miércoles, 26 de julio de 2017

El Dormilón y la Bella Durmiente van de la mano


Voy a dar en esta entrada la solución a la paradoja de la Bella Durmiente, pero antes hay que resolver la del dormilón.

Recordemos que el dormilón se montaba en un avión en la ciudad A para ir a la B. Se sabe que la mitad de los aviones de ese trayecto van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). En la ciudad B preguntan a todos los viajeros que llegan de A cómo venía su vuelo. El dormilón estaba dormido y no se enteró, así que no sabe cómo iba su vuelo, pero se puede asignar una probabilidad a que fuera de los llenos o de los medio llenos. Estas probabilidades deben ser 2/3 para el vuelo lleno y 1/3 para el vuelo medio lleno. ¿Por qué?

Si los encuestadores de B preguntaran, por ejemplo, a 20 personas de cada vuelo, la respuesta sería 1/2, 1/2, pero este no es el caso. Los encuestadores preguntan a todos, así que preguntan al doble de pasajeros de los vuelos llenos que a pasajeros de vuelos medio llenos. Cuando un pasajero es preguntado, aunque no sepa cuál era su vuelo, sabe que tiene el doble de probabilidad de ser de los del vuelo lleno.

Podemos verlo de otra manera. Al embarcar en A, el dormilón no puede pensar que tiene iguales probabilidades de entrar en un vuelo lleno que en uno medio lleno. Si así fuera, y todos los pasajeros fueran asignados a un vuelo u otro mediante el resultado de una moneda lanzada al aire, la mitad irían a cada avión y los dos se llenarían de igual manera. La única forma de pensar algo consistente con la información que tenemos es pensar que, por ejemplo, se lanza un dado y, si sale 1 ó 2, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale 3, 4, 5 ó 6, nos meten en el otro. También podemos pensar que se tira una moneda, de manera que, si sale cara, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale cruz, nos meterán a DOS pasajeros en el avión que resultará lleno.

Vamos con la Bella Durmiente. Recordemos que se tiraba una moneda un domingo, antes de dormirse, si salía cara, se despertaba el lunes y se acababa la maldición. Si salía cruz, se despertaba el lunes, se volvía a dormir y luego se despertaba, amnésica, el martes. Así, la Bella Durmiente se despierta una vez tras cara y dos veces tras cruz. Como cara y cruz tienen la misma probabilidad, todos los despertares ocurren con la misma probabilidad. De otra manera, si hubiera 100 Bellas Durmientes, habría 50 despertares en lunes tras cara, 50 en lunes tras cruz y 50 en martes tras cruz. A cada Bella Durmiente se le pregunta por el día en que está tras cada despertar. Así, cada una sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras cruz que tras cara. Las probabilidades que asignará a “cruz” serán 2/3 y a “cara” 1/3. De ahí se sigue que la probabilidad asignada a “lunes” será 2/3 y a “martes” 1/3.

Si todavía no estamos convencidos, pensemos en las Bellas Durmientes que se despiertan como encarnaciones de una misma Bella Durmiente. Cada Bella Durmiente tiene tres encarnaciones, la que se despierta en lunes tras cara, la que se despierta en lunes tras cruz y la que se despierta en martes tras cruz. Ninguna de estas encarnaciones sabe nada de las otras dos. La que se despierta tras cara no sabe nada de las que se despiertan tras cruz, porque ni siquiera existirán. La que se despierta en lunes tras cruz  no sabe nada de la que se despierta en martes tras cruz porque será una futura, y la que se despierta en martes tras cruz no sabe de la que se despertó en lunes tras cruz porque está amnésica. Cuando las tres encarnaciones se ponen a la cola el domingo, para vez cuál les toca ser, deben pensar, como en el caso del dormilón, que, cuando la moneda sale cara, sólo una de ellas pasa, mientras que, si sale cruz, pasan dos. Así, cada Bella Durmiente debe pensar que, con probabilidad 1/3 irá al mundo tras “cara” y con probabilidad 2/3 al mundo tras “cruz”. Los 50 despertares tras cara son el equivalente de los pasajeros que van al avión medio lleno del dormilón, los 100 despertares tras cruz, los que van al avión lleno.

El premio de la Bella Durmiente va para Iñigo (bien por los de Bilbao) y el del dormilón para un anónimo.

martes, 25 de julio de 2017

La Bella Durmiente tiene amnesia

Es domingo (es un decir) y la Bella Durmiente se hace una herida con la rueca y cae en la maldición. No es la del cuento, sino una versión especial. Antes de dormirse, la bruja echará una moneda al aire. Si sale cara, la Bella Durmiente se despertará de la maldición el lunes y ahí se acabará la historia. Si sale cruz, se despertará igualmente el lunes, pero se volverá a dormir para despertarse el martes otra vez y ya libre de la maldición. Por desgracia le quedará una pequeña secuela: el martes no se acordará si se despertó o no el lunes.

Así las cosas, la Bella Durmiente se despierta y, en lugar de preguntarse ¿dónde estoy?, como en las películas, se pregunta ¿cuándo estoy? o, con mejor gramática ¿qué día es hoy? En lugar de decirle el día, el Príncipe le cuenta toda la historia del primer párrafo que, por otra parte la Bella Durmiente ya sabía, pues la bruja le había contado las condiciones y secuelas de la maldición.

La Bella Durmiente no sabe en qué día está, pero puede asignar probabilidades al hecho de que sea lunes y al hecho de que sea martes. También puede asignar probabilidades al hecho de que la moneda cayera en cara y que cayera en cruz.

¿Qué probabilidades debe asignar?

(Esta vez hace falta argumentar bien para tener premio.)

lunes, 24 de julio de 2017

El dormilón


De la ciudad A parten aviones hacia la ciudad B. La mitad van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). Esta información se conoce en A, pero no en B. Las autoridades de la ciudad B quieren saber cómo llegan los aviones, así que hacen una encuesta. En la terminal de llegadas preguntan aleatoriamente a los pasajeros que llegan de A cómo venía de lleno su vuelo.

El pasajero K hace el viaje de A a B, pero lo hace dormido y sin reparar en lo lleno que va su avión. Cuando le preguntan en el aeropuerto al llegar a B, no sabe qué contestar, pero sí que tendrá una idea acerca de cuál es la probabilidad de haber venido en un vuelo medio lleno o en un vuelo lleno. ¿Cuál es esta probabilidad?

domingo, 23 de julio de 2017

Los científicos se lo montan con modelos

La importancia de tener un modelo para pensar sobre la realidad nunca debe ser desdeñada. De otra manera es difícil saber de qué estamos hablando. Véase, si no, esta entrada en el Otto Neurath o esta otra mía semanas atrás. Uno de los ejemplos más sencillos, a la vez que ilustrativo, es la paradoja de Monty Hall.

Monty Hall es el presentador de un concurso televisivo. Una de las situaciones en las que se suelen ver inmerso el concursante es la siguiente. Debe elegir entre tres puertas, una de las cuales tiene tras ella un premio. Las otras dos no guardan nada. El concursante elige la puerta A y, a continuación Monty Hall abre una de las otras dos puertas, pongamos que sea la B, y se ve que no hay premio. Monty Hall le da la oportunidad al concursante de cambiar y elegir la C, si quiere. ¿Debe el concursante cambiar de puerta?

Esta es una vieja paradoja y no es mi intención elaborar sobre ella. Sólo la tomo de referencia para ilustrar la necesidad de los modelos. Tal como yo he descrito la historia, nos falta saber cómo se ha llegado a la situación descrita. En particular, es necesario saber si Monty Hall sabía dónde estaba el premio y si, sabiéndolo, deliberadamente escoge la puerta en que sabe que no está.

Si Monty Hall abre una puerta al azar y sucede que no hay premio, las probabilidades a priori de que el premio esté tras A o tras C siguen siendo iguales (el 1/3 de probabilidad de B se pasa a medias a A y a C, quedando en 1/2 cada una) y el concursante no gana nada por cambiar.

Si, en cambio, Monty Hall sabe dónde está el premio y abre una puerta donde sabe que no está, la probabilidad de 1/3 de B se va toda a C, de manera que al concursante le conviene cambiar.

El modelo lo es todo. Intentar responder a la cuestión sin especificar qué caso tenemos en mente solo nos puede llevar a un gran dolor de cabeza tras una larga discusión.

Aclaro dos cosas. La formulación original de la paradoja narraba el segundo escenario. Sin embargo, mucha gente pensaba que la solución seguía siendo 1/2 y que no hacía falta cambiar. No me molesto en hacer los cálculos y las explicaciones de cómo se llegan a estas conclusiones porque está en cualquier página dedicada al asunto, incluidas las entradas en la wikipedia y en la ilustración que abre esta entrada. Pinchad sobre ella para verla completa.

sábado, 22 de julio de 2017

La razón moral en democracia


(¿Un hombre un voto? - ¿No es eso lo que he estado haciendo?)

He aquí otro problema, esta vez mucho más serio y general, sobre cómo no es posible deducir reglas que obedezcan a principios aparentemente bien racionales, simplemente porque no existen. Esto obliga a elegir reglas imperfectas, por así decirlo, sobre las cuales habrá disparidad de opiniones.

El problema es el de elegir un sistema de elección social (p.e. un sistema de votaciones). No queremos uno cualquiera (p.e., el que elija la opción que obtenga 4.533 votos), así que convengamos unos mínimos de coherencia. Para facilitar la decisión centrémonos en los sistemas en los que hay que elegir una alternativa entre varias (un presidente, un proyecto ciudadano, un sí o un no en un referéndum,…). He aquí los criterios.
  1. Transitividad. Si se determina que A se elige ante B y B ante C, entonces A debe ser elegido frente a C.
  2. Unanimidad. Si todo el mundo prefiere A a B, entonces se elige A.
  3. Independencia de alternativas irrelevantes. La elección entre A y B depende sólo de las preferencias que los individuos tengan sobre A y B.
  4. No dictadura. La regla no elige siempre según las preferencias de un individuo en particular.
El punto 3 merece un poco más de explicación. Imaginémonos que estamos en un restaurante y pedimos la carta. Nos dicen que hay carne y pescado. Elegimos la carne. En ese momento, el camarero nos informa de que también hay ancas de rana. Ante la nueva información elegimos pescado. Este extraño cambio de parecer es el que evita la independencia de alternativas irrelevantes.

Estos puntos son perfectamente formalizables matemáticamente. Arrow lo hizo y, a continuación, enunció y demostró que no existe ninguna manera de elegir socialmente que cumpla los cuatro principios. Además, se ganó el Nobel. El esquema de la demostración es ilustrativo. Lo que hizo fue suponer que se cumplen los primeros tres puntos y demostró que sólo la regla dictatorial los cumple.

Así que, o bien aceptamos a un dictador, o tenemos todos las mismas preferencias o tenemos que renunciar a algún otro principio. De nuevo, no existe la regla racional de elección. En particular, tampoco existe el sistema de votaciones ideal.

viernes, 21 de julio de 2017

La razón moral en bancarrota


Propongo considerar un pequeño problema moral para el que la razón pura (sea lo que sea eso) es incapaz de ofrecer una solución. El ejemplo, por ser tan mundano él, no debería preocupar a los proponentes de una moral basada en la razón. Aún así lo propongo porque ayudará a entender la postura de quienes no creemos posible que la razón pueda dar ningún salto para poder deducir lógicamente la moral.

Este es el ejemplo:

Una empresa se declara en bancarrota. Sus activos están valorados en 120, pero tiene dos acreedores a quienes debe 60 y 120, respectivamente. ¿Cómo se dividen los activos entre los acreedores?
  • Regla igualitaria: Se reparte entre ellos a partes iguales, 60 para cada uno.
  • Regla proporcional: Se reparte proporcionalmente a la deuda, 40 para el primero, 80 para el segundo.
  • Regla del Talmud: El primero reclama la mitad, el segundo todo. La mitad que reclaman los dos se reparte a medias (30 para cada uno). La segunda mitad que reclama sólo el segundo es para él (60 más para el segundo). El reparto queda así: 30 para el primero y 90 para el segundo.
¿Cuál es el reparto moralmente justo?

No es posible saberlo. Cada uno obedece a un principio distinto, todos tienen en cuenta cierto principio de igualdad, pero cada regla lo trata de forma distinta. De hecho podríamos imaginarnos muchas más, todas sensatas. Podemos poner un mínimo asegurado para cada acreedor y un reparto proporcional del resto de la deuda, o hacer el reparto proporcional al logaritmo de la deuda (por aquello de que más dinero da cada vez menos felicidad), o dárselo todo al más rico (la regla Reaganiana), por poner unos pocos ejemplos más.

Esta es la discusión:

El problema es interesante porque está perfectamente definido. Si se dice que hacen falta más datos, por ejemplo sobre quién es cada uno de los acreedores, supóngase que son dos personas exactamente iguales excepto por su posición en este caso de bancarrota. Ni aún así podemos deducir una u otra regla de reparto sin mediar por medio algún otro principio que implique esa regla en particular. Esto no tiene por qué ser redundante. En teoría de juegos hay toda una rama dedicada a derivar fórmulas de reparto a partir de axiomas deseables. Ocurre que cada regla obedece a un subconjunto particular de estos axiomas y que ninguna regla los puede tener todos. En otras palabras, muchos axiomas que son deseables son incompatibles entre sí. Fijémonos que la elección de los axiomas será convencional, mientras que será la razón la que nos lleve de esa elección de principios a una regla de reparto (si es posible) o a concluir que una regla que satisfaga esos axiomas no existe.

Todo eso está muy bien, se objetará, pero la razón moral no se mete con asuntos mundanos como el de la bancarrota (con permiso del Corán, del Talmud y de los códigos civiles y mercantiles, supongo), sino con problemas más importantes. Es posible, pero mi argumento es que los intentos para sustentar una moral en la razón se enfrentarán siempre a este tipo de problemas.

¿Por qué lo creo? Por dos razones. Primera, porque en todos los problemas que se han podido analizar con rigor (bancarrota, negociación, votaciones, provisión de bienes públicos, agregación de preferencias,…) se han encontrado estos problemas. Segunda, porque los que proponen que tal empresa es posible no han conseguido avanzar un milímetro. Todos los avances han sido a partir de concesiones en los principios o a partir de una formulación de acuerdos normativos sobre qué es lo deseable: un punto económicamente eficiente, un punto aceptable tras el velo de la ignorancia, un punto de equilibrio, un punto en el que no haya envidias, una cesión de soberanía a un líder o algún otro principio por el estilo. Todo ellos serán perfectamente discutibles por personas razonables.

jueves, 20 de julio de 2017

Al monte se va con botas: El dilema del prisionero

Para que no se me acuse de meterme siempre con la metafísica, hoy propongo otro tema en el que observamos a la gente echándose al monte sin un buen equipo. Para más señas, esta gente estará individualizada en un autor muy apreciado por mí, como se puede comprobar por las entradas que en este blog hasta ahora han sido.

El monte al que vamos de excursión es el dilema del prisionero. Quienes conozcan este juego pueden pasar a los párrafos siguientes. Para quienes no lo conozcan, aquí va la versión más famosa.

Dos presuntos delincuentes son apresados por perpetrar un crimen. La policía los separa y le dice a cada uno de ellos lo siguiente: No tenemos pruebas de que seáis los autores, pero si tú confiesas y tu compañero no, tú sales libre por colaborar con la justicia y tu compañero se carga con toda la culpa (diez años de cárcel). Si los dos confesáis, os repartís la culpa (siete años a cada uno). Si ninguno confiesa os acusaremos de un delito menor (posesión ilícita de armas) y pasaréis cada uno un año en la cárcel. Una tabla nos ayuda a entender el juego:

                     Confesar     No confesar
Confesar          7,7                0,10
No confesar   10,0                 1,1

Así las cosas, ambos prisioneros debe decidir qué hacer. Si se pudieran poner de acuerdo y tomar la decisión conjuntamente decidirían, casi seguro, no confesar. Pero como deben decidir individualmente, cada uno verá que, haga lo que haga el compañero, lo mejor es confesar: Si mi compañero confiesa, mejor confieso yo también (siete años es mejor que diez), y si mi compañero no confiesa, yo mejor confieso (cero años de cárcel son mejor que uno). Ambos acaban confesando y disfrutando de siete años a la sombra.

Volveremos más adelante sobre la solución anterior. Veamos ahora lo que dice Douglas Hofstadter en su libro Metamagical Themas sobre el dilema del prisionero:
"Si la razón dicta una respuesta, ambos prisioneros llegarán a ella independientemente. Una vez que uno se da cuenta de esto, se sigue que todos los jugadores racionales elegirán Confesar o todos elegirán No confesar. Esta es la clave. Cualquier cantidad de pensadores racionales enfrentados a la misma situación y que sobrelleven agonías de razonamientos similares llegarán a la misma respuesta siempre que la razón sea la única guía de sus conclusiones. Si no, la razón sería subjetiva, y no objetiva como la aritmética. Una conclusión alcanzada por la razón debe ser cuestión de preferencia, no de necesidad. Algunas personas pueden pensar esto otro, pero los pensadores racionales entienden que un argumento válido debe ser universalmente vinculante, si no, no es un argumento válido. Todo lo que cada uno de los prisioneros tienen que preguntarse es lo siguiente: “Como ambos vamos a tomar la misma decisión, ¿cuál es la más lógica? Esto es, ¿cuál es la mejor para el pensador racional individual: una con dos prisioneros confesando o no confesando?” La respuesta es inmediata: “Me caerán siete años si ambos confesamos y sólo un año si no confesamos. Claramente yo prefiero un año a siete. Como soy un pensador típico, no confesar debe ser preferido también por mi compañero. Así que cooperaré.”
Los intentos de Hofstadter por convencernos, vía argumentos lógicos y racionales, de que ambos terminarán cooperando podrían alargarse muchas líneas más y seguirían sin dar con la línea de análisis correcta. Deducir el comportamiento de grupo del comportamiento individual es una falacia lógica.

El argumento individual toma el de los demás como dado durante todo el razonamiento y llega a una conclusión. Al final será la misma que la de los demás, pero sólo al final, no durante el proceso de deducción. Es decir, durante el razonamiento, un prisionero se plantea cuál es su mejor acción dado lo que pueda estar haciendo el otro. En equilibrio, lo que se postula para el otro se corresponde con lo que también sea su mejor acción dada cuál sea mi acción. Esta es la clave del concepto de equilibrio de Nash, la mayor contribución de este premio Nobel de Economía y que ahora es la pieza central de la Teoría de los Juegos. Como vemos en el dilema del prisionero, no es un concepto intuitivo y no es deducible fácilmente a partir de la lógica individual. El propio von Neumann, de quien ya hemos hablado varias veces, no le prestó atención al joven Nash cuando éste se lo propuso.

Si alguien duda del análisis de la Teoría de Juegos, en este vídeo tiene una de las mejores demostraciones. También puede echar un vistazo a la imagen que abre la entrada. La lógica del dilema del prisionero está detrás de todos los problemas ahí señalados.