Kepler y Newton
A hombros de gigantes, según sus palabras, pudo Newton llegar a ver más lejos que nadie. Uno de esos gigantes era Galileo. Otro es Kepler.
Basándose en las observaciones de Tycho Brahe, Kepler presenta sus leyes para el movimiento de los planetas alrededor del Sol:
Tomando las leyes de la inercia y de la composición de movimientos de Galileo, Newton formula las leyes de la dinámica:
Tomemos el cañón de Galileo y su trayectorias parabólicas. Si disparamos con más fuerza el proyectil llegará tan lejos que debemos considerar que la Tierra es redonda y no plana, de manera que la composición de movimientos de Galileo se nos complica al ir cambiando constantemente la dirección de la fuerza de gravedad. Estas son las trayectorias A y B de la figura.
Hagámonos dos preguntas:
¿Qué ocurre si disparamos cada vez con más fuerza? La figura nos ilustra la respuesta, la parábola se va curvando por la redondez de la Tierra. Si la fuerza es suficiente, el proyectil podría no acabar de chocar con la Tierra y volver al punto de partida (caso D) o, incluso, salir de la Tierra (caso E). En el caso D, debido a la ley de la inercia el proyectil segirá con su misma velocidad y repetiría una y otra vez la misma trayectoria. Habrá entrado en órbita. Sólo se caerá si otra fuerza le frena, por ejemplo el rozamiento de la atmósfera o de las pocas partículas que encuentre a su paso más arriba de la atmósfera.
¿Qué trayectoria sigue el proyectil en órbita? El lector lo estará sospechando ya, pero en la época de Newton no era tan fácil. Así que le hicieron la pregunta al genio. Newton buscó en sus cajones un papel viejo y proclamó: "Lo calculé hace tiempo, la trayectoria es ¡UNA ELIPSE!"
No soy amigo de poner mayúsculas en el texto, pero la ocasión bien lo merece. Por primera vez en la historia de la humanidad la Tierra y el Cielo obedecían las mismas leyes. Las leyes que gobiernan la caída del árbol de una manzana son las mismas que gobieran la órbita de la Luna.
Newton pudo hacer su cálculo gracias a que también es el descubridor (con Leibniz, que lo hizo independientemente) del Cálculo Diferencial. Deducir las otras dos leyes de Kepler a partir de aquí fue tarea fácil.
Mis asombros:
1.- En realidad, la Luna sí se cae a la Tierra. Se está cayendo continuamente. La Luna, como el proyectil en el cañón de la figura, está sujeta a dos fuerzas. La primera, instantánea, ejercida por el cañón. Según la segunda ley de Newton, esto le confiere una trayectoria horizontal. La diferencia entre la horizontal y la elipse es lo que cae la Luna, pues se debe a la acción de la gravedad, la segunda fuerza ejercida sobre el proyectil. De hecho, con las leyes de Newton es posible calcular teóricamente cuál es esa caída cada segundo. Newton lo hizo y el resultado fue de media pulgada (1,25 centímetros). También se puede medir empíricamente observando el movimiento de la Luna. Los astrónomos lo hicieron y el resultado fue exactamente lo que decía Newton.
2.- La segunda ley de Newton es muy ilustrativa de lo que es la Ciencia. Fuerza igual a masa por aceleración. Recordemos que aceleración es velocidad entre tiempo (o la derivada de la velocidad respecto del tiempo, en su versión diferencial), y que velocidad es espacio entre tiempo. Ahora bien, no sabemos lo que es una fuerza, ni lo que es el espacio, ni el tiempo, ni la masa, ni mucho menos sabemos lo que es la segunda derivada del espacio respecto del tiempo (la aceleración). Y, sin embargo, esa ley, con las demás, nos permite poner un astronauta en la Luna.
3.- En la mecánica de Newton el espacio y el tiempo son conceptos que no se explican (son primitivos y absolutos). La velocidad y la aceleración se explican a través de ellos (son derivados). Como en un diccionario bien hecho, los conceptos más difíciles se explican a partir de otros más sencillos, pero, al final, habrá unos términos que no se explican, o que se explican de manera circular. No hay otra posibilidad dado que el lenguaje es finito. Lo que no se puede hacer es explicarlo todo a partir de todo. Bueno, se puede, pero eso no es una explicación. Decir que "todo influye en todo", por muy cierto que pueda parecer, es no aclarar nada.
4.- Las leyes de Kepler siguieron siendo leyes, en el sentido que expresan regularidades de la realidad, pero dejaron de ser elementos primitivos, al ser explicadas por las de Newton. En esto consiste ser un genio.
5.- Podía haberse decidido que la velocidad y el tiempo fueran elementos primitivos y que el espacio se derivara de ellos (espacio es igual a velocidad por tiempo), pero sucede que tenemos una intuición más clara del espacio y del tiempo. O eso creíamos, ya vendrá Einstein.
6.- ¿Qué se hizo de la tercera ley de Newton? Ha estado presente todo el tiempo. La Tierra atrae a la bala del cañón y la bala también atrae a la Tierra exactamente con la misma fuerza, pero en direcciones opuestas. Sucede que la Tierra es muy grande y apenas lo nota. El cañón sufrió también un retroceso, fuerza contraria a la de la salida de la bala. A las películas de hoy en día les gusta violar la tercera ley de Newton. Cuando un personaje dispara con un gran fusil a otro personaje, este último suele salir despedido varios metros. Por la tercera ley, el primero tendría que haber sufrido un empuje parecido.
Ver comentarios aquí.
Te interesará: Parte 1, Parte 2, Parte 3.
A hombros de gigantes, según sus palabras, pudo Newton llegar a ver más lejos que nadie. Uno de esos gigantes era Galileo. Otro es Kepler.
Basándose en las observaciones de Tycho Brahe, Kepler presenta sus leyes para el movimiento de los planetas alrededor del Sol:
- Los planetas describen órbitas elípticas alrededor de el Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse.
- La velocidad de los planetas es tal que la línea imaginaria que los une al Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.
- El cuadrado de la duración del "año" de cada planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol.
Tomando las leyes de la inercia y de la composición de movimientos de Galileo, Newton formula las leyes de la dinámica:
- Ley de la inercia: Todo cuerpo preservará en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que una fuerza altere su estado.
- "F = m x a", Fuerza es igual a masa por aceleración: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza impresa y ocurre en la dirección de la fuerza.
- Principio de acción y reacción: A toda fuerza se le opone siempre otra en dirección contraria e igual magnitud.
Tomemos el cañón de Galileo y su trayectorias parabólicas. Si disparamos con más fuerza el proyectil llegará tan lejos que debemos considerar que la Tierra es redonda y no plana, de manera que la composición de movimientos de Galileo se nos complica al ir cambiando constantemente la dirección de la fuerza de gravedad. Estas son las trayectorias A y B de la figura.
Hagámonos dos preguntas:
¿Qué ocurre si disparamos cada vez con más fuerza? La figura nos ilustra la respuesta, la parábola se va curvando por la redondez de la Tierra. Si la fuerza es suficiente, el proyectil podría no acabar de chocar con la Tierra y volver al punto de partida (caso D) o, incluso, salir de la Tierra (caso E). En el caso D, debido a la ley de la inercia el proyectil segirá con su misma velocidad y repetiría una y otra vez la misma trayectoria. Habrá entrado en órbita. Sólo se caerá si otra fuerza le frena, por ejemplo el rozamiento de la atmósfera o de las pocas partículas que encuentre a su paso más arriba de la atmósfera.
¿Qué trayectoria sigue el proyectil en órbita? El lector lo estará sospechando ya, pero en la época de Newton no era tan fácil. Así que le hicieron la pregunta al genio. Newton buscó en sus cajones un papel viejo y proclamó: "Lo calculé hace tiempo, la trayectoria es ¡UNA ELIPSE!"
No soy amigo de poner mayúsculas en el texto, pero la ocasión bien lo merece. Por primera vez en la historia de la humanidad la Tierra y el Cielo obedecían las mismas leyes. Las leyes que gobiernan la caída del árbol de una manzana son las mismas que gobieran la órbita de la Luna.
Newton pudo hacer su cálculo gracias a que también es el descubridor (con Leibniz, que lo hizo independientemente) del Cálculo Diferencial. Deducir las otras dos leyes de Kepler a partir de aquí fue tarea fácil.
Mis asombros:
1.- En realidad, la Luna sí se cae a la Tierra. Se está cayendo continuamente. La Luna, como el proyectil en el cañón de la figura, está sujeta a dos fuerzas. La primera, instantánea, ejercida por el cañón. Según la segunda ley de Newton, esto le confiere una trayectoria horizontal. La diferencia entre la horizontal y la elipse es lo que cae la Luna, pues se debe a la acción de la gravedad, la segunda fuerza ejercida sobre el proyectil. De hecho, con las leyes de Newton es posible calcular teóricamente cuál es esa caída cada segundo. Newton lo hizo y el resultado fue de media pulgada (1,25 centímetros). También se puede medir empíricamente observando el movimiento de la Luna. Los astrónomos lo hicieron y el resultado fue exactamente lo que decía Newton.
2.- La segunda ley de Newton es muy ilustrativa de lo que es la Ciencia. Fuerza igual a masa por aceleración. Recordemos que aceleración es velocidad entre tiempo (o la derivada de la velocidad respecto del tiempo, en su versión diferencial), y que velocidad es espacio entre tiempo. Ahora bien, no sabemos lo que es una fuerza, ni lo que es el espacio, ni el tiempo, ni la masa, ni mucho menos sabemos lo que es la segunda derivada del espacio respecto del tiempo (la aceleración). Y, sin embargo, esa ley, con las demás, nos permite poner un astronauta en la Luna.
3.- En la mecánica de Newton el espacio y el tiempo son conceptos que no se explican (son primitivos y absolutos). La velocidad y la aceleración se explican a través de ellos (son derivados). Como en un diccionario bien hecho, los conceptos más difíciles se explican a partir de otros más sencillos, pero, al final, habrá unos términos que no se explican, o que se explican de manera circular. No hay otra posibilidad dado que el lenguaje es finito. Lo que no se puede hacer es explicarlo todo a partir de todo. Bueno, se puede, pero eso no es una explicación. Decir que "todo influye en todo", por muy cierto que pueda parecer, es no aclarar nada.
4.- Las leyes de Kepler siguieron siendo leyes, en el sentido que expresan regularidades de la realidad, pero dejaron de ser elementos primitivos, al ser explicadas por las de Newton. En esto consiste ser un genio.
5.- Podía haberse decidido que la velocidad y el tiempo fueran elementos primitivos y que el espacio se derivara de ellos (espacio es igual a velocidad por tiempo), pero sucede que tenemos una intuición más clara del espacio y del tiempo. O eso creíamos, ya vendrá Einstein.
6.- ¿Qué se hizo de la tercera ley de Newton? Ha estado presente todo el tiempo. La Tierra atrae a la bala del cañón y la bala también atrae a la Tierra exactamente con la misma fuerza, pero en direcciones opuestas. Sucede que la Tierra es muy grande y apenas lo nota. El cañón sufrió también un retroceso, fuerza contraria a la de la salida de la bala. A las películas de hoy en día les gusta violar la tercera ley de Newton. Cuando un personaje dispara con un gran fusil a otro personaje, este último suele salir despedido varios metros. Por la tercera ley, el primero tendría que haber sufrido un empuje parecido.
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