lunes, 25 de octubre de 2010

Para qué sirve la media geométrica o por qué la Wikipedia en español es una kk



En las entradas anteriores veíamos cómo nos fallaba la intuición para manejarnos con un concepto tal sencillo como el de la media aritmética. Si recordamos nuestras clases de matemáticas en el bachillerato recordaremos que nos hablaban también de otra media, la geométrica.

La media geométrica de n números es la raíz enésima de su producto. ¿Para qué sirve eso? No recuerdo ningún libro de texto en que se explicara eso. La tradición continúa en nuestra lamentable Wikipedia en castellano.

No cunda el desánimo, aquí estamos para todo lo que sea verdad, incluso si se trata de la verdad de la media geométrica. La presentaré con tres ejemplos de los que el segundo es el que me gusta más.

Ejemplo primero: Tenemos un rectángulo de lados dos y ocho. La media geométrica será la raíz cuadrada de 2x8, o sea, 4. ¿Y qué? Pues que un cuadrado de lado 4 tiene la misma área que un rectángulo de lados 2 y 8. Hemos hecho una media geométrica de los lados del rectángulo para dar con un cuadrado de igual área.

Ejemplo segundo: Tenemos un país donde hay tres habitantes, con rentas 1, 3 y 9. Pongamos que la felicidad se mide por el logaritmo de la renta (¿tontería? Véase aquí). Podemos preguntarnos ahora qué renta igualitaria daría la misma felicidad que ese reparto tan desigual. Podemos estar tentados a hacer la media aritmética entre 1, 3 y 9 y decir que será 4,33, pero estaría mal, pues habríamos calculado la renta media, no la felicidad media.

La media de la felicidad será la media de los logaritmos: (log1+log3+log9)/3. Repasando nuestras mates, esto es equivalente a log(1x3x9)1/3. Para calcular la renta R igualitaria que da esa misma felicidad tenemos que resolver log(RxRxR)1/3= log(1x3x9)1/3, que se queda en (RxRxR)1/3= (1x3x9)1/3, que se queda en RxRxR= 1x3x9, que se queda en R3= 1x3x9, que se queda en = raíz cúbica de (1x3x9), que se queda en= raíz cúbica de 27 = 3.

Supongo que queda claro que esas últimas operaciones son las del cálculo de la media geométrica de los números 1, 3 y 9.

Ejemplo tercero: El precio de una vivienda crece un 10% un año, baja el 5% el siguiente y sube otro 15% el tercero. ¿Cuánto ha crecido de media cada año?

Si valía, por ejemplo, 100, al cabo del primer año valdrá 100x(1+0,1)=110, al cabo del segundo año valdrá 100x(1+0,1)x(1-0,05) y al cabo del tercero, 100x(1+0,1)x(1-0,05)x(1+0,15). Se trata de buscar un factor de crecimiento que pase del primer valor al último de manera constante: 100xFxFxF. Este factor debe cumplir: F3=(1+0,1)x(1-0,05)x(1+0,15). Es decir, que F es la media geométrica de los valores (1+0,1), (1-0,05) y (1+0,15). Haciendo las operaciones nos da F=1,063, de manera que la tasa media de crecimiento del valor de la casa durante esos tres años es el 6,3% (fijémonos que ese número es menor que la media aritmética de las tasas de crecimiento, que sería 6,66%).

Para terminar y mostrar que, efectivamente, la Wikipedia española es una kk, véase la entrada de la geometric mean en la versión inglesa. Así da gusto.


Te interesará también esta entrada sobre la media armónica, muy útil para viajar.

27 comentarios:

  1. Estimado José Luis, hablas como si la wikipedia la escribiera el gobierno. ¿No se te ha ocurrido que en el tiempo en el que escribías este post podías arreglar esa entrada? A lo mejor la wikipedia española es una kk porque los españoles preferimos quejarnos a construir...

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  2. Pues no te falta razón, pero no me siento con ánimos, que son muchas las inexactitudes que le he pillado. Algunos colegas míos dedican un rato a arreglar entradas y los admiro por eso. Yo, con el blog tengo bastante, que ya la familia me dice que le dedico más tiempo que a ellos.

    En cualquier caso, no me parece tan malo lo incompleto como lo inexacto o falso, por moderar mi apreciación en este caso. Miraré de poner ejemplos encomiables en el futuro.

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  3. Lo de la familia lo comprendo perfectamente. Ahora mismo voy a apagar el portátil.

    Y si encuentras un enlace en ese artículo de la wiki a este post, no pienses que he sido yo :-)

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  4. Experiencia personal:

    Recientemente realicé un estudio para un área de negocio de mi empresa en la que tuve que medir tiempos asociados a una serie de procesos y construir un modelo (cuyos detalles no vienen al caso) para el que necesitaba los promedios de dichos tiempos.

    Decidí utilizar la media geométrica para caracterizar los tiempos promedio, básicamente para tener en cuenta los valores extremos pero no permitir que me distorsionaran en exceso el promedio. Para mi sorpresa y regocijo, mis interlocutores quedaron muy impresionados, como si estuviera utilizando matemáticas avanzadas... lo cual demuestra que la media geométrica no es de uso muy común al menos en la vida diaria...

    Lo importante de todo esto (de ahí la anécdota personal) es que la elección de la media aritmética, geométrica, mediana o moda para promediar una serie de medidas (o de cualquier otro concepto estadístico para cualquier propósito) no es trivial y debe responder a una buena razón que es necesario explicar. Yo podía haber elegido la mediana para descartar los valores extremos, pero me interesaba tenerlos en cuenta y que mis interlocutores supieran que los estaba teniendo en cuenta, aunque no estaba permitiendo una gran distorsión en la medida.

    A menudo los conceptos estadísticos se utilizan muy a la ligera, bien por ignorancia o bien con intención de manipular los resultados. Cada elección de un parámetro en un modelo debe ser justificado. Esto puede parecer trivial en el mundo académico, pero en el mundo de la empresa, en el que yo me muevo, he visto auténticas aberraciones...

    Saludos.

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  5. No sabía que matemáticamente podemos calcular la media de felicidad de una sociedad.

    Interesante lo que apuntas sobre la media geométrica.

    Puntos de nuevo para tu blog.

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  6. Ender:

    Gracias por traernos acá tu experiencia.

    soy:

    Nunca te acostarás...

    ...y gracias por los puntos.

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  7. ¡Muy interesante! La media geométrica también se usa para definir la serie ISO C de formatos de papel: http://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size

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  8. Bienvenido al blog y gracias por la información.

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  9. Me parecen muy buenos los ejemplitos ya que relacionan algo existente como la busqueda de patrones esta la del cuadrado y rectangulo a partir de la media geometrica.

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  10. Me parecen muy buenos y claros los ejemplitos, creo q asi es una buena manera de explicar las cosas es decir haciendo referencia a algo existente como la busqueda de patrones en la misma naturaleza, me parecio muy buena la relacion de la media geometrica aplicada a los rectangulos y cuadrados del ejemplo 1.

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  11. ¿Es correcto usar la media geométrica para calcular notas de un alumno?
    Mi profesor lo hace y es el único en mi vida que lo ha hecho.

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    1. No veo qué propiedad de la media geométrica puede estar considerando deseable y queriendo aprovechar. En general estará penalizando las notas más altas y dando más peso a las más bajas.

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    2. La media geométrica penaliza la dispersión y el abandono. Si tu tienes un 10 en un examen, con la media aritmética te puedes relajar en el siguiente que ya estás aprobado... (10+0)/2 = 5; sin embargo, con la media geométrica, esa estrategia te provocará una desagradable "sorpresa". Cuánto más dispersión hay entre los datos, la media geométrica es menor a la correspondiente media aritmética. En nuestro ejemplo, sólo sacarías un 5, cuando en ambas pruebas obtuvieras un 5; si sacas un 6 y un 4, la calificación sería ya de 4,89 ..., con un 8 y un 2, la nota es un 4,...
      La reflexión pedagógica que te planteo es la siguiente, ¿Es igual que un alumno saque un 8 y un 2, a que obtenga dos 5? Para mi, no. Si existe relación en los contenidos, las grandes dispersiones en las calificaciones de un alumno han de explicarse por causas 'externas' (quizás copió en el bueno, quizás no ha podido estudiar en el malo - problemas familiares, desmotivación,...-
      La naturaleza del conocimiento es acumulativa, así que en este tipo de datos - como en el ejemplo de los porcentajes - lo suyo es utilizar la media geométrica-. No se utiliza mucho por varias razones. En primer lugar, es una gran desconocida, es un concepto difícil de asimilar - si me apuras tu le dices a un grupo de profesores que haga la media del ejemplo tercero, y muy pocos apuntarían que por la naturaleza de los datos no puede aplicarse la media aritmética; en segundo lugar, su cálculo no resulta tan simple como la aritmética (aunque con la hoja de cálculo es igual de sencilla) y, finalmente, es algo desalentadora, ya que los resultados son casi siempre inferiores a la media aritmética, parece como dice José Luis que se penalizan las notas altas y, por otra parte, resta motivación al esfuerzo al alumno que -por razones diversas - ha obtenido algún fracaso (imaginemos el alumno que ha sacado un cero en una prueba, quizás porque no pudiera estudiar en casa al asistir a una discusión violenta entre padres, o cualquier otro problema -a saber que ocurre en las casas de nuestros alumnos-).

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  12. Él dice que con eso ve el esfuerzo del alumno, pero para mí que son excusas. Para esfuerzo el que se debe mostrar en clase y el estudio en los exámenes. Y para culmo, en 2° de bach.

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    1. Decir "con eso se ve el esfuerzo del alumno" no es decir nada. Si se quiere justificar el uso de la media geométrica en esos términos deberá esgrimir un argumento que ligue ambas cosas, la medida del esfuerzo y la media geométrica. Juntar ambos conceptos en una frase no es argumentar.

      No te líes con lo del esfuerzo y el estudio. Al final el profesor medirá las notas (de clase, pruebas y exámenes) y deberá agregarlas de una manera.

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    1. Lo sé, ya he hablado de eso en un comentario anterior.

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  14. «Podemos estar tentados a hacer la media aritmética entre 1, 3 y 9 y decir que será 3,33, pero estaría mal, pues habríamos calculado la renta media, no la felicidad media.»

    ¿Tal vez 4,33?

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    1. Gracias, anónimo. Esta es una de las entradas más visitadas y hasta ahora nadie lo había hecho notar. Ahora lo corrijo.

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  15. Muy interesante entrada... gracias por el aporte

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  16. Me encantó el primer ejemplo, me explotó la cabeza con lo sencillo que fue, muchas gracias por sacarme de la ignorancia.

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  17. No sabía que se puede "medir la felicidad" y mucho menos con una función logaritmica. Yo siempre creí que eso forma parte de la Seudociencia.

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    1. Tal vez "medir la felicidad" sea exagerado, pero las respuestas a la pregunta sobre la sensación subjetiva de felicidad resultan tener esa característica.

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    2. Pero quizas haya otras funciones más adecuadas a los datos y por lo cierto ¿Cuál es el valor de R cuadrado?

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    3. No sé el R2, mira la referencia a ver. Es posible que otras funciones sean más adecuadas, pero da la impresión de que será alguna con propiedades parecidas.

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  18. En la referencia no hay esa información.

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