martes, 31 de agosto de 2010

Las piezas lego de la naturaleza. La historia más extraña jamás contada. Parte 10.



El secreto mejor guardado de la naturaleza: Grupos y simetrías
 
(Lowlight 8, publicado el 9/8/09)

El cubo de Rubik permite hacer giros en cada una de sus caras. Consideremos la cara que nos ponemos frente a los ojos. Se la puede hacer girar en el sentido de las agujas del reloj un cuarto, un medio, tres cuartos o una vuelta entera. Lo mismo se puede hacer en sentido contrario a las agujas del reloj. Lo mismo, también, con cualquier otra cara.

Estas operaciones tienen unas propiedades interesantes:

  1. Cualquier secuencia de giros nos deja dentro del mundo de las posiciones del cubo de Rubik. (Ley de composición interna).
  2. Existe un elemento neutro (no hacer ningún giro) que deja el cubo como estaba.
  3. Para cada secuencia de giros, es posible encontrar una secuencia que deshaga esos giros, de manera que la secuencia con su inversa nos dé el mismo resultado que la operación neutra. (Elemento inverso).
  4. Aplicar la secuencia A, después la B y, finalmente la C produce el mismo resultado que aplicar la secuencia A y después el resultado de haber aplicado B y C. Para que se entienda, si A=1/4 vuelta, B=1/2 vuelta, C=1/4 de vuelta (todas en el sentido de las agujas del reloj). El resultado de A+B+C es el mismo que el de A+D, donde D=1/4 vuelta en sentido contrario a las agujas del reloj. (Propiedad asociativa).
Estos elementos (giros) con esta operación (acumular giros después de otros) constituyen lo que, en matemáticas, se llama “un grupo”, precisamente por tener esas cuatro propiedades interesantes. Los grupos son importantes porque permiten descubrir propiedades en uno que se pueden trasladar a otros grupos con las mismas características (porque tengan, por ejemplo, el mismo número de elementos, o porque la operación asociada sea similar), porque permite descubrir nuevos elementos si se conocen algunos (por ejemplo, permite descubrir los elementos inversos) y porque puede ayudar a descubrir el resultado de algunas operaciones (aprovechando la propiedad 4, por ejemplo).

Un grupo importante lo constituyen los números enteros y la operación suma. Otro, la multiplicación de los elementos 1, -1, i, -i (i es la raíz cuadrada de -1). La división de números enteros no sirve para hacer un grupo, ya que 1/2 no es un número entero (la división de un número entero entre otro nos saca del mundo de los números enteros, no cumple la ley de composición interna). Hay muchos más, entre ellos, el que encontramos en la física de partículas.

Los elementos del grupo son las partículas elementales en sus distintos estados. La operación son las interacciones entre partículas que respetan las simetrías. Es decir, que las interacciones que no las respetan no existen. El meollo de la cuestión es, por tanto, entender qué es eso de las simetrías.
Ejemplos de simetrías:
  • Traslación: las leyes de la física no cambian si las observamos desde un sistema inercial o desde otro. Por ejemplo, y como ya vimos en la parte 6 de La historia más grande jamás contada, la velocidad de la luz sigue siendo la misma.
  • Paridad: las leyes de nuestro universo son las mismas que las que observaríamos en un universo reflejado en un espejo.
  • Carga: la atracción entre dos cargas positivas es la misma que entre dos cargas negativas, así que si intercambiamos todas las cargas del universo, positivas y negativas (tendríamos, entonces, un universo de antimateria), el resultado sería un universo indistinguible del actual.
  • Tiempo: en el nivel cuántico (no en el macroscópico) de una partícula elemental (o un átomo o molécula), si filmamos el comportamiento de las partículas y lo proyectamos hacia atrás, el universo sería también indistinguible.
Las anteriores son las más importantes, pero hay unas cuantas más. Por ejemplo, si cambiamos de una manera adecuada los colores de los quarks, tendremos de nuevo un universo indistinguible del nuestro. Esta es la simetría gauge SU(3).

En los años 50 se descubrió que la paridad y la carga se violaban por los neutrinos y por las interacciones débiles, respectivamente. Lo que no se viola es la simetría conjunta de paridad y carga. Es decir, que si cambiamos las cargas y lo vemos todo a través del espejo, entonces sí se mantiene la simetría y el universo sería indistinguible del que conocemos.

Una interacción que ya hemos encontrado en esta historia más extraña jamás contada es la de un fotón que es absorbido por un electrón, que pasa a un estado mayor de energía. ¿Cómo hemos de interpretar esto? ¿Es una o dos entidades este nuevo electrón? ¿Existen los fotones?

En el grupo que forman los números enteros y la suma podemos interpretar el número dos como uno más uno y hablar del dos como de la representación de dos entes distintos. En cambio, si giramos una cara de un cubo de Rubik, ¿existen los giros como entidades ontológicas? ¿es un cuarto de giro en sentido de las agujas del reloj lo mismo que tres cuartos de giro en sentido contrario? ¿es un cubo de Rubik al que se le ha hecho un giro un ente o dos entes, el cubo original más el giro?

Como en el ejemplo del cubo de Rubik, las preguntas sobre las entidades del grupo de las partículas elementales no tienen demasiado sentido. Existe el modelo matemático en que describimos las interacciones y existen los resultados de las interacciones en el modelo. La realidad se explica, de momento, por este modelo. En la física macroscópica tenemos intuición para hablar de objetos y podemos ver que una ciudad es algo distinto de los modelos que usamos para manejarnos en ella (un mapa, por ejemplo). En el caso de la física de partículas, nuestra concepción de lo que sean los objetos de la realidad que obedecen a estos modelos no es distinta que la concepción que tenemos del modelo, puesto que, al carecer de sentidos para percibirlos, no tenemos ninguna intuición para abarcarlos en toda su extrañeza.

6 comentarios:

  1. Ismael Pérez Fernández dijo...

    Buen post, hacía tiempo que no veía una explicación sencilla de algo tan complejo.
    10 de agosto de 2009 08:29

    José Luis Ferreira dijo...

    Gracias, Ismael, por el cumplido. Viniendo de ti me siento doblemente halagado.

    Saludos.
    10 de agosto de 2009 12:35

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  2. Jose Luis, me encanta leer tus posts, aunque uno de mis hemisferios cerebrales no esté lo suficientemente desarrollada como para acabar de redondear la captación final.
    ¿Te imaginas todo esto "traducido" a una historia, la que fuera, de acción por ejemplo? Me gustaría saber como funcionaría.
    Ya imaginas que mi mente es más analógica que lógica, es por ello que se me ocurren estas ideas. Un abrazo. ¡Ya no hace tanto calorcete por este Madrid que me vio nacer! Lo se porque lo estoy sufriendo. Un abrazo.

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  3. ...Los grupos son importantes porque permiten descubrir propiedades en uno que se pueden trasladar a otros grupos

    ¿Que es primero el grupo o sus propiedades?

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  4. emejota:

    Gracias, como siempre, por tu atención y tus palabras.

    JL Salgado:

    Bienvenido al blog. Si consigues formular la pregunta de manera que pueda entender su sentido tal vez pueda decirte algo.

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  5. Una vez reconocidas las propiedades de un sistema (conjunto y operaciones) su estructura se la reconoce como grupo, por ejemplo, pero no al revés.
    Otra cosa es que en un sistema incompleto pretendamos identificar el elemento que falta para que el sistema tenga la estructura de grupo, lo que no deja de ser una hipótesis de un ejercicio.
    Entiendo que primero son las propiedades y después el grupo, semigrupo anillo, ...

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  6. Entiendo. Te refieres a la manera en que atribuimos e identificamos propiedades. Efectivamente, es la hipótesis de que tal cosa tiene estructura de grupo la que te permite completar esa tal cosa de una manera. Pero la hipótesis no tiene por qué estar sacada de la manga. Si lo que conocemos es compatible con la estructura de grupo ya tenemos algo de lo que partir.

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