domingo, 1 de agosto de 2010

Inventar o descubrir

Muchos matemáticos opinan que las matemáticas se descubren y no se inventan. Una razón poderosa para sostener esto es que los teoremas matemáticos, efectivamente, se descubren. Nadie puede inventar un teorema. Se puede inventar una definición o una operación, pero, una vez hecho esto, los resultados que se siguen no son objeto de invención. La cuestión, por tanto, es si los axiomas de las matemáticas (los que definen los números o los conjuntos, por ejemplo), y las operaciones que definimos (la suma de dos números, la intersección de dos conjuntos) son inventadas o descubiertas.

No sé muy bien qué decir sobre esta cuestión que sea consistente con las definiciones de ambos términos. Creo que no son demasiado relevantes para la cuestión que creo interesa, a saber, si las matemáticas que construimos con ellas son las que crearía cualquier civilización inteligente. Si la respuesta es positiva querría decir que estamos haciendo las matemáticas “naturales”, por así decirlo. Si es negativa, en cambio, estaríamos, por una parte, tal vez perdiendo el tiempo en ejercicios intrascendentes y, por otra, tal vez “descubriendo” cosas únicas e interesantes que intercambiar con otras civilizaciones.

Las matemáticas son un sistema formal. El ajedrez, también. Cabe poca duda en pensar que otras civilizaciones habrán inventado otros juegos, pero no el ajedrez. Poca duda también en decir que, dados los axiomas y las reglas del ajedrez (descripción de la posición inicial de las piezas y de cómo pueden mover), también los extraterrestres inteligentes podrán saber si Rey y Torre pueden dar mate a un Rey solo.

En matemáticas tenemos confianza en que otras matemáticas hayan definido los números y las operaciones básicas, menos en que hayan definido conjuntos y funciones como nosotros, aunque mucha, otra vez, de que hablen de las relaciones trigonométricas y exponenciales, por ejemplo. El interés que puedan tener sobre la hipótesis de Riemann es un misterio.

Como hay quienes opinan que muchos de los conceptos matemáticos se descubren en el sentido de decir que son definiciones “naturales”, hay quien dice que los matemáticos, o muchos de ellos, son platónicos (con algún neo por delante, para más modernidad).

Decir que si podemos inventar el ajedrez es porque ya había antes una idea de “ajedrez” es algo que podemos hacer, pero no sé de qué sirve decir eso. No, desde luego para mostrar la existencia de algo trascendente a la naturaleza. Lo único que dice es que antes de pensar nada sobre el Universo hace falta un Universo sobre el que pensar.

No veo que la situación con las ideas que nos son más intuitivas y naturales sea muy distinta. Tenemos una idea bastante precisa sobre algunas cosas cercanas. Reconocemos los caballos y eso nos hace pensar en una idea de caballo que nuestra mente descubre. Pero no somos tan precisos como parece. Fácilmente uno se confunde y engloba a los mulos o a las cebras con los caballos, o deja de lado a los ponies. Cuando hablamos de cosas menos familiares (no veo que nuestra mente tenga una idea clara de lo que es material, espacio o tiempo, a pesar de que así nos lo parezca) es difícil pensar en ideas que descubrimos y es más fácil hablar de definiciones que nos van siendo útiles a medida que seguimos avanzando en la aventura del saber.

Lo mismo nos pasa con esa ciencia tan apriorística como es las matemáticas. Si la inventamos o la descubrimos es una cuestión de interés, pero en su nivel, en el de la naturalidad de sus definiciones, no en el de mostrar esencias o trascendencias en el Universo, cosas que no se sabe muy bien lo que son (por decirlo suave), que nadie ha encontrado y cuya aceptación, por otra parte, ningún conocimiento aportan.

13 comentarios:

  1. A mi me parece que las matemáticas son una creación de nuestro sistema de pensar, nuestra inteligencia tiene unas determinadas estructuras que nos hacen inventar de una determinada manera, quizás haya infinitas maneras de explicar lo mismo o infinitas maneras de explicar lo contrario mediante otros sistemas de pensamiento.
    Si unos seres de otros planetas entienden lo mismo que nosotros,será porque su mente está estructurada igual, lo cuál no quiere decir que cualquier signo de inteligencia del universo tenga que ser como el nuestro.
    En resumen estas "esencias o trascendencias" podrían ser múltiples, luego dificilmente serían esencias, no?
    Bien como siempre me he acabado liando.

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  2. Creo que lo has explicado muy bien en el resumen final.

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  3. La cuestión de la intrascendencia de la esencia te parece intrascendente porque abordas el problema desde el punto de vista de que las matemáticas son apriorísticas. Nada más falso que eso. Yo no sé ni sumar ni restar ni multiplicar ni dividir ni sacar raíz cuadrada, por lo que sé muy bien que las matemáticas son a posteriori: son un ingenioso y colosal juego de memoria, en que los resultados se aprenden previamente, como todos los niños se dan cuenta cuando tienen que aprender las tablas de multiplicar. Sólo cuando nos sometemos a sus inflexibles reglas podemos “disfrutarlas”, por lo que si hablan o no de esencias, eso viene acompañado de que ellas mismas son su propia esencia a posteriori.

    PS

    Que yo sepa matemáticas es la prueba
    18 446 744 073 709 551 615
    …de que Dios no existe.
    ¡Y vaya que eso tiene que ver con el ajedrez!

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  4. Enrique:

    No he defendido en ningun momento que las matematicas sean aprioristicas. No se lo que significa eso.

    Lo mas que digo, que es bastante perogrullada, es que, en matematicas, una vez definidos los axiomas y las operaciones, los teoremas se siguen logicamente (no memoristicamente).

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  5. José Luis:

    Gracias por la atención a mi comentario.

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  6. EN mi opinión, entiendo las matemáticas como un lenguaje y aún peor, un lenguaje mas, sólo que mas coherente que otros, pero sólo eso.
    Como todo lenguaje parte de conceptos y relaciones que hábilmente -arte- tejidas pueden llegar a hacer previsiones útiles, lo que ha dado gran prestigio a esa lengua matemática.
    Pero, lo único que tiene en común con el universo es la física -en sentido amplio, como ingeniería, química, biología, ...- ergo, la matemática ni se descubre, ni se inventa, sino que describe como lo hace la poesía, por medio del arte y del intelecto mas sobrio, pero eso no le confiere universalidad, ya que así mismo existen muchas matemáticas.
    Para ilustrar, me gusta suponer que un procesador puede ser el mismo en distintos puntos del universo, pero la cantidad de convenciones, estándares para el funcionamiento de ese procesador lo hace inviable para la comunicación entre distintas civilizaciones.

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  7. Las matemáticas son un lenguaje (puedes decir uno más), pero, como todo lenguaje no es solo eso. Hay algo en las matemáticas que es distinto de lo que hay en la lógica y de lo que hay en los lenguajes naturales o en el lenguaje musical. Olvidarse de lo que hace distintos a los lenguajes nos puede impedir entender qué es lo que hacen.

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  8. Que interesante que copiaras el enlace en un blog amigo, ya que por coincidencia, esta tarde mientras estaba en mi empleo en la hora de almuerzo, releía esta entrada.

    Yo he ponderado las matemáticas de forma análoga a otros sucesos de la naturaleza, pues la comprendo dentro ella y no fuera de ella, independientemente de si una civilización extraterrestre la descubra o no. La generación de subproductos es parte de lo orgánico,(por aquello de nacer, crecer, reproducirse y morir), el ser humano-no puedo opinar sobre los E.T.- en este proceso evolutivo tiene una particularidad, no solo gesta un subproducto orgánico tangible, también uno intangible: las ideas. La manera de heredar la capacidad de abstracción es curiosamente parecida, sino la misma, que la de heredar lo palpable, esto es, reproduciendose. el cerebro humano, que está en el universo, desarrolla el lenguaje o la comunicación, también desarrolla la capacidad inicial de agrupar elementos (dos piedras, vacas, plantas, etc.)y ese proceso originario es la base para tener esta maravilla algoritmica.

    Tenemos como humanos la facilidad de presentar argumentos, refutarlos, debatirlos como si no pertenecieramos a la naturaleza(conjuntamente con las ideas y todo lo que de ella es generado, incluyendo la imaginación "improductiva"). desde un punto de vista global-palabrita que suena moderna- yo no veo una sola acción que este fuera de lo estrictamente natural, aunque pertenezca al terreno de lo abstracto.

    Ya me estoy liando, pues tengo sueño.

    PD.
    Si los E.T. no la conocen, pues se lo pierden.

    Gracias.

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  9. Exactamente. Todas esas abstracciones, como los sueños, ocurren estrictamente en la realidad sin tener vida propia fuera de ella.

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  10. En matemáticas (en el plano mental en general) inventar=descubrir, en la vida (en el plano físico) descubrir significa encontrase mientras que inventar implica crear (cambiar las cosas de sitio, combinarlas...)

    Así que en matemáticas es una discusión sin sentido el si las cosas se inventan o se descubren, porque es la misma cosa. En cambio encontrar una barca o fabricarla sí que son cosas distintas.

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    Respuestas
    1. No me parece mal exponer esa diferencia mientras no impida hacer la reflexión mía de la entrada.

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