lunes, 24 de julio de 2017

El dormilón


De la ciudad A parten aviones hacia la ciudad B. La mitad van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). Esta información se conoce en A, pero no en B. Las autoridades de la ciudad B quieren saber cómo llegan los aviones, así que hacen una encuesta. En la terminal de llegadas preguntan aleatoriamente a los pasajeros que llegan de A cómo venía de lleno su vuelo.

El pasajero K hace el viaje de A a B, pero lo hace dormido y sin reparar en lo lleno que va su avión. Cuando le preguntan en el aeropuerto al llegar a B, no sabe qué contestar, pero sí que tendrá una idea acerca de cuál es la probabilidad de haber venido en un vuelo medio lleno o en un vuelo lleno. ¿Cuál es esta probabilidad?

domingo, 23 de julio de 2017

Los científicos se lo montan con modelos

La importancia de tener un modelo para pensar sobre la realidad nunca debe ser desdeñada. De otra manera es difícil saber de qué estamos hablando. Véase, si no, esta entrada en el Otto Neurath o esta otra mía semanas atrás. Uno de los ejemplos más sencillos, a la vez que ilustrativo, es la paradoja de Monty Hall.

Monty Hall es el presentador de un concurso televisivo. Una de las situaciones en las que se suelen ver inmerso el concursante es la siguiente. Debe elegir entre tres puertas, una de las cuales tiene tras ella un premio. Las otras dos no guardan nada. El concursante elige la puerta A y, a continuación Monty Hall abre una de las otras dos puertas, pongamos que sea la B, y se ve que no hay premio. Monty Hall le da la oportunidad al concursante de cambiar y elegir la C, si quiere. ¿Debe el concursante cambiar de puerta?

Esta es una vieja paradoja y no es mi intención elaborar sobre ella. Sólo la tomo de referencia para ilustrar la necesidad de los modelos. Tal como yo he descrito la historia, nos falta saber cómo se ha llegado a la situación descrita. En particular, es necesario saber si Monty Hall sabía dónde estaba el premio y si, sabiéndolo, deliberadamente escoge la puerta en que sabe que no está.

Si Monty Hall abre una puerta al azar y sucede que no hay premio, las probabilidades a priori de que el premio esté tras A o tras C siguen siendo iguales (el 1/3 de probabilidad de B se pasa a medias a A y a C, quedando en 1/2 cada una) y el concursante no gana nada por cambiar.

Si, en cambio, Monty Hall sabe dónde está el premio y abre una puerta donde sabe que no está, la probabilidad de 1/3 de B se va toda a C, de manera que al concursante le conviene cambiar.

El modelo lo es todo. Intentar responder a la cuestión sin especificar qué caso tenemos en mente solo nos puede llevar a un gran dolor de cabeza tras una larga discusión.

Aclaro dos cosas. La formulación original de la paradoja narraba el segundo escenario. Sin embargo, mucha gente pensaba que la solución seguía siendo 1/2 y que no hacía falta cambiar. No me molesto en hacer los cálculos y las explicaciones de cómo se llegan a estas conclusiones porque está en cualquier página dedicada al asunto, incluidas las entradas en la wikipedia y en la ilustración que abre esta entrada. Pinchad sobre ella para verla completa.

sábado, 22 de julio de 2017

La razón moral en democracia


(¿Un hombre un voto? - ¿No es eso lo que he estado haciendo?)

He aquí otro problema, esta vez mucho más serio y general, sobre cómo no es posible deducir reglas que obedezcan a principios aparentemente bien racionales, simplemente porque no existen. Esto obliga a elegir reglas imperfectas, por así decirlo, sobre las cuales habrá disparidad de opiniones.

El problema es el de elegir un sistema de elección social (p.e. un sistema de votaciones). No queremos uno cualquiera (p.e., el que elija la opción que obtenga 4.533 votos), así que convengamos unos mínimos de coherencia. Para facilitar la decisión centrémonos en los sistemas en los que hay que elegir una alternativa entre varias (un presidente, un proyecto ciudadano, un sí o un no en un referéndum,…). He aquí los criterios.
  1. Transitividad. Si se determina que A se elige ante B y B ante C, entonces A debe ser elegido frente a C.
  2. Unanimidad. Si todo el mundo prefiere A a B, entonces se elige A.
  3. Independencia de alternativas irrelevantes. La elección entre A y B depende sólo de las preferencias que los individuos tengan sobre A y B.
  4. No dictadura. La regla no elige siempre según las preferencias de un individuo en particular.
El punto 3 merece un poco más de explicación. Imaginémonos que estamos en un restaurante y pedimos la carta. Nos dicen que hay carne y pescado. Elegimos la carne. En ese momento, el camarero nos informa de que también hay ancas de rana. Ante la nueva información elegimos pescado. Este extraño cambio de parecer es el que evita la independencia de alternativas irrelevantes.

Estos puntos son perfectamente formalizables matemáticamente. Arrow lo hizo y, a continuación, enunció y demostró que no existe ninguna manera de elegir socialmente que cumpla los cuatro principios. Además, se ganó el Nobel. El esquema de la demostración es ilustrativo. Lo que hizo fue suponer que se cumplen los primeros tres puntos y demostró que sólo la regla dictatorial los cumple.

Así que, o bien aceptamos a un dictador, o tenemos todos las mismas preferencias o tenemos que renunciar a algún otro principio. De nuevo, no existe la regla racional de elección. En particular, tampoco existe el sistema de votaciones ideal.

viernes, 21 de julio de 2017

La razón moral en bancarrota


Propongo considerar un pequeño problema moral para el que la razón pura (sea lo que sea eso) es incapaz de ofrecer una solución. El ejemplo, por ser tan mundano él, no debería preocupar a los proponentes de una moral basada en la razón. Aún así lo propongo porque ayudará a entender la postura de quienes no creemos posible que la razón pueda dar ningún salto para poder deducir lógicamente la moral.

Este es el ejemplo:

Una empresa se declara en bancarrota. Sus activos están valorados en 120, pero tiene dos acreedores a quienes debe 60 y 120, respectivamente. ¿Cómo se dividen los activos entre los acreedores?
  • Regla igualitaria: Se reparte entre ellos a partes iguales, 60 para cada uno.
  • Regla proporcional: Se reparte proporcionalmente a la deuda, 40 para el primero, 80 para el segundo.
  • Regla del Talmud: El primero reclama la mitad, el segundo todo. La mitad que reclaman los dos se reparte a medias (30 para cada uno). La segunda mitad que reclama sólo el segundo es para él (60 más para el segundo). El reparto queda así: 30 para el primero y 90 para el segundo.
¿Cuál es el reparto moralmente justo?

No es posible saberlo. Cada uno obedece a un principio distinto, todos tienen en cuenta cierto principio de igualdad, pero cada regla lo trata de forma distinta. De hecho podríamos imaginarnos muchas más, todas sensatas. Podemos poner un mínimo asegurado para cada acreedor y un reparto proporcional del resto de la deuda, o hacer el reparto proporcional al logaritmo de la deuda (por aquello de que más dinero da cada vez menos felicidad), o dárselo todo al más rico (la regla Reaganiana), por poner unos pocos ejemplos más.

Esta es la discusión:

El problema es interesante porque está perfectamente definido. Si se dice que hacen falta más datos, por ejemplo sobre quién es cada uno de los acreedores, supóngase que son dos personas exactamente iguales excepto por su posición en este caso de bancarrota. Ni aún así podemos deducir una u otra regla de reparto sin mediar por medio algún otro principio que implique esa regla en particular. Esto no tiene por qué ser redundante. En teoría de juegos hay toda una rama dedicada a derivar fórmulas de reparto a partir de axiomas deseables. Ocurre que cada regla obedece a un subconjunto particular de estos axiomas y que ninguna regla los puede tener todos. En otras palabras, muchos axiomas que son deseables son incompatibles entre sí. Fijémonos que la elección de los axiomas será convencional, mientras que será la razón la que nos lleve de esa elección de principios a una regla de reparto (si es posible) o a concluir que una regla que satisfaga esos axiomas no existe.

Todo eso está muy bien, se objetará, pero la razón moral no se mete con asuntos mundanos como el de la bancarrota (con permiso del Corán, del Talmud y de los códigos civiles y mercantiles, supongo), sino con problemas más importantes. Es posible, pero mi argumento es que los intentos para sustentar una moral en la razón se enfrentarán siempre a este tipo de problemas.

¿Por qué lo creo? Por dos razones. Primera, porque en todos los problemas que se han podido analizar con rigor (bancarrota, negociación, votaciones, provisión de bienes públicos, agregación de preferencias,…) se han encontrado estos problemas. Segunda, porque los que proponen que tal empresa es posible no han conseguido avanzar un milímetro. Todos los avances han sido a partir de concesiones en los principios o a partir de una formulación de acuerdos normativos sobre qué es lo deseable: un punto económicamente eficiente, un punto aceptable tras el velo de la ignorancia, un punto de equilibrio, un punto en el que no haya envidias, una cesión de soberanía a un líder o algún otro principio por el estilo. Todo ellos serán perfectamente discutibles por personas razonables.

jueves, 20 de julio de 2017

Al monte se va con botas: El dilema del prisionero

Para que no se me acuse de meterme siempre con la metafísica, hoy propongo otro tema en el que observamos a la gente echándose al monte sin un buen equipo. Para más señas, esta gente estará individualizada en un autor muy apreciado por mí, como se puede comprobar por las entradas que en este blog hasta ahora han sido.

El monte al que vamos de excursión es el dilema del prisionero. Quienes conozcan este juego pueden pasar a los párrafos siguientes. Para quienes no lo conozcan, aquí va la versión más famosa.

Dos presuntos delincuentes son apresados por perpetrar un crimen. La policía los separa y le dice a cada uno de ellos lo siguiente: No tenemos pruebas de que seáis los autores, pero si tú confiesas y tu compañero no, tú sales libre por colaborar con la justicia y tu compañero se carga con toda la culpa (diez años de cárcel). Si los dos confesáis, os repartís la culpa (siete años a cada uno). Si ninguno confiesa os acusaremos de un delito menor (posesión ilícita de armas) y pasaréis cada uno un año en la cárcel. Una tabla nos ayuda a entender el juego:

                     Confesar     No confesar
Confesar          7,7                0,10
No confesar   10,0                 1,1

Así las cosas, ambos prisioneros debe decidir qué hacer. Si se pudieran poner de acuerdo y tomar la decisión conjuntamente decidirían, casi seguro, no confesar. Pero como deben decidir individualmente, cada uno verá que, haga lo que haga el compañero, lo mejor es confesar: Si mi compañero confiesa, mejor confieso yo también (siete años es mejor que diez), y si mi compañero no confiesa, yo mejor confieso (cero años de cárcel son mejor que uno). Ambos acaban confesando y disfrutando de siete años a la sombra.

Volveremos más adelante sobre la solución anterior. Veamos ahora lo que dice Douglas Hofstadter en su libro Metamagical Themas sobre el dilema del prisionero:
"Si la razón dicta una respuesta, ambos prisioneros llegarán a ella independientemente. Una vez que uno se da cuenta de esto, se sigue que todos los jugadores racionales elegirán Confesar o todos elegirán No confesar. Esta es la clave. Cualquier cantidad de pensadores racionales enfrentados a la misma situación y que sobrelleven agonías de razonamientos similares llegarán a la misma respuesta siempre que la razón sea la única guía de sus conclusiones. Si no, la razón sería subjetiva, y no objetiva como la aritmética. Una conclusión alcanzada por la razón debe ser cuestión de preferencia, no de necesidad. Algunas personas pueden pensar esto otro, pero los pensadores racionales entienden que un argumento válido debe ser universalmente vinculante, si no, no es un argumento válido. Todo lo que cada uno de los prisioneros tienen que preguntarse es lo siguiente: “Como ambos vamos a tomar la misma decisión, ¿cuál es la más lógica? Esto es, ¿cuál es la mejor para el pensador racional individual: una con dos prisioneros confesando o no confesando?” La respuesta es inmediata: “Me caerán siete años si ambos confesamos y sólo un año si no confesamos. Claramente yo prefiero un año a siete. Como soy un pensador típico, no confesar debe ser preferido también por mi compañero. Así que cooperaré.”
Los intentos de Hofstadter por convencernos, vía argumentos lógicos y racionales, de que ambos terminarán cooperando podrían alargarse muchas líneas más y seguirían sin dar con la línea de análisis correcta. Deducir el comportamiento de grupo del comportamiento individual es una falacia lógica.

El argumento individual toma el de los demás como dado durante todo el razonamiento y llega a una conclusión. Al final será la misma que la de los demás, pero sólo al final, no durante el proceso de deducción. Es decir, durante el razonamiento, un prisionero se plantea cuál es su mejor acción dado lo que pueda estar haciendo el otro. En equilibrio, lo que se postula para el otro se corresponde con lo que también sea su mejor acción dada cuál sea mi acción. Esta es la clave del concepto de equilibrio de Nash, la mayor contribución de este premio Nobel de Economía y que ahora es la pieza central de la Teoría de los Juegos. Como vemos en el dilema del prisionero, no es un concepto intuitivo y no es deducible fácilmente a partir de la lógica individual. El propio von Neumann, de quien ya hemos hablado varias veces, no le prestó atención al joven Nash cuando éste se lo propuso.

Si alguien duda del análisis de la Teoría de Juegos, en este vídeo tiene una de las mejores demostraciones. También puede echar un vistazo a la imagen que abre la entrada. La lógica del dilema del prisionero está detrás de todos los problemas ahí señalados.

miércoles, 19 de julio de 2017

Zenón de Elea, Lewis Carroll y Feyerabend

Nuestra Historia Más Grande Jamás Contada tuvo como centro el movimiento de los cuerpos. Sin embargo, la historia del pensamiento nos muestra lo difícil que es tener una idea clara de lo que es el movimiento.


Para Heráclito todo estaba en movimiento y en continuo cambio (no se puede bañar dos veces en el mismo río), mientras que para Parménides, lo inmutable del ser era la clave de la realidad (el ser es y no puede no ser). Zenón de Elea era discípulo de Parménides y quiso echar una mano a la defensa de las tesis de su maestro. Desarrolló para ello una serie de argumentos que mostraban la imposibilidad del movimiento y, por tanto, del cambio. El más famoso es el de Aquiles y la tortuga. Si le daba ventaja en una carrera, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga. Cuando llegara al punto de partida de la tortuga (A), ésta ya estará más adelantada (en B). Cuando Aquiles llegue al punto B, la tortuga habrá avanzado otro poco (hasta C). De esta manera habrá una serie infinita de recorridos que Aquiles tendría que completar antes de alcanzar a la tortuga. Una serie infinita solo puede ser recorrida en un lapso de tiempo infinito. Conclusión: Aquiles no alcanzará a la tortuga. Como esto ocurre para cualquier ventaja que tenga la tortuga, por pequeña que sea, se demuestra que el movimiento es imposible.

Es difícil saber si Zenón de Elea se creía realmente su argumento. Tal vez pensara que el mundo que llamamos real es sólo apariencia, y que esta apariencia es revelada por la razón, según sus argumentos. Aristóteles analizó las falacias en las paradojas de Zenón de Elea con resultado desigual, pero la anécdota atribuida a Diógenes el cínico, que se puso a caminar tras una lección de Zenón de Elea, mostrando que "el movimiento se demuestra andando", constituye su refutación más conocida. Pura razón práctica.

Propongo ver estos argumentos desde otra perspectiva (no digo que fuera la intención de Zenón de Elea, ya adelanto que no creo que sea el caso). Constituyen un ejercicio intelectual, una especie de adivinanza, un nudo (ayúdame a desatarlo, que escribió Lewis Carroll) que se propone al interlocutor: "Si eres tan listo, a ver si sabes encontrar la causa de la paradoja, pues solo si lo sabes hacer podremos creer que tu discurso sobre la realidad estará bien fundamentado." En este sentido soy amigo de las paradojas. No creo que cada uno tenga que saber resolverlas todas, pero sí que les reconozco su aspecto lúdico y su manera de hacernos reflexionar sobre nuestro raciocinio.

El propio Lewis Carroll planteó otra carrera entre Aquiles y la Tortuga. Ésta era una carrera lógica. En boca de la Tortuga, la primera proposición de Euclides dice:

(A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Estos dos lados de un triángulo son iguales a uno tercero.

Por tanto:

(Z) Estos dos lados son iguales entre sí.

Aquiles se queja y dice que la última proposición debe ser llamada (C), pues se sigue a continuación de (A) y (B). La tortuga afirma que, antes de concluir (Z) hay que aceptar la lógica del silogismo. Es decir, hay que aceptar:

(C) Si se aceptan (A) y (B) debe aceptarse (Z).

Aquiles accede y cree acabada la nueva carrera. Pero esta no ha hecho más que empezar, ya que ahora debemos introducir:

(D) Si se aceptan (A), (B) y (C) debe aceptarse (Z).

(E) Si se aceptan (A), (B) (C) y (C) debe aceptarse (Z).

... ... ...

Según la tortuga, nunca se aceptará (Z), y así nace otra paradoja, esta vez sobre la imposibilidad del movimiento, no ya en el mundo real, sino en la propia esencia de la razón, en la lógica.

En tiempos más recientes, hay filósofos que nos han traído nuevos argumentos sobre la imposibilidad del movimiento, esta vez en el progreso de la ciencia. Por ejemplo, Feyerabend viene a decir:

(A) No existe un método científico. Para toda regla o método, encontramos excepciones en la historia de ciencia.

(B) Si queremos despojar al método científico de todas las reglas que se han transgredido, nos quedamos con que "todo vale".

(C) De lo anterior se deduce que la ciencia no está en mejor posición que otras construcciones sociales como para demandar un status superior.

(D) Se deduce también un relativismo cultural por el cual podemos admitir que ciertas creencias que son verdaderas para nosotros no lo son para otros. Estas creencias se refieren no solo a gustos o cuestiones morales, sino también a afirmaciones acerca de la realidad física. No hay posibilidad de definir criterios que definan la objetividad y la razón. Así que objetivamente no hay que elegir entre las afirmaciones de la ciencia y de la astrología, por ejemplo.

Feyerabend escribía con un lenguaje muy directo, pero poco claro. No es de extrañar que continuamente se quejara de que no le habían entendido, especialmente cuando escribió su obra "Contra el Método". Acusaba a sus críticos de no distinguir entre chistes, ironías, paradojas y las ideas centrales del libro. Es lo que tiene no escribir con claridad.

Además de Feyerabend, hay corrientes post-modernas, hermenéuticas, deconstructivistas, ... que emplean argumentos de este estilo para criticar a la ciencia. Algunas veces se la tacha de machista, otras de occidental y, por tanto imperialista, y así sucesivamente. El hilo conductor parece ser algo así como:

(A) La ciencia es un quehacer humano (o un discurso, o lo que sea).

(B) Por tanto no está exenta de los problemas de todo que hacer humano (o de todo discurso, ...).

(C) Por tanto, sus construcciones o teorías estarán sesgadas y reproducirán los esquemas de poder - o los prejuicios, o lo que sea - de la clase dominante - o de los hombres, o de occidente, pon aquí tu fobia favorita -.

Es decir, que si hubieran sido mujeres asiáticas quienes hubieran estudiado el movimiento de los cuerpos, la ley de la gravedad sería distinta. Bueno, tal vez no esa en particular, pero sí alguna otra ley o teoría científica. Aunque no sabemos cuál, no nos lo dicen, no hablan claro.

Veo todos estos discursos como veo las paradojas de Zenón de Elea o la de Lewis Carroll. El primero tal vez se creyó sus argumentos, el segundo no (Lewis Carroll era profesor de matemáticas y de lógica). Los pensadores que las proponen harían bien en tomarlas como lo que son y no como argumentos verdaderos. Se arriesgan a quedar en ridículo frente a un Diógenes moderno, o frente a un Sokal.

martes, 11 de julio de 2017

¿Cuántos impuestos paga un asalariado?

A cuenta de la reducción de impuestos pactada entre el PP y C’s ha vuelto el debate sobre si pagamos muchos impuestos, si compensa el estado de bienestar que tenemos y otros gastos y si es el momento adecuado, por aquello de la deuda y el déficit. En particular, se ha gastado mucha saliva y caracteres de twitter en dilucidar cuántos impuestos pagamos y, más concretamente, cuántos paga un trabajador asalariado. Voy a intentar aclarar esto.


Un trabajador cobra un sueldo bruto, del que se descuentan cotizaciones a la seguridad social y sobre el que tendrá que pagar el impuesto de la renta. Además de eso, el empleador paga cotizaciones a la seguridad social a cuenta del trabajador y, cuando el trabajador gaste su dinero, pagará el IVA, impuestos especiales y otros. ¿Cómo calcular cuáles son los impuestos que paga el trabajador? ¿Se incluyen todos? ¿Son las cotizaciones a la seguridad social impuestos? ¿La parte que paga el empleador es parte del salario bruto del trabajador?

Para responder a estas preguntas hagamos unas consideraciones que espero aclaren el porqué del análisis posterior.
  1. Las cotizaciones a la seguridad social no son técnicamente un impuesto, pero actúan económicamente de manera bastante parecida a un impuesto. Un incremento de las cotizaciones implica un coste mayor de contratar, exactamente como un impuesto implica un coste mayor de compraventa.
  2. La distinción entre una parte de las cotizaciones que paga el trabajador y otra que paga el empleador es un artificio contable. Pongamos que a un sueldo de 100 debe acompañar una cotización de 25 por parte del empleador y de 5 por parte del trabajador. El empresario gastará 130 por cada 100 que reciba el trabajador. Lo mismo que si al empresario se le imputara una cotización de 10 y al trabajador una de 20. Todo es exactamente igual, excepto que alguien ha decidido llamar a unas cantidades de una manera y no de otra.

lunes, 3 de julio de 2017

Matar una discusión (7): «¿Estás comparando el tocino con la velocidad?»


Estás intentando explicar un fallo en una argumentación y, para hacerlo más patente, pruebas con un ejemplo que te parece más claro. ¿Qué puede salir mal? Al parecer, mucho.

Sabemos que si llueve las calles se mojan. Alguien ve la calle mojada y dice que ha llovido. «No tiene por qué», respondes, pero no convences. Tras mucho explicar dices que de «A implica B» no se puede deducir que «B implica A», de «Si llueve, se mojan las calles» no se puede deducir que «Si las calles están mojadas es porque ha llovido», lo mismo que de «Si alguien es hombre, entonces es mortal» no se deduce que «Si alguien es mortal entonces es hombre», puesto que puede ser una mujer. Llegados a este punto, tu contertulio dirá «¿Estás comparando a la lluvia con los seres humanos?». Bueno, seguramente no, nadie sería tan bruto. Todo el mundo entiende que la analogía que trae el ejemplo está en la forma del argumento, no en el contenido. Sin embargo algo muy parecido pasa a menudo.

Por ejemplo, en numerosas ocasiones he dicho que los supuestos en Economía son simplificaciones para desarrollar modelos tratables y que permitan estudiar una cuestión. El Homo economicus sería una simplificación para estudiar algunos mercados lo mismo que el tratar los planetas como puntos en el espacio lo es para estudiar sus posiciones relativas. Una y otra vez, me contestan «¿Cómo puedes comparar la Economía con la Física?» Cuando aseguro que en ningún momento he hecho eso me señalan que he puesto las dos cosas en un mismo párrafo. Como si hubiera sido yo, y no mis contertulios, quienes han confundido la lluvia con los seres humanos.

¿Hace falta que ponga otro ejemplo o se me dirá que estoy confundiendo el modus ponens con el realismo de los supuestos? ¿O tal vez que no me entero y que planteo una falsa disyuntiva?

El lector avispado se habrá dado cuenta que este tipo de confusión mental tiene su vuelta de hoja. Ocurre cuando alguien te quiere convencer de A y lo pone en analogía con B, que es algo de lo que ya estás convencido. Por ejemplo, «El mercado no busca la justicia, por lo tanto el mercado es malo». Te han metido en la misma frase «mercado» y «no justicia» y ahora te toca a ti ser el malo de la película y decir que «el chocolate tampoco busca la justicia». Para entonces tu contertulio ya no atenderá razones, hinchado de superioridad moral.

(Se admiten comentarios con más ejemplos de este tipo de diálogo de besugos.)

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Hace cinco años en el blog: Sobre el nacionalismo (3).
Y también: Cuando cierro los ojos veo neoliberales.
Hace tres años en el blog: Vivir con la imperfección en ciencia y en política.
Y también: Elección de alcalde a dos vueltas.
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