cuál tiene un producto de las rentas mayor. En nuestros ejemplos, los productos son:

Sociedad 1: 4 x 4 x 5 x 6 x 6 = 2880

Sociedad 2: 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 2520

Sociedad 3: 4 x 4 x 4 x 4 x 9 = 2304

Según el criterio del velo de la ignorancia, la sociedad primera es mejor que la segunda y ésta mejor que la tercera. Este ordenamiento es distinto al que hace el criterio rawlsiano y que hemos visto antes.

La razón moral en bancarrota

(Lowlight 6, publicado el 28/4/09) 

Propongo considerar un pequeño problema moral en el que la razón pura (sea lo que sea eso) es incapaz de ofrecer una solución. El ejemplo, por ser tan mundano él, no debería preocupar a los proponentes de una moral basada en la razón. Aún así lo propongo porque ayudará a entender la postura de quienes no creemos posible que la razón pueda dar ningún salto para poder deducir lógicamente la moral.

Este es el ejemplo:

Una empresa se declara en bancarrota. Sus activos están valorados en 120, pero tiene dos acreedores a quienes debe 60 y 120, respectivamente. ¿Cómo se dividen los activos entre los acreedores?

• Regla igualitaria: Se reparte entre ellos a partes iguales, 60 para cada uno.
• Regla proporcional: Se reparte proporcionalmente a la deuda, 40 para el primero, 80 para el segundo.
• Regla del Talmud: El primero reclama la mitad, el segundo todo. La mitad que reclaman los dos se reparte a medias (30 para cada uno). La segunda mitad que reclama sólo el segundo es para él (60 más para el segundo). El reparto queda así: 30 para el primero y 90 para el segundo.

¿Cuál es el reparto moralmente justo?

No es posible saberlo. Cada uno obedece a un principio distinto, todos tienen en cuenta cierto principio de igualdad, pero cada regla lo trata de forma distinta. De hecho podríamos imaginarnos muchas más, todas sensatas. Podemos poner un mínimo asegurado para cada acreedor y un reparto proporcional del resto de la deuda, o hacer el reparto proporcional al logaritmo de la deuda (por aquello de que más dinero da cada vez menos felicidad), o dárselo todo al más rico (la regla Reaganiana), por poner unos pocos ejemplos más.

Esta es la discusión:

El problema es interesante porque está perfectamente definido. Si se dice que hacen falta más datos, por ejemplo sobre quién es cada uno de los acreedores, supóngase que son dos personas exactamente iguales excepto por su posición en este caso de bancarrota. Ni aún así podemos deducir una u otra regla de reparto sin mediar por medio algún otro principio que implique esa regla en particular. Esto no tiene por qué ser redundante. En teoría de juegos hay toda una rama dedicada a derivar fórmulas de reparto a partir de axiomas deseables. Ocurre que cada regla obedece a un subconjunto particular de estos axiomas y que ninguna regla los puede tener todos. En otras palabras, muchos axiomas que son deseables son incompatibles entre sí. Fijémonos que la elección de los axiomas será convencional, mientras que será la razón la que nos lleve de esa elección de principios a una regla de reparto (si es posible) o a concluir que una regla que satisfaga esos axiomas no existe.

Todo eso está muy bien, se objetará, pero la razón moral no se mete con asuntos mundanos como el de la bancarrota (con permiso del Corán, del Talmud y de los códigos civiles y mercantiles, supongo), sino con problemas más importantes. Es posible, pero mi argumento es que los intentos para sustentar una moral en la razón se enfrentarán siempre a este tipo de problemas.

¿Por qué lo creo? Por dos razones. Primera, porque en todos los problemas que se han podido analizar con rigor (bancarrota, negociación, votaciones, provisión de bienes públicos, agregación de preferencias,…) se han encontrado estos problemas. Segunda, porque los que proponen que tal empresa es posible no han conseguido avanzar un milímetro. Todos los avances han sido a partir de concesiones en los principios o a partir de una formulación de acuerdos normativos sobre qué es lo deseable: un punto económicamente eficiente, un punto aceptable tras el velo de la ignorancia, un punto de equilibrio, un punto en el que no haya envidias, una cesión de soberanía a un líder o algún otro principio por el estilo. Todo ellos serán perfectamente discutibles por personas razonables.

Al monte se va con botas o ¡si tuviera un martillo...!

(Lowlight 5, publicado el 3/4/09) 

Para ir al monte hay que equiparse. Si uno lleva el calzado inadecuado podrá perder interés en la subida por ganarlo en el descanso o en objetivos secundarios, como recoger bayas.

Hay una máxima en psicología que dice que si únicamente tenemos un martillo por herramienta,  todo se nos vuelve clavos.

Esto que parece un chiste encierra grandes verdades y explica grandes sesgos en nuestro razonamiento. Pondré unos pocos ejemplos que espero desarrollar en futuras entradas (pero no me comprometo en cuán futuras serán):

• Hay políticos que no pasaron del estudio de los mercados competitivos y creen que todo en la economía funciona como en ellos.
• Hay filósofos que quieren resolver problemas de elección en situaciones de incertidumbre usando la lógica proposicional.
• Hay lógicos que extrapolan las conclusiones de la racionalidad individual a los grupos de individuos.
• Hay metafísicos que quieren llegar a conclusiones sobre el origen de la consciencia usando sólo el lenguaje.
• Hay juristas que pretenden deducir qué leyes son las justas a partir de principios metafísicos.

Hace falta equiparse con la Economía, la Teoría de la Probabilidad, la Teoría de Juegos, la Biología y las Ciencias Sociales, respectivamente, (y no únicamente con ellas) para poder estudiar con mínima coherencia cada uno de esos temas.

Voy a poner sólo un ejemplo para empezar. Hegel criticó la física de Newton (aquí la comentamos en su día) con citas como estas que aparecen en su Enciclopedia de las Ciencias Filosóficas:

«[...] hay que cobrar conciencia de la inundación que sufre la mecánica física por parte de una metafísica indescriptible que –contra experiencia y concepto– tiene como fuente única aquellas determinaciones matemáticas»

«La ilusión fundamental en el empirismo científico es siempre la misma: utiliza las categorías metafísicas de materia y fuerza, además de las de uno, múltiple, universalidad, infinito, etc., y siempre sin advertir su contenido metafísico, utilizando estas categorías y sus relaciones de manera acrítica e inconsciente»

Supongo que entendéis tanto como yo lo que significa lo anterior (nada). Hegel comenzó cuestionando el concepto de fuerza en Newton, que no se sabía bien lo que era. A continuación intentó alguna manera de poder resolver el problema reivindicando la Física de Aristóteles y acabó deduciendo por una extraña combinación de metafísica y numerología que no podían existir más cuerpos en órbita alrededor del Sol de los ya conocidos. Justo un año después se descubrió el asteroide Ceres entre Marte y Júpiter, donde Hegel decía que no podía haber nada. Más tarde se clasificó como asteroide y no como planeta, pero esto es otra historia. 

Una coda:

Newton, en cambio, era consciente de que el elemento "fuerza" de su mecánica no estaba explicado. Sin embargo también era consciente que al relacionarla con la masa y la aceleración en su segunda ley permitía una comprensión del mundo muy superior a la que había en ese momento. El no entretenerse en cuestiones metafísicas le permitió avanzar. No estaba el propio Newton libre de pecado, pues, aunque sin relación con su Física, sí se enredó en otras metafísicas teológicas. Pero claro, por ellas no pasó a la posteridad.

La Teoría de la Evolución: La Historia Más Asombrosa Jamás Contada. Parte 4

(Lowlight 4, publicado el 24/03/09) 

Darwin

Llegamos, por fin, a Darwin. Se cumple este año el bicentenario de su nacimiento y los 150 años de la publicación de El Origen de las Especies. No voy a repetir aquí su biografía. Está en cualquier enciclopedia y ya la sabéis: le aburría la medicina, iba para cura, se embarcó en el Beagle por un lustro, años más tarde escribió su famoso libro y acabó reconociéndose agnóstico. El mayor homenaje que se le puede hacer es entender sus ideas y la trascendencia de éstas.

Darwin, como Wallace, propuso que la evolución de las especies ocurre por un proceso que consta de:

1. Variabilidad entre los individuos de una especie.

2. Selección del mejor adaptado al medio.

Esta es la Teoría de la Selección Natural. Volvamos al ejemplo de los gemelos, pero supongamos ahora que no son idénticos. Así, uno de ellos será mejor corredor que el otro. Si en su medio es importante correr para huir de un depredador o para cazar una presa, entonces el mejor adaptado a ese medio será el que tenga más probabilidades de tener más descendencia. En el futuro, mientras correr rápido sea una ventaja, en cada generación, la progenie de los más rápidos será un poco más abundante. Finalmente, los más rápidos formarán un grupo distinto de los lentos. Serán una especie nueva. Los lentos pueden tener finales distintos: pueden extinguirse, evolucionar de otra manera, ver disminuido su número, ocupar un nicho ecológico distinto,…

¿Cuánto tiempo necesita la descendencia de los más rápidos para ocupar todo su nicho ecológico y desplazar hasta la extinción a los más lentos? Muy poco. Consideremos, por ejemplo, un ecosistema que sólo puede sostener a 10.000 individuos de una especie y que, justamente, esa es la población que lleva habiendo en las últimas generaciones. Típicamente nacerán más individuos de los se puedan alimentar. Si la población pasa de estos 10.000 algunos morirán hasta volver a ese número. En este equilibrio, la tasa de crecimiento de la especie es del 0%. Pongamos ahora que ser un poco más rápido permite a un individuo que su descendencia crezca al 1% (una tasa modesta) a costa del linaje de los más lentos. Si los más rápidos son, por ejemplo, dos individuos de una familia, harán falta sólo unos pocos cientos de generaciones para que prácticamente todos los individuos de esa especie sean descendientes de aquellos más rápidos. Esto se debe a la naturaleza exponencial del crecimiento. Una nadería en términos geológicos.

Para entender lo anterior, convendría recordar aquí que si empezamos una inversión con un euro y cada año doblamos la cantidad (un generoso interés del 100%), al cabo de un año tendremos 2 euros. En dos años, 4 euros. En tres años 8, luego 16, 32, 64, 128, 256, 512 y, al cabo de 10 años, 1.024. Es decir, el euro se ha multiplicado por 1.000 en 10 años. La descendencia de nuestros corredores no aumenta un 100% en cada generación, sino un humilde 1%. Su tasa de crecimiento es 100 veces más lenta que el ejemplo y, además, sus descendientes tienen que llegar a ser 10.000, de ahí que necesiten unos cuantos cientos de generaciones para copar su nicho en el ecosistema y no solo un par de decenas.

Una cosa importante de entender es que la variabilidad entre los miembros de una especie no puede ser muy grande, así que todo el proceso evolutivo debe ser gradual y cada paso debe constituir, por sí mismo, una ventaja.

En el ejemplo anterior está claro que ser un poco más rápido siempre puede ser una ventaja. Hay otros ejemplos menos claros. ¿Cuál es la ventaja de medio ojo? ¿o de media ala? La mayor crítica al darwinismo en sus tiempos no venía de teorías científicas alternativas (como el lamarckismo) sino de prejuicios no científicos. Esto era cierto entonces y lo es ahora. El argumento fue propuesto en su día por William Paley: si paseando por el campo encontramos un reloj abandonado, al examinar la precisión de su maquinaria y su propósito evidente de medir el tiempo, concluiremos que no puede haber llegado a existir por un procedimiento natural (como se esculpen las rocas por el viento, por ejemplo), sino que detrás debe haber un relojero. Esto mismo ocurre con los organismos vivos. Tal es su complejidad que solo un creador o un diseñador inteligente puede haberlos hecho. Eso dice Paley.

Por otra parte, ¿de dónde sale esa variabilidad entre individuos? ¿Qué dice Darwin a todo esto? Lo veremos en la próxima entrada.

Mis apostillas:

1. La objeción de que tal vez alguna complejidad no pueda ser explicada mediante cambios graduales es una buena objeción. Decir que si tal complejidad existe debe existir también un diseñador inteligente es una mala conclusión. Por dos razones. La primera, porque este diseñador inteligente será un deus ex-machina, puesto ahí para ocultar nuestra ignorancia y parar la investigación, y que no tendrá ningún poder de explicación puesto que hará lo que nos dé la gana decir que haga. La segunda, porque la explicación es más complicada que lo que pretende explicar. Un diseñador inteligente será más complejo que sus creaciones. En vez de explicar la realidad, la estaremos complicando.

2. Con todo, sería posible que alguien manipule genéticamente una especie y le haga dar un salto evolutivo. Ese alguien no tiene por qué estar fuera de este universo. Un extraterrestre puede haberlo hecho. La teoría de Darwin abre una línea de investigación, que es la de averiguar si sus conclusiones son congruentes con la realidad. Hasta ahora nadie ha pillado a un diseñador inteligente in fraganti y sí, en cambio, se han acumulado montañas de evidencias a favor de la selección natural (incluso se la ha pillado in fraganti). Si uno es coherente, con cada nueva evidencia, debería considerar más y más probable la selección natural y menos la existencia de tal diseñador. Los propios proponentes de esa idea cada vez tienen menos lugares donde meter al diseñador porque cada vez hay más lugares en donde la explicación naturalista es suficiente. Pero no se rinden. Al parecer están satisfechos con su diseñador menguante.

De vuelta a Madrid

Se acabó el año angelino. Ayer regresamos a Madrid con toda la impedimenta, despues de vaciar las tiendas de Los Ángeles durante doce meses, 10 maletas a rebosar, sin contar con las cuatro de cabina, y eso que con las sobras llenamos 10 bolsas de ropa y calzado que donamos al Salvation Army, (ríete de la multiplicación de los panes y lo peces). Mis cosas cabían en maleta y poco. Mis tres mujeres llenaron el resto.

Pero está bien. Se cumplieron objetivos sobradamente. La pequeña ha aprendido inglés. La mayor ya lo sabía (hicimos otra estancia en los USA, en la costa este, cuando era pequeña), pero ha tenido su refuerzo de High School y no ha parado de tomar clases de baile en Debbie Reynolds. Mi mujer ha podido descansar un año de su trabajo y ponerse al día en sus lecturas literarias y profesionales, que son las mismas.

Visitamos Disneyland, los estudios de Hollywood, el Zoo de San Diego (con su Wild Animal Park, lo más cercano a un safari sin ir a África), las playas, los teatros (ya no sé cuántos musicales hemos visto) y salas de concierto (Walt Disney Hall, el Hollywood Bowl, donde se hace picnic mientras se escucha a Dudamel o a Jimmy Cliff, el Orange County Performing Arts Center,...), los lugares con música al aire libre (estupendísimos grupos de jazz tocando gratis por toda la cuidad), los barrios (los canales de Venice, el art decó de Pasadena y de la Miracle Mile,...), los museos (el LACMA, La Brea Tart Pits, una de las cosas más curiosas que se pueden ver en la ciudad, el California Science Center, el Getty Center y la Getty Villa, la Huntington Libary, con sus inmensos y cuidados jardines...), el Griffith Observatory, con las mejores exhibiciones sobre astronomía que se pueden ver y una de las mejores vistas de la cuidad, los edificios (además de los anteriores, está la impresionante Central Library y la Blue Whale, como le llaman al edificio del Pacific Design Center, con lo más actual en diseño y decoración) los parques, cañones y montañas que hay por toda la ciudad, la única con fauna salvaje en su interior (coyotes, pumas y serpientes cascabel incluidos), los campus universitarios, los lugares cercanos (San Francisco, Las Vegas, San Diego, Monterey, Tucson, Sedona, el Gran Cañón, la Baja California, ya en México,...) y todo lo que me dejo en el tintero.

En lo profesional, también se cumplieron objetivos. Dos trabajos aceptados, uno en revisión, dos más enviados para su publicación, otros dos a punto de hacerlo, un proyecto muy avanzado y otro en proceso, además de dar por terminada la tesis de un estudiante mío.

Pero lo mejor son los colegas y amigos que ahí dejamos y que esperamos volver a ver pronto. Algunos nos visitarán, a otros veremos en algún regreso, a otros veremos en quién sabe dónde, un congreso aquí, una coincidencia allá. La vida misma.

Gibraltar independiente

(Lowlight 3, publicado el 5/03/09)

Leemos en El País la indignación mostrada por el Gobierno ante la visita de la princesa Ana al Peñón. En ABC se nos cuenta cómo el PP exige la condena de la visita.

Lo de la indignación ya me parece un poco excesivo, pero supongo que, diplomáticamente es lo que toca. Lo de la condena me suena a otras cosas que no se aplican. No hablemos ya de la burrada del de la COPE, que poco menos quiere bombardear no sé si el hospital o la colonia entera.

Toda la actitud de España hacia Gibraltar es una cadena de despropósitos y absoluta falta de visión. Será achacable a la obcecación o a lo que sea, pero no es tan difícil ver alrededor maneras mejores de hacer las cosas. Pondré únicamente dos ejemplos:

Hong-Kong: Los británicos tomaron a perpetuidad Hong-Kong como colonia. Los chinos de paciencia milenaria les cedieron los Nuevos Territorios con fecha de caducidad. Cuando llegó esa fecha, la inviabilidad de Hong-Kong sin los Nuevos Territorios facilitó la devolución a China.

Andorra: Con idioma e idiosincrasias propias, España nunca amagó siquiera una anexión ni en tiempos de Reyes Católicos ni en otros más modernos. La coexistencia amigable hace que Andorra esté muy cercana a España (en lo social, en el fútbol,...) y que nos voten en Eurovisión.

En el tratado de Utrecht, si Gibraltar deja de ser colonia británica debe volver a España. Lo que en su día pareció una salvaguarda favorable a España es, en realidad, todo lo contrario. Si Gibraltar hubiera podido ser independiente como Andorra, Mónaco o San Marino, a estas alturas supondría tan poco problema como esos otros casos curiosos de la historia europea.

España debe reconocer la posibilidad de la independencia de Gibraltar. Los gibraltareños algún día podrán optar por ella (o el Reino Unido imponérsela). Ese día el Reino Unido y España serán los garantes de esa independencia. A partir de ahí la convivencia en amistad nos acercará. ¿Son las indignaciones, condenas o bombardeos una idea mejor?

Zenón de Elea, Lewis Carroll y Feyerabend

(Lowlight 2, publicado el 28/02/09) 

Nuestra Historia Más Grande Jamás Contada tuvo como centro el movimiento de los cuerpos. Sin embargo, la historia del pensamiento nos muestra lo difícil que es tener una idea clara de lo que es el movimiento.

Para Heráclito todo estaba en movimiento y en continuo cambio (no se puede bañar dos veces en el mismo río), mientras que para Parménides, lo inmutable del ser era la clave de la realidad (el ser es y no puede no ser). Zenón de Elea era discípulo de Parménides y quiso echar una mano a la defensa de las tesis de su maestro. Desarrolló para ello una serie de argumentos que mostraban la imposibilidad del movimiento y, por tanto, del cambio. El más famoso es el de Aquiles y la tortuga. Si le daba ventaja en una carrera, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga. Cuando llegara al punto de partida de la tortuga (A), ésta ya estará más adelantada (en B). Cuando Aquiles llegue al punto B, la tortuga habrá avanzado otro poco (hasta C). De esta manera habrá una serie infinita de recorridos que Aquiles tendría que completar antes de alcanzar a la tortuga. Una serie infinita solo puede ser recorrida en un lapso de tiempo infinito. Conclusión: Aquiles no alcanzará a la tortuga. Como esto ocurre para cualquier ventaja que tenga la tortuga, por pequeña que sea, se demuestra que el movimiento es imposible.

Es difícil saber si Zenón de Elea se creía realmente su argumento. Tal vez pensara que el mundo que llamamos real es sólo apariencia, y que esta apariencia es revelada por la razón, según sus argumentos. Aristóteles analizó las falacias en las paradojas de Zenón de Elea con resultado desigual, pero la anécdota atribuida a Diógenes el cínico, que se puso a caminar tras una lección de Zenón de Elea, mostrando que "el movimiento se demuestra andando", constituye su refutación más conocida. Pura razón práctica.

Propongo ver estos argumentos desde otra perspectiva (no digo que fuera la intención de Zenón de Elea, ya adelanto que no creo que sea el caso). Constituyen un ejercicio intelectual, una especie de adivinanza, un nudo (ayúdame a desatarlo, que escribió Lewis Carroll) que se propone al interlocutor: "Si eres tan listo, a ver si sabes encontrar la causa de la paradoja, pues solo si lo sabes hacer podremos creer que tu discurso sobre la realidad estará bien fundamentado." En este sentido soy amigo de las paradojas. No creo que cada uno tenga que saber resolverlas todas, pero sí que les reconozco su aspecto lúdico y su manera de hacernos reflexionar sobre nuestro raciocinio.

El propio Lewis Carroll planteó otra carrera entre Aquiles y la Tortuga. Ésta era una carrera lógica. En boca de la Tortuga, la primera proposición de Euclides dice:

(A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

(B) Estos dos lados de un triángulo son iguales a uno tercero.

Por tanto:

(Z) Estos dos lados son iguales entre sí.

Aquiles se queja y dice que la última proposición debe ser llamada (C), pues se sigue a continuación de (A) y (B). La tortuga afirma que, antes de concluir (Z) hay que aceptar la lógica del silogismo. Es decir, hay que aceptar:

(C) Si se aceptan (A) y (B) debe aceptarse (Z).

Aquiles accede y cree acabada la nueva carrera. Pero esta no ha hecho más que empezar, ya que ahora debemos introducir:

(D) Si se aceptan (A), (B) y (C) debe aceptarse (Z).

(E) Si se aceptan (A), (B) (C) y (C) debe aceptarse (Z).

... ... ...

Según la tortuga, nunca se aceptará (Z), y así nace otra paradoja, esta vez sobre la imposibilidad del movimiento, no ya en el mundo real, sino en la propia esencia de la razón, en la lógica.

En tiempos más recientes, hay filósofos que nos han traído nuevos argumentos sobre la imposibilidad del movimiento, esta vez en el progreso de la ciencia. Por ejemplo, Feyerabend viene a decir:

(A) No existe un método científico. Para toda regla o método, encontramos excepciones en la historia de ciencia.

(B) Si queremos despojar al método científico de todas las reglas que se han transgredido, nos quedamos con que "todo vale".

(C) De lo anterior se deduce que la ciencia no está en mejor posición que otras construcciones sociales como para demandar un status superior.

(D) Se deduce también un relativismo cultural por el cual podemos admitir que ciertas creencias que son verdaderas para nosotros no lo son para otros. Estas creencias se refieren no solo a gustos o cuestiones morales, sino también a afirmaciones acerca de la realidad física. No hay posibilidad de definir criterios que definan la objetividad y la razón. Así que objetivamente no hay que elegir entre las afirmaciones de la ciencia y de la astrología, por ejemplo.

Feyerabend escribía con un lenguaje muy directo, pero poco claro. No es de extrañar que continuamente se quejara de que no le habían entendido, especialmente cuando escribió su obra "Contra el Método". Acusaba a sus críticos de no distinguir entre chistes, ironías, paradojas y las ideas centrales del libro. Es lo que tiene no escribir con claridad.

Además de Feyerabend, hay corrientes post-modernas, hermenéuticas, deconstructivistas, ... que emplean argumentos de este estilo para criticar a la ciencia. Algunas veces se la tacha de machista, otras de occidental y, por tanto imperialista, y así sucesivamente. El hilo conductor parece ser algo así como:

(A) La ciencia es un quehacer humano (o un discurso, o lo que sea).

(B) Por tanto no está exenta de los problemas de todo que hacer humano (o de todo discurso, ...).

(C) Por tanto, sus construcciones o teorías estarán sesgadas y reproducirán los esquemas de poder - o los prejuicios, o lo que sea - de la clase dominante - o de los hombres, o de occidente, pon aquí tu fobia favorita -.

Es decir, que si hubieran sido mujeres asiáticas quienes hubieran estudiado el movimiento de los cuerpos, la ley de la gravedad sería distinta. Bueno, tal vez no esa en particular, pero sí alguna otra ley o teoría científica. Aunque no sabemos cuál, no nos lo dicen, no hablan claro.

Veo todos estos discursos como veo las paradojas de Zenón de Elea o la de Lewis Carroll. El primero tal vez se creyó sus argumentos, el segundo no (Lewis Carroll era profesor de matemáticas y de lógica). Los pensadores que las proponen harían bien en tomarlas como lo que son y no como argumentos verdaderos. Se arriesgan a quedar en ridículo frente a un Diógenes moderno, o frente a un Sokal.

La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 6.

(Lowlight 2, publicado el 20/02/09)

Einstein

La Teoría de la Relatividad Especial

Einstein, el científico más famoso de todos los tiempos, propuso una teoría completamente revolucionaria que pondría a prueba toda nuestras intuiciones sobre el espacio, en tiempo, la masa y la energía, entre otras cosas. Y lo hizo basando toda la física en dos postulados:

1.- Las leyes de la física deben ser las mismas para todo sistema inercial. (En realidad, esto ya estaba en Galileo.)

2.- La velocidad de la luz es una constante universal.

El segundo postulado está diciendo que, a partir de ahora, no serán el espacio ni el tiempo los elementos primitivos de nuestra teoría, como lo era con Newton, sino la velocidad. Y no cualquier velocidad, sino la de la luz. Bueno, en realidad la de cualquier onda electromagnética. Como la velocidad de la luz no se acomoda al espacio y al tiempo de los distintos observadores en distintos sistemas de referencia (recuerda: el tren o la estación), serán el espacio y el tiempo de estos observadores los que se acomoden a las consecuencias de mantener la velocidad de la luz constante.

¿Y cuáles son esas consecuencias? Para responder conviene reformular los dos postulados anteriores en otros dos equivalentes:

1.- El tiempo es otra dimensión que añadir a las tres espaciales.

2.- Todo cuerpo se mueve a la velocidad de luz en el espacio-tiempo.

- ¿Qué?

- Tal como lo oyes.

Aclaremos lo de la dimensión del tiempo. No es que el tiempo sea igual que el espacio, sólo que, con las dimensiones del espacio, forma el Universo en el que estamos. Cuando tratamos el Teorema de Pitágoras en la Parte 2 de esta Historia Más Grande Jamás Contada vimos cómo calcular el desplazamiento al Norte si sabíamos el desplazamiento total y el desplazamiento al Este. En ese caso todos los desplazamientos se medían en kilómetros. Si una dimensión es tiempo, habrá que ver cómo pasamos de kilómetros a segundos. Para eso necesitamos dividir la distancia entre una velocidad. Si recorremos 100 Km a 50 Km/h tardaremos 100/50 = 2 horas. El siguiente postulado nos dice que será la velocidad de la luz la que usaremos.

Aclaremos eso de que todos nos movemos a la velocidad de la luz. Recordemos que no nos movemos en el espacio, sino en el espacio-tiempo. No nos extraña decir que todos nos movemos en el tiempo. Sin hacer nada, el tiempo pasa, y lo hace a la velocidad de la luz. Ahora, en lugar de decir que nos movemos en el tiempo, diremos que nos movemos en el espacio-tiempo. De hecho, lo que llamamos aumentar la velocidad en el espacio no es aumentar la velocidad en el espacio-tiempo, sino sólo alterar la dirección del movimiento (pasando del eje del tiempo al eje del espacio).

Veamos lo que ocurre cuando introducimos estos postulados en un sistema espacio-temporal. Para simplificar, supondremos que sólo tenemos una dimensión espacial. El eje vertical indica el tiempo y el horizontal el espacio. La flecha en el eje vertical indica el transcurso de un segundo, la del eje horizontal, 300.000 Km. Ambas indican cuánto se avanza a la velocidad de la luz, si se va sólo en una dirección.

¿Qué ocurre si una persona se desplaza en el espacio, no a la velocidad de la luz, sino a 100.000 km/s? Para fijar ideas, supongamos que tenemos a dos gemelos viajando por el espacio en la nave Enterprise, y que uno de ellos coge un transbordador de la nave y se aleja de ella a 100.000 Km/s. La flecha en dirección oblicua nos ilustra su movimiento por el espacio-tiempo. Esta flecha es igual de larga que las de los ejes (son vectores con el mismo módulo).

Resumamos. Tenemos un triángulo, en el que la hipotenusa mide 300.000 Km y un cateto mide 100.000. Por el Teorema de Pitágoras podemos calcular el otro cateto, cuya medida llamaremos C:

300.000² = 100.000² + C²

Resolviendo la ecuación tenemos que C²= 90.000.000.000 - 10.000.000.000, o bien

C²= 80.000.000.000, y de ahí

C = 282.842 Km.

Pero en el lado C tenemos tiempo, no distancia en el espacio, así que debemos transformar esos kilómetros en tiempo. Si 300.000 kilómetros son un segundo según la constancia de la velocidad de la luz, 282.842 Km. serán, por simple regla de tres, 0,94 segundos. Ese es el lapso de tiempo que avanza en el futuro el gemelo que se alejó del Enterprise a 100.000 Km/h. Esta velocidad está medida por el hermano gemelo que se quedó en la nave, es para este observador que el tiempo del móvil avanzará menos en el futuro.

Para el gemelo que se alejó, su transbordador es un sistema de referencia perfectamente válido. Según él, no se mueve, y no notará nada en su línea temporal. Aclaremos, sabe que ha encendido motores y que se aleja del Enterprise, pero una vez que alcanza los 100.000 Km/s está siguiendo, por la inercia, una trayectoria rectilínea a una velocidad constante. En este momento es tan acertado decir que el transbordador se aleja del Enterprise como decir que es el Enterprise el que se aleja del transbordador. Si el gemelo viajero da la vuelta y regresa a encontrarte con su hermano, lo encontrará más viejo, pero si el gemelo acerca el Enterprise para encontrase con su hermano, volverán a tener la misma edad.

Pongamos que ninguno acelera su nave para que se encuentren de nuevo. El gemelo que se alejó no nota nada en su línea temporal, pero su línea temporal está yendo más lenta que la del que se quedó en el Enterprise. Si mide la velocidad de la luz (de cualquier rayo de luz, venga de su nave o de cualquier otra), verá que sigue siendo 300.000 Km/s, así que le faltan 300.000 Km/s para acercarse a esa velocidad a pesar de que ya se aceleró hasta los 100.000 Km/s. Todo su esfuerzo no le ha servido para acercarse un ápice a la velocidad de la luz. Esta es la consecuencia de que su velocidad, con respecto a él mismo, es cero y de que la de la luz sea siempre la misma.

¿Cómo ve las cosas su hermano? Desde el Enterprise, su hermano mide la misma velocidad de la luz y mide la velocidad su alejamiento, 100.000 Km/s, así que, visto desde el Enterprise, el gemelo del transbordador ha alcanzado una tercera parte de la velocidad de la luz. No está mal.

Sigamos. El gemelo del transbordador sigue en su empeño en buscar la velocidad de la luz, así que vuelve a encender los motores, pero antes suelta una baliza como referencia (la baliza se moverá a 100.000 Km/s vista desde el Enterprise, pues conserva la misma inercia que el transbordador). Pongamos que el transbordador se acelera hasta alejarse de la baliza a otros 100.000 Km/s. ¿Qué ocurrirá?

-Desde la referencia de la baliza, el transbordador se aleja, efectivamente, a 100.000 Km/s.

-Desde el transbordador, su velocidad con respecto a sí mismo sigue siendo cero y la velocidad de la luz, 300.000 Km/s. Sigue sin acercarse.

-Desde el Enterprise ¿se le ve alejarse a 200.000 Km/s? Pues no.

Recordemos que el tiempo del gemelo del transbordador iba más despacio que el del Enterprise, así que, cuando el del transbordador acelera hasta sus 100.000 Km/s respecto de la baliza, se está alejando a una velocidad menor medida desde el Enterprise. Con un tiempo más lento necesitará más de un segundo de los suyos para recorrer 100.000 Km vistos desde el Enterprise. Así, el Enterprise le verá alejarse a menos de 200.000 Km/s. ¿Cuánto menos? Habría que repetir los cálculos como los de arriba. Obviaremos esta parte, pero observaremos que, en el triángulo de la figura, a pesar de que 100.000 Km/s. apenas ralentizan el tiempo (un segundo se convierte en 0,94), a medida que aumentamos la velocidad y la línea oblicua se acerca al eje del espacio vemos que la contracción del tiempo aumenta cada vez más (mucho más). Esto quiere decir que, a medida que el gemelo del transbordador aumenta la velocidad, su tiempo acaba ralentizándose muchísimo y lo que pare él es un nuevo aumento de 100.000 Km/s. acaba siendo apenas un aumento insignificante medido desde el Enterprise.

Sí, se dirá, pero sumando aumentos pequeños, podrá sobrepasar la velocidad de la luz. Pues, otra vez, no. A base de aumentos pequeños podrá acercarse cada vez más, pero nunca llegar, visto desde el Enterprise. Desde su transbordador seguirá sin acercarse nada. Una suma infinita de sumandos no tiene por qué ser infinita si cada sumando es una proporción del anterior. Así la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... es exactamente uno. Uno el límite al que se acerca esta suma cada vez que se añade un sumando, pero que nunca sobrepasa. Esto le ocurre al gemelo del transbordador con su velocidad y la de la luz. Insisto, visto desde el Enterprise. Ese poco que le falta para acercarse a la velocidad de la la luz, visto desde el Enterprise, siguen siendo 300.000 Km/s vistos desde el transbordador.

Mis disquisiciones:

1.- Este moverse cada vez más rápido y no acercarse lo más mínimo a la velocidad de la luz me recuerda a la loca carrera de los personajes de Alicia, que tenían que correr lo más rápido que pudieran para quedarse en el mismo sitio. Algún aficionado a las profecías debería reivindicar que Lewis Carroll predijo la Teoría de la Relatividad, tendría más sentido que los disparates que se dicen de Nostradamus o del Apocalipsis.

2.- Hemos visto que acelerarse implica cambiar la línea temporal y que, con ello, cambia la velocidad. También implicará alterar la medida de las distancias y la medida de las masas (siempre en relación a las medidas de los que no se aceleraron con nosotros).

3.- Einstein no recibió el Premio Nobel por la Teoría de la Relatividad, sino por sus estudios sobre el efecto fotoeléctrico. No que nadie pensara que la Relatividad no fuera más importante, pero se pensaba que todavía había que hacer muchas comprobaciones para validarla. Así de cauto es el avance científico.

4.- Galileo y Einstein propusieron teorías que contradecían el conocimiento asentado hasta ellos (Aristóteles y Newton, respectivamente). Hay gente que propone teorías que contradicen lo que sabemos hoy acerca del mundo y que se reivindican en estos dos genios para insistir en sus propuestas. Estas personas deberían aprender la lección de que ni Galileo ni Einstein tuvieron problemas para convencer a los científicos coetáneos suyos, una vez que examinaron la evidencia. Sí tuvieron problemas para convencer a los no-científicos. Así de abierta es la mente científica y de cerrada la no-científica. Si, p.e., la homeopatía no es capaz de presentar esa evidencia, poco tiene para ampararse en estos dos genios. Afirmaciones extraordinarias requieren de evidencia extraordinaria. Galileo y Einstein cumplieron; homeópatas, parapsicólogos y otros esotéricos, no.

5.- Después de todo, tal vez Galileo y Einstein no contradijeron tanto a sus predecesores. Es cierto que poner a la Tierra en el centro del Sistema Solar es muy distinto que poner al Sol, pero si uno no sale de la Tierra, el modelo Geocéntrico es una buena aproximación a lo que observamos desde ella. En este sentido el modelo Heliocéntrico no es tan revolucionario (para las mediciones científicas, para los papas que juegan a ser Dios, creyendo saberlo todo, será otra cosa). Lo mismo ocurre con la física de Newton. Es una buena aproximación a la realidad cuando las velocidades son medianas, y lo es tanto que se sigue usando para enviar módulos a la Luna o a otros planetas del Sistema Solar.

Lowlights

Estamos en agosto. Será un mes un poco ajetreado, con la vuelta a Madrid, despedidas y bienvendidas. No sé si podré dedirle el tiempo suficiente a escribir nuevas entradas que sean de interés, así que he pensado hacer algunas reposiciones de otras antiguas. 

En lugar de hacer una selección de las de más éxito, creo que voy a reponer algunas que pasaron desapercibidas por pertenecer a los comienzos del blog, cuando casi nadie me seguía (menos que ahora, imagínense) y que creo que estaban bien.

Inventar o descubrir

Muchos matemáticos opinan que las matemáticas se descubren y no se inventan. Una razón poderosa para sostener esto es que los teoremas matemáticos, efectivamente, se descubren. Nadie puede inventar un teorema. Se puede inventar una definición o una operación, pero, una vez hecho esto, los resultados que se siguen no son objeto de invención. La cuestión, por tanto, es si los axiomas de las matemáticas (los que definen los números o los conjuntos, por ejemplo), y las operaciones que definimos (la suma de dos números, la intersección de dos conjuntos) son inventadas o descubiertas.

No sé muy bien qué decir sobre esta cuestión que sea consistente con las definiciones de ambos términos. Creo que no son demasiado relevantes para la cuestión que creo interesa, a saber, si las matemáticas que construimos con ellas son las que crearía cualquier civilización inteligente. Si la respuesta es positiva querría decir que estamos haciendo las matemáticas “naturales”, por así decirlo. Si es negativa, en cambio, estaríamos, por una parte, tal vez perdiendo el tiempo en ejercicios intrascendentes y, por otra, tal vez “descubriendo” cosas únicas e interesantes que intercambiar con otras civilizaciones.

Las matemáticas son un sistema formal. El ajedrez, también. Cabe poca duda en pensar que otras civilizaciones habrán inventado otros juegos, pero no el ajedrez. Poca duda también en decir que, dados los axiomas y las reglas del ajedrez (descripción de la posición inicial de las piezas y de cómo pueden mover), también los extraterrestres inteligentes podrán saber si Rey y Torre pueden dar mate a un Rey solo.

En matemáticas tenemos confianza en que otras matemáticas hayan definido los números y las operaciones básicas, menos en que hayan definido conjuntos y funciones como nosotros, aunque mucha, otra vez, de que hablen de las relaciones trigonométricas y exponenciales, por ejemplo. El interés que puedan tener sobre la hipótesis de Riemann es un misterio.

Como hay quienes opinan que muchos de los conceptos matemáticos se descubren en el sentido de decir que son definiciones “naturales”, hay quien dice que los matemáticos, o muchos de ellos, son platónicos (con algún neo por delante, para más modernidad).

Decir que si podemos inventar el ajedrez es porque ya había antes una idea de “ajedrez” es algo que podemos hacer, pero no sé de qué sirve decir eso. No, desde luego para mostrar la existencia de algo trascendente a la naturaleza. Lo único que dice es que antes de pensar nada sobre el Universo hace falta un Universo sobre el que pensar.

No veo que la situación con las ideas que nos son más intuitivas y naturales sea muy distinta. Tenemos una idea bastante precisa sobre algunas cosas cercanas. Reconocemos los caballos y eso nos hace pensar en una idea de caballo que nuestra mente descubre. Pero no somos tan precisos como parece. Fácilmente uno se confunde y engloba a los mulos o a las cebras con los caballos, o deja de lado a los ponies. Cuando hablamos de cosas menos familiares (no veo que nuestra mente tenga una idea clara de lo que es material, espacio o tiempo, a pesar de que así nos lo parezca) es difícil pensar en ideas que descubrimos y es más fácil hablar de definiciones que nos van siendo útiles a medida que seguimos avanzando en la aventura del saber.

Lo mismo nos pasa con esa ciencia tan apriorística como es las matemáticas. Si la inventamos o la descubrimos es una cuestión de interés, pero en su nivel, en el de la naturalidad de sus definiciones, no en el de mostrar esencias o trascendencias en el Universo, cosas que no se sabe muy bien lo que son (por decirlo suave), que nadie ha encontrado y cuya aceptación, por otra parte, ningún conocimiento aportan.