Voy a dar en esta entrada la solución a la paradoja de la Bella Durmiente, pero antes hay que resolver la del dormilón.
Recordemos que el dormilón se montaba en un avión en la ciudad A para ir a la B. Se sabe que la mitad de los aviones de ese trayecto van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). En la ciudad B preguntan a todos los viajeros que llegan de A cómo venía su vuelo. El dormilón estaba dormido y no se enteró, así que no sabe cómo iba su vuelo, pero se puede asignar una probabilidad a que fuera de los llenos o de los medio llenos. Estas probabilidades deben ser 2/3 para el vuelo lleno y 1/3 para el vuelo medio lleno. ¿Por qué?
Si los encuestadores de B preguntaran, por ejemplo, a 20 personas de cada vuelo, la respuesta sería 1/2, 1/2, pero este no es el caso. Los encuestadores preguntan a todos, así que preguntan al doble de pasajeros de los vuelos llenos que a pasajeros de vuelos medio llenos. Cuando un pasajero es preguntado, aunque no sepa cuál era su vuelo, sabe que tiene el doble de probabilidad de ser de los del vuelo lleno.
Podemos verlo de otra manera. Al embarcar en A, el dormilón no puede pensar que tiene iguales probabilidades de entrar en un vuelo lleno que en uno medio lleno. Si así fuera, y todos los pasajeros fueran asignados a un vuelo u otro mediante el resultado de una moneda lanzada al aire, la mitad irían a cada avión y los dos se llenarían de igual manera. La única forma de pensar algo consistente con la información que tenemos es pensar que, por ejemplo, se lanza un dado y, si sale 1 ó 2, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale 3, 4, 5 ó 6, nos meten en el otro. También podemos pensar que se tira una moneda, de manera que, si sale cara, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale cruz, nos meterán a DOS pasajeros en el avión que resultará lleno.
Vamos con la Bella Durmiente. Recordemos que se tiraba una moneda un domingo, antes de dormirse, si salía cara, se despertaba el lunes y se acababa la maldición. Si salía cruz, se despertaba el lunes, se volvía a dormir y luego se despertaba, amnésica, el martes. Así, la Bella Durmiente se despierta una vez tras cara y dos veces tras cruz. Como cara y cruz tienen la misma probabilidad, todos los despertares ocurren con la misma probabilidad. De otra manera, si hubiera 100 Bellas Durmientes, habría 50 despertares en lunes tras cara, 50 en lunes tras cruz y 50 en martes tras cruz. A cada Bella Durmiente se le pregunta por el día en que está tras cada despertar. Así, cada una sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras cruz que tras cara. Las probabilidades que asignará a “cruz” serán 2/3 y a “cara” 1/3. De ahí se sigue que la probabilidad asignada a “lunes” será 2/3 y a “martes” 1/3.
Si todavía no estamos convencidos, pensemos en las Bellas Durmientes que se despiertan como encarnaciones de una misma Bella Durmiente. Cada Bella Durmiente tiene tres encarnaciones, la que se despierta en lunes tras cara, la que se despierta en lunes tras cruz y la que se despierta en martes tras cruz. Ninguna de estas encarnaciones sabe nada de las otras dos. La que se despierta tras cara no sabe nada de las que se despiertan tras cruz, porque ni siquiera existirán. La que se despierta en lunes tras cruz no sabe nada de la que se despierta en martes tras cruz porque será una futura, y la que se despierta en martes tras cruz no sabe de la que se despertó en lunes tras cruz porque está amnésica. Cuando las tres encarnaciones se ponen a la cola el domingo, para vez cuál les toca ser, deben pensar, como en el caso del dormilón, que, cuando la moneda sale cara, sólo una de ellas pasa, mientras que, si sale cruz, pasan dos. Así, cada Bella Durmiente debe pensar que, con probabilidad 1/3 irá al mundo tras “cara” y con probabilidad 2/3 al mundo tras “cruz”. Los 50 despertares tras cara son el equivalente de los pasajeros que van al avión medio lleno del dormilón, los 100 despertares tras cruz, los que van al avión lleno.
El premio de la Bella Durmiente va para Iñigo (bien por los de Bilbao) y el del dormilón para un anónimo.
Creo que entiendo el argumento. Eres un preso y se lanza una moneda para saber si te envían a la cárcel A o a la cárcel B. Y en el primer caso se lanza otra moneda para saber si te encierran en la celda A1 o en la A2, mientras en el otro caso se lanza una moneda para saber si te encierran en la B1 o te dejan libre.
ResponderEliminarCada una de las 4 posibilidades tienen 0.25 de probabilidad de suceder. Pero si te despiertas en una celda puedes descartar que te hayan soltado, así que estás en una de las otras 3 opciones equiprobables. Tras saber que estás en la cárcel la probabilidad de estar en A será de 2/3 tercios y en B de 1/3 a pesar de que la probabilidad antes de lanzar la moneda era de 1/2, la nueva información de que estás en la cárcel modifica (condiciona) la probabilidad.
Es una buena manera de explicarlo. Gracias.
EliminarError. Si te despiertas en la cárcel la probabilidad de estar en A será 1/2 (1/4 en A1 y otro 1/4 en A2) y en B 1/2
EliminarPerdona, pero das una solución disparatada y se ve bien fácil. Si en vez de despertarse dos veces tras cruz fueran mil ¿tendría mil veces más probabilidad de ser despertada tras cruz que tras cara? Pues no, tendría ½ de despertarse una vez frente a otro ½ de ser despertada mil veces. Al salir cruz es seguro que se despertará mil veces, no mil veces más probable
ResponderEliminarEstás confundiendo los probabilidades condicionales.
Eliminar1: la probabilidad de despertarse una o mil veces dado el resultado del lanzamiento de la moneda.
2: la probabilidad del resultado del lanzamiento de la moneda dado que se está despierto.
No estoy confundiendo nada. Estás obcecado en un razonamiento falaz. La probabilidad del resultado del lanzamiento de la moneda no está condicionada por despertarte, dado que eso es un hecho seguro e independiente del lanzamiento; no es que si sale cruz sea más probable que te despierten, sino que te van a despertar más veces. Si nos dijeran: “si sale cara habrá una probabilidad entre un millón de que te despierten, mientras que si es cruz la probabilidad será una entre mil”, entonces sí que el hecho de despertar hará más probable la cruz, pero en este caso ¿puedes precisarme por qué despertarse (hecho seguro) hace más probable la cruz?
EliminarSi sale cara te despierto el primer día, si sale cruz te despierto los siguientes mil días; acabo de despertarte y te juegas la vida si fallas el día ¿por cuál de los mil uno apostarías? Está clarísimo que por el primero, ya que de salir cruz estarías muerto seguro (una probabilidad de sobrevivir entre mil elevado a mil). Entonces no me digas que todos los días del primero al último son equiprobables.
Creo que el origen de la falacia estriba en confundir la retribución al acierto con la probabilidad de acertar. Me explico, siendo cara y cruz eventos equiprobables, si le asigno mayor “pago” a uno de ellos lo convertiré en una apuesta más deseable, que no más probable. En este caso pronosticar cruz se paga con el doble de aciertos (o de dinero o de lo que sea) que vaticinar cara, pero ello simplemente hace de la cruz un envite más conveniente o rentable dadas las concretas condiciones del juego, pero no más probable.
ResponderEliminarLa cosa cambia, claro, cuando en vez de premiar el acierto se castiga el error. Entonces las apuestas se invierten, aunque como es obvio la probabilidad sea la misma.
La revista Investigación y Ciencia publicó en octubre de 2015 un artículo sobre el tema donde se detalla el error de planteamiento que conduce a la falacia. Se juzga correctamente que P(Cara-L)+ P(Cruz-L)+ P(Cruz-M)= 1. También que P(Cruz-L)= P(Cruz-M). El error radica en suponer que P(Cara-L)=P(Cruz-L)
ResponderEliminarVeamos dónde está el error. Parte de que si sabiendo que es lunes P(Cara-L)=P(Cruz-L), entonces serán también iguales con carácter intrínseco, es decir, sepamos o no que es lunes, lo cual es cierto, pero es que –y ahí está el error- con las premisas del experimento, saber que es lunes no establece esa igualdad sino que otorga una probabilidad al suceso Cara-L de 2/3 frente a la probabilidad 1/3 del suceso Cruz-L.
En otras palabras, es una falacia considerar irrelevante cuándo se lanza la moneda; de hecho, si ésta ya ha sido lanzada, no se puede deducir –echando abajo el razonamiento falaz- que el nivel de creencia de la bella durmiente en cara y cruz sabiendo que es lunes debería ser ½. Se sostiene que es así precisamente porque se supone que el lanzamiento no ha tenido lugar aún. Es decir, que contradictoriamente se reputa irrelevante el momento de lanzar la moneda, al tiempo que se necesita suponer que no ha sucedido para argumentar la falacia.
Sin lanzar la moneda no se puede despertar a la bella durmiente el lunes (informándola de que no se ha lanzado), pues se infringen las condiciones del experimento. No percatarse de ello da lugar al resultado absurdo de que P(Cara-L)=P(Cruz-L)=P(Cruz-M)=1/3. Paradoja resuelta. Q.E.D.