En esta entrada planteé la paradoja. En esta otra examiné la causa de la paradoja. Una vez entendido por qué el argumento de la paradoja es falaz toca encontrar un argumento que no lo sea y que nos resuelva el problema de decisión planteado.
La cuestión principal, recordemos, era encontrar una manera de valorar los infinitos días en el cielo (por la probabilidad de que esto ocurra), si la lotería del diablo nos envía allá, y compararlos con el daño de esperar unos días en el infierno hasta que la lotería tenga lugar y con los infinitos días en el infierno en caso de que no tengamos suerte.
Hay varias soluciones coherentes posibles. Voy a exponer una, la que creo es más natural. Imaginémonos en el infierno. En lugar de la lotería de esta paradoja, el diablo nos da a elegir entre pasar un día en el cielo hoy o pasarlo dentro de un año. Lo normal es valorar más un mismo grado de satisfacción ahora que en el futuro. Si estas son las preferencias (y si son más complicadas se pueden hacer argumentos parecidos, pero eso ya lo veremos) podemos hablar de una tasa de descuento. Por ejemplo, un día en el cielo dentro de un año equivale (en el momento presente) a 0,9 días en el cielo hoy. De manera más general podemos decir que estar mañana en el cielo equivale a D días en el cielo hoy (donde D será un número positivo menor que uno y que llamaremos tasa de descuento), estar un día en el cielo pasado mañana equivale entonces a DxD días hoy y así sucesivamente. Con estas últimas preferencias, la felicidad de estar en el cielo para siempre a partir de ahora según mi valoración de hoy será:
1. Si decidimos jugar (día uno) hoy esperamos ganar:
2. Si decidimos esperar a mañana (día dos) tendremos:
3. Si esperamos un día más (día tres), la utilidad esperada será:
Obsérvese que podemos calcular los valores numéricos de las expresiones en cuanto sepamos los valores de F, C y D. Es decir, en cuanto sepamos la valoración de estar un día en el cielo (F), un día en el infierno (C) y la paciencia (D), cosas todas ellas que tienen que ver con las preferencias personales de cada uno. Una vez valoradas las expresiones, basta elegir el día que corresponda a la de valor más alto. Para los más avanzados, se puede escribir la expresión de un día general y usar el cálculo diferencial para encontrar el día óptimo.
Haciendo unos cálculos se encuentra que para los impacientes (con tasa de descuento D=0,9), con F=1 y C=-1, lo mejor es hacer la apuesta el tercer día. Si uno es más paciente (D=0,99), para conjuntos de valores muy amplios de F y C conviene esperar hasta el noveno o décimo día.
La entrada ya se ha alargado bastante. En otra próxima discutiremos algunos aspectos de esta metodología de cálculo y algunas alternativas.
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Hace tres años en el blog: Derechos humanos y derechos contractuales.
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una cosa
ResponderEliminar0,5x4+0,25x4=4/0,5????????????
mira que soy un lelo para las matemáticas(y para cualquier otra cosa) pero la fórmula esa del bachillerato parece que no eh????
Igual me confundo y esa expresión es a lo que converge en el infinito la suma, supongo. Ya a lo que comenta cascarilleiro no llego, aunque parece burla más que otra cosa. Yo lo decía en serio, es así de triste, no recuerdo la fórmula del bachillerato, y me apetecía llevarte la contraria, aunque estaba empezando a dudar de tu veracidad, porque parecía una cosa tan absurda.
EliminarRepasa las series, por lo menos las geométricas convergentes:
Eliminarhttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_geom%C3%A9trica
si ya he visto lo de las series geométricas, no había visto que faltaba la F cuando comentó cascarilleiro pensaba que estaba de cachondeo. Gracias por contestar. Se me siguen planteando dudas pero esto no es lo mío y no quiero tenerte aquí una eternidad explicándome cada paso.
EliminarUna cosiña: en la primera expresión, ¿no falta un F como primer término de la suma infinita? (Alternativamente, en la segunda, ¿no debería figurar en el numerador DxF?)
ResponderEliminarCascarilleiro
Efectivamente, faltaba la F. Ya está corregido, gracias.
EliminarDe nada.
EliminarOtra cosa, aunque creo que poniendo un poco de parte del lector se puede entender la argumentación, hay algo que puede resultar un poco lioso. Hablas de C, como la infelicidad o el fastidio de estar un día en el infierno, pero después dices C=-1.
Si tomamos C=-1, o con un C <0, ¿son correctos todos los signos negativos que aparecen en las fórmulas? No acabo de verlo muy claro.
Cascarilleiro
pués ahora que lo dices se me plantea esa duda también, al poner un signo negativo a la C siendo ya negativa estaríamos sumando la infelicidad no restándola no?. Nu se.
EliminarHe escrito un cantar de gesta para resaltar esta hazaña heroica, lo iba a escribir en gallego,pero no llego.
ResponderEliminares una paradoja mágica
fuera de toda lógica
no es tonta ni es lista
eso salta a la vista
Pero si entiendes
lo que quiere decir
quizá puedas sobrevivir
estás aún por existir
en el cielo quieres vivir
el infierno es horrible en sí
no es para tí ni para mí
yo jamás estuve allí
así que no puedo decir
la fórmula de la existencia
en un post guardada
aguarda nuestra paciencia
esa cosa inanimada
mediante el método de la ciencia
nos lleva a esta encrucijada
entre esencia y existencia
el límite al infinito
converge en un numerito
que además es finito
y con esto en mente
aún hay quien no lo entiende(yo)
nos salimos del camino y volvemos
adonde estábamos
al principio
qué gesta tan manifiesta
la de este hombre que presta
toda su agudeza y nos deja
con un palmo de narices
con las matemáticas hemos topado
nos hemos dado de bruces
ahora todo son luces
eres tú el que conduces
este blog y traduces
ese infinito infierno
en un cielo sin averno
con tus rebajas y descuentos
en tres dias me compro tu libro
para encontrar el equilibrio
te aseguro que no miento
yo es que me sacas de saber y ganar y me pierdo, aunque intuía que iba a haber descuentos por algún lado, pero no me convence. Es asumir de primeras que la felicidad es finita en mi opinión. Por otro lado, apenas comprendo el razonamiento, así que mejor no digo nada más.
Se agradece tanto interés.
EliminarY me alegro haber inspirado tamaño cantar de gesta, que parece también un rap moderno. Una lástima que no lo escribieras en gallego.
bueno lo del descuento si lo entiendo porque comparas con un día D tiempo después, no con infinitos días. Lo demás medio medio lo entiendo, aunque sigo sin comprender muy bien porqué a la infelicidad se le aplica un descuento también, y varias cosas más. o.O
ResponderEliminarLo de la infelicidad será porque al pasar el tiempo y aumentar las probabilidades de entrar en el cielo disminuye la infelicidad, o algo así. Bueno, dejo de hacer el ridículo, que no me iba a meter y aquí sigo yo solo.
La solución que ofreces no me parece correcta. Te basas en que la suma de felicidad celestial debe converger y eso, además de no ser necesario para resolver la paradoja, contraviene las condiciones del supuesto: expresamente se estipula que la felicidad esperada tiende a infinito. La paradoja estriba, precisamente, en suponer que siempre compensa cualquier incremento de probabilidad por infinitesimal que sea, dado que multiplicada por infinito la ganancia será infinita, subsanando la penalidad de un día más en el infierno.
ResponderEliminarIntroducir ad hoc humanas y subjetivas preferencias temporales es trampear el problema no respetando los presupuestos de partida.
La solución es mucho más simple que todo eso: cualquiera con algunas nociones de cálculo de límites se percata de que la función producto de otras dos que tiendan a cero e infinito respectivamente no tiende en general a infinito. Se trata de una indeterminación que, como en el caso presente, bien puede tender a una cantidad finita.
Veámoslo. Llamemos n al número de días de estancia prevista en el Cielo; nos convendrá aguardar un día más en el Infierno siempre que el producto del incremento de probabilidad de ir al Cielo por la felicidad celestial esperada (n-m, siendo m los días que proceda esperar antes de la apuesta) supere la penalidad de un día más en el Infierno. ¿Qué relación guardan n y m? Muy sencillo, el producto {((m+1)/(m+2))-(m/(m+1))}x (n-m) deberá ser igual (o superior) a la relación C/F (castigo/felicidad diario). Supongamos para simplificar que (C/F)=1, entonces n=m^2+4m+2. Es decir, m es un número natural aproximado a la raíz cuadrada de n y, por consiguiente, la función cuyo límite nos interesa calcular sería 1/n x {n-n^(1/2)}. Se trata de un límite tipo 0.inf que resuelto da 1.
O sea, cuando n (días en el Cielo) tiende a infinito no es cierto que la expectativa de ganancia (incremento de probabilidad por felicidad esperada) tienda también a infinito conviniendo esperar siempre un día más.
Antes que nada, te recuerdo que los términos de la paradoja se refieren a elegir entre un día más en el infierno a cambio de una mayor probabilidad de ir al cielo ese día después. La manera en la que se argumenta en la paradoja para concluir que siempre merece la pena esperar un día más es la parte que está errada, y es la que hay que resolver. El que la felicidad esperada tiende a infinito (calculándose como la suma de la felicidad de cada día) no es parte del planteamiento del problema, sino de la mala argumentación que lleva a la contradicción.
EliminarSuponer preferencias simplemente suman la felicidad de todos los días (sin descuento) es tan trampear el problema como suponer que las preferencias descuentan el futuro.
No sigo del todo tus cálculos (creo que te falta un término en la primera fórmula, pero puedo estar equivocado). Dices que m es aproximadamente la raíz cuadrada de n. No me cuadra esa afirmación con el que m sea finito cuando n tiende a infinito, algo que necesitamos para resolver la paradoja.
El que la suma de la felicidad de infinitos días sea infinita constituye el núcleo del planteamiento de la paradoja, no un error lógico. Eso es como si argumentas: “Bah, el Cielo no existe. Paradoja resuelta”
Eliminar¿O es que sin esa humana preferencia temporal por el presente que impones arbitrariamente –la paradoja bien puede referirse a seres sin preferencia temporal o invertida y seguiría dándose igual- sí que siempre merecería la pena esperar un día más? Tener que permanecer siempre en el Infierno para evitar permanecer siempre en el mismo parece una contradicción lógica con independencia de preferencias temporales u otro tipo de gustos.
¿Me estás diciendo que si no hay preferencia temporal por el presente sería racional aguardar eternamente para asegurarse mejor ir al Cielo no yendo?
Creo que la falacia consiste simplemente en suponer que el producto de una magnitud que tienda a infinito multiplicada por otra que tienda a cero tenderá a su vez a infinito. Para concluir esto no necesito suponer una particular clase de preferencias que sumen la felicidad diaria sin descuento, como dices, pues resulta válido para cualquier preferencia imaginable. Suponer una concreta preferencia –por el infierno, por ejemplo- no resuelve el problema, como tampoco lo hace afirmar que ningún ser puede existir eternamente: eso es ignorar las premisas de la paradoja.
M (número de días que conviene esperar para incrementar la probabilidad) aumenta aproximadamente con la raíz cuadrada de n (días previstos de estancia celestial), es decir, tiene un ritmo de crecimiento decreciente. Cuando n tiende a infinito, m también lo hace pero más lentamente (la relación entre ambas magnitudes tiende a cero, es decir, que m tiende a ser infinitamente pequeño comparado con n). Para resolver la paradoja no necesitamos que m tenga un máximo, como exiges, sino probar que la infinita espera es de un tamaño inferior (Cantor) al infinito celestial.
Lo importante es que para todo n por grande que sea siempre existe un m finito, o sea, una espera limitada. Y si pensamos en eternidades, la eternidad de m será infinitamente más pequeña que la eternidad de n. Nunca la eternidad de m será igual a la de n tal como se sugiere en la paradoja.
Pero confieso que ahora me siento bastante perplejo.
Ayer se me fue un poco la pinza y me hice un lío con los infinitos de Cantor que nada tienen que ver. Lo tenía delante de las narices y no lo veía: claro que m tiene un máximo; puesto que la sucesión producto tiende a límite finito, para todo entorno del límite existirá un n¨ tal que para todo n mayor o igual que n´ el producto de la felicidad eterna por el infinitesimal incremento de probabilidad no compense la penalidad de un día más en el infierno. Ése es el m=n´
ResponderEliminarNo voy a insistir en cuál es el núcleo de la paradoja y cuál no. Pongámoslo así: si el núcleo de la paradoja es lo que yo he dicho, se trata de resolver la cuestión de cómo decidir en qué día hay que aventurarse a echar a suertes (y de paso mostrar el error del razonamiento). Si el núcleo es el razonamiento, se trata de encontrar su error (y de paso resolver cómo decidir el día). Me da igual una cosa que la otra.
EliminarNo estoy diciendo que sin preferencias temporales por el presente será racional aguardar eternamente. Lo que digo es que sin ellas (u otra manera de evitar la suma infinita no convergente) el problema no está definido y no lo está porque la suma infinita no lo está.
Sigo sin entender tu solución. ¿Por qué no me dices cuánto vale m (el día en el que me arriesgo) cuando la felicidad de estar en el cielo viene de sumar F tantas veces como días esté en el cielo y a ello hay que restar la suma de C tantas veces como días esté en el infierno? (Puedes poner el caso en el que C=F para simplificar). No podrás. Para cualquier m finito tendrás que esperar un día más aumenta la felicidad por una cantidad infinita mientras que aumenta el castigo en una cantidad finita.
Pretendes zanjar la paradoja de una manera trivial equivalente a argumentar que puesto que sólo existe un infinito potencial siempre se debe considerar un tiempo finito en el Cielo y calcular la espera a partir del mismo, pero eso supone esquivar el problema en vez de solucionarlo. Así, en lugar de limitar la estancia celestial, lo que haces es acotar mediante un artificio la felicidad total (para que al multiplicarla por un incremento de probabilidad reducido lo suficiente por la espera obtengamos un resultado todo lo arbitrariamente pequeño que deseemos), cuando lo que se plantea es precisamente que si el producto de una cantidad infinita (lo cual excluye cualquier ardid dirigido a limitarla) por otra finita da infinito, se prolongará para siempre la espera. Alterar arbitrariamente los términos de la paradoja no es solucionarla, pero yo tampoco voy a insistir más en ello: eres muy dueño de engañarte a ti mismo.
EliminarLa resolución de la paradoja es mucho más sencilla y debo reconocer que también yo estaba descaminado. Simplemente el error del razonamiento consiste en que ignora una premisa implícita esencial: conviene esperar un día más si y sólo si, primero, las perspectivas de infinita felicidad futura superan el malestar de un día infernal finito (lo que, por definición, es cierto) y, segundo, la espera es finita. Como ambas condiciones resultan incompatibles, se concluye que no puede ser racional aguardar eternamente (obvio) y que la falacia del razonamiento no estriba en la imposibilidad lógica o empírica de infinita felicidad (ni es necesario presuponerla mediante artificios) sino en que olvida la segunda condición implícita.
La resolución que hago de la paradoja no es nada trivial. Tal vez te lo parezca a toro pasado, pero ha costado siglos de matemáticas para definirlas bien.
Eliminar¿Qué es eso de limitar la estancia en el cielo? El enunciado dice claramente que no está limitada. Tú mismo reconoces que tu intento por ahí no lleva a nada. ¿Entonces?
El error del razonamiento en la paradoja es hacer operaciones con infinitos no válidas. Cuáles son exactamente y cómo solucionarlas es lo que he hecho en esta serie de entradas.
Según el razonamiento de la paradoja por una parte conviene esperar (siempre) y por la otra esperar siempre es absurdo. No se concluye que haya que esperar siempre ni que no haya que esperar. Esa es la paradoja que hay que deshacer. Todavía no lo has hecho ni has mostrado cómo resolver para encontrar el día óptimo.