sábado, 14 de febrero de 2009

La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 2.

Aristóteles, Euclides y Pitágoras

En la Parte 1 vimos cómo los antiguos griegos supieron de la redondez y del tamaño de la Tierra. Para ellos, sin embargo, la Tierra era el centro alrededor del cuál giraban en círculos el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas. Aristóteles postuló que Cielo y Tierra debían obedecer leyes establecidas. Para los objetos en la Tierra algunas de estas leyes eran:
  1. Los objetos tienden a caer al centro de todo; es decir, al centro de la Tierra.
  2. Los objetos en movimiento tienden al reposo.
  3. Los objetos más pesados caen más rápidamente y con velocidad proporcional a su peso.
Para los objetos celestes, las leyes eran otras:
  1. Los objetos celestes se mueven en círculos alrededor de la Tierra.
Esta visión del mundo permaneció inalterada prácticamente hasta Galileo. Casi dos mil años transcurrieron de “Aristóteles dixit”. Es cierto que de vez en cuando se planteaban hipótesis alternativas, pero no fue hasta Copérnico y Galileo que la visión del mundo cambiaría para siempre y para la mayoría de la gente educada.

¿Y Pitágoras qué pinta en esto? No es que nos enseñara acerca de la forma de la Tierra y de cómo se mueven las cosas en ella o en torno a ella, pero sí que su famoso teorema (no es suyo, pero se llevó la fama) nos dio una de las claves de la geometría plana. Euclides lo demostró a partir de sus famosos postulados, con los que construyó toda su geometría. El teorema es interesante en sí mismo y, además, nos va a se muy útil en la Teoría de la Relatividad Especial (sin gravedad). No es la única relación entre la Geometría griega y la Relatividad; la negación del quinto postulado de Euclides abre las puertas a la geometría que Einstein necesitó para su Teoría de la Relatividad General (con gravedad). Tanta relación entre griegos y Einstein guarda una sorpresa final, ya que Einstein nos ha legado la demostración más sencilla y elegante del teorema. No resisto la tentación de ponerla (la tomo de pseudópodo). Ahí va:

En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área Sa; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será Sb. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área Sc.

Estos tres triángulos son semejantes (iguales excepto en el tamaño) porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal (si doblamos el lado de un cuadrado de 1 a 2, su área pasa de 1 a 4). Podemos escribir por tanto que:

Sa = k·a2


Sb = k·b2


Sc = k·c2

donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica) y a2 significa a elevado al cuadrado (a multiplicado por a, y lo mismo con b y con c).

Además, es obvio que

Sc = Sa + Sb

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,

c2 = a2 + b2

Gracias al Teorema de Pitágoras podemos descomponer cualquier movimiento en sus componentes independientes. Si un cuerpo se mueve a lo largo del lado “c” del triángulo, digamos en dirección Noreste, avanzará la distancia del lado “a” en dirección Este y la distancia del lado “b” en dirección Norte. Si sabemos cuánto ha avanzado (c) y cuánto se ha desplazado al Este (a), por el Teorema de Pitágoras podemos calcular cuánto se ha desplazado al Norte (b). Sabemos que a2+b2=c2, así que despejando “b” calculamos el desplazamiento al Norte. Aquí empieza la paradoja de los gemelos de Einstein.
Mis comentarios:

1.- Las leyes de Aristóteles para los cuerpos terrestres no están del todo mal si tenemos en cuenta el rozamiento. Sólo la parte que dice que la rapidez de la caída es proporcional al peso es imperdonable.

2.- Si reemplazamos círculos por elipses, la ley de los cielos tampoco está muy mal. Claro que coloca a la Tierra en el centro, pero como dijo alguien (¿Einstein?): ¿cómo se vería el cielo si el Sol diera en verdad vueltas alrededor de la Tierra?

3.- Los griegos sabían que la Tierra era redonda, pero desarrollaron una geometría plana. Para ellos, la Tierra redonda no era el espacio. La Tierra tenía la figura más perfecta que hay en el espacio, la esfera. Importa la geometría del espacio, no la de la Tierra.

4.- Además, localmente, el Teorema de Pitágoras funciona muy bien en la superficie terrestre. Mientras uno no se vaya muy lejos, la Tierra puede considerarse plana. De hecho, la forma de la Tierra puede ser muy distinta según lo que queramos hacer. Para calcular las posiciones relativas con el Sol, la Luna y los planeta, basta considerar que es un punto. Para otras tareas, necesitaremos considerar que es un pliegue del espacio-tiempo. Ya llegaremos a ello.

5.- La teoría de la Tierra plana es falsa para casi cualquier acepción coloquial de la palabra. Si la acepción excusa una aproximación, entonces la teoría no será falsa en ese sentido. Más importante que ser falsa o cierta, importa que nos sea útil. Puede ser útil para andar por las calles de la ciudad (ver punto anterior) o puede ser útil para mejorar la propia teoría. La Tierra plana implica una manera en que se dejarían de ver los barcos que se alejan del puerto. Es decir, la teoría es falsable en el sentido de Popper y por eso es útil, porque nos indica dónde mirar para ver si esta teoría se sostiene y, si no lo hace, nos da pistas sobre qué cambiar. La Astrología es también, en casi cualquier sentido coloquial de la palabra, falsa. Pero no pasa de ahí, tampoco es cierta ni por aproximación. Ni es útil ni es falsable. Por eso no ha cambiado sustancialmente en siglos.

6.- Apostilla al final del punto anterior. La Astrología, al no ser falsable (cualquier cosa puede pasar sin que los astrólogos vean una contradicción con sus enunciados) podemos decir que, en ese sentido, no es falsa. Hay algo peor que ser falso: ser un sinsentido. De las falsedades podemos aprender, de los sinsentidos no. De la expresión "2+2=5" podemos decir que es falsa (eso bueno que tiene). De la expresión "2+%=<" no podemos decir ni eso (y eso es lo malo que tiene): ¡Ni siquiera es falsa!

11 comentarios:

  1. Tu comentario 6 sobre la falsedad y el sinsentido me parece genial. Es un buen punto de partida para hablar de demarcación entre ciencias y pseudociencias.

    He escrito algo sobre el teorema de Pitágoras en el mundo babilonio que te puede interesar.

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  2. Gracias por la visita. Ya he visto tu entrada y no sabía que el teorema venía de tan antiguo. Sabía lo de los egipcios, pero no lo de los babilonios. Siempre sorprende el nivel de conocimientos que llegaron a tener las civilizaciones antiguas. No sé por qué hay gente a la que eso no le basta y les atribuyen otras sabidurías esotéricas.

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  3. José Luis:

    Cuando leí la Física de Aristóteles tuve la impresión de que las explicaciones aristótélicas del movimiento se ajustaban a explicar la caída de objetos en medios viscosos. Como si hubieran observado la caída de objetos de diferentes pesos en distintos líquidos disponibles entonces como agua, aceite o miel. Si dejas caer un objeto del doble de peso, por la ley de Stokes tarda la mitad de tiempo en alcanzar el fondo. Y el tiempo es directamente proporcional a la viscosidad.

    Imaginemos por ejemplo distintas vasijas con distintas disoluciones de miel en agua y dejar caer en ellas objetos de distintos pesos. No es muy descabellado pensar que los aristotélicos realizaran observaciones experimentales, aun con todas sus limitaciones de concepto y de diseño.

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    1. No hay constancia de esa experimentación. Con todo, es cierto que las observaciones en la atmósfera lo son en un medio viscoso, y que todo movimiento observado tiene un rozamiento. Con Aristóteles tenemos un primer acercamiento al movimiento, incompleto por esta razón, pero que por lo mismo hay que saber apreciar.

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  4. Claro que no hay constancia. Dije que al leer la argumentación pensé que trataban de ajustarse a lo que se ve en medios viscosos. Te copio el pasaje:



    "Además, lo que afirmamos es evidente también por las siguientes consideraciones. Vemos que un mismo peso y 25 cuerpo se desplaza más rápidamente que otro por dos razo nes: o porque es diferente aquello a través de lo cual pasa (como el pasar a través del agua o la tierra o el aire), o por que el cuerpo que se desplaza difiere de otro por el exceso de peso o ligereza, aunque los otros factores sean los mismos.

    Ahora bien, el medio atravesado es causa porque obsta culiza, sobre todo cuando el cuerpo se mueve en sentido 30 contrario, pero también si está en reposo; y es tanto mayor cuanto menos fácil de dividir sea, esto es, cuando el medio tiene una densidad mayor.

    Así, el cuerpo A se desplazará a través del medio Β en 215b el tiempo C, y a través del medio D (que es menos denso) en el tiempo E; si las longitudes de Β y D son iguales, los tiempos C y E serán proporcionales a la resistencia del me dio. Sean entonces Β agua y D aire; en cuanto que el aire es más ligero y menos corpóreo que el agua, A pasará más 5 rápidamente a través de D que a través de B. Habrá entonces entre ambas velocidades la misma proporción que aquella por la que el aire se diferencia del agua. De esta manera, si el aire es dos veces más sutil que el agua, A pasará a través de Β en el doble de tiempo que a través de D, y por tanto el tiempo C será el doble que el tiempo E. Y siempre, cuanto 10 más incorpóreo y menos resistente y más divisible sea el medio a través del cual el cuerpo se desplaza, tanto más rápidamente lo atravesará."

    Física, L IV-8

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  5. Sólo trataba de explicar que los aristotélicos eran observadores de la Naturaleza (Teofrasto, un gran botánico) y que muchas de sus ideas eran intentos de explicar lo que se observa no frases "sacadas de una manga". Como primeras aproximaciones no están mal ;-) y hay que tener en cuenta que el aristotelismo decae y queda en manos de neoplatónicos primero y de teólogos cristianos después.

    Se suele ver a Aristóteles a través de sus comentadores y sus "intérpretes" y eso lleva una inevitable carga de tergiversación. Pero comparando a Aristóteles con lo que le rodeaba supone un gran paso adelante en la naturalización de la Filosofía. Comparado con Arquímedes pierde, por supuesto, pero Arquímedes es posterior.

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    1. Tiendo a pensar así. Lo primero que he dicho de las leyes de Aristóteles es que no están del todo mal. Supuso un comienzo, y él no tiene la culpa de que durante siglos la ciencia se estancara y le citaran usando el argumento de autoridad.

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  6. Mi comentario no trataba de contradecirte sino de añadir un dato y una impresión: los aristotélicos trataban de explicar lo observado y posiblemente hacían algo más que observar y algo menos que experimentar, pero un gran adelanto en todo caso con respecto a la mera dialéctica platónica.

    Es una cuestión interesante para la filosofía de la ciencia explicar cómo los griegos no desarrollaron una ciencia como ocurre tras Galileo. Porque tampoco es que en época de Galileo hubiera más científicos ni el medio cultural fuera más favorable a la ciencia. Pero es un hecho que las ciencias se estancan en pleno desarrollo de la sociedad romana, con seguridad en las comunicaciones a larga distancia, paz y prosperidad económica. Parece una paradoja.

    Después la filosofía se estanca porque deja de ocuparse de la Naturaleza y comienza a ser una parte de la teología, de gente que pensaba mucho pero que no se acercaba a medir y pesar.

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  7. Otro ejemplo de la Física IV-8


    "Además, nadie podría decir por qué un cuerpo movido 20 se detendrá en alguna parte. ¿Por qué aquí y no allá? Luego o tendrá que permanecer en reposo o se desplazará forzo samente hasta el infinito, a menos que algo más poderoso se lo impida.

    Además, se piensa que las cosas se desplazan hacia el vacío por el hecho de que cede, pero esto se cumpliría por igual en la totalidad del vacío, de suerte que se desplazaría en todas las direcciones."


    Es curioso que considera la posibilidad del movimiento "inercial" pero ¡LA DESCARTA!

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    1. Vaya. Eso no lo sabía. Los clásicos siempre nos sorprenden.

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