lunes, 31 de julio de 2017

La torre herida por el rayo


En El Tamiz, blog recomendable donde los haya, hemos estado debatiendo la paradoja de Roos-Littlewood que, en realidad, no es más que una versión de otra paradoja algo más sencilla, La lámpara de Thompson. Tenemos una lámpara encendida. Al cabo de una hora la apagamos, media hora después la encendemos, un cuarto de hora más tarde la apagamos de nuevo, un octavo de hora después la encendemos otra vez, y así sucesivamente. Alternamos la lámpara encendida y apagada en intervalos cada uno la mitad de largo que el anterior. Todo el proceso acabará en dos horas:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+… = 2.

La pregunta inquietante viene ahora. Al cabo de esas dos horas, ¿la lámpara estará encendida o apagada?

Ninguna de las dos respuestas parece adecuada ni preferible a la otra. ¿Qué hacemos entonces?

Ocurre simplemente, que el problema no está bien definido. Parece bien definido porque hemos sido capaces de enunciarlo claramente, pero es solo apariencia. El problema está perfectamente definido para cualquier instante anterior a las dos horas, pero no para ese momento.

Hay quien dice que la indefinición de la paradoja se debe a que esa situación es físicamente imposible. No hay manera de encender y apagar tan rápidamente una lámpara. Además, según la mecánica cuántica, hay un intervalo de tiempo (el tiempo de Planck) que es indivisible. No es que no podamos o sepamos dividirlo, sino que en la mecánica cuántica no existe posibilidad de algo más pequeño (en otras palabras, el tiempo es discreto, va a saltitos).

Pero la paradoja no está planteada en ningún mundo físico que llega a momentos indivisibles, sino en una construcción nuestra, donde es posible dividir siempre un poco más cualquier intervalo de tiempo (en otras palabras, el tiempo es continuo). La indefinición está en que es imposible formular un modelo lógico-formal en el que la pregunta tenga sentido. De hecho, la paradoja es lógicamente equivalente a resolver la siguiente suma:

1-1+1-1+1-1+1-1+….

En esa suma, el 1 corresponde a la vela encendida y el -1 a su apagado. Esa suma no está definida. No existe ni como planteamiento.

El problema es similar a la siguiente paradoja:

¿Qué ocurre si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible?

Volvemos a tener otro problema mal definido, a pesar de que fácilmente hayamos podido expresar esa pregunta en un lenguaje natural. El problema no es que físicamente sea imposible tener un rayo rompelotodo o una torre indestructible. El problema es que en un lenguaje formal la paradoja no se puede plantear. Para ello haría falta definir qué significa un rayo rompelotodo, y para eso tendríamos que enumerar el conjunto de elementos que hay en el todo y que son rompibles por el rayo. Entre esos elementos no puede estar la torre indestructible. La misma indefinición encontraríamos si comenzamos por definir la torre indestructible. De la misma manera, en las matemáticas no puede existir la suma anterior, ni en ningún modelo formal puede existir la lámpara de Thompson.

(En realidad sí se podría definir la suma, pero no como resultado de la operación suma de toda la vida, sino definiendo arbitrariamente un valor, y lo mismo se podría hacer con un modelo formal para la lámpara de Thompson, pero definir arbitrariamente un valor se parece mucho a obviar el problema.)

De esta paradoja toca aprender el cuidado que hay que tener con lo que formulamos, ya que enunciados aparentemente sensatos son, en rigor, imposibles de enunciar.

En la realidad no se da la paradoja porque el tiempo real no es continuo. Este pensamiento es poco evocador. Prefiero el que me llega en momentos de duermevela, según el cuál el secreto de por qué el mundo es cuántico se debe a que una realidad continua no es lógicamente posible.

domingo, 30 de julio de 2017

Al monte se va con botas: La paradoja de Hempel


Hace unas semanas nos planteó Santiago en su blog La Máquina de Von Neumann la paradoja de Hempel, que dice lo siguiente. La proposición “todos los cuervos son negros” aumenta su verosimilitud a medida que encontramos cuervos y observamos que son negros.  La proposición “todo lo que no es negro es algo distinto de un cuervo” aumenta su verosimilitud si buscamos objetos no negros y observamos que no son cuervos. Como ambas son proposiciones lógicamente equivalentes, esta última manera de buscar objetos no negros sirve también para validar la primera proposición.

La paradoja estriba en que la segunda búsqueda se nos antoja bastante inútil y nos resistimos a creer que, efectivamente, sirva para validar la primera proposición. He aquí un ejemplo de las frases que abundan en esta postura (en esta ocasión digo el pecado, pero no el pecador).

El que encontremos una tiza blanca “apoya” (hempelianamente) tanto que todos los cuervos son negros como que todos los cuervos son verdes, o rojos, o blancos, o a topos o no existen los cuervos. Y como es irrelevante para ella, no cuenta para verificarla.

Para ver cómo para este monte hacen falta las botas de la probabilidad bayesiana y no la lógica proposicional, que parece estar detrás del argumento anterior, propongo el siguiente ejemplo-modelo:

1. Cojamos unas cartas en blanco (tamaño naipe), por ejemplo 20. Pongámoslas sobre una mesa y escribamos en cada una de ellas una de las siguientes palabras: cuervo, canario. Por ejemplo, sea cuervo en 5 y canario en 15.

2. Cojamos a un niño de ocho años y pidámosle que pinte cada carta (por el lado que no está escrito) de uno de los siguientes colores: negro, amarillo. Nos vamos para no ver lo que hace el niño. Le decimos que deje las cartas por el lado pintado. Al volver observamos que hay, por ejemplo, 8 cartas negras y 12 amarillas.

3. Para validar la hipótesis “todos los cuervos son negros” podemos ahora hacer varias cosas:

(a) Pedir al niño que deje las cartas del lado de los nombres, buscar cuervos y darles la vuelta para ver el color. Cada cuervo negro aumenta la probabilidad de que la proposición sea cierta. Por ejemplo, si pensamos que el niño pintó al azar los papeles. A priori pensaremos que la probabilidad es:

8/20 x 7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.0036

(La probabilidad de que cualquier carta sea negra es el número de cartas negras entre el total, 8 sobre 20; descartada la primera, quedan 7 cartas negras sobre 19,…).
Después de coger un cuervo y ver que es negro, la probabilidad pasa a ser

7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.009

b) Dejar las cartas del lado coloreado, buscar cartas amarillas y darles la vuelta para ver qué pájaro ocultan. Cada carta amarilla que tenga un canario detrás aumenta la probabilidad de que la proposición “todo lo no negro (amarillo) es un no cuervo (canario)” y, por tanto, la proposición “todo cuervo es negro”. Con la hipótesis de que el niño pintó al azar, a priori pensamos que la probabilidad de que la hipótesis “lo no negro es no cuervo” es:

15/20 x 14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0036

(Fijémonos que es igual a la de antes, no podía ser de otra manera).

Después de coger una carta amarilla y ver que es canario, la probabilidad pasa a ser:

14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0048.

La probabilidad ha aumentado, aunque menos que antes. Q.E.D.

Si teníamos otra teoría sobre cómo pintó el niño las cartas, cambiarán las probabilidades, pero tendremos el mismo proceso, siempre eliminando el primer factor y, por tanto, aumentando la probabilidad. Lo mismo si no sabemos exactamente cuánto hay de cada cosa: tendremos una hipótesis a priori y trabajaremos con ella.

El problema con las opiniones acerca de que la paradoja es falsa es que hacen hincapié en casos que no están recogidos en la paradoja. Así, si uno observa un canario amarillo o una tiza blanca y dice que esto es irrelevante para el color de los cuervos, está saliéndose de los términos de la paradoja. Si uno busca, por ejemplo, cosas amarillas y sabe que no hay cuervos amarillos (solo dudaba entre negros y blancos) está tan fuera de los términos de la paradoja como si observa cuervos que ya sabe que son negros. Ni lo uno ni lo otro alteran las probabilidades que ya teníamos aceptadas, fueran las que fueran. Esto se traduciría en que el primer factor en el cálculo de la probabilidad sería exactamente uno y la probabilidad no aumentaría al eliminarlo. Lo mismo en la prueba de la proposición directa como de la contrarrecíproca.

Otro error habitual es confundir este tipo de inferencias estadísticas con relaciones causales

Los canarios amarillos no causan el color de los cuervos, por lo que encontrar el primero es irrelevante para saber el color del segundo.

Lo primero es cierto, lo segundo, como hemos visto, no. Si se buscaron cosas no negras aleatoriamente y sin información a priori acerca de que tales cosas no pudieran ser cuervos (es decir, se detectó una cosa amarilla y se observó luego que era un canario, como en el ejemplo de las cartas), entonces, el haber encontrado un canario amarillo disminuye (marginalmente) el conjunto de cosas no negras que puedan ser cuervos, por lo que aumenta (marginalmente) la probabilidad de que la proposición se cumpla.

sábado, 29 de julio de 2017

Al monte se va con botas: La paradoja del examen sorpresa.


Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente. Los alumnos razonan de la siguiente manera. El viernes no podrá ser, puesto que si llega el viernes sin haber tenido examen, sabremos que será ese día. El jueves tampoco podrá ser, puesto que hemos descartado el viernes, así que si llega el jueves, tampoco será sorpresa. Por inducción, no podrá ser ningún día de la semana. Los alumnos deducen que la profesora no podrá poner ningún examen sorpresa.

Para asombro de todos, llega el miércoles y la profesora pone el examen.

La paradoja está resuelta desde hace muchos años. Se trata de mostrar que el enunciado de la profesora consta de varias proposiciones incompatibles entre sí. Lo vemos mejor si la semana solo tuviera dos días. Así, la profesora está diciendo:

  1. Si el examen es el día 1, la víspera (o ese día antes de clase) de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 1.
  2. Si el examen es el día 2, la víspera de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 2 y sabrán que no ha sido el día 1.
  3. El examen será alguno de esos dos días.
Es posible, usando las reglas de la lógica proposicional, mostrar que las tres afirmaciones no pueden ser ciertas a la vez (no lo voy a hacer). Hasta aquí no hay problema, todos los lógicos están de acuerdo. Lo que ha creado una larga confusión es que, a pesar de que la profesora ha dicho algo falso, resulta que consigue su objetivo de dar un examen sorpresa.

Llegados a este punto, la discusión ha dado lugar a decenas de artículos en revistas serias. Casi todos van al monte sin botas. Hay autores que se inventan ramas de la lógica sólo para intentar abordar la cuestión.

Borwein y compañía miden el grado de sorpresa con una definición de entropía y buscan así una estrategia para la profesora que maximice la tal entropía.
Según Shaw, la profesora hace unas afirmaciones autorreferenciales de tal manera que nada bueno se puede deducir de ellas.
Olin y Sorensen se ponen a definir “puntos ciegos” epistemológicos y no sé qué diantre hacen con ellos.
Otros se ponen a decir cosas como que saber una preposición un día no es lo mismo que saberla otro día.
Sober, que propone una buena manera de abordar el problema, sin embargo se pone a decir que hay que distinguir entre predicciones prudenciales y evidenciales para concluir no sé tampoco muy bien qué cosa.

En realidad, la cosa es más sencilla. Pensemos en una semana de dos días. Cada día la profesora decide si poner o no un examen, y cada día los alumnos apuntan un SÍ o un NO en un sobre. Si hay examen y apuntaron SÍ, o si no hay examen y apuntaron NO, no hay sorpresa. En caso contrario sí la habrá. Pongamos que la sorpresa le reporta un beneficio (felicidad, utilidad, como quiera llamarse) de 1 a la profesora y de -1 a los alumnos. La no sorpresa cambia el beneficio de cada uno. Los pagos son arbitrarios y podemos cambiarlos si se quiere.

Si no ha habido examen el día 1, el día 2 se enfrentarán al siguiente juego

Día 2
NO
Examen
-1,1
1,-1
No examen
1,-1
-1,1

La única manera de elegir consistentemente en este juego es echar a cara o cruz entre poner examen o no por parte de la profesora y escribir SÍ o NO por parte de los alumnos. El beneficio esperado para cada uno será cero.

Sabido esto, el día 1 el juego es parecido. Ambos tienen que elegir como antes, pero aquí surge un problema. Si la profesora elige no poner examen y los alumnos eligieron SÍ, ¿seguimos con el juego? Si es así, esto querría decir que los alumnos pueden anticipar el examen cada día, de manera que alguno acertarán. Una cosa sensata es decir que, en ese caso, perdieron su oportunidad y el juego se acaba. Otra es decir que esto les impide decir SÍ en el futuro, de manera que el juego del día dos tras (No examen, SÍ) habría sido trivial, con la profesora poniendo el examen los alumnos sorprendidos. Voy a seguir el primer caso, que deja así el primer día:

Día 1
NO
Examen
-1,1
1,-1
No examen
1,-1
0,0

En la casilla (No examen, No) hemos puesto ceros, que son los pagos que se esperan obtener el día siguiente. La casilla (No examen, NO) la podemos interpretar como que el juego se acaba o como que, aún siguiendo, los beneficios son (1,-1) no importa lo que pase el segundo día, porque ya se erraron los alumnos en su elección. La única manera consistente de decidir ahora es, para la profesora, elegir poner examen con probabilidad 2/3 y, para los alumnos, elegir SÍ con probabilidad 1/3. (Otras posibles variantes las tengo publicadas con Jesús Zamora aquí. Se puede leer también aquí.) En el análisis vemos claramente los dos hechos fundamentales de la paradoja:
No es posible poner un examen y que sea sorpresa. Pero esto es porque no es posible que ocurra con probabilidad uno. Vemos que, en nuestro análisis, hay una probabilidad 1/3 x 1/2 = 1/6 de que no hay examen, y una probabilidad positiva de que, habiéndolo, no sea sorpresa. Podíamos haber insistido en que debía haber examen, sólo habría que alterar el juego del día 2 y tendríamos la misma conclusión acerca de que el examen no puede se sorpresa con probabilidad 1.

¡Pero la profesora consigue poner un examen sorpresa! Esto es porque nos cuentan sólo uno de los posibles finales de la historia, cuando los dados cayeron de manera que la profesora pone el examen y los alumnos no lo adivinaron. Lo que he expuesto aquí dice que eso sólo puede pasar con alguna probabilidad si, al lado, está la probabilidad de que no pase.

Lo que ha pasado es que ni alumnos ni profesora pueden razonar al margen de lo que crean que va a hacer el otro, ni al margen de cómo valoren acertar o no, y esto nos coloca en el mundo de la Teoría de los Juegos, puesto que la lógica proposicional no podrá dar cuenta de la interacción entre las acciones y creencias de los dos jugadores. No estaban hechas esas botas para este monte.

viernes, 28 de julio de 2017

Al monte se va con botas: ¡Judy Benjamin salvada!


Recordemos a la soldado Judy Benjamin. Hace cinco entradas la dejamos perdida en un terreno dividido en cuatro cuadrantes, NO, NE, SO, SE, donde las letras son los puntos cardinales. Llama al cuartel general y le dicen "si estás en el Norte, no estás en el Este", ahí la comunicación se interrumpe.

Se trata de saber qué probabilidades asignará Judy Benjamin a los otros tres cuadrantes. Algunos autores proponen resolver el problema con complicaciones como las siguientes para resolver el problema:


El Principio de Simetría lo mencionó BaUmol que interpretó que la frase “si estás en el Norte, no estás en el Este” es equivalente a “si estás en el Oeste, no estás en el Norte” y, por tanto, no tendría sentido privilegiar la separación Norte/Sur de la Este/Oeste, así que la respuesta no puede dar 1/2 de probabilidad a NO sin dársela también a SE.

No interesa mucho ahora explicar lo que es cada uno de estos conceptos, baste decir que son intentos de deducir cosas cuando no hay información suficiente apelando a principios que, a priori, pueden parecer razonables. Estos principios pueden tener una definición precisa y llevar a deducciones lógicas a partir de ellos.

Argumentaré que nada de esto es necesario. Es más, argumentaré que cualquier intento de resolver el problema está abocado al fracaso. Simplemente no hay datos suficientes para resolverlo. Es como si nos preguntan a qué hora se encontrarán dos trenes que salen desde dos ciudades distintas y no nos dicen a qué velocidad van o a qué hora han salido. Cualquier cábala para dar una respuesta, por muy razonable que parezca, no puede dar lugar a una manera general de resolver problemas sin datos. Y esto es lo que intentan hacer todos los proponentes de soluciones para el problema en cuestión.

En el problema de Judy Benjamín, nos falta el dato de cómo obtiene el cuartel general la información. Puede ser de muchas formas. Veamos dos:
  • El Cuartel General puede usar un satélite una vez nada más. Apunta el satélite al Norte, pero solo hay visibilidad en el cuadrante NE, donde no hay señales de Judy. No pueden hacer nada más con el satélite e informan a Judy: “Si estás en el Norte, no estás en el Este”.
  • El Cuartel General puede usar un satélite una vez nada más. Apunta el satélite al Norte y eligen decirle a Judy un cuadrante en el que no está (si no está en ninguno, le dicen uno al azar). El mensaje es, nuevamente: “Si estás en el Norte, no estás en el Este”.
Lo que cambia según cuál de los casos sea el que ocurre es la probabilidad condicional de que se obtenga la información “Si estás en el Norte, no estás en el Este” (u otra proposición lógicamente equivalente a ella). En el primer caso, la información tiene 1/3 de probabilidad de ocurrir si está en cualquier lugar que no sea NE y tiene 0 de probabilidad si está en NE. En el segundo caso, la probabilidad de la información es 1 si está en NW, es 0 (cero) si está en NE, 1/2 si está en SW y 1/2 si está en SE.

Estas distintas probabilidades darán, metidas en la fórmula de Bayes, las probabilidades que Judy debe asignar a cada cuadrante NO, NE, SO y SE, y que serán (1/3, 0, 1/3, 1/3) en el primer caso y (1/2, 0, 1/4, 1/4) en el segundo. La conclusión de todo esto es que, como ya hemos advertido varias veces en este blog, para ir al monte de la incertidumbre hay que ir con las botas de la teoría de la probabilidad. No basta con la lógica proposicional, ni hace falta inventarse teorías ad hoc. Sabiendo usar el equipamiento adecuado podremos disfrutar del monte sin perdernos.

Efectivamente, el caso se parece al de Monty Hall (cuando no se sabía cómo se elegía la puerta) y no al de la Bella Durmiente ni al del Dormilón, donde la historia sí especificaba cómo se obtenía la información. El ganador es Roberto, que acertó con esta idea.

jueves, 27 de julio de 2017

Al monte se va con botas: ¡Salvad a la soldado Judy Benjamin!


Judy Benjamin se pierde en un terreno que se puede dividir en cuatro zonas: NO, NE, SO y SE, donde las letras N, S, E y O hacen referencia a los cuatro puntos cardinales. A priori estima que tiene iguales probabilidades de estar en cualquiera de los cuadrantes. Llama al cuartel general, que tiene acceso a un satélite que podría localizarla, pero las comunicaciones con el cuartel no son buenas, y solo acierta a oír: “Si estás en el Norte no estás en el Este”.

¿Qué probabilidades asignará Judy Benjamin a cada cuadrante tras esta información?

Está claro que la probabilidad de estar en NE es cero, pero, a partir de ahí, las cosas se complican.
Hay un grupo de autores que sostiene que las nuevas probabilidades son de 1/3 para cada uno de los otros cuadrantes, puesto que eran todos equiprobables antes y no tienen por qué no seguir siéndolo ahora.

Otro grupo sostiene que, puesto que la probabilidad era de 1/2 para Norte y 1/2 para Sur, esta distribución debe seguir siendo cierta en la nueva estimación, así que las probabilidades serán 1/2 para NO, 1/4 para SO y 1/4 para SE.
¿Qué grupo tiene razón?

miércoles, 26 de julio de 2017

El Dormilón y la Bella Durmiente van de la mano


Voy a dar en esta entrada la solución a la paradoja de la Bella Durmiente, pero antes hay que resolver la del dormilón.

Recordemos que el dormilón se montaba en un avión en la ciudad A para ir a la B. Se sabe que la mitad de los aviones de ese trayecto van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). En la ciudad B preguntan a todos los viajeros que llegan de A cómo venía su vuelo. El dormilón estaba dormido y no se enteró, así que no sabe cómo iba su vuelo, pero se puede asignar una probabilidad a que fuera de los llenos o de los medio llenos. Estas probabilidades deben ser 2/3 para el vuelo lleno y 1/3 para el vuelo medio lleno. ¿Por qué?

Si los encuestadores de B preguntaran, por ejemplo, a 20 personas de cada vuelo, la respuesta sería 1/2, 1/2, pero este no es el caso. Los encuestadores preguntan a todos, así que preguntan al doble de pasajeros de los vuelos llenos que a pasajeros de vuelos medio llenos. Cuando un pasajero es preguntado, aunque no sepa cuál era su vuelo, sabe que tiene el doble de probabilidad de ser de los del vuelo lleno.

Podemos verlo de otra manera. Al embarcar en A, el dormilón no puede pensar que tiene iguales probabilidades de entrar en un vuelo lleno que en uno medio lleno. Si así fuera, y todos los pasajeros fueran asignados a un vuelo u otro mediante el resultado de una moneda lanzada al aire, la mitad irían a cada avión y los dos se llenarían de igual manera. La única forma de pensar algo consistente con la información que tenemos es pensar que, por ejemplo, se lanza un dado y, si sale 1 ó 2, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale 3, 4, 5 ó 6, nos meten en el otro. También podemos pensar que se tira una moneda, de manera que, si sale cara, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale cruz, nos meterán a DOS pasajeros en el avión que resultará lleno.

Vamos con la Bella Durmiente. Recordemos que se tiraba una moneda un domingo, antes de dormirse, si salía cara, se despertaba el lunes y se acababa la maldición. Si salía cruz, se despertaba el lunes, se volvía a dormir y luego se despertaba, amnésica, el martes. Así, la Bella Durmiente se despierta una vez tras cara y dos veces tras cruz. Como cara y cruz tienen la misma probabilidad, todos los despertares ocurren con la misma probabilidad. De otra manera, si hubiera 100 Bellas Durmientes, habría 50 despertares en lunes tras cara, 50 en lunes tras cruz y 50 en martes tras cruz. A cada Bella Durmiente se le pregunta por el día en que está tras cada despertar. Así, cada una sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras cruz que tras cara. Las probabilidades que asignará a “cruz” serán 2/3 y a “cara” 1/3. De ahí se sigue que la probabilidad asignada a “lunes” será 2/3 y a “martes” 1/3.

Si todavía no estamos convencidos, pensemos en las Bellas Durmientes que se despiertan como encarnaciones de una misma Bella Durmiente. Cada Bella Durmiente tiene tres encarnaciones, la que se despierta en lunes tras cara, la que se despierta en lunes tras cruz y la que se despierta en martes tras cruz. Ninguna de estas encarnaciones sabe nada de las otras dos. La que se despierta tras cara no sabe nada de las que se despiertan tras cruz, porque ni siquiera existirán. La que se despierta en lunes tras cruz  no sabe nada de la que se despierta en martes tras cruz porque será una futura, y la que se despierta en martes tras cruz no sabe de la que se despertó en lunes tras cruz porque está amnésica. Cuando las tres encarnaciones se ponen a la cola el domingo, para vez cuál les toca ser, deben pensar, como en el caso del dormilón, que, cuando la moneda sale cara, sólo una de ellas pasa, mientras que, si sale cruz, pasan dos. Así, cada Bella Durmiente debe pensar que, con probabilidad 1/3 irá al mundo tras “cara” y con probabilidad 2/3 al mundo tras “cruz”. Los 50 despertares tras cara son el equivalente de los pasajeros que van al avión medio lleno del dormilón, los 100 despertares tras cruz, los que van al avión lleno.

El premio de la Bella Durmiente va para Iñigo (bien por los de Bilbao) y el del dormilón para un anónimo.

martes, 25 de julio de 2017

La Bella Durmiente tiene amnesia

Es domingo (es un decir) y la Bella Durmiente se hace una herida con la rueca y cae en la maldición. No es la del cuento, sino una versión especial. Antes de dormirse, la bruja echará una moneda al aire. Si sale cara, la Bella Durmiente se despertará de la maldición el lunes y ahí se acabará la historia. Si sale cruz, se despertará igualmente el lunes, pero se volverá a dormir para despertarse el martes otra vez y ya libre de la maldición. Por desgracia le quedará una pequeña secuela: el martes no se acordará si se despertó o no el lunes.

Así las cosas, la Bella Durmiente se despierta y, en lugar de preguntarse ¿dónde estoy?, como en las películas, se pregunta ¿cuándo estoy? o, con mejor gramática ¿qué día es hoy? En lugar de decirle el día, el Príncipe le cuenta toda la historia del primer párrafo que, por otra parte la Bella Durmiente ya sabía, pues la bruja le había contado las condiciones y secuelas de la maldición.

La Bella Durmiente no sabe en qué día está, pero puede asignar probabilidades al hecho de que sea lunes y al hecho de que sea martes. También puede asignar probabilidades al hecho de que la moneda cayera en cara y que cayera en cruz.

¿Qué probabilidades debe asignar?

(Esta vez hace falta argumentar bien para tener premio.)

lunes, 24 de julio de 2017

El dormilón


De la ciudad A parten aviones hacia la ciudad B. La mitad van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). Esta información se conoce en A, pero no en B. Las autoridades de la ciudad B quieren saber cómo llegan los aviones, así que hacen una encuesta. En la terminal de llegadas preguntan aleatoriamente a los pasajeros que llegan de A cómo venía de lleno su vuelo.

El pasajero K hace el viaje de A a B, pero lo hace dormido y sin reparar en lo lleno que va su avión. Cuando le preguntan en el aeropuerto al llegar a B, no sabe qué contestar, pero sí que tendrá una idea acerca de cuál es la probabilidad de haber venido en un vuelo medio lleno o en un vuelo lleno. ¿Cuál es esta probabilidad?

domingo, 23 de julio de 2017

Los científicos se lo montan con modelos

La importancia de tener un modelo para pensar sobre la realidad nunca debe ser desdeñada. De otra manera es difícil saber de qué estamos hablando. Véase, si no, esta entrada en el Otto Neurath o esta otra mía semanas atrás. Uno de los ejemplos más sencillos, a la vez que ilustrativo, es la paradoja de Monty Hall.

Monty Hall es el presentador de un concurso televisivo. Una de las situaciones en las que se suelen ver inmerso el concursante es la siguiente. Debe elegir entre tres puertas, una de las cuales tiene tras ella un premio. Las otras dos no guardan nada. El concursante elige la puerta A y, a continuación Monty Hall abre una de las otras dos puertas, pongamos que sea la B, y se ve que no hay premio. Monty Hall le da la oportunidad al concursante de cambiar y elegir la C, si quiere. ¿Debe el concursante cambiar de puerta?

Esta es una vieja paradoja y no es mi intención elaborar sobre ella. Sólo la tomo de referencia para ilustrar la necesidad de los modelos. Tal como yo he descrito la historia, nos falta saber cómo se ha llegado a la situación descrita. En particular, es necesario saber si Monty Hall sabía dónde estaba el premio y si, sabiéndolo, deliberadamente escoge la puerta en que sabe que no está.

Si Monty Hall abre una puerta al azar y sucede que no hay premio, las probabilidades a priori de que el premio esté tras A o tras C siguen siendo iguales (el 1/3 de probabilidad de B se pasa a medias a A y a C, quedando en 1/2 cada una) y el concursante no gana nada por cambiar.

Si, en cambio, Monty Hall sabe dónde está el premio y abre una puerta donde sabe que no está, la probabilidad de 1/3 de B se va toda a C, de manera que al concursante le conviene cambiar.

El modelo lo es todo. Intentar responder a la cuestión sin especificar qué caso tenemos en mente solo nos puede llevar a un gran dolor de cabeza tras una larga discusión.

Aclaro dos cosas. La formulación original de la paradoja narraba el segundo escenario. Sin embargo, mucha gente pensaba que la solución seguía siendo 1/2 y que no hacía falta cambiar. No me molesto en hacer los cálculos y las explicaciones de cómo se llegan a estas conclusiones porque está en cualquier página dedicada al asunto, incluidas las entradas en la wikipedia y en la ilustración que abre esta entrada. Pinchad sobre ella para verla completa.

sábado, 22 de julio de 2017

La razón moral en democracia


(¿Un hombre un voto? - ¿No es eso lo que he estado haciendo?)

He aquí otro problema, esta vez mucho más serio y general, sobre cómo no es posible deducir reglas que obedezcan a principios aparentemente bien racionales, simplemente porque no existen. Esto obliga a elegir reglas imperfectas, por así decirlo, sobre las cuales habrá disparidad de opiniones.

El problema es el de elegir un sistema de elección social (p.e. un sistema de votaciones). No queremos uno cualquiera (p.e., el que elija la opción que obtenga 4.533 votos), así que convengamos unos mínimos de coherencia. Para facilitar la decisión centrémonos en los sistemas en los que hay que elegir una alternativa entre varias (un presidente, un proyecto ciudadano, un sí o un no en un referéndum,…). He aquí los criterios.
  1. Transitividad. Si se determina que A se elige ante B y B ante C, entonces A debe ser elegido frente a C.
  2. Unanimidad. Si todo el mundo prefiere A a B, entonces se elige A.
  3. Independencia de alternativas irrelevantes. La elección entre A y B depende sólo de las preferencias que los individuos tengan sobre A y B.
  4. No dictadura. La regla no elige siempre según las preferencias de un individuo en particular.
El punto 3 merece un poco más de explicación. Imaginémonos que estamos en un restaurante y pedimos la carta. Nos dicen que hay carne y pescado. Elegimos la carne. En ese momento, el camarero nos informa de que también hay ancas de rana. Ante la nueva información elegimos pescado. Este extraño cambio de parecer es el que evita la independencia de alternativas irrelevantes.

Estos puntos son perfectamente formalizables matemáticamente. Arrow lo hizo y, a continuación, enunció y demostró que no existe ninguna manera de elegir socialmente que cumpla los cuatro principios. Además, se ganó el Nobel. El esquema de la demostración es ilustrativo. Lo que hizo fue suponer que se cumplen los primeros tres puntos y demostró que sólo la regla dictatorial los cumple.

Así que, o bien aceptamos a un dictador, o tenemos todos las mismas preferencias o tenemos que renunciar a algún otro principio. De nuevo, no existe la regla racional de elección. En particular, tampoco existe el sistema de votaciones ideal.

viernes, 21 de julio de 2017

La razón moral en bancarrota


Propongo considerar un pequeño problema moral para el que la razón pura (sea lo que sea eso) es incapaz de ofrecer una solución. El ejemplo, por ser tan mundano él, no debería preocupar a los proponentes de una moral basada en la razón. Aún así lo propongo porque ayudará a entender la postura de quienes no creemos posible que la razón pueda dar ningún salto para poder deducir lógicamente la moral.

Este es el ejemplo:

Una empresa se declara en bancarrota. Sus activos están valorados en 120, pero tiene dos acreedores a quienes debe 60 y 120, respectivamente. ¿Cómo se dividen los activos entre los acreedores?
  • Regla igualitaria: Se reparte entre ellos a partes iguales, 60 para cada uno.
  • Regla proporcional: Se reparte proporcionalmente a la deuda, 40 para el primero, 80 para el segundo.
  • Regla del Talmud: El primero reclama la mitad, el segundo todo. La mitad que reclaman los dos se reparte a medias (30 para cada uno). La segunda mitad que reclama sólo el segundo es para él (60 más para el segundo). El reparto queda así: 30 para el primero y 90 para el segundo.
¿Cuál es el reparto moralmente justo?

No es posible saberlo. Cada uno obedece a un principio distinto, todos tienen en cuenta cierto principio de igualdad, pero cada regla lo trata de forma distinta. De hecho podríamos imaginarnos muchas más, todas sensatas. Podemos poner un mínimo asegurado para cada acreedor y un reparto proporcional del resto de la deuda, o hacer el reparto proporcional al logaritmo de la deuda (por aquello de que más dinero da cada vez menos felicidad), o dárselo todo al más rico (la regla Reaganiana), por poner unos pocos ejemplos más.

Esta es la discusión:

El problema es interesante porque está perfectamente definido. Si se dice que hacen falta más datos, por ejemplo sobre quién es cada uno de los acreedores, supóngase que son dos personas exactamente iguales excepto por su posición en este caso de bancarrota. Ni aún así podemos deducir una u otra regla de reparto sin mediar por medio algún otro principio que implique esa regla en particular. Esto no tiene por qué ser redundante. En teoría de juegos hay toda una rama dedicada a derivar fórmulas de reparto a partir de axiomas deseables. Ocurre que cada regla obedece a un subconjunto particular de estos axiomas y que ninguna regla los puede tener todos. En otras palabras, muchos axiomas que son deseables son incompatibles entre sí. Fijémonos que la elección de los axiomas será convencional, mientras que será la razón la que nos lleve de esa elección de principios a una regla de reparto (si es posible) o a concluir que una regla que satisfaga esos axiomas no existe.

Todo eso está muy bien, se objetará, pero la razón moral no se mete con asuntos mundanos como el de la bancarrota (con permiso del Corán, del Talmud y de los códigos civiles y mercantiles, supongo), sino con problemas más importantes. Es posible, pero mi argumento es que los intentos para sustentar una moral en la razón se enfrentarán siempre a este tipo de problemas.

¿Por qué lo creo? Por dos razones. Primera, porque en todos los problemas que se han podido analizar con rigor (bancarrota, negociación, votaciones, provisión de bienes públicos, agregación de preferencias,…) se han encontrado estos problemas. Segunda, porque los que proponen que tal empresa es posible no han conseguido avanzar un milímetro. Todos los avances han sido a partir de concesiones en los principios o a partir de una formulación de acuerdos normativos sobre qué es lo deseable: un punto económicamente eficiente, un punto aceptable tras el velo de la ignorancia, un punto de equilibrio, un punto en el que no haya envidias, una cesión de soberanía a un líder o algún otro principio por el estilo. Todo ellos serán perfectamente discutibles por personas razonables.

jueves, 20 de julio de 2017

Al monte se va con botas: El dilema del prisionero

Para que no se me acuse de meterme siempre con la metafísica, hoy propongo otro tema en el que observamos a la gente echándose al monte sin un buen equipo. Para más señas, esta gente estará individualizada en un autor muy apreciado por mí, como se puede comprobar por las entradas que en este blog hasta ahora han sido.

El monte al que vamos de excursión es el dilema del prisionero. Quienes conozcan este juego pueden pasar a los párrafos siguientes. Para quienes no lo conozcan, aquí va la versión más famosa.

Dos presuntos delincuentes son apresados por perpetrar un crimen. La policía los separa y le dice a cada uno de ellos lo siguiente: No tenemos pruebas de que seáis los autores, pero si tú confiesas y tu compañero no, tú sales libre por colaborar con la justicia y tu compañero se carga con toda la culpa (diez años de cárcel). Si los dos confesáis, os repartís la culpa (siete años a cada uno). Si ninguno confiesa os acusaremos de un delito menor (posesión ilícita de armas) y pasaréis cada uno un año en la cárcel. Una tabla nos ayuda a entender el juego:

                     Confesar     No confesar
Confesar          7,7                0,10
No confesar   10,0                 1,1

Así las cosas, ambos prisioneros debe decidir qué hacer. Si se pudieran poner de acuerdo y tomar la decisión conjuntamente decidirían, casi seguro, no confesar. Pero como deben decidir individualmente, cada uno verá que, haga lo que haga el compañero, lo mejor es confesar: Si mi compañero confiesa, mejor confieso yo también (siete años es mejor que diez), y si mi compañero no confiesa, yo mejor confieso (cero años de cárcel son mejor que uno). Ambos acaban confesando y disfrutando de siete años a la sombra.

Volveremos más adelante sobre la solución anterior. Veamos ahora lo que dice Douglas Hofstadter en su libro Metamagical Themas sobre el dilema del prisionero:
"Si la razón dicta una respuesta, ambos prisioneros llegarán a ella independientemente. Una vez que uno se da cuenta de esto, se sigue que todos los jugadores racionales elegirán Confesar o todos elegirán No confesar. Esta es la clave. Cualquier cantidad de pensadores racionales enfrentados a la misma situación y que sobrelleven agonías de razonamientos similares llegarán a la misma respuesta siempre que la razón sea la única guía de sus conclusiones. Si no, la razón sería subjetiva, y no objetiva como la aritmética. Una conclusión alcanzada por la razón debe ser cuestión de preferencia, no de necesidad. Algunas personas pueden pensar esto otro, pero los pensadores racionales entienden que un argumento válido debe ser universalmente vinculante, si no, no es un argumento válido. Todo lo que cada uno de los prisioneros tienen que preguntarse es lo siguiente: “Como ambos vamos a tomar la misma decisión, ¿cuál es la más lógica? Esto es, ¿cuál es la mejor para el pensador racional individual: una con dos prisioneros confesando o no confesando?” La respuesta es inmediata: “Me caerán siete años si ambos confesamos y sólo un año si no confesamos. Claramente yo prefiero un año a siete. Como soy un pensador típico, no confesar debe ser preferido también por mi compañero. Así que cooperaré.”
Los intentos de Hofstadter por convencernos, vía argumentos lógicos y racionales, de que ambos terminarán cooperando podrían alargarse muchas líneas más y seguirían sin dar con la línea de análisis correcta. Deducir el comportamiento de grupo del comportamiento individual es una falacia lógica.

El argumento individual toma el de los demás como dado durante todo el razonamiento y llega a una conclusión. Al final será la misma que la de los demás, pero sólo al final, no durante el proceso de deducción. Es decir, durante el razonamiento, un prisionero se plantea cuál es su mejor acción dado lo que pueda estar haciendo el otro. En equilibrio, lo que se postula para el otro se corresponde con lo que también sea su mejor acción dada cuál sea mi acción. Esta es la clave del concepto de equilibrio de Nash, la mayor contribución de este premio Nobel de Economía y que ahora es la pieza central de la Teoría de los Juegos. Como vemos en el dilema del prisionero, no es un concepto intuitivo y no es deducible fácilmente a partir de la lógica individual. El propio von Neumann, de quien ya hemos hablado varias veces, no le prestó atención al joven Nash cuando éste se lo propuso.

Si alguien duda del análisis de la Teoría de Juegos, en este vídeo tiene una de las mejores demostraciones. También puede echar un vistazo a la imagen que abre la entrada. La lógica del dilema del prisionero está detrás de todos los problemas ahí señalados.

miércoles, 19 de julio de 2017

Zenón de Elea, Lewis Carroll y Feyerabend

Nuestra Historia Más Grande Jamás Contada tuvo como centro el movimiento de los cuerpos. Sin embargo, la historia del pensamiento nos muestra lo difícil que es tener una idea clara de lo que es el movimiento.


Para Heráclito todo estaba en movimiento y en continuo cambio (no se puede bañar dos veces en el mismo río), mientras que para Parménides, lo inmutable del ser era la clave de la realidad (el ser es y no puede no ser). Zenón de Elea era discípulo de Parménides y quiso echar una mano a la defensa de las tesis de su maestro. Desarrolló para ello una serie de argumentos que mostraban la imposibilidad del movimiento y, por tanto, del cambio. El más famoso es el de Aquiles y la tortuga. Si le daba ventaja en una carrera, Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga. Cuando llegara al punto de partida de la tortuga (A), ésta ya estará más adelantada (en B). Cuando Aquiles llegue al punto B, la tortuga habrá avanzado otro poco (hasta C). De esta manera habrá una serie infinita de recorridos que Aquiles tendría que completar antes de alcanzar a la tortuga. Una serie infinita solo puede ser recorrida en un lapso de tiempo infinito. Conclusión: Aquiles no alcanzará a la tortuga. Como esto ocurre para cualquier ventaja que tenga la tortuga, por pequeña que sea, se demuestra que el movimiento es imposible.

Es difícil saber si Zenón de Elea se creía realmente su argumento. Tal vez pensara que el mundo que llamamos real es sólo apariencia, y que esta apariencia es revelada por la razón, según sus argumentos. Aristóteles analizó las falacias en las paradojas de Zenón de Elea con resultado desigual, pero la anécdota atribuida a Diógenes el cínico, que se puso a caminar tras una lección de Zenón de Elea, mostrando que "el movimiento se demuestra andando", constituye su refutación más conocida. Pura razón práctica.

Propongo ver estos argumentos desde otra perspectiva (no digo que fuera la intención de Zenón de Elea, ya adelanto que no creo que sea el caso). Constituyen un ejercicio intelectual, una especie de adivinanza, un nudo (ayúdame a desatarlo, que escribió Lewis Carroll) que se propone al interlocutor: "Si eres tan listo, a ver si sabes encontrar la causa de la paradoja, pues solo si lo sabes hacer podremos creer que tu discurso sobre la realidad estará bien fundamentado." En este sentido soy amigo de las paradojas. No creo que cada uno tenga que saber resolverlas todas, pero sí que les reconozco su aspecto lúdico y su manera de hacernos reflexionar sobre nuestro raciocinio.

El propio Lewis Carroll planteó otra carrera entre Aquiles y la Tortuga. Ésta era una carrera lógica. En boca de la Tortuga, la primera proposición de Euclides dice:

(A) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
(B) Estos dos lados de un triángulo son iguales a uno tercero.

Por tanto:

(Z) Estos dos lados son iguales entre sí.

Aquiles se queja y dice que la última proposición debe ser llamada (C), pues se sigue a continuación de (A) y (B). La tortuga afirma que, antes de concluir (Z) hay que aceptar la lógica del silogismo. Es decir, hay que aceptar:

(C) Si se aceptan (A) y (B) debe aceptarse (Z).

Aquiles accede y cree acabada la nueva carrera. Pero esta no ha hecho más que empezar, ya que ahora debemos introducir:

(D) Si se aceptan (A), (B) y (C) debe aceptarse (Z).

(E) Si se aceptan (A), (B) (C) y (C) debe aceptarse (Z).

... ... ...

Según la tortuga, nunca se aceptará (Z), y así nace otra paradoja, esta vez sobre la imposibilidad del movimiento, no ya en el mundo real, sino en la propia esencia de la razón, en la lógica.

En tiempos más recientes, hay filósofos que nos han traído nuevos argumentos sobre la imposibilidad del movimiento, esta vez en el progreso de la ciencia. Por ejemplo, Feyerabend viene a decir:

(A) No existe un método científico. Para toda regla o método, encontramos excepciones en la historia de ciencia.

(B) Si queremos despojar al método científico de todas las reglas que se han transgredido, nos quedamos con que "todo vale".

(C) De lo anterior se deduce que la ciencia no está en mejor posición que otras construcciones sociales como para demandar un status superior.

(D) Se deduce también un relativismo cultural por el cual podemos admitir que ciertas creencias que son verdaderas para nosotros no lo son para otros. Estas creencias se refieren no solo a gustos o cuestiones morales, sino también a afirmaciones acerca de la realidad física. No hay posibilidad de definir criterios que definan la objetividad y la razón. Así que objetivamente no hay que elegir entre las afirmaciones de la ciencia y de la astrología, por ejemplo.

Feyerabend escribía con un lenguaje muy directo, pero poco claro. No es de extrañar que continuamente se quejara de que no le habían entendido, especialmente cuando escribió su obra "Contra el Método". Acusaba a sus críticos de no distinguir entre chistes, ironías, paradojas y las ideas centrales del libro. Es lo que tiene no escribir con claridad.

Además de Feyerabend, hay corrientes post-modernas, hermenéuticas, deconstructivistas, ... que emplean argumentos de este estilo para criticar a la ciencia. Algunas veces se la tacha de machista, otras de occidental y, por tanto imperialista, y así sucesivamente. El hilo conductor parece ser algo así como:

(A) La ciencia es un quehacer humano (o un discurso, o lo que sea).

(B) Por tanto no está exenta de los problemas de todo que hacer humano (o de todo discurso, ...).

(C) Por tanto, sus construcciones o teorías estarán sesgadas y reproducirán los esquemas de poder - o los prejuicios, o lo que sea - de la clase dominante - o de los hombres, o de occidente, pon aquí tu fobia favorita -.

Es decir, que si hubieran sido mujeres asiáticas quienes hubieran estudiado el movimiento de los cuerpos, la ley de la gravedad sería distinta. Bueno, tal vez no esa en particular, pero sí alguna otra ley o teoría científica. Aunque no sabemos cuál, no nos lo dicen, no hablan claro.

Veo todos estos discursos como veo las paradojas de Zenón de Elea o la de Lewis Carroll. El primero tal vez se creyó sus argumentos, el segundo no (Lewis Carroll era profesor de matemáticas y de lógica). Los pensadores que las proponen harían bien en tomarlas como lo que son y no como argumentos verdaderos. Se arriesgan a quedar en ridículo frente a un Diógenes moderno, o frente a un Sokal.

martes, 11 de julio de 2017

¿Cuántos impuestos paga un asalariado?

A cuenta de la reducción de impuestos pactada entre el PP y C’s ha vuelto el debate sobre si pagamos muchos impuestos, si compensa el estado de bienestar que tenemos y otros gastos, y si es el momento adecuado, por aquello de la deuda y el déficit. En particular, se ha gastado mucha saliva y caracteres de twitter en dilucidar cuántos impuestos pagamos y, más concretamente, cuántos paga un trabajador asalariado. Voy a intentar aclarar esto.


Un trabajador cobra un sueldo bruto, del que se descuentan cotizaciones a la seguridad social y sobre el que tendrá que pagar el impuesto de la renta. Además de eso, el empleador paga cotizaciones a la seguridad social a cuenta del trabajador y, cuando el trabajador gaste su dinero, pagará el IVA, impuestos especiales y otros. ¿Cómo calcular cuáles son los impuestos que paga el trabajador? ¿Se incluyen todos? ¿Son las cotizaciones a la seguridad social impuestos? ¿La parte que paga el empleador es parte del salario bruto del trabajador?

Para responder a estas preguntas hagamos unas consideraciones que espero aclaren el porqué del análisis posterior.
  1. Las cotizaciones a la seguridad social no son técnicamente un impuesto, pero actúan económicamente de manera bastante parecida a un impuesto. Un incremento de las cotizaciones implica un coste mayor de contratar, exactamente como un impuesto implica un coste mayor de compraventa.
  2. La distinción entre una parte de las cotizaciones que paga el trabajador y otra que paga el empleador es un artificio contable. Pongamos que a un sueldo de 100 debe acompañar una cotización de 25 por parte del empleador y de 5 por parte del trabajador. El empresario gastará 130 por cada 100 que reciba el trabajador. Lo mismo que si al empresario se le imputara una cotización de 10 y al trabajador una de 20. Todo es exactamente igual, excepto que alguien ha decidido llamar a unas cantidades de una manera y no de otra.
  3. Es cierto que algunas políticas de incentivos perdonan, por ejemplo, la parte de las cotizaciones que se imputan al empleador. Pero eso solo quiere decir que el Estado quiere subvencionar por esa proporción. Daría igual decir que perdona 25/30 partes de la cotización total o que perdona el 100% de los 25 imputados al empleador.
Una vez que tratamos todas las cotizaciones a la seguridad social como impuestos, todavía nos queda calcular cuánto paga quién de cada impuesto. ¿Paga el trabajador todas las cotizaciones? ¿Paga todo el IVA?
Figura 1 (izquierda): La oferta se desplaza hacia arriba (se hace más cara) por el monto del impuesto.
Figura 2 (derecha): La demanda se desplaza hacia abajo (se demanda menos) por el monto del impuesto.
En ambos casos: La cantidad pasa de Q a Q´,
el precio pasa de P a Pc para el comprador y Pv para el vendedor.
La diferencia entre Pc y Pv es el impuesto.

En Economía nos hacemos una pregunta para saber quién paga un impuesto: cuál sería el precio que verían comprador y vendedor sin impuesto y cuánto ven con el impuesto. Lo que paga cada uno es la diferencia. Las figuras 1 y 2 ilustran esto en el caso más sencillo. En ambas figuras partimos de la misma situación, una oferta y una demanda que dan como resultado un precio de equilibrio en el punto E. En la Figura 1, el Estado decide poner un impuesto al comprador, que tendrá que pagar t unidades extra por cada unidad comprada. Vemos que esto implica un desplazamiento hacia abajo de la demanda (por valor t) y un nuevo equilibrio en E'. En la Figura 2 el impuesto es sobre el vendedor, que implica un desplazamiento de la oferta y un nuevo equilibrio en E''. El lector atento observará que E' y E'' tienen el mismo resultado en términos de quién paga qué. En ambos casos el impuesto se reparte entre el comprador y el vendedor de la misma manera. Quién pague una proporción mayor dependerá de cómo de horizontales o verticales sean las funciones. Si el comprador tiene una demanda plana, lo que quiere decir que es muy sensible al precio de ese bien, ante una subida del impuesto reaccionará comprando otras cosas y pagando poco del impuesto sobre ese bien.

Lo anterior se mantiene, mutatis mutandi, si el impuesto es un porcentaje, si el mercado no está en competencia perfecta o si concurre cualquier otra circunstancia con la que uno quiera complicar o hacer más realista el modelo. Este resultado se observa una y otra vez en cuantos experimentos y estudios empíricos se han hecho sobre el tema.

Aunque no se haya entendido del todo este análisis, una cosa debe quedar perfectamente clara: el impuesto se reparte entre comprador y vendedor y no se debe contabilizar dos veces. Por ejemplo, incluso si uno cree que el impuesto lo paga siempre el comprador (¿por qué?) eso querría decir que si A compra el bien X y vende el bien Y, solo pagaría el correspondiente al bien X. El impuesto sobre el bien Y lo pagaría el comprador de ese bien.

Ya estamos en disposición de decir algo relevante sobre qué impuestos paga un asalariado. El trabajador, recordemos, vende su trabajo y compra bienes y servicios. ¿Convenimos que paga una parte del impuesto correspondiente a cada compra-venta dependiendo del análisis en cada mercado en particular, como en las figuras 1 y 2? Así debe ser. Decir que paga todos los impuestos, tanto cuando compra como cuando vende supone decir que todas las empresas que pagan a todos los trabajadores tienen una capacidad ilimitada de pasar todo el impuesto al trabajador y que todas las empresas a las que compra bienes y servicios al trabajador tienen ese grandísimo poder.

Entonces ¿cuánto paga el trabajador? No lo sé, no soy experto en ello, pero cualquiera que responda a esa pregunta asignando arbitrariamente un impuesto u otro en su totalidad o parcialidad al trabajador no será digno de ser escuchado. Eso es lo que hizo, por ejemplo, J.R. Rallo en La Sexta Noche el sábado pasado atribuyendo el pago de todos los impuestos al trabajador (véase a partir del minuto 26:55). Lo hacen también quienes se dejan llevar por la arbitrariedad de la asignación de cotizaciones a trabajador y empresa.

Como siempre, un caos de discusión. El error de Rallo en el cálculo, a partir del 26:55.

Termino con una última aclaración. Hay quien confunde el análisis anterior sobre quién paga efectivamente un impuesto con el análisis sobre una política dirigida a un colectivo. Por ejemplo, pongamos que un paquete de chuches cuesta 6€, de los que 1€ corresponde al IVA (un 20% sobre los 5€ antes del IVA). Ahora el Estado me perdona el IVA cuando compro chuches (solo a mí, que soy el colectivo al que el Estado dirige su política), para mí el precio de las chuches bajará por todo el monto del IVA, de 6€ a 5€. Yo me beneficio al 100% y el que me vende las chuches se beneficiará al 0% en cada paquete de chuches que compre. Si mañana vuelvo a tener que pagar el IVA, pagaré el 100% del monto del IVA. ¿Quiere esto decir que en el mercado de las chuches el consumidor paga el 100% del IVA? De ninguna manera. El precio prevalente de 6€ con IVA de las chuches sería una cantidad entre 5 y 6 (pongamos que fuera 5,4€) si el Estado eliminara el IVA de las chuches para todos los consumidores. Si solo me lo quita a mí, el precio para mí será de 5€. Ambas cosas no solo son perfectamente compatibles, sino que constituyen el análisis correcto en cada caso. Por la misma razón preguntarse qué pasaría si el Estado le perdona a tu empleador las cotizaciones sociales para responder que tu sueldo no variaría, que el empleador se beneficiaría del 100% de la exención, no tiene nada que ver con el hecho de que las cotizaciones se pagan entre ambos.

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Hace cinco años en el blog: Qué fácil es saber.
Y también: ¿A la tercera va la vencida?
Hace tres años en el blog: Paradojas de Venezuela: pobres resultados y alto índice de bienestar subjetivo.
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lunes, 3 de julio de 2017

Matar una discusión (7): «¿Estás comparando el tocino con la velocidad?»


Estás intentando explicar un fallo en una argumentación y, para hacerlo más patente, pruebas con un ejemplo que te parece más claro. ¿Qué puede salir mal? Al parecer, mucho.

Sabemos que si llueve las calles se mojan. Alguien ve la calle mojada y dice que ha llovido. «No tiene por qué», respondes, pero no convences. Tras mucho explicar dices que de «A implica B» no se puede deducir que «B implica A», de «Si llueve, se mojan las calles» no se puede deducir que «Si las calles están mojadas es porque ha llovido», lo mismo que de «Si alguien es hombre, entonces es mortal» no se deduce que «Si alguien es mortal entonces es hombre», puesto que puede ser una mujer. Llegados a este punto, tu contertulio dirá «¿Estás comparando a la lluvia con los seres humanos?». Bueno, seguramente no, nadie sería tan bruto. Todo el mundo entiende que la analogía que trae el ejemplo está en la forma del argumento, no en el contenido. Sin embargo algo muy parecido pasa a menudo.

Por ejemplo, en numerosas ocasiones he dicho que los supuestos en Economía son simplificaciones para desarrollar modelos tratables y que permitan estudiar una cuestión. El Homo economicus sería una simplificación para estudiar algunos mercados lo mismo que el tratar los planetas como puntos en el espacio lo es para estudiar sus posiciones relativas. Una y otra vez, me contestan «¿Cómo puedes comparar la Economía con la Física?» Cuando aseguro que en ningún momento he hecho eso me señalan que he puesto las dos cosas en un mismo párrafo. Como si hubiera sido yo, y no mis contertulios, quienes han confundido la lluvia con los seres humanos.

¿Hace falta que ponga otro ejemplo o se me dirá que estoy confundiendo el modus ponens con el realismo de los supuestos? ¿O tal vez que no me entero y que planteo una falsa disyuntiva?

El lector avispado se habrá dado cuenta que este tipo de confusión mental tiene su vuelta de hoja. Ocurre cuando alguien te quiere convencer de A y lo pone en analogía con B, que es algo de lo que ya estás convencido. Por ejemplo, «El mercado no busca la justicia, por lo tanto el mercado es malo». Te han metido en la misma frase «mercado» y «no justicia» y ahora te toca a ti ser el malo de la película y decir que «el chocolate tampoco busca la justicia». Para entonces tu contertulio ya no atenderá razones, hinchado de superioridad moral.

(Se admiten comentarios con más ejemplos de este tipo de diálogo de besugos.)

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Hace cinco años en el blog: Sobre el nacionalismo (3).
Y también: Cuando cierro los ojos veo neoliberales.
Hace tres años en el blog: Vivir con la imperfección en ciencia y en política.
Y también: Elección de alcalde a dos vueltas.
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