La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 7 y última.

Einstein

La Teoría de la Relatividad General

La Tierra y sus Dominios, este es el título general de la serie, pero en la entrada anterior estábamos en el Enterprise, presumiblemente lejos de la Tierra. ¿No me estaré yendo por las ramas? Un poco sí, pero no mucho. Ha sido necesario alejarse un rato, enseguida volveremos a nuestro querido planeta. Pero todavía tenemos que hacer un viaje más.

La versión de la Teoría de la Relatividad que Einstein desarrolló en 1905 no incluía la fuerza de la gravedad como parte de la descripción de su nueva visión del Universo. De ahí el calificativo "especial". Diez años de estudios en Matemáticas y de trabajos en Física le llevó, por fin, a incluir la gravedad. El resultado es la Teoría de la Relatividad General. Esta vez fue la introducción de un sencillo principio lo que le permitió su nueva formulación:

1. Un campo gravitatorio es equivalente a un movimiento uniformemente acelerado.

Es lo que se conoce como el principio de equivalencia. Einstein explica este principio con uno de sus famosos experimentos mentales. Supongamos que nos colocamos dentro de un ascensor sin ventanas ni otra manera de saber dónde estamos. Si el ascensor está en la superficie de la Tierra, sentiremos la fuerza de gravedad. Observaremos cómo los objetos se caen y cómo nosotros mismos, lejos de flotar, estamos con los pies en el suelo.

Si ponemos el ascensor en órbita sí nos sentiremos flotar. Recordemos (Parte 4) que esto es porque el ascensor está todo el rato cayéndose, y nosotros con él, de manera que nosotros con respecto al ascensor no experimentamos ninguna fuerza que nos impida seguir la misma inercia y flotar dentro de él. Lo mismo experimentaríamos si dejaran caer al ascensor desde un avión. No sabríamos si estamos cayendo en línea recta o si estamos en órbita. O, por lo mismo, tampoco sabríamos si estamos flotando en el espacio exterior fuera del alcance de la gravedad de ningún planeta o estrella. Quedémonos con esta última imagen. Nosotros dentro del ascensor flotando en el espacio, sin gravedad. Si, ahora, se encienden unos motores en el suelo del ascensor, la aceleración nos hará chocar contra el suelo. Es lo mismo que ocurre cuando se arranca un coche y sentimos que nos pegamos al respaldo del asiento. Es también lo mismo que ocurre cuando el coche se frena, que nos pegamos contra el parabrisas si no llevamos puesto el cinturón de seguridad.

Así, pues, nos pegamos contra el suelo del ascensor. Después de la primera impresión, seremos capaces de ponernos de pie y sentir que, si soltamos un objeto, éste se caerá al suelo. Exactamente igual que cuando estábamos en la superficie de la Tierra. El efecto seguirá ocurriendo mientras los motores estén encendidos. Por la segunda ley de Newton, mientras dure la fuerza de los motores el ascensor seguirá acelerándose (aumentando su velocidad). Cuando se apaguen los motores, el ascensor mantendrá la velocidad a la que le haya llevado la aceleración. En ausencia de rozamiento y por la primera ley de Newton seguirá así indefinidamente. Pero una vez apagados los motores, dentro del ascensor dejaremos de sentir el empuje hacia el suelo y volveremos a flotar dentro de él.

Concusión: lo que sentimos en la superficie terrestre es indistinguible de lo que sentimos cuando el ascensor se acelera (cuidado, hay que acelerar el ascensor justo para que el empuje contra el suelo sea nuestro peso, y así ser verdaderamente indistinguibles). Si no podemos distinguir entre dos fenómenos podemos postular que son el mismo. A ver qué pasa.

Lo que pasa es que, como vimos en la Teoría de la Relatividad Especial, cuando un cuerpo se acelera, su tiempo se torna más lento. Si el principio de equivalencia es cierto, lo mismo le sucederá a un cuerpo que esté sometido a un campo gravitatorio. Los experimentos posteriores mostraron que, una vez más, Einstein tenía razón. Cuanto más intenso es el campo gravitatorio, más se ralentiza el tiempo.

Ya podemos volver a la Tierra. En la superficie estamos sometidos a un campo gravitatorio, a una fuerza de gravedad que nos empuja hacia abajo a 9,81 metros por segundo al cuadrado, como nos enseñaron en el Instituto. Si nos colocamos a unos cientos de kilómetros sobre la superficie terrestre, la distancia al centro de gravedad de la Tierra aumenta y con ella (bueno, con su cuadrado, según formuló Newton) disminuye la fuerza y la aceleración a que nos somete. Esto quiere decir que para los satélites en órbita el tiempo pasa más rápido que para los cuerpos sobre la superficie; por ejemplo, los ordenadores que controlan los satélites. La diferencia es muy pequeña, pero la suficiente como para que al cabo de unos meses la sincronía no sea perfecta y haya que corregir los relojes para conseguir una mayor precisión. En telecomunicaciones y, sobre todo en el sistema GPS, esta precisión es fundamental.

Y aquí es donde quería llegar con esta Historia Más Grande Jamás Contada:

1. Aristóteles dio una prueba de que la Tierra es redonda.
2. Sabiendo su forma, Eratóstenes pudo calcular su tamaño.
3. Galileo, Teorema de Pitágoras en mano, compone y descompone movimientos.
4. A hombros de Galileo y Kepler, Newton formula sus mecánica y calcula la trayectoria de un proyectil en órbita alrededor de una Tierra redonda.
5. Gracias a Newton sabemos también la masa de la Tierra.
6. Con las ecuaciones de Maxwell controlamos las ondas electromagnéticas y sabemos que su velocidad es la de la luz no importa el sistema de referencia.
7. Gracias a Einstein sabemos que lo anterior implica que los cuerpos que se aceleran tienen una línea temporal más lenta, y que esto mismo les ocurre a los cuerpos sometidos a un campo gravitatorio más intenso.

Todos y cada uno de estos hallazgos son necesarios para poner un sistema de satélites en órbita, calcular sus trayectorias y sus líneas temporales y enviar toda la información por ondas de radio (un tipo de ondas electromagnéticas) a la Tierra. Sin todos estos genios careceríamos de un Sistema de Posicionamiento Global (GPS, según sus siglas en inglés) y los habitantes de la Tierra no seríamos dueños de nuestros dominios.

Mis disculpas:

1.- En realidad, llegar hasta el GPS era solo una excusa, podíamos haber repetido la historia de la ciencia casi con cualquier invento que usamos hoy día.

2.- Seguro que alguien tiene historias favoritas candidatas a ser La Historia Más Grande Jamás Contada. La historia de la evolución en nuestro planeta es una buena candidata. La historia desde las sociedades primitivas a las modernas sociedades democráticas y abiertas puede ser otra.

3.- Hay más vínculos entre los grandes nombres que he manejado en esta historia. Por ejemplo, no sólo Einstein hizo experimentos mentales, Galileo también los hizo. Pensó qué pasaría con dos cuerpos, uno pesado y otro ligero, que cayeran en el vacío. Según Aristóteles, el ligero caería más despacio. Si se unieran los cuerpos, el resultado sería uno más grande y más pesado. Según Aristóteles, este nuevo cuerpo caería más rápido todavía. Por otra parte, como se compone de los dos cuerpos anteriores, el más ligero frenaría al más pesado en su caída. Esta contradicción le llevó a formular a Galileo que ambos deberían caer con la misma rapidez.

4.- Hay más nombres que seguramente deberíamos haber añadido a la lista, pero no quería ser más prolijo de lo necesario. Faltan muchos detalles, pero los podéis ir rellenando ahora que tenéis un mapa básico de la historia de la ciencia. Falta también hablar de la mecánica cuántica, de la termodinámica,... Luego están las otras ciencias, la Biología, la Geología, la Economía,... Quién sabe si un día me animo y os cuento acerca de alguna de la que sepa algo.

Ver comentarios aquí.

Te interesará: Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5 y Parte 6.

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Hace tres años en el blog: La separación por sexos en la escuela.
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La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 6.

Einstein

La Teoría de la Relatividad Especial

Einstein, el científico más famoso de todos los tiempos, propuso una teoría completamente revolucionaria que pondría a prueba toda nuestras intuiciones sobre el espacio, el tiempo, la masa y la energía, entre otras cosas. Y lo hizo basando toda la física en dos postulados:

1. Las leyes de la física deben ser las mismas para todo sistema inercial. (En realidad, esto ya estaba en Galileo.)
2. La velocidad de la luz es una constante universal.

El segundo postulado está diciendo que, a partir de ahora, no serán el espacio ni el tiempo los elementos primitivos de nuestra teoría, como lo era con Newton, sino la velocidad. Y no cualquier velocidad, sino la de la luz. Bueno, en realidad la de cualquier onda electromagnética. Como la velocidad de la luz no se acomoda al espacio y al tiempo de los distintos observadores en distintos sistemas de referencia (recuerda: el tren o la estación), serán el espacio y el tiempo de estos observadores los que se acomoden a las consecuencias de mantener la velocidad de la luz constante.

¿Y cuáles son esas consecuencias? Para responder conviene reformular los dos postulados anteriores en otros dos equivalentes:

1. El tiempo es otra dimensión que añadir a las tres espaciales.
2. Todo cuerpo se mueve a la velocidad de luz en el espacio-tiempo.

- ¿Qué?
- Tal como lo oyes.

Aclaremos lo de la dimensión del tiempo. No es que el tiempo sea igual que el espacio, sólo que, con las dimensiones del espacio, forma el Universo en el que estamos. Cuando tratamos el Teorema de Pitágoras en la Parte 2 de esta Historia Más Grande Jamás Contada vimos cómo calcular el desplazamiento al Norte si sabíamos el desplazamiento total y el desplazamiento al Este. En ese caso todos los desplazamientos se medían en kilómetros. Si una dimensión es tiempo, habrá que ver cómo pasamos de kilómetros a segundos. Para eso necesitamos dividir la distancia entre una velocidad. Si recorremos 100 km a 50 km/h tardaremos 100/50 = 2 horas. El siguiente postulado nos dice que será la velocidad de la luz la que usaremos.

Aclaremos eso de que todos nos movemos a la velocidad de la luz. Recordemos que no nos movemos en el espacio, sino en el espacio-tiempo. No nos extraña decir que todos nos movemos en el tiempo. Sin hacer nada, el tiempo pasa, y lo hace a la velocidad de la luz. Ahora, en lugar de decir que nos movemos en el tiempo, diremos que nos movemos en el espacio-tiempo. De hecho, lo que llamamos aumentar la velocidad en el espacio no es aumentar la velocidad en el espacio-tiempo, sino sólo alterar la dirección del movimiento (pasando del eje del tiempo al eje del espacio).

Veamos lo que ocurre cuando introducimos estos postulados en un sistema espacio-temporal. Para simplificar, supondremos que sólo tenemos una dimensión espacial. El eje vertical indica el tiempo y el horizontal el espacio. La flecha en el eje vertical indica el transcurso de un segundo, la del eje horizontal, 300.000 km. Ambas indican cuánto se avanza a la velocidad de la luz, si se va sólo en una dirección.

¿Qué ocurre si una persona se desplaza en el espacio, no a la velocidad de la luz, sino a 100.000 km/s? Para fijar ideas, supongamos que tenemos a dos gemelos viajando por el espacio en la nave Enterprise, y que uno de ellos coge un transbordador de la nave y se aleja de ella a 100.000 km/s. La flecha en dirección oblicua nos ilustra su movimiento por el espacio-tiempo. Esta flecha es igual de larga que las de los ejes (son vectores con el mismo módulo).

Resumamos. Tenemos un triángulo, en el que la hipotenusa mide 300.000 km y un cateto mide 100.000. Por el Teorema de Pitágoras podemos calcular el otro cateto, cuya medida llamaremos C:

300.000² = 100.000² + C²

Resolviendo la ecuación tenemos que C²= 90.000.000.000 - 10.000.000.000, o bien

C²= 80.000.000.000, y de ahí

C = 282.842 km.

Pero en el lado C tenemos tiempo, no distancia en el espacio, así que debemos transformar esos kilómetros en tiempo. Si 300.000 kilómetros son un segundo según la constancia de la velocidad de la luz, 282.842 km. serán, por simple regla de tres, 0,94 segundos. Ese es el lapso de tiempo que avanza en el futuro el gemelo que se alejó del Enterprise a 100.000 km/h. Esta velocidad está medida por el hermano gemelo que se quedó en la nave, es para este observador que el tiempo del móvil avanzará menos en el futuro.

Para el gemelo que se alejó, su transbordador es un sistema de referencia perfectamente válido. Según él, no se mueve, y no notará nada en su línea temporal. Aclaremos, sabe que ha encendido motores y que se aleja del Enterprise, pero una vez que alcanza los 100.000 km/s está siguiendo, por la inercia, una trayectoria rectilínea a una velocidad constante. En este momento es tan acertado decir que el transbordador se aleja del Enterprise como decir que es el Enterprise el que se aleja del transbordador. Si el gemelo viajero da la vuelta y regresa a encontrarse con su hermano, lo encontrará más viejo, pero si el gemelo acerca el Enterprise para encontrase con su hermano, volverán a tener la misma edad.

Pongamos que ninguno acelera su nave para que se encuentren de nuevo. El gemelo que se alejó no nota nada en su línea temporal, pero su línea temporal está yendo más lenta que la del que se quedó en el Enterprise. Si mide la velocidad de la luz (de cualquier rayo de luz, venga de su nave o de cualquier otra), verá que sigue siendo 300.000 km/s, así que le faltan 300.000 km/s para acercarse a esa velocidad a pesar de que ya se aceleró hasta los 100.000 km/s. Todo su esfuerzo no le ha servido para acercarse un ápice a la velocidad de la luz. Esta es la consecuencia de que su velocidad, con respecto a él mismo, es cero y de que la de la luz sea siempre la misma.

¿Cómo ve las cosas su hermano? Desde el Enterprise, su hermano mide la misma velocidad de la luz y mide la velocidad su alejamiento, 100.000 km/s, así que, visto desde el Enterprise, el gemelo del transbordador ha alcanzado una tercera parte de la velocidad de la luz. No está mal.

Sigamos. El gemelo del transbordador sigue en su empeño en buscar la velocidad de la luz, así que vuelve a encender los motores, pero antes suelta una baliza como referencia (la baliza se moverá a 100.000 km/s vista desde el Enterprise, pues conserva la misma inercia que el transbordador). Pongamos que el transbordador se acelera hasta alejarse de la baliza a otros 100.000 km/s. ¿Qué ocurrirá?

• Desde la referencia de la baliza, el transbordador se aleja, efectivamente, a 100.000 km/s.
• Desde el transbordador, su velocidad con respecto a sí mismo sigue siendo cero y la velocidad de la luz, 300.000 km/s. Sigue sin acercarse.
• Desde el Enterprise ¿se le ve alejarse a 200.000 km/s? Pues no.

Recordemos que el tiempo del gemelo del transbordador iba más despacio que el del Enterprise, así que, cuando el del transbordador acelera hasta sus 100.000 km/s respecto de la baliza, se está alejando a una velocidad menor medida desde el Enterprise. Con un tiempo más lento necesitará más de un segundo de los suyos para recorrer 100.000 km vistos desde el Enterprise. Así, el Enterprise le verá alejarse a menos de 200.000 km/s. ¿Cuánto menos? Habría que repetir los cálculos como los de arriba. Obviaremos esta parte, pero observaremos que, en el triángulo de la figura, a pesar de que 100.000 km/s. apenas ralentizan el tiempo (un segundo se convierte en 0,94), a medida que aumentamos la velocidad y la línea oblicua se acerca al eje del espacio vemos que la contracción del tiempo aumenta cada vez más (mucho más). Esto quiere decir que, a medida que el gemelo del transbordador aumenta la velocidad, su tiempo acaba ralentizándose muchísimo y lo que pare él es un nuevo aumento de 100.000 km/s. acaba siendo apenas un aumento insignificante medido desde el Enterprise.

Sí, se dirá, pero sumando aumentos pequeños, podrá sobrepasar la velocidad de la luz. Pues, otra vez, no. A base de aumentos pequeños podrá acercarse cada vez más, pero nunca llegar, visto desde el Enterprise. Desde su transbordador seguirá sin acercarse nada. Una suma infinita de sumandos no tiene por qué ser infinita si cada sumando es una proporción del anterior. Así la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... es exactamente uno. Uno el límite al que se acerca esta suma cada vez que se añade un sumando, pero que nunca sobrepasa. Esto le ocurre al gemelo del transbordador con su velocidad y la de la luz. Insisto, visto desde el Enterprise. Ese poco que le falta para acercarse a la velocidad de la la luz, visto desde el Enterprise, siguen siendo 300.000 km/s vistos desde el transbordador.

Mis disquisiciones:

1.- Este moverse cada vez más rápido y no acercarse lo más mínimo a la velocidad de la luz me recuerda a la loca carrera de los personajes de Alicia, que tenían que correr lo más rápido que pudieran para quedarse en el mismo sitio. Algún aficionado a las profecías debería reivindicar que Lewis Carroll predijo la Teoría de la Relatividad. Tendría más sentido que los disparates que se dicen de Nostradamus o del Apocalipsis.

2.- Hemos visto que acelerarse implica cambiar la línea temporal y que, con ello, cambia la velocidad. También implicará alterar la medida de las distancias y la medida de las masas (siempre en relación a las medidas de los que no se aceleraron con nosotros).

3.- Einstein no recibió el Premio Nobel por la Teoría de la Relatividad, sino por sus estudios sobre el efecto fotoeléctrico. No que nadie pensara que la Relatividad no fuera más importante, pero se pensaba que todavía había que hacer muchas comprobaciones para validarla. Así de cauto es el avance científico.

4.- Galileo y Einstein propusieron teorías que contradecían el conocimiento asentado hasta ellos (Aristóteles y Newton, respectivamente). Hay gente que propone teorías que contradicen lo que sabemos hoy acerca del mundo y que se reivindican en estos dos genios para insistir en sus propuestas. Estas personas deberían aprender la lección de que ni Galileo ni Einstein tuvieron problemas para convencer a los científicos coetáneos suyos, una vez que examinaron la evidencia. Sí tuvieron problemas para convencer a los no-científicos. Así de abierta es la mente científica y de cerrada la no-científica. Si, p.e., la homeopatía no es capaz de presentar esa evidencia, poco tiene para ampararse en estos dos genios. Afirmaciones extraordinarias requieren de evidencia extraordinaria. Galileo y Einstein cumplieron; homeópatas, parapsicólogos y otros esotéricos, no.

5.- Después de todo, tal vez Galileo y Einstein no contradijeron tanto a sus predecesores. Es cierto que poner a la Tierra en el centro del Sistema Solar es muy distinto que poner al Sol, pero si uno no sale de la Tierra, el modelo Geocéntrico es una buena aproximación a lo que observamos desde ella. En este sentido el modelo Heliocéntrico no es tan revolucionario (para las mediciones científicas, para los papas que juegan a ser Dios, creyendo saberlo todo, será otra cosa). Lo mismo ocurre con la física de Newton. Es una buena aproximación a la realidad cuando las velocidades son medianas, y lo es tanto que se sigue usando para enviar módulos a la Luna o a otros planetas del Sistema Solar.

Ver comentarios aquí y aquí.

Te interesará: Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5.

La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 5.

Maxwell

Además de la fuerza de gravedad (FG), los científicos habían detectado otro par de fuerzas, la eléctrica y la magnética. Ambas obedecían la misma relación que la de la gravedad, tal como la describió Newton. Así, la fuerza entre dos cargas eléctricas (FE) es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. De igual manera, la fuerza entre dos polos magnéticos (FM) es proporcional al producto de las intensidades magnéticas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.


Es interesante saber el porqué de la regla del producto de las masas (o cargas o intensidad). Imaginémonos una masa de tres gramos y otra de cuatro gramos. Cada gramo de la primera masa se verá atraído por cada uno de los cuatro gramos de la otra masa (y, a su vez, los atraerá); es como si fuera atraído cuatro veces. Como esto le pasa a cada uno de los tres gramos de la primera masa, el resultado es de 3x4=12 veces la atracción entre dos masas de un gramo cada una. Lo mismo ocurre con las cargas eléctricas y las intensidades magnéticas.

Más interesante aún es entender la regla de la inversa del cuadrado de la distancia. Para ello veamos la figura siguiente. Si S es una masa y las líneas que parten de ella representan la intensidad del campo gravitatorio, observamos cómo hace falta una superficie cuatro veces mayor (su lado se ha multiplicado por dos) en la distancia 2r para abarcar las mismas líneas que teníamos en la distancia r. El mismo razonamiento sirve para la electricidad y el magnetismo.

¿Qué son las constantes de proporcionalidad? En la fórmula de la fuerza de gravedad que atrae a dos masas aparece el término KG, la constante de gravitación universal. Simplemente nos dice cómo pasar a unidades de fuerza (p.e., newtons) las unidades de masa (p.e, kilogramos) y distancia (p.e., metros). Esta constante se puede determinar empíricamente haciendo un experimento con cuerpos de masa conocida, midiendo la fuerza con la que se atraen a una determinada distancia. Se determina así que KG = uno entre 667.400 millones (¿de qué? de newtons por metro al cuadrado entre kilogramos al cuadrado, pero esto no importa ahora).

Una vez conocido el valor de KG podemos saber, por ejemplo, la masa de la Tierra. Basta medir con qué fuerza se ve atraído un cuerpo de masa un kilogramo situado en la superficie terrestre (respuesta: el peso de un kilogramo). Como distancia se usará la que hay entre el cuerpo y el centro de gravedad de la Tierra, que lo sabemos porque desde Eratóstenes sabemos medir el tamaño del planeta. Ponemos todos los datos en la fórmula de FG y despejamos la masa de la Tierra.

De manera similar podemos medir las constantes del campo eléctrico y del magnético y, con ellas, medir la carga eléctrica o la intensidad magnética de objetos para los que desconocemos el dato.

Las cosas no se quedaron aquí, una serie de experimentos demostraban que:

1. Toda carga eléctrica en movimiento (es decir, toda corriente eléctrica) genera un campo magnético, y
2. Todo campo magnético en movimiento genera una corriente eléctrica.

Electricidad y magnetismo son inseparables. En realidad son distintas manifestaciones de la misma fuerza electromagnética. Maxwell puso orden en esta nueva fuerza con sus famosas cuatro ecuaciones. Maxwell fue para la electricidad y el magnetismo lo que Newton fue para la gravedad y la dinámica.

A una carga eléctrica con una determinada velocidad le corresponderá una intensidad magnética y viceversa. Si medimos las constantes de los campos eléctricos y magnéticos encontramos que los valores son:

KE = 9.000.000.000 (aprox.), y

KM = 1 entre 100.000.000 (aprox.)

Lo increíblemente curioso es que si dividimos KE entre KM tendremos un número grandísimo, un nueve seguido de 16 ceros. Pero lo increíble no es eso, sino que este número es el cuadrado de la velocidad de la luz, 300.000 km/s (o 300.000.000 m/s, aproximadamente). Si sustituimos los números aproximados por sus valores exactos, obtendremos el valor exacto de la velocidad de la luz. Además, no es difícil ver que el resultado de la división debe ser el cuadrado de una velocidad medida en metros por segundo. Así que no hay duda, el electromagnetismo está íntimamente ligado a la velocidad de la luz.

No acaban aquí las cosas. Las fuerzas de atracción (o repulsión) no están sujetas a la relatividad de los sistemas de referencia de Galileo. Si voy en un tren a 100 km/h y lanzo una pelota a 50 km/h en la dirección de la marcha, yo mediré la velocidad de la pelota como de 50 km/h y una persona en la estación la medirá como 150 km/h. No hay ninguna contradicción, ambas medidas son correctas si sabemos pasar de una a otra. Gracias a Galileo esto es fácil: basta sumar o restar los 100 km/h del tren. Sin embargo, si ejerzo una fuerza de un newton (el peso de un kilogramo, para entendernos). Ambos observadores, la persona en la estación y yo dentro del tren, mediremos la misma fuerza. Lo mismo pasará con las cargas eléctricas y las intensidades magnéticas.

Esto nos lleva al primer gran descubrimiento de la física moderna. Si las fuerzas no se ven afectadas por los sistemas de referencia, tanto el observador del tren como el de la estación observarán que la relación entre electricidad y magnetismo da un mismo valor para la velocidad de la luz y que ésta no se suma a la velocidad del tren.

Tal vez las leyes del electromagnetismo estaban mal formulas. Pero no, una y otra vez funcionaban a la perfección. El siguiente paso era medir la velocidad de la luz desde distintos puntos de referencia. El resultado confirmó el enigmático hallazgo:

Se mida como se mida y sin importar el sistema de referencia empleado, la velocidad de la luz es siempre la misma, 300.000 km/s.

¿Cómo se puede entender esto? ¿Qué implicaciones tiene para el resto de la Física?

No se pierdan la siguiente entrada: Einstein y la Relatividad Especial.

Mis anotaciones:

1.- ¿Os habéis dado cuenta de que hemos pesado la Tierra y nos hemos quedado tan panchos?

2.- Gracias a las leyes del electromagnetismo tenemos electricidad en casa. Una planta eléctrica usa alguna fuente de energía para mover in imán y generar una corriente eléctrica. Esto es ciencia en acción.

3.- Las cargas eléctricas vienen en dos tipos, positivo y negativo y los polos magnéticos también, hay polo norte y polo sur. En ambos casos, los idénticos se repelen y los opuestos se atraen. No hay que sacar ninguna conclusión filosófica de esto. Las masas son de un solo tipo y se atraen sin rubor. ¿Existirá por ahí una anti-masa, que se repela con la masa? Parece difícil. No se ha detectado nada en el Universo que lo indique. Además, resulta que hay otras dos fuerzas en la naturaleza, la nuclear fuerte y la nuclear débil. La fuerte tiene tres tipos de "cargas", aunque en este caso se les llama colores (denominación tan arbitraria como la de positivo y negativo o norte y sur para el electromagnetismo). La débil es más exótica, se presenta en seis "sabores".

Te interesará: Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4.

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Hace tres años en el blog: La política de los economistas.
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La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 4.

Kepler y Newton

A hombros de gigantes, según sus palabras, pudo Newton llegar a ver más lejos que nadie. Uno de esos gigantes era Galileo. Otro es Kepler.

Basándose en las observaciones de Tycho Brahe, Kepler presenta sus leyes para el movimiento de los planetas alrededor del Sol:

1. Los planetas describen órbitas elípticas alrededor de el Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse.
2. La velocidad de los planetas es tal que la línea imaginaria que los une al Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
3. El cuadrado de la duración del "año" de cada planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.

Las leyes de Kepler ponen, por fin, orden en los cielos. Los flecos que quedaban en el modelo heliocéntrico de Copérnico y Galileo se resuelven finalmente al considerar estas leyes. De especial interés es la substitución del círculo por la elipse. Pero las leyes de Kepler no parecen tener nada que ver con las leyes del movimiento de los cuerpos en la Tierra. La segunda y la tercera leyes son, además, especialmente abstrusas.

Tomando las leyes de la inercia y de la composición de movimientos de Galileo, Newton formula las leyes de la dinámica:

1. Ley de la inercia: Todo cuerpo preservará en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que una fuerza altere su estado.
2. "F = m x a", Fuerza es igual a masa por aceleración: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza impresa y ocurre en la dirección de la fuerza.
3. Principio de acción y reacción: A toda fuerza se le opone siempre otra en dirección contraria e igual magnitud.

Además, Newton postuló que la gravedad era una fuerza (misteriosa, eso sí, no sabía a qué se debía), y que la atracción gravitatoria entre dos cuerpos era proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Tomemos el cañón de Galileo y su trayectorias parabólicas. Si disparamos con más fuerza el proyectil llegará tan lejos que debemos considerar que la Tierra es redonda y no plana, de manera que la composición de movimientos de Galileo se nos complica al ir cambiando constantemente la dirección de la fuerza de gravedad. Estas son las trayectorias A y B de la figura.

Hagámonos dos preguntas:

¿Qué ocurre si disparamos cada vez con más fuerza? La figura nos ilustra la respuesta, la parábola se va curvando por la redondez de la Tierra. Si la fuerza es suficiente, el proyectil podría no acabar de chocar con la Tierra y volver al punto de partida (caso D) o, incluso, salir de la Tierra (caso E). En el caso D, debido a la ley de la inercia el proyectil segirá con su misma velocidad y repetiría una y otra vez la misma trayectoria. Habrá entrado en órbita. Sólo se caerá si otra fuerza le frena, por ejemplo el rozamiento de la atmósfera o de las pocas partículas que encuentre a su paso más arriba de la atmósfera.

¿Qué trayectoria sigue el proyectil en órbita? El lector lo estará sospechando ya, pero en la época de Newton no era tan fácil. Así que le hicieron la pregunta al genio. Newton buscó en sus cajones un papel viejo y proclamó: "Lo calculé hace tiempo, la trayectoria es ¡UNA ELIPSE!"

No soy amigo de poner mayúsculas en el texto, pero la ocasión bien lo merece. Por primera vez en la historia de la humanidad la Tierra y el Cielo obedecían las mismas leyes. Las leyes que gobiernan la caída del árbol de una manzana son las mismas que gobieran la órbita de la Luna.

Newton pudo hacer su cálculo gracias a que también es el descubridor (con Leibniz, que lo hizo independientemente) del Cálculo Diferencial. Deducir las otras dos leyes de Kepler a partir de aquí fue tarea fácil.

Mis asombros:

1.- En realidad, la Luna sí se cae a la Tierra. Se está cayendo continuamente. La Luna, como el proyectil en el cañón de la figura, está sujeta a dos fuerzas. La primera, instantánea, ejercida por el cañón. Según la segunda ley de Newton, esto le confiere una trayectoria horizontal. La diferencia entre la horizontal y la elipse es lo que cae la Luna, pues se debe a la acción de la gravedad, la segunda fuerza ejercida sobre el proyectil. De hecho, con las leyes de Newton es posible calcular teóricamente cuál es esa caída cada segundo. Newton lo hizo y el resultado fue de media pulgada (1,25 centímetros). También se puede medir empíricamente observando el movimiento de la Luna. Los astrónomos lo hicieron y el resultado fue exactamente lo que decía Newton.

2.- La segunda ley de Newton es muy ilustrativa de lo que es la Ciencia. Fuerza igual a masa por aceleración. Recordemos que aceleración es velocidad entre tiempo (o la derivada de la velocidad respecto del tiempo, en su versión diferencial), y que velocidad es espacio entre tiempo. Ahora bien, no sabemos lo que es una fuerza, ni lo que es el espacio, ni el tiempo, ni la masa, ni mucho menos sabemos lo que es la segunda derivada del espacio respecto del tiempo (la aceleración). Y, sin embargo, esa ley, con las demás, nos permite poner un astronauta en la Luna.

3.- En la mecánica de Newton el espacio y el tiempo son conceptos que no se explican (son primitivos y absolutos). La velocidad y la aceleración se explican a través de ellos (son derivados). Como en un diccionario bien hecho, los conceptos más difíciles se explican a partir de otros más sencillos, pero, al final, habrá unos términos que no se explican, o que se explican de manera circular. No hay otra posibilidad dado que el lenguaje es finito. Lo que no se puede hacer es explicarlo todo a partir de todo. Bueno, se puede, pero eso no es una explicación. Decir que "todo influye en todo", por muy cierto que pueda parecer, es no aclarar nada.

4.- Las leyes de Kepler siguieron siendo leyes, en el sentido que expresan regularidades de la realidad, pero dejaron de ser elementos primitivos, al ser explicadas por las de Newton. En esto consiste ser un genio.

5.- Podía haberse decidido que la velocidad y el tiempo fueran elementos primitivos y que el espacio se derivara de ellos (espacio es igual a velocidad por tiempo), pero sucede que tenemos una intuición más clara del espacio y del tiempo. O eso creíamos, ya vendrá Einstein.

6.- ¿Qué se hizo de la tercera ley de Newton? Ha estado presente todo el tiempo. La Tierra atrae a la bala del cañón y la bala también atrae a la Tierra exactamente con la misma fuerza, pero en direcciones opuestas. Sucede que la Tierra es muy grande y apenas lo nota. El cañón sufrió también un retroceso, fuerza contraria a la de la salida de la bala. A las películas de hoy en día les gusta violar la tercera ley de Newton. Cuando un personaje dispara con un gran fusil a otro personaje, este último suele salir despedido varios metros. Por la tercera ley, el primero tendría que haber sufrido un empuje parecido.

Ver comentarios aquí.

Te interesará: Parte 1, Parte 2, Parte 3.

La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 3.

Galileo Galilei

Es el primero de los grandes científicos. Hablo de las grandes cumbres, de los ochomil de la ciencia. Entre los griegos (Eratóstenes, Aristóteles, Arquímedes y compañía) y Galileo hay poca cosa. Alguna de calidad notable, pero ningún ochomil. Averroes, Avicena,... llegan grandes alturas, pero a ocho mil me temo que no. Tampoco quiero desdeñar los avances en Mesopotamia, China o Egipto, pero quiero llegar cuanto antes a Einstein, así que disculpen este eurocentrismo de la antigüedad.

Galileo es conocido sobre todo por su defensa del modelo heliocéntrico y su enfrentamiento con la iglesia. Lo que voy a resumir aquí es su teoría del movimiento de los cuerpos. Contradiciendo a Aristóteles, Galileo propuso las siguientes leyes:

1. Ley de la inercia: Todo cuerpo con un movimiento uniforme y rectilíneo continúa su trayectoria y velocidad si no interactúa con otro cuerpo.
2. Ley de la composición de movimientos: Si sobre un cuerpo actúa más de una causa que le imprima un movimiento, el movimiento del cuerpo será la suma de cada uno de los movimientos que tendría si cada causa hubiera actuado por separado.
3. Ley de la caída de los cuerpos: La distancia caída es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido desde el inicio de la caída. La proporcionalidad es la misma para todos los cuerpos.

Pensemos ahora qué le pasaría a una bala de cañón que es lanzada horizontalmente desde lo alto de una colina. Al cabo de unos instantes la bala acabará en el suelo a una determinada distancia. Por la segunda ley, podemos descomponer su movimiento en dos, uno imprimido por el cañón y otro por la caída.

Según el primero movimiento, y por la ley de la inercia, describirá una trayectoria recta horizontal a una velocidad constante. Es decir, la distancia recorrida será proporcional al tiempo transcurrido: "D = k veces T", donde D es la distancia recorrida, T es el tiempo transcurrido y k es la constante de proporcionalidad (será la velocidad, que dependerá de la fuerza de la explosión del cañón y de la masa de la bala, pero nos adelantamos a Newton).

Según el segundo movimiento, y por la tercera ley, describirá una trayectoria recta vertical (hacia abajo) con una aceleración constante. Es decir, la distancia recorrida será proporcional (en este caso, k’ será la mitad de la aceleración de la gravedad, de nuevo nos adelantamos, ¡haces falta ya, Newton!) al cuadrado del tiempo transcurrido: "D’ = k’ veces T’ x T’ ".

Por la segunda ley, el movimiento resultante es la combinación de los dos anteriormente descritos. Las distancias horizontal y vertical serán, en general, distintas, pero el tiempo es el mismo (cuando la bala toca tierra ha dejado de desplazarse en cualquiera de las dos direcciones).

En la primera unidad de tiempo, el proyectil recorre una unidad de distancia en la trayectoria horizontal y otra en la vertical (no tienen por qué ser la misma). Al transcurrir 2 unidades de tiempo, verticalmente se habrá desplazado 2 unidades de distancia horizontal y 2x2=4 verticalmente y así sucesivamente. La trayectoria resultante es una parábola.

Si el cañón se dispara con un ángulo hacia arriba, ese movimiento se descompone en horizontal y vertical siguiendo el teorema de Pitágoras. La parte vertical se restaría al movimiento de caída y el resultado seguiría siendo una parábola, aunque un poco más complicada.

Mis aclaraciones:

1.- Así que Galileo pone el mundo al revés de como se creía hasta entonces, descubre las lunas de Júpiter, las montañas de la Luna, echa por tierra dos milenios de "Aristóteles dixit", pone en entre dicho a la iglesia ... y de todo lo que hablo es de una parábola. ¿Es esto la historia más grande jamás contada? Os debo una explicación.

2.- Y esa explicación que os debo os la voy a pagar: Poner a la Tierra o al Sol en el centro del espacio en que está el mundo me parece algo menor que entender cómo es el espacio mismo y cómo nos movemos en él. Después de todo, ni siquiera el Sol es el centro del mundo, como ya sabemos. Claro que nos hace ser más modestos entender que no somos el centro de todo. Pero incluso si esa es la cuestión, son las leyes de movimiento de Galileo quien nos dice eso mismo con mucha más contundencia, puesto que se deduce de ellas que las leyes son las mismas para cualquier sistema inercial de referencia. Es decir, que si hay varios observadores moviéndose en trayectorias rectilíneas (no necesariamente paralelas) y a diferentes velocidades, ninguno tiene un privilegio respecto de los demás. Este es el comienzo del relativismo en física y de Einstein prefigurado.

3.- En la injusticia cometida por la iglesia con Galileo a menudo se hace hincapié en el hecho de que Galileo tenía razón. Esto me parece irrelevante: aunque no la hubiera tenido, la actitud de la iglesia hubiera sido exactamente igual de injusta.

4.- ¡Ah! pero alguien dirá que se le condenó, no por sus ideas e investigaciones, sino por desobedecer las órdenes de la autoridad (militar, digo eclesiástica, por supuesto). También se dirá lo de no juzgar una época con la mentalidad de otra. Ante lo primero, me temo que esas órdenes eran las que eran porque las ideas eran también las que eran. Doctores tenía la iglesia para sus enredos judiciales. Ante lo segundo, me temo que en cada época conviven diversas mentalidades. En todas las épocas ha habido mentalidad tolerante y mentalidad intolerante. La mentalidad tolerante de su época es suficiente para desenmascarar la intolerancia.

5.- Con todo, la parábola es el primer paso para definir bien los dominios de la Tierra. La vuelta de tuerca (literalmente) que le dará Newton a la parábola es la sorpresa de la próxima entrada, y es la que permitirá al ser humano ser señor de sus dominios en la Tierra.

Te interesará: Parte 1, Parte 2.

La Tierra y su Dominios. "La Historia Más Grande Jamás Contada". Parte 2.

Aristóteles, Euclides y Pitágoras

En la Parte 1 vimos cómo los antiguos griegos supieron de la redondez y del tamaño de la Tierra. Para ellos, sin embargo, la Tierra era el centro alrededor del cuál giraban en círculos el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas. Aristóteles postuló que Cielo y Tierra debían obedecer leyes establecidas. Para los objetos en la Tierra algunas de estas leyes eran:

1. Los objetos tienden a caer al centro de todo; es decir, al centro de la Tierra.
2. Los objetos en movimiento tienden al reposo.
3. Los objetos más pesados caen más rápidamente y con velocidad proporcional a su peso.

Para los objetos celestes, las leyes eran otras:

1. Los objetos celestes se mueven en círculos alrededor de la Tierra.

Esta visión del mundo permaneció inalterada prácticamente hasta Galileo. Casi dos mil años transcurrieron de “Aristóteles dixit”. Es cierto que de vez en cuando se planteaban hipótesis alternativas, pero no fue hasta Copérnico y Galileo que la visión del mundo cambiaría para siempre y para la mayoría de la gente educada.

¿Y Pitágoras qué pinta en esto? No es que nos enseñara acerca de la forma de la Tierra y de cómo se mueven las cosas en ella o en torno a ella, pero sí que su famoso teorema (no es suyo, pero se llevó la fama) nos dio una de las claves de la geometría plana. Euclides lo demostró a partir de sus famosos postulados, con los que construyó toda su geometría. El teorema es interesante en sí mismo y, además, nos va a se muy útil en la Teoría de la Relatividad Especial (sin gravedad). No es la única relación entre la Geometría griega y la Relatividad; la negación del quinto postulado de Euclides abre las puertas a la geometría que Einstein necesitó para su Teoría de la Relatividad General (con gravedad). Tanta relación entre griegos y Einstein guarda una sorpresa final, ya que Einstein nos ha legado la demostración más sencilla y elegante del teorema. No resisto la tentación de ponerla (la tomo de pseudópodo). Ahí va:

En el triángulo original, de lados a,b,c, trazamos una altura. Se forman así dos nuevos triángulos rectángulos. El de la izquierda tiene por hipotenusa a; llamaremos a su área Sa; el de la derecha tiene por hipotenusa b, y su área será Sb. El triángulo original, con hipotenusa c, tendrá un área Sc.

Estos tres triángulos son semejantes (iguales excepto en el tamaño) porque tienen ángulos iguales. En el plano euclídeo, el área de cualquier figura geométrica es proporcional al cuadrado de su dimensión lineal (si doblamos el lado de un cuadrado de 1 a 2, su área pasa de 1 a 4). Podemos escribir por tanto que:

Sa = k·a2


Sb = k·b2


Sc = k·c2

donde k es una constante igual en las tres ecuaciones (ya que los triángulos, al ser semejantes, son la misma figura geométrica) y a2 significa a elevado al cuadrado (a multiplicado por a, y lo mismo con b y con c).

Además, es obvio que

Sc = Sa + Sb

Sustituyendo aquí las ecuaciones anteriores,

c2 = a2 + b2

Gracias al Teorema de Pitágoras podemos descomponer cualquier movimiento en sus componentes independientes. Si un cuerpo se mueve a lo largo del lado “c” del triángulo, digamos en dirección Noreste, avanzará la distancia del lado “a” en dirección Este y la distancia del lado “b” en dirección Norte. Si sabemos cuánto ha avanzado (c) y cuánto se ha desplazado al Este (a), por el Teorema de Pitágoras podemos calcular cuánto se ha desplazado al Norte (b). Sabemos que a2+b2=c2, así que despejando “b” calculamos el desplazamiento al Norte. Aquí empieza la paradoja de los gemelos de Einstein.

Mis comentarios:

1.- Las leyes de Aristóteles para los cuerpos terrestres no están del todo mal si tenemos en cuenta el rozamiento. Sólo la parte que dice que la rapidez de la caída es proporcional al peso es imperdonable.

2.- Si reemplazamos círculos por elipses, la ley de los cielos tampoco está muy mal. Claro que coloca a la Tierra en el centro, pero como dijo alguien (¿Einstein?): ¿cómo se vería el cielo si el Sol diera en verdad vueltas alrededor de la Tierra?

3.- Los griegos sabían que la Tierra era redonda, pero desarrollaron una geometría plana. Para ellos, la Tierra redonda no era el espacio. La Tierra tenía la figura más perfecta que hay en el espacio, la esfera. Importa la geometría del espacio, no la de la Tierra.

4.- Además, localmente, el Teorema de Pitágoras funciona muy bien en la superficie terrestre. Mientras uno no se vaya muy lejos, la Tierra puede considerarse plana. De hecho, la forma de la Tierra puede ser muy distinta según lo que queramos hacer. Para calcular las posiciones relativas con el Sol, la Luna y los planeta, basta considerar que es un punto. Para otras tareas, necesitaremos considerar que es un pliegue del espacio-tiempo. Ya llegaremos a ello.

5.- La teoría de la Tierra plana es falsa para casi cualquier acepción coloquial de la palabra. Si la acepción excusa una aproximación, entonces la teoría no será falsa en ese sentido. Más importante que ser falsa o cierta, importa que nos sea útil. Puede ser útil para andar por las calles de la ciudad (ver punto anterior) o puede ser útil para mejorar la propia teoría. La Tierra plana implica una manera en que se dejarían de ver los barcos que se alejan del puerto. Es decir, la teoría es falsable en el sentido de Popper y por eso es útil, porque nos indica dónde mirar para ver si esta teoría se sostiene y, si no lo hace, nos da pistas sobre qué cambiar. La Astrología es también, en casi cualquier sentido coloquial de la palabra, falsa. Pero no pasa de ahí, tampoco es cierta ni por aproximación. Ni es útil ni es falsable. Por eso no ha cambiado sustancialmente en siglos.

6.- Apostilla al final del punto anterior. La Astrología, al no ser falsable (cualquier cosa puede pasar sin que los astrólogos vean una contradicción con sus enunciados) podemos decir que, en ese sentido, no es falsa. Hay algo peor que ser falso: ser un sinsentido. De las falsedades podemos aprender, de los sinsentidos no. De la expresión "2+2=5" podemos decir que es falsa (eso bueno que tiene). De la expresión "2+%=<" no podemos decir ni eso (y eso es lo malo que tiene): ¡Ni siquiera es falsa!

Ver comentarios aquí.

La Tierra y sus Dominios o "La Historia más Grande Jamás Contada". Parte 1: De Aristóteles a Einstein.

Es agosto. Aprovecharé para reponer la primera serie de este blog y descansar un poco. Así empieza:

Querido lector de este blog: Te intentaré llevar por lo que creo es la mejor manera de entender la grandeza de la ciencia para aquellos que sabemos muy poco de ella. Lo haré a hablando de la forma de la Tierra y sus dominios. Si sabes sumar, restar, multiplicar y dividir, podrás apreciar algunas de las aportaciones de los griegos antiguos, de Galileo, de Newton y de Einstein. Sí, si me sigues podrás entender una parte importante de la Teoría de la Relatividad con sólo seguir un par de operaciones matemáticas sencillas.

Esta historia traerá muchos corolarios acerca no sólo del quehacer científico, sino también de lo que entendemos por conocer y de la influencia en nuestra vida diaria de las ideas científicas. Un poco de paciencia y veremos por qué sin Galileo, Newton o Einstein no tendríamos alguno de los inventos modernos que hacen nuestra vida más fácil.

Parte 1. Aristóteles y Eratóstenes.

Los antiguos griegos ya sabían que la Tierra era redonda. Tenían dos argumentos para ello. El primero era la observación de que, al alejarse los barcos puerto, perdían de vista, primero la quilla y más tarde las partes más elevadas hasta llegar a la punta del mástil, lo último que se ve. Los barcos que se acercaban a puerto tenían la experiencia similar, al ver primero las colinas, luego los edificios más altos y, finalmente la parte de tierra a nivel del mar. El segundo argumento lo dio Aristóteles. Durante un eclipse de Luna, la sombra que se ve proyectada es la de la Tierra que, en ese momento está entre el Sol y la Luna. La sombra es redonda, ergo la Tierra también lo es.

Sí, pero, ¿cómo de grande es la Tierra? Eratóstenes logró una de las hazañas intelectuales más grandes jamás contada al medir su tamaño

Eratóstenes sabía (era un hecho conocido) que había un día al año en que, a mediodía, un palo puesto vertical en la ciudad de Siena no proyectaba sombra. Se le ocurrió medir ese mismo día la inclinación de los rayos solares en Alejandría y obtuvo el ángulo beta = 7,2º. Esta diferencia en latitud es 1/50 de los 360º (7,2/360 = 1/50) que tiene la circunferencia de la Tierra. Dicho de otra manera, la longitud de la circunferencia terrestre es 50 veces la distancia entre Alejandría y Siena (x en el dibujo), que se estimaba en 5.000 estadios en aquella época. Así pues, longitud de la circunferencia terrestre = 5.000 x 50 = 250.000 estadios. Existen dudas sobre si Eratóstenes usó el estadio griego o el egipcio. En cualquier caso, el error cometido es muy pequeño con respecto a lo que ahora sabemos.

Mis impresiones:

1.- Los griegos no eran muy dados a hacer experimentos. Les gustaba la especulación y la deducción. Por eso avanzaron en matemáticas y en filosofía. Sus avances en ciencias se deben más a la observación que a la experimentación. Esto conllevó el riesgo de acabar aceptando argumentos de autoridad (Aristóteles dixit). Sin embargo este es un gran ejemplo de lo que se puede hacer con un método y unos medios tan limitados.

2.- El palo en Siena no proyectaba sombra porque esta ciudad está directamente sobre la línea del Trópico de Cáncer, donde los rayos caen verticales a mediodía el día del Solsticio de Verano. De hecho, el Trópico se define como la parte de la superficie terrestre en que los rayos caen verticales alguna vez al año. Justo en las líneas tropicales ocurre una vez y, entre ellas, dos veces.

La zona polar se define como aquella parte de la superficie terrestre en que, al menos un día al año, el sol no se pone. Esto sucede una vez en el Círculo Polar Ártico durante el Solsticio de Verano (y el sol no sale el día del Solsticio de Invierno). Cuanto más al Norte vamos (o más al Sur desde el Círculo Polar Antártico), durante más días ocurre que el sol no se pone. Los países que tienen territorio el la zona polar venden como atracción turística este hecho. Me llama la atención el que los países tropicales, en cambio, no den importancia al hecho que los define. Es más, en los que he estado (han sido varios y durante bastante tiempo), nadie supo nunca decirme cuál es el día del año en que el sol no proyecta sombra. En realidad ni siquiera sabían de qué les estaba hablando ni que este fenómeno los definía como tropicales. Parece que no hacen esta sencilla experiencia en el colegio.

3. El éxito de Colón se debe a su error al usar otras mediciones menos afortunadas del tamaño de la Tierra y a su suerte al encontrarse un continente en medio que le salvó de morir de sed y hambre.

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Hace tres años en el blog: Escepticismo en Economía.
Hace cinco años en el blog: Inventar o descubrir.
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