Resuelto el enigma de la isla de los fidelios

En la entrada anterior planteaba el caso de la isla de los fidelios. Para entender las razones de lo allí ocurrido conviene plantearse un caso más sencillo, que es siempre buen consejo para resolver problemas difíciles.

Pongamos que solo hubiera un hombre infiel. Tendríamos 49 mujeres que sabrían que el marido de la número 50 le era infiel, mientras que la mujer número 50 sabría que los 49 hombres que no son su marido son fieles a sus esposas. Si en esta situación llega el misionero y anuncia que hay al menos un hombre infiel, esta mujer número 50 deberá concluir que su marido es el infiel. Lo mataría esa noche y al día siguiente aparecería en el periódico de la isla.

Pongamos ahora que hubiera dos hombres infieles. 48 mujeres sabrían de dos hombres infieles y dos mujeres sabrían de un hombre infiel. Cada una de estas dos mujeres pensará que si su marido es fiel, la otra no estaría viendo ningún hombre infiel, así que, según el caso anterior, deberá matarlo tras el sermón del misionero. Como no lo hace y no aparece la noticia al día siguiente sólo puede ser porque está esperando a ver qué hace la otra y eso es porque ve un hombre infiel, así que estas dos mujeres matan a sus maridos la segunda noche.

Podemos seguir con tres, cuatro, ... cincuenta hombres infieles y el resultado es siempre así: si hay X hombres infieles morirán la noche número X.

¿Por qué hay que esperar a que el misionero diga nada, si ya se sabía que había hombres fieles?

Esto es un poco más sutil de entender. En el caso de un hombre infiel está claro que no todas las mujeres sabían que "hay al menos un hombre infiel" y entonces está claro que añade una información importante.

¿Qué pasa si hay dos hombres infieles? Es cierto que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel", pero ocurre que hay dos mujeres que no saben que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel". Son las parejas de los dos hombres infieles, sean las números 49 y 50. La 49 no sabe que la 50 sabe que "hay al menos un hombre infiel" y eso sigue así hasta que llega el misionero con su sermón. Sólo en ese momento puede empezar el razonamiento si no lo mata el primer día.

Cuando hay 50 hombres infieles todas saben que todas saben que todas saben (así hasta 49 veces) que "hay al menos un hombre infiel", pero no saben que todas saben que todas saben (así hasta 50 veces) que "hay al menos un hombre infiel".

El saber que todos saben que todos saben (así todas las veces que uno quiera) una proposición K es lo que se llama "conocimiento común" de la proposición K. El ejemplo de la isla de los fidelios debe dejar clara la necesidad de que ciertas cosas sean de conocimiento común para poder tomar decisiones.

Aquí hay otro ejemplo interesante.