La racionalidad de jugar a la lotería o por qué algunos matemáticos deberían estudiar economía antes de hablar

Como cada año por estas fechas hay alguien que nos recuerda que jugar a la lotería es una mala decisión. La razón básica es que el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional dedica el 70% de la emisión a premios. Esto quiere decir que la esperanza matemática (la media) al jugar es recuperar 70 céntimos por cada euro gastado, a lo que hay que restar los impuestos. ¿Es esto irracional?

1. No hay nada irracional en ser un amante de riesgo. La mayor parte de la gente prefiere 50 euros en mano que jugárselos a doble o nada tirando una moneda al aire, pero no hay nada contradictorio en preferir jugárselo. Más aún, lo mismo que mucha gente preferirá 45 euros en mano antes que tener 0 o 100 a cara y cruz, puede haber alguien que prefiera ese juego antes que 55 en mano.

2. Incluso si uno prefiere 45 en mano que 0 o 100 a cara y cruz, si el juego se estima emocionante, además del premio 100 habrá que sumar la emoción de jugar y eso bien puede dar una situación preferida. Esto es distinto de ser amante del riesgo, puesto que depende de que el juego sea emocionante o no.

3. Ana y Bea prefieren 55 euros antes que pagar esa cantidad por entrar en el juego de ganar 0 o 100 a cara y cruz, pero ambas se sentirán mal por no haber jugado si la otra gana. Solo se tira una moneda y ganan o pierden todas las que hayan jugado. Si Ana participa y Bea no, tendremos que Bea se sentirá mal con probabilidad ½. Así, en caso de no jugar, Bea tiene sus 55 euros y una probabilidad de sentirse mal. Eso puede ser peor que jugar y ganar 50 euros de media. Sucederá si la frustración por no haber jugado y que Ana gane (multiplicada o afectada de otra manera por la probabilidad de que ocurra) es mayor que 5 euros.

Podemos representar esta situación como un juego en que ambas deben decidir si entrar en la lotería a cara y cruz pagando 55 euros o no. Para fijar ideas pongamos que la frustración en caso de que la otra gane y no haber participado es de 20. El primer número de cada casilla antes de la coma es el pago de Ana y el segundo, tras la coma, el de Bea. Ambos están miden utilidad, no dinero.

En este juego hay dos equilibrios: (i) ambas juegan y (ii) ninguna juega. Si Bea juega, lo mejor que puede hacer Ana es jugar también (gana 50 en lugar de 45). Si Bea no juega, lo mejor para Ana es no jugar (gana 55 en lugar de 50). Las jugadoras pueden elegir su acción, pero no el equilibrio. Así que no hay nada irracional estar en un equilibrio u otro.

4. Eneko prefiere también 55 en mano que ciento volando (a cara y cruz), pero si pudiera ganar por lo menos 30.000 euros podría acceder a muchas cosas que ahora no puede. Por ejemplo, podría mantenerse durante un año y pagarse un máster que le garantice un buen trabajo. No hay nadie que le pueda prestar ese dinero ni tiene posibilidad alguna de ahorrarlo en un futuro cercano. Hay, sin embargo, una lotería que vende mil números y que ofrece un premio de 30.000 euros a uno de ellos al azar. No hay nada irracional en que Eneko compre un billete de esa lotería por 40 euros aunque su ganancia esperada sea de 30 euros, puesto que a los 30.000 euros en caso de ganar hay que añadir todo lo que puede ganar con esos 30.000 euros y que no puede ganar en ninguna proporción con una cantidad menor (esto último es la clave para no liarnos con otros ejemplos). En general, si con el premio puedes acceder a un estatus o a un bien o servicio indivisible a los que no puedes acceder en ninguna medida sin por lo menos ese premio, tendremos una justificación racional para jugar a la lotería.

Yo no juego a la lotería excepto por alguna pequeña participación o algún décimo que siempre me acaban colocando en la de Navidad. No lo hago porque no soy amante del riesgo, porque no me emociona demasiado apostar en juegos de azar, porque no me da envidia que alguien gane y yo no lo haga (o no la suficiente para que, ponderada por su probabilidad, me merezca la pena jugar), y porque no se me ocurre nada que me coloque en el caso 4 (no que no se me ocurran cosas que hacer con ese dinero, sino cosas que sean un salto cualitativo tan grande al que no pueda acceder en menor proporción sin tanto dinero y que combinadas con la probabilidad de ganar me merezcan la pena). Pero ese soy yo, y no le voy a decir a nadie lo que tiene que hacer, excepto que esté seguro que lo que sea que le motiva a jugar esté bien ponderado con las probabilidades de ganar y perder.

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Hace cinco años en el blog: La Tierra es plana, pero la homeopatía no es Medicina.
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La apuesta de Pascal

Esta es la apuesta de Pascal, que nos recuerda Siesp en su blog Misterios al Descubierto:

1. Si no crees que dios exista y en realidad no existe, no pasa nada.
2. Si no crees que dios exista y en realidad sí existe, vas al infierno.
3. Si crees que dios existe y en realidad no existe, no pasa nada.
4. Si crees que dios existe y en realidad sí existe, vas al cielo.

Es decir, en caso de que dios no exista, da igual lo que creas. En caso de que exista, es mejor creer que existe. Por lo tanto, es mejor creer en dios.

Ante este dilema (creer o no) como argumento para la creencia en dios se han opuesto muchas posturas:

• No hay razón para pensar que las consecuencias de creer o no creer sean las referidas en las proposiciones anteriores.
• La creencia por utilitarismo no sería aceptable.
• El razonamiento se basa en que la cuestión de la existencia de dios es debida al azar.

Estas tres posturas, y algunas otras, van en la dirección de no reconocer las premisas del dilema (he de confesar que no entiendo bien la tercera -debida a Bunge-, aunque eso ahora no importa). Yo creo que la crítica fundamental al dilema va mucho más allá. Incluso si aceptamos las cuatro proposiciones del planteamiento no podemos dar sentido a lo que significa el dilema, puesto que las creencias no se eligen. Lo podemos ver más claro si nos planteamos lo siguiente:

1. Si no crees que el ratoncito Pérez exista y en realidad no existe, no pasa nada.
2. Si no crees que el ratoncito Pérez exista y en realidad existe, te quitará dinero.
3. Si crees que el ratoncito Pérez existe y en realidad no existe, no pasa nada.
4. Si crees que el ratoncito Pérez existe y en realidad existe, te dará dinero.

No me imagino a los filósofos, que desde Voltaire a Bunge se molestaron en buscar inconsistencias al dilema de Pascal, tomándose el dilema del ratoncito Pérez lo suficientemente en serio como para hablar de si el premio es suficiente tentación como para tener una creencia sólida (Voltaire) o de si el tomar la existencia del ratoncito como algo azaroso tiene sentido científico, o es moral o filosóficamente confuso (Bunge). Más bien creo que la postura mayoritaria sería decir que la creencia en el ratoncito Pérez no se puede basar en la posibilidad de enunciar este tipo de dilemas, sino únicamente en las pruebas que tengamos de su existencia. El argumento con dios en lugar del ratoncito es exactamente igual, a pesar de que emocionalmente nos embargue más o menos uno u otro.

Esa es la postura racional, y se puede argüir que alguien irracional puede elegir creer o no creer en cosas por las razones que le dé la gana, no necesariamente las racionales. Esto es muy cierto. Lo que estaría queriendo en ese caso es lo siguiente: si alguien es irracional a la manera de elegir creencias según dice Pascal que se deben elegir, entonces elegirá creer según el argumento de Pascal. Todo muy redundante y de muy poco interés.

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P.D.: Esto de rechazar la racionalidad para decir que la gente es irracional de la manera que me interesa para que mi teoría sea correcta es algo que vemos a menudo en los que critican el uso de la racionalidad en algunos modelos económicos. Pascal, por lo menos, no rechazaba la racionalidad, simplemente creía erróneamente que el argumento racional era el suyo.

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Hace cinco años en el blog: Ni la reforma del gobierno ni la del PP.
Hace tres años en el blog: Los efectos de la inmigración en el mercado de trabajo (1).
Y también: Los efectos de la inmigración en el mercado de trabajo (2).
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¿Sabemos lo que quiere el pueblo?

La irrupción de los nuevos partidos ha atraído una renovada atención por los sistemas de votaciones. En esta entrada voy a recordar un ejemplo que se deberíamos estudiar todos desde pequeñitos, antes de que nos dejen votar. Es muy sencillo e ilustra cómo no existe “lo que quiere el pueblo”, la antesala al concepto de que no existe un sistema de votación (o de agregación de preferencias) que tenga todas las propiedades que nos gustaría (ver aquí).

Pongamos que hay una sociedad con 100 personas divididas en seis partidos (PT, PU, PV, PX, PY y PZ). Deben elegir entre cinco propuestas distintas, pero cada grupo las ordena de mejor a peor según se indica en la tabla.

Partido (# personas)	PT (33)	PU (16)	PV (3)	PX (8)	PY (18)	PZ (22)
	---------	---------	--------	--------	---------	---------
Ránking	A	B	C	C	D	E
	B	D	D	E	E	C
	C	C	B	B	C	B
	D	E	A	D	B	D
	E	A	E	A	A	A

Por ejemplo, las 100 personas pueden ser parlamentarios, los grupos, partidos políticos y las propuestas, candidatos a la presidencia.

Cuál es el candidato que debe ser elegido? Es pregunta trampa, no hay tal cosa como “el que debe ser elegido” (enunciado normativo) sin hacer referencia a una norma, y la norma puede ser una entre muchas, sin que ninguna de ellas sea claramente la más justa y mejor. Tomemos cinco posibles normas (sistemas de votación) y veamos quién gana si las personas votan sinceramente:

Regla de la pluralidad (mayoría relativa): Cada uno vota la propuesta preferida y la que más votos obtenga es la que sale elegida.

Gana A con 33 votos frente a los 16 de B, los 11 de C, los 18 de D y los 22 de E.

Recuento de Borda: Cada votante asigna cuatro puntos a su propuesta preferida y luego tres, dos, uno y cero a cada una de las siguientes según decrezcan sus preferencias. Gana la que más puntos tenga.

Gana B, que suma 33x1 + 16x4 + (3+8+22)x2 + 18x1 = 171 puntos, más que cualquier otro (p.e., A suma 33x4 + 3x1 = 136).

Método de Condorcet: Gana aquella propuesta que vence a cada una de las demás por separado. (No siempre hay un ganador de Condorcet).

Gana C: Cuando se enfrenta a A, C tiene 77 votos (y A el resto hasta 100). Frente a B, D, y E, la propuesta C tiene 51, 66 y 60, respectivamente.

Voto único transferible (segunda vuelta instantánea): Se vota una primera ronda, la propuesta con menos votos se elimina. Se vota una segunda vuelta entre las restantes, de nuevo se elimina la menos votada. Así hasta que solo queda una.

Gana D: En al primera ronda se elimina C. En la segunda ronda, de los 11 que votaron C, 3 votarán D y 8 votarán E (de ahí lo de transferible) y se eliminará B. En tercera ronda los 16 votos de B pasan a D y la cosa queda: A con 33, D con 37 y E con 30, con lo que se elimina E. Entre A y D gana D con 77 votos.

Doble vuelta: Los dos con más votos en una primera vuelta se enfrentan en segunda vuelta. Quien más votos tenga en la segunda vuelta, gana.

Gana E: En primera vuelta A y E quedan primero y segundo, respectivamente. En la segunda vuelta A obtiene 36 votos frente a los 64 de E.

Pues eso. ¿Qué quiere el pueblo?

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Hace cinco años en el blog: La economía de la discriminación (4).

Hace tres años en el blog: ¿Ha matado Excel a la estrella de la Troika?

Y también: La protección de los derechos de autor y el número de obras (2).

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Arrow y la imposibilidad de la razón moral

Hay N votantes. Cada uno ordena según sus preferencias a los M candidatos a presidente (o a los M distintos proyectos públicos). El teorema de imposibilidad de Arrow dice que es imposible tener un sistema de agregación de las preferencias de los N votantes (un sistema de votación, p.e.) que nos dé un ránking de los candidatos para cualesquiera preferencias individuales y que cumpla las siguientes características:

1. No dictadura. Es decir, que el sistema de decisión no se fije únicamente en lo que diga uno de los votantes.
2. Monotonía. Si un votante pasa de preferir X sobre Y a preferir Y sobre X, entonces el sistema no podrá ahora elegir a X sobre Y si antes no lo hacía.
3. Independencia de alternativas irrelevantes. El orden de preferencia entre X e Y según el sistema de agregación de preferencias debe depender solo de cómo los votantes ordenan X e Y (y no de cómo ordenan, p.e., Z con respecto a X e Y).
4. Unanimidad. Si todos los votantes prefieren X antes que Y, el sistema también lo hará.

La demostración es muy ilustrativa: si un sistema cumple 2, 3 y 4 (digamos que un sistema así es coherente), entonces será dictatorial (no cumplirá 1). Hay que optar: o incoherencia o dictadura.

Voy a proponer otro territorio para el teorema. Pongamos que en lugar de N votantes tenemos N fines o ideales que uno quisiera ver cumplidos en una sociedad (libertad, igualdad, fraternidad, seguridad, responsabilidad, solidaridad, justicia, identidad,…) y los M proyectos son los M tipos de sociedades distintas que uno debe valorar. Esto tiene sentido si yo, a la hora de juzgar distintas sociedades, me fijo en cómo de bien aparecen en el ránking de la libertad, la igualdad, la fraternidad,... e intento tener una manera coherente de ponderar cada una de estas propiedades. Es decir, en mi mente estarán votando la libertad, la igualdad, la fraternidad,... para dar una valoración a cada sociedad.

Ahora hay que ver cuánto de cada uno de esos ideales cumple cada tipo de sociedad. Pongamos, por ejemplo, que una sociedad tiene mucho de libertad, poco de seguridad, y anda normal de justicia (y que solo importan estas tres cosas). Si la libertad pesa mucho, estará alta en el ránking, si la que pesa mucho es la seguridad, estará abajo. Si ambas pesan más o menos igual, o si la que más pesa es la justicia, alcanzará una posición media. Pues bien, el teorema de Arrow ahora dice que no es posible ponderar todos esos ideales de una manera coherente (que cumpla los puntos 2, 3 y 4) y que no sea dictatorial, lo que en este contexto significaría juzgar una sociedad por lo que hace en solo uno de esos ideales.

Dado lo anterior, uno puede entender la tentación de la dictadura para aquellas gentes incapaces de aceptar las imperfecciones de la democracia. También se puede entender la tentación de restringir las posiciones morales e identificarse solo con un ideal. De esta forma todo es más sencillo. Si uno identifica la libertad como el bien supremo, con solo ver qué pasa en esta dimensión tendrá una manera sencilla de evaluar moralmente todas las sociedades (y todas las propuestas de cambio de una sociedad). Esta sencillez se tendrá por profunda y superior a otras, al haber conseguido un método de análisis coherente (satisface 2, 3 y 4). Lo mismo ocurre si uno ha escogido la igualdad como valor supremo, la gloria de la patria o cualquier otro fin.

Frente a esos simples (anarcocapitalistas, comunistas, nacionalistas, etc.), víctimas de su propia dictadura moral, estamos los que intentamos tener en cuenta más fines y optamos por la democracia moral, que aquí no significa que lo que se vote sea lo aceptable moralmente, sino que cada uno de nosotros queremos ponderar todos los fines morales. Y optamos por ella a pesar de sus imperfecciones e incoherencias, a pesar de que esto requiere estar ponderando todo constantemente y a pesar de la complejidad que añade al análisis. O tal vez no a pesar de eso, sino por todo eso, porque nos obliga a estar mucho más vigilantes, actitud que uno quiere trabajar siempre en cuestiones de elección moral.

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Hace cinco años en el blog: La isla de los fidelios.
Hace tres años en el blog: Experimentos con mercados (1).
Y también: Experimentos con mercados (2).
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Una solución a la paradoja del diablo

En esta entrada planteé la paradoja. En esta otra examiné la causa de la paradoja. Una vez entendido por qué el argumento de la paradoja es falaz toca encontrar un argumento que no lo sea y que nos resuelva el problema de decisión planteado.

La cuestión principal, recordemos, era encontrar una manera de valorar los infinitos días en el cielo (por la probabilidad de que esto ocurra), si la lotería del diablo nos envía allá, y compararlos con el daño de esperar unos días en el infierno hasta que la lotería tenga lugar y con los infinitos días en el infierno en caso de que no tengamos suerte.

Hay varias soluciones coherentes posibles. Voy a exponer una, la que creo es más natural. Imaginémonos en el infierno. En lugar de la lotería de esta paradoja, el diablo nos da a elegir entre pasar un día en el cielo hoy o pasarlo dentro de un año. Lo normal es valorar más un mismo grado de satisfacción ahora que en el futuro. Si estas son las preferencias (y si son más complicadas se pueden hacer argumentos parecidos, pero eso ya lo veremos) podemos hablar de una tasa de descuento. Por ejemplo, un día en el cielo dentro de un año equivale (en el momento presente) a 0,9 días en el cielo hoy. De manera más general podemos decir que estar mañana en el cielo equivale a D días en el cielo hoy (donde D será un número positivo menor que uno y que llamaremos tasa de descuento), estar un día en el cielo pasado mañana equivale entonces a DxD días hoy y así sucesivamente. Con estas últimas preferencias, la felicidad de estar en el cielo para siempre a partir de ahora según mi valoración de hoy será:

Si repasamos nuestras matemáticas de bachillerato sabremos que la suma anterior es exactamente igual a

siempre y cuando D sea un número mayor o igual que cero y menor que uno, pero eso es exactamente lo que es, por ser una tasa de descuento. Podemos hacer lo mismo para calcular la infelicidad de estar toda la eternidad en el infierno si C es la de un día.

1. Si decidimos jugar (día uno) hoy esperamos ganar:

Es decir: la probabilidad de ganar multiplicada por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el cielo menos la probabilidad de perder por el valor actual descontado de estar toda la eternidad en el infierno.

2. Si decidimos esperar a mañana (día dos) tendremos:

Es decir: el fastidio de estar hoy en el infierno (C) más la misma ganancia neta calculada antes, pero a partir de mañana (por eso la multiplicamos por la tasa de descuento).

3. Si esperamos un día más (día tres), la utilidad esperada será:

Y así sucesivamente.

Obsérvese que podemos calcular los valores numéricos de las expresiones en cuanto sepamos los valores de F, C y D. Es decir, en cuanto sepamos la valoración de estar un día en el cielo (F), un día en el infierno (C) y la paciencia (D), cosas todas ellas que tienen que ver con las preferencias personales de cada uno. Una vez valoradas las expresiones, basta elegir el día que corresponda a la de valor más alto. Para los más avanzados, se puede escribir la expresión de un día general y usar el cálculo diferencial para encontrar el día óptimo.

Haciendo unos cálculos se encuentra que para los impacientes (con tasa de descuento D=0,9), con F=1 y C=-1, lo mejor es hacer la apuesta el tercer día. Si uno es más paciente (D=0,99), para conjuntos de valores muy amplios de F y C conviene esperar hasta el noveno o décimo día.

La entrada ya se ha alargado bastante. En otra próxima discutiremos algunos aspectos de esta metodología de cálculo y algunas alternativas.

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Hace tres años en el blog: Derechos humanos y derechos contractuales.
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La falacia en la paradoja del diablo

Recordemos la paradoja presentada en la entrada anterior, a la que me remito para los detalles:

1. Estás en el infierno para siempre.
2. El diablo te da la opción de elegir un día (y solo uno) para entrar en una lotería cuya ganancia es ir al cielo para siempre.
3. Las condiciones: si eliges hoy, la probabilidad de ir al cielo es 1/2; si eliges mañana es 2/3; si pasado mañana, 3/4; al día siguiente, 4/5, y así sucesivamente.
4. La paradoja: siempre merece la pena esperar un día más, pues se cambia un día en el infierno por aumentar la probabilidad de estar toda la eternidad en el cielo.

Y ahora, con ustedes, la resolución de la paradoja.

La cuestión principal es que la paradoja asume una suma infinita de felicidad. Cada día en el cielo nos da una felicidad, y una suma infinita de días nos da una suma infinita de felicidad. Multiplicada por un incremento de probabilidad por pequeño que sea nos da un incremento de felicidad infinito si esperamos un día más, puesto que el coste es una infelicidad finita de estar un día más en el infierno.

El problema es que no existe tal cosa como una suma infinita. Si el nivel de felicidad por pasar un día en el cielo es, digamos, F (en la escala apropiada), estar toda la eternidad en el cielo no implica tener una felicidad de

F+ F + F + F +…,

entre otras cosas porque tal operación no existe. La suma se define como una operación binaria (entre dos elementos) que, por satisfacer ciertas propiedades (conmutativa, asociativa), se puede extender a la suma de finitos elementos, pero no a la suma de infinitos. Cuando se cumplen ciertas condiciones sí se puede hablar de sumas infinitas, pero para ello la serie sumas parciales tiene que converger. Así, se puede hablar de la suma de

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…,

cuyo resultado es 1. Y se puede hacer porque dando como resultado el límite de las sumas parciales se mantienen las misma propiedades de las sumas finitas (operación cerrada, elemento neutro, elemento simétrico, conmutativa, asociativa,…). Para series no convergentes tal cosa no es posible.

Es decir, que el enunciado de la paradoja nos está metiendo un gol al hacer parte de su argumentario una suma infinita carente de significado. No es que diga algo falso cuando dice eso, sino que dice un sinsentido. Lo falso es concluir algo de un sinsentido y esa es la falacia. Cosas parecidas nos encontramos en la paradoja de la lámpara de Thompson.

La cuestión siguiente será: ¿qué es lo que hay que hacer, entonces? Esperen ustedes unos días más en el infierno de la ignorancia y en la próxima entrada contestaré a la pregunta y les llevaré a la felicidad de la sabiduría por siempre jamás.

En una próxima entrada diré cómo afrontar esta oferta del diablo.

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Hace tres años en el blog: France Télécome, ¿tenemos un problema?
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La paradoja del diablo

Esta es la paradoja del diablo:

Estás en el infierno, condenado para toda la eternidad. El diablo te ofrece una salida. Solo tienes que decidir qué día participar en una lotería en la que, si ganas, vas al cielo también para toda la eternidad y, si pierdes, te quedas como estabas, en el infierno para siempre jamás. El truco es que las probabilidades de ganar cambian cada día de la siguiente manera: si eliges que la lotería sea hoy la probabilidad de ganar es 1/2, si eliges que sea mañana pasará a ser 2/3, pasado mañana será 3/4, al día siguiente 4/5 y así sucesivamente. Como vemos, a medida que esperas la probabilidad de ganar aumenta. Permíteme que insista: la lotería es solo una vez, ganes o pierdas, ya no habrá más. Suponemos, habrá que decirlo, que el infierno te disgusta mucho (quema y eso) y el cielo te encanta (hay más atracciones aparte de estar tocando la lira).

La paradoja surge porque pareciera que siempre conviene esperar un día más. Por mucho que te disguste el infierno y te guste el cielo, esperar un día más supone estar un día en el infierno a cambio de un aumento de la probabilidad de estar infinitos días en el cielo. Por pequeño que sea este aumento, es un aumento y es por infinitos días. Claro que si siempre merece la pena esperar, entonces te quedas siempre en el infierno, cosa que tampoco quieres.

Este es el planteamiento. Hay quien lo relaciona con la apuesta de Pascal (podéis verlo aquí). Yo las veo muy distintas, pero de eso ya hablaré en otro momento. Ahora os dejo la paradoja para que le deis vueltas. En una próxima entrada explicaré la falacia y en otra daré la solución.

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Hace tres años en el blog: Preguntas últimas, preguntas siguientes.
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El dilema del tranvía

Hace unas semanas hablamos de los problemas de tranvías en el Otto Neurath y poco después acudí a un seminario del psicólogo Robert Kurzban, que los utiliza como ejemplo de su tesis sobre la mente modular. Me persiguen desde que me dedico a la teoría de los juegos, así que aquí va una entrada para ellos.

Un tranvía está en loca carrera sin frenos a punto de arrollar y matar con toda seguridad a un grupo de 10 personas. La única posibilidad de salvarlos es desviar el tranvía a otra vía en la que solo hay una persona, que también morirá irremediablemente si se hace ese desvío. ¿Qué harías si tuvieras la posibilidad de apretar el botón que active el desvío?

Este tipo de problemas nos muestran que nuestras posiciones morales pudieran no tener una buena justificación.

Esto último es así porque está documentado en experimento tras experimento (mentales, claro, nunca se mata a nadie) que las respuestas a la pregunta crucial depende de variables aparentemente irrelevantes.

Por ejemplo, la respuesta varía si la persona a la que sacrificar es un trabajador de la compañía que hace su trabajo reparando la vía o es una persona que camina irresponsablemente por ella, o si en lugar de desviar el tranvía lo que se puede hacer es arrojar a una persona desde un puente para que caiga delante del tranvía y lo haga descarrilar, o si no se sabe en qué posición está el interruptor que hace desviarse al tranvía, pero se puede dar la orden de que se quede en la que queremos, y así infinitas variaciones del tema.

¿Por qué habría de cambiar la respuesta? ¿Qué tal si esas 10 personas son ciudadanos en un hospital que morirán si no reciben un transplante y la persona que puede salvarlos y morir al donar sus órganos es un ciudadano cualquiera? En todos los casos se trata de 10 vidas frente a una.

Esta es mi postura ante el problema del tranvía. Por una parte debo decir que si el dilema es exactamente como se describe en cada problema, entonces la decisión debe ser la misma en todos ellos. El problema, a mi entender, radica en que no hay manera de pensar ninguno de los problemas en su descripción exacta. Me pasa lo mismo que cuando intento explicar el equilibrio en un juego. Logro ser más convincente cuando exagero hasta el ridículo el contexto del juego: dos personas nacen, juegan el juego, son lo felices que les toque ser según el resultado y se mueren. Ese es todo su universo. En esas circunstancias es más aceptable el equilibrio. Claro que esas son exactamente las circunstancias del modelo, pero es claro también que no existen de esa manera en el mundo real.

Pienso que nos ocurre los mismo con los problemas de tranvías. Tomados al pie de la letra requieren una solución única, tomados en contexto –y cada uno es libre o esclavo de sus instintos de montarse un contexto- pueden estar pidiendo a gritos soluciones distintas.

Una sociedad que sacrifique al azar un ciudadano para donar sus órganos es poco apetecible y poco viable. Sospechosamente, los órganos de los familiares de los ministros o de los médicos se verán poco en el quirófano, los ciudadanos dedicarán grandes recursos a esconderse de las patrullas que buscan donante, .... Este tipo de arbitrariedades, con sus costes añadidos puede estar detrás de una regla impresa en nuestro cerebro que diga que es una mala manera de decidir. Otras reglas, tal vez justificadas, tal vez confundidas, pueden estar detrás de reacciones distintas en las otras versiones del problema.

La Teoría de Juegos y el dilema discursivo (2)

Esta es la segunda parte de la versión en español de mi artículo de mayo en Mapping Ignorance. Debe leerse la primera parte para entender esta.

Clipper y Eliaz (2015) [2] usan los juegos bayesianos para desarrollar su análisis. Esto significa que las distintas creencias de los miembros del jurado se deben a que cada miembro tiene acceso a distinta información. En el modelo bayesiano, ex-ante todos los miembros del jurado están de acuerdo en las probabilidades a priori de que cada premisa sea cierta. En un segundo momento cada miembro del jurado tiene acceso a una información privada (llamada señal) a partir de la cual pueden actualizar sus creencias de acuerdo con la regla de Bayes. Como cada uno puede recibir información distinta, los tres miembros pueden acabar con distintas creencias acerca de las premisas. En el modelo de Clipper y Eliaz (2015) la señal está restringida a los valores 0 y 1 para cada una de las premisas y las reglas de decisión comprenden todas la reglas super-mayoritarias (una proposición es aceptada si una mayoría cualificada de los votantes están de acuerdo en que es cierta, donde el valor cualificación puede ser cualquier proporción de votantes entre la mitad, para una mayoría simple, hasta la casi unanimidad).

Expliquemos esto con el ejemplo primero. Hay cuatro posibilidades para el verdadero estado: (1,1), (1,0), (0,1) y (0,0), donde un 1 en la primera posición de la señal significa “la primera premisa es cierta”. Un cero significa “falsa”, y la segunda posición se refiere a la segunda premisa. Hay una probabilidad a priori de que cada uno de estos estados posibles sea cierto y los tres miembros del jurado conocen estas probabilidades. A partir de ahí cada miembro recibe una señal sobre el estado. En el caso más simple hay tantas señales como estados. El primer miembro del jurado recibirá una señal correcta o incorrecta con unas probabilidades. Por ejemplo, si el estado verdadero es (1,1), puede recibir la señal (1,1) con probabilidad 0,7, la señal (1,0) con probabilidad 0,2 y cada una de las señales (0,1) y (0,0) con probabilidad 0,05. Los otros dos miembros recibirán sus señales con sus propias probabilidades. Cada miembro del jurado desconoce las señales que reciben los otros, pero sabe las probabilidades. Usando la regla de Bayes, cada miembro del jurado puede calcular la probabilidad de que cada premisa sea cierta y puede también calcular la probabilidad que cada uno de los otros miembros asignará a cada premisa dependiendo de qué señales reciben.

En el juego de la premisas, después de recibir las señales, los miembros votan sí o no a cada proposición de la forma “la premisa x es cierta”. Según los votos, una premisa se declarará cierta o falsa. En el juego de los resultados, votan a favor o en contra de la aceptar la conclusión lógica. En ambos casos cada miembro del jurado quiere minimizar la distancia esperada entre la decisión y el estado verdadero. Por ejemplo, si el estado verdadero implique que el candidato debe ser aceptado (1), pero en equilibrio se acepta solo con probabilidad 0,6, la distancia será 1-0,6=0,4. Por supuesto, los miembros no saben si el estado cierto implica que el candidato deba ser aceptado, pero pueden calcular las probabilidades de acuerdo con las señales recibidas y, a partir de ahí, calcular el valor verdadero esperado y la distancia esperada entre el equilibrio y el este valor.

En el modelo, los autores logran probar los siguientes teoremas:

1. Para cada grupo finito de individuos, recabar opiniones sobre las premisas es sistemáticamente por lo menos tan bueno como recabarlas sobre los resultados, pero lo contrario no es cierto. Para ser más precisos, la primera parte dice que para cada equilibrio de Nash bayesiano simétrico en el juego basado en resultados existe un equilibrio de Nash bayesiano en el juego basado en premisas tal que, par cada vector de realizaciones de la señal, el perfil estratégico del segundo juego induce la misma distribución de probabilidad sobre las decisiones que el primero.
2. Genéricamente, las ganancias del juego basado en las premisas sobre el juego basado en el resultado solo pueden llegar a ser marginales cuando muchos individuos expresan su opinión independientemente.
3. Ambos procedimientos son casi siempre eficientes asintóticamente.

En lenguaje llano, la conclusión puede resumirse así: a pesar de que el método basado en las premisas es mejor que el basado en los resultados, solo lo es de manera marginal, puesto que ambos métodos tienden a ser eficientes cuando el número de miembros aumenta, excepto en casos extremadamente raros.

Referencias:

2. de Clippel, G., and Eliaz, K. 2015. Premise-based versus outcome-based information aggregation. Games and Economic Behavior 89, 34–42. 

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Hace tres años en el blog: Alemania-Grecia.
Hace cinco años en el blog: El que quiera entender que entienda.
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La Teoría de Juegos y el dilema discursivo (1)

Esta es la primera parte de la versión en español de mi artículo de mayo en Mapping Ignorance.

He aquí un ejemplo del “dilema discursivo” o “paradoja doctrinal”: Pongamos que hay un jurado de tres miembros que deben decidir mayoría si un candidato debe ser aceptado en un grupo. Las reglas especifican que el candidato debe cumplir dos requisitos, A y B, para ser aceptado. El primer miembro del jurado cree que el candidato cumple ambos requisitos, el segundo miembro cree que solo cumple el A, mientras que el tercero cree que solo cumple B. La paradoja aparece cuando uno compara dos métodos diferentes para decidir la admisión del candidato.

El primer método requiere que el jurado vote sobre si el candidato cumple el requisito A y, a continuación, sobre si cumple el B. Si el candidato obtiene una mayoría en ambas votaciones, será aceptado. Dos de los tres miembros creen que se satisface la condición A (el primero y el segundo así lo creen), y también dos de tres creen que se satisface la condición B (ahora lo creen el primero y el tercero). De acuerdo con este método el candidato es aceptado.

El segundo método requiere que el jurado vote directamente si piensa que el candidato debe ser aceptado. Ahora solamente el primer miembro piensa que se cumplen ambas condiciones y votará a favor. Los otros dos, al creer que una de las dos condiciones no se cumplen, votarán en contra.

Podemos entender los dos métodos de votación como dos maneras diferentes de agregar información. La paradoja muestra que la regla mayoritaria da resultados inconsistentes cuando agrega información sobre las premisas frente a la situación cuando agrega las conclusiones. En el ejemplo, la conclusión se sigue de la conjunción de las premisas, pero se podrían usar otras proposiciones lógicas para mostrar la paradoja. Más aún, numerosos resultados han mostrado que este no es un problema especial de la regla mayoritaria. De hecho, estos resultados muestran que es imposible encontrar un método de agregación que ofrece juicios lógicamente consistentes, esto es, que dan el mismo resultado sin importar sin se agregan premisas o conclusiones. Para obtener un panorama de sobre estos resultados léase List y Puppe (2009) [1].

Dada la imposibilidad de encontrar consistencia, la siguiente cuestión es saber qué procedimiento, agregar opiniones acerca de premisas o resultados, es la mejor. Para enfrentarse a este problema, lo primero que se necesita es especificar qué significa “mejor”. Clippel y Eliaz (2015) [2] comparan ambos procedimientos en términos de su capacidad para agregar información en presencia de individuos que toman decisiones estratégicas y que tienen intereses comunes. Contrariamente a lo que se asumía en el ejemplo introductorio, los individuos estratégicos pueden votar o no de acuerdo con su información privada (la literatura sobre votaciones está llena de ejemplos en que los votantes no lo hacen). El interés común significa que todos los votantes quieren lo mismo: agregar la información y generar una correcta conclusión a partir de premisas correctas. In nuestro ejemplo eso significaría que los tres miembros del jurado quieren que el candidato sea aceptado si se cumplen las premisas y quieren saber si estas premisas se cumplen verdaderamente. Las consideraciones estratégicas en la paradoja doctrinal han sido estudiadas por primera vez en Dietrich y List (2007) [3], pero solo para agregadores por unanimidad (donde todas la premisas deben ser ciertas para que se cumpla la conclusión).

Referencias:

1. List, C., and Puppe, C. 2009. Judgement aggregation. In Handbook of Rational and Social Choice, pp. 457–483. Chapter 19.

2. de Clippel, G., and Eliaz, K. 2015. Premise-based versus outcome-based information aggregation. Games and Economic Behavior 89, 34–42. 

3. Dietrich, F., and List, C. 2007. Strategy-proof judgment aggregation. Economics and Philosophy 23, 269–300.

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Hace tres años en el blog: Sobre el nacionalismo (2).
Y también: Economistas contra la crisis y el hombre de paja.
Hace cinco años en el blog: ¿El 99%?
Y también: O ano da morte de José Saramago.
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Greguerías filosóficas

Debo el título a @ptarra, que así llamó a estas ocurrencias tuiteras de ayer. Las dos primeras son de Saturday Morning Breakfast Cereal e inspiraron las demás:

-Has leído la paradoja d Zenón?
-No puedo: antes d llegar al final debo pasar x la mitad, y antes, x la mitad d la mitad y así sucesivamente

-Conoces el mito de la caverna de Platón?
-Apenas unas nociones difusas y esquemáticas.

-¿Crees que el método de Descartes es correcto?
-Lo dudo.

-Haznos un comentario sobre el Tractatus de Wittgenstein.
-Mejor me callo.

-¿Me puedes explicar con detalle las tesis de la Dialéctica?
-No. Mejor te hago una síntesis.

-¿Entra Kant en el examen?
-Categóricamente, sí.

-¿Me puedes explicar el existencialismo?
-¿Para qué? Te vas a morir antes de entenderlo.

-¿En qué consiste tu filosofía, Nietzsche?
-Deja de preguntar cosas con esa moral de esclavo y crea tu propia respuesta.

-¿Es correcta la paradoja del gato de Schrödinger?
-Pues sí y no.

-¿Me puedes explicar el utilitarismo?
-Si eso te hace feliz...

-¿Cuál es tu filosofía, Parménides?
-Siempre estás con la misma pregunta, nunca cambiarás.

-¿Me puedes repetir lo del río, Heráclito?
-Ese era el tema de ayer, hoy toca otro.

-Hija, te quiero explicar el libre albedrío.
-Vale, cuando acabe los deberes.
-Es que luego tengo que arreglar la lámpara.
-Pues mañana.
-Ok

-Me gusta la filosofía de Freud.
-¿De ese? ¡Pero si es un inconsciente!

-¿En qué piensas, Hobbes?
-¿Otra vez atosigando? Déjame en paz o te parto la cara.

-Data, ¿te has hecho ya el test de Turing?
-Sí, he dado falso positivo.
-¿Cómo sabes que es falso?
-Ooops!

-Oye, Epiménides, ¿es verdad que los griegos para decir "sí" decís "nai"?
-Nai.
-¡Ya sabía yo que no podía ser!

Tus parejas han tenido más parejas que tú

Esta es la llamada paradoja de la amistad, que paso a explicar.

Tengamos un grupo de 10 personas numeradas del 1 al 10. Del 1 al 9 todas tienen como amigo al 10 y a nadie más que el 10, mientras que el 10 tiene como amigos a todos (suponemos que la amistad siempre es recíproca). De esta manera hay 9 personas que tienen un amigo y una persona que tiene 9, La media de amistades es (9x1+1x9)/10 = 1,8.

Pero si ahora contamos la media que tienen los amigos de estas 10 personas la cosa cambia. Del 1 al 9 tienen amigos cuya media de amistades es 9 (su único amigo es el 10, que tiene 9 amigos). La media de amigos de los amigos del 10 es 1. Así que la media de amigos que tienen los amigos de este grupo es (9x9+1x1)/10 = 8,2.

Esto es así con cualquier manera en que puedan ser las relaciones de amistad mientras haya alguien que tenga más amigos que los demás. La razón, creo que se ve claro, es que es más probable ser amigo de alguien que tiene muchos amigos que de alguien que tiene pocos. También vemos que, en la media de amistades de amigos, la persona número 10 aparece muchas veces (en cada una de las personas del 1 al 9).

Por supuesto es una media estadística que se cumple en términos generales, no para todos los casos. En el ejemplo tenemos 9 personas cuyos amigos tienen más amigos que ellas de media, mientras que tenemos a una persona cuyos amigos tienen menos amigos que ella.

Así que ya sabéis, lo más probable es que se cumplan estas proposiciones, siempre en promedio (léase en voz alta para mayor escarnio propio):

-Mis amigos tienen más amigos que yo.

-Mis parejas han tenido más parejas que yo.

-Mis conexiones de linkedin tienen más conexiones que yo.

-Mis familiares tienen más familiares que yo.

-Aquellos a quienes sigo en twitter tienen más seguidores que yo.

-Los blogs en los que comento reciben más comentarios que el mío.

-Los escritores que leo tienen más lectores que yo.

Después del escarnio propio, veamos el lado reconfortante. Si bien es cierto que, en media, mis amigos tienen más amigos, no es cierto que la mayoría de la gente tenga más amigos que yo. Ocurre muy a menudo que son esos pocos amigos muy populares los que hacen subir la media. En nuestro ejemplo vemos que la mayoría de las personas de 1 a 9 tienen el mismo número de amigos, mientras que solo uno (el 10) tiene más.

Si nos tomamos la molestia de repetir las operaciones con el grupo de la figura veremos que la media de amigos es 2,85, mientras que la media de amigos de los amigos es 3,39. Sin embargo, para la gran mayoría de los 20 del grupo se cumple que el número de amistades con más amigos que uno mismo es una minoría.

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Hace tres años en el blog: O ano da morte de José Saramago.

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Al monte se va con botas. La paradoja de Moore.

Nos recuerda Jesús, en su barco, la paradoja de Moore. Hela aquí en sus términos:

Considérense estas dos proposiciones, "Grecia saldrá del euro antes de 2015" y "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro antes de 2012". ¿Son estas dos proposiciones lógicamente contradictorias? No, porque AMBAS pueden ser verdaderas a la vez. En cambio, supongamos que Solbes dice "Grecia saldrá del euro antes de 2015, pero yo creo que no". Esto sí que suena a paradoja, o sea, a autocontradicción, ¿verdad? Pero, ¿Cómo puede uno cometer una contradicción afirmando dos proposiciones que no son contradictorias?

Esta es mi contestación:

Querer manejar saberes y creencias con solo lógica proposicional nos lleva a eso. Al monte se va con botas, y para manejar creencias hacen falta más cosas. Hay varias maneras, uno puede definir varios operadores, uno que signifique "saber" y otro "creer", con axiomas distintos, pero eso es en general bastante insatisfactorio. En alguna parte debería entrar la incertidumbre que separe creencias de saberes. Si no, acaban siendo lo mismo y entonces las dos proposiciones primeras sí son contradictorias. Una vez que introducimos incertidumbre tenemos probabilidades y todo lo que eso conlleva (en particular el no liarse con la lógica proposicional para hacerle decir lo que no dice).

Una manera (no la única) de tener un modelo formal del asunto sería lo siguiente:

Ejemplo bayesiano de modelización: Antes de tener ninguna información, Grecia saldrá del euro o no con probabilidades 1/3, 2/3, respectivamente. En estas condiciones Sobes cree que no saldrá (la probabilidad es mayor).

Ahora puede haber una información que indique que la situación de Grecia es peor de lo que se pensaba, de manera que la probabilidad de que salga del euro antes de esa fecha es del 100%, pero Solbes ignora esa nueva información. Claramente se cumple que "Grecia saldrá del euro..." y que "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro...".

En cambio, si Solbes dice "Grecia saldrá ... y yo creo que Grecia no saldrá..." estará incurriendo en contradicción, pues si tiene información para afirmar lo primero no puede afirmar también lo segundo. Por lo menos, no para cualquier sentido razonable que asignemos a esas proposiciones.

El verdadero problema es el de buscar una manera interesante y rigurosa de definir "saber" y "creer". Sostengo que esa manera interesante debe incluir considerar probabilidades y que todas las discusiones desde la lógica proposicional que las ignore están abocadas a la confusión. Una vez tengamos esto podremos resolver la paradoja. También podremos tener definiciones que la mantengan, pero tal vez no sean las interesantes.

Atrevida ignorancia

Una alumna me llama la atención por el artículo en El País sobre el anumerismo. Entre otras cosas se citan varios ejemplos de cómo el analfabetismo numérico nos puede hacer tomar malas decisiones. En particular se trata el famoso caso de las tres puertas, conocido como el problema de Monty Hall. Aquí lo expliqué con cierto detalle.

No interesa repetirlo ahora. Basta con decir que la respuesta al problema es una, mientras que la que parece intuitiva a la inmensa mayoría de la gente es otra. Hasta aquí todo bien, una paradoja más. Lo curioso es que el artículo de El País tiene más de 600 comentarios, la mayoría discusiones en torno a qué respuesta es la buena.

Llegados a este punto, uno (yo) no sabe qué pensar. Razonar una respuesta en ese problema requiere unos conocimientos mínimos de probabilidades. Quienes intentan razonar la respuesta intuitiva no tienen tales conocimientos. Si los tuvieran, habrían entendido la explicación correcta. Es más, lo más seguro es que ya la conocerían, puesto que el problema es un clásico en probabilidad y se enseña en todas partes. Así las cosas, ¿por qué tanta gente razona, hasta enfadada y con malas palabras, que la respuesta buena es la equivocada?

1. ¿Acaso no saben que sus conocimientos de probabilidad son muy limitados? (Atrevida ignorancia).

2. ¿Acaso creen que todos los que sí saben de probabilidad están engañados?

3. ¿Por qué no dedican unos segundos a buscar en google algo sobre el tema? Les hará ver, por lo menos, que los que se empeñan en mostrarles la solución correcta en los comentarios de El País no son unos locos que pasaban por ahí.

4. ¿Son gente a la que les importa un bledo la respuesta y solo quieren llamar la atención?

5. ¿Alguna otra sugerencia?