La paradoja de Curry

 Hilo, ligeramente editado, de hace unas semanas.

1/7

Hablemos de la paradoja de Curry y las formalizaciones ingenuas.

Consideremos la frase:

«Si no me equivoco, 2+2=5».

Razonemos un poco:

La frase es cierta, por lo tanto no me equivoco, por lo tanto 2+2=5.

¿Dónde está el fallo?

2/7

Eso, ¿dónde está el fallo?

En que hay dos niveles de referencia al error.

1: La frase significa:

«Si no me equivoco al decir que 2+2=5, entonces 2+2=5»

Esto es cierto y es equivalente a la frase original. No implica que 2+2=5.

3/7

2: Por ambigüedad, a la frase se le hace decir:

«Como es cierto que "Si no me equivoco al decir que 2+2=5, entonces 2+2=5", entonces 2+2=5».

Esto es falso y es lo que se quiere hacer pasar por argumento para expresar la paradoja. Es el razonamiento del primer tuit, pero no es lo que, obviamente, se entiende al enunciar la frase original.

4/7

Todo lo anterior está perfectamente claro tal como lo he expresado (eso espero). Sin embargo, la paradoja ha dado muchos quebraderos de cabeza. ¿Por qué?

5/7

No porque no se supiera qué había de mal en ella, sino porque no estaba claro cómo expresarla lógicamente, de manera que se pudiera mostrar formalmente dónde estaba el error del razonamiento.

6/7

De hecho, la expresión más usada de la paradoja es «Si esta frase es cierta, entonces X», donde X es cualquier cosa que a cada quien se le ocurriera. El problema estaba en captar esa autorreferencia.

7/7

Las formalizaciones lógicas ingenuas (que no distinguen los dos niveles de referencia al error) permitían (aparentemente) demostrar cualquier proposición X.

Es que hay que tener cuidado con las formalizaciones ingenuas. Podéis haceros una idea de los intentos (y los problemas) de formalizar la paradoja en la wikipedia en inglés (aquí).

Y eso es lo que quería contar.