La Teoría de los Juegos. La Historia Más Lúdica Jamás Contada. Parte 3.

Un interludio de mucha utilidad

Convendrá aclarar algunas cosas si hemos de hablar de incertidumbre. Sin saber lo que harán los demás jugadores y sin saber lo que nos depara el futuro en el juego, incertidumbre es lo que nos espera. En el libro que presentó la Teoría de los Juegos en sociedad, sus autores, conscientes de ello, desarrollaron la Teoría de la Utilidad Esperada. Entendiendo que no era más que un instrumento para su Teoría de los Juegos, no le dieron gran importancia, relegándola a casi una nota a pie de página. Sin embargo, esta teoría es una de las más bellas y útiles construcciones pensadas por la mente humana.

Todo empezó con el concepto de utilidad como una medida de la felicidad de los seres humanos. Los orígenes de este concepto están en los utilitaristas como Bentham y Stuart Mill. Recordemos que estamos en la época en que la ciencia empezaba a medirlo todo, desde la presión atmosférica hasta la cantidad de calor. Así que, ¿por qué no la felicidad?

Proponiendo el “útil” como la unidad de medida tenía sentido hablar, no sólo de que una persona tiene más utilidad en una situación que en otra, sino que está “el doble” de feliz o que está más feliz que otra, o que una sociedad es más feliz que otra. No hay más que sumar útiles.

Pero estos son los orígenes. El concepto de utilidad de hoy día nada tiene que ver con esa idea. La recordamos aquí por su interés histórico y para que no se confundan las cosas. La Teoría Moderna de la Utilidad dice lo siguiente:

Las preferencias de los individuos están definidas sobre lo que se llama cestas de consumo. Por ejemplo, la señora A prefiere la cesta que contiene un coche de la marca B, dos kilos de naranjas y acudir a un concierto del cantante C antes que la contiene dos motos, una raya de coca y una noche en la ópera. Se trata, aclaremos, de preferencias sobre el consumo directo. Si la cesta segunda tiene más valor en el mercado, la querrá sobre la otra, pues la puede vender y comprar la primera, que le gusta más, y quedarse con un dinerillo extra. Pero no es de esto de lo que hablamos. Hablamos de qué prefieres para comer, no para vender.

Ocurre que las preferencias son, matemáticamente, una relación binaria, como “ser hermano de” o “ser más alto que”. La relación es “ser más preferido que”. Si recordamos las matemáticas del Instituto, recordaremos que las relaciones binarias podían tener o no algunas propiedades (¿nos acordamos de aquellas famosas: reflexiva, simétrica y transitiva?). Pues bien, diremos que las preferencias son racionales si son completas y transitivas:

• Completas: Entre dos cestas de bienes, sabemos cuál preferimos (o si estamos indiferentes).
  
• Transitivas: Si prefiero A a B y B a C, entonces prefiero A a C.
  

Lo interesante del asunto es que es matemáticamente equivalente hablar de preferencias racionales que de una función de utilidad. Esta función da un valor más alto a las cestas de bienes más preferidas. Nada más, pues no hay tal cosa como ser el doble de útil, o que una persona tenga más utilidad que otra. Nada menos, pues permite pasar del lenguaje de las relaciones binarias (¿quién se acuerda?) al lenguaje de las funciones, que dan mucho más juego en matemáticas.

No acaba aquí la cosa, puesto que nos falta meter la incertidumbre, y esto es lo que hicieron von Neumann y Morgenstern. Los objetos sobre los que se tienen preferencias no serán cestas de bienes, sino loterías sobre cestas de bienes. Me explico: una lotería sobre varias cestas de bienes significa echar a suertes cuál de las cestas tendré. Una situación de incertidumbre es precisamente eso, no saber cuál será tu situación con precisión. Con cierta probabilidad tengo mi casa y mi coche, con cierta otra se me quema la casa, con otra me roban el coche, con otra ambas cosas,… Una vez especificadas y listadas las posibles cestas de bienes, basta con especificar la probabilidad de cada una.

Las preferencias en situaciones de incertidumbre serán relaciones binarias entre loterías, y podremos pedir también que sean racionales. Pero como las probabilidades son un objeto matemático con cierta estructura (cada probabilidad está entre cero y uno y la suma de todas debe ser uno), seguramente podamos pedir más estructura (más propiedades) a las preferencias sobre loterías. Pediremos que satisfagan la propiedad de:

• Independencia: Las preferencias entre dos loterías solo dependen de las cosas que no son comunes a ambas. Por ejemplo, si ambas ofrecen un mismo premio con probabilidad 1/3, pero con probabilidad 2/3 una lotería ofrece A y la otra ofrece B. Todo dependerá de las preferencias entre A a B para elegir una lotería u otra.
  

Pues bien, sucede que, con esta nueva propiedad, tener preferencias en situaciones de incertidumbre es matemáticamente equivalente a tener una función de utilidad esperada que calcula las utilidades de las loterías como la media de las utilidades de los premios. Sencillo y elegante. Y sumamente apropiado para analizar juegos.

Además de este tipo de preferencias pediremos que los individuos, para acabar de ser racionales del todo, busquen alcanzar el valor más alto en sus funciones de utilidad. Fijémonos que no hemos sido especialmente puntillosos sobre el objeto del deseo. Puede ser dinero, coches, comida, hijos, compañía, igualdad social o un poco de todo. Cualquiera de estas cosas es permisible meter en las preferencias.