Punto Fijo (2)

Edurne Pasaban, cuando no está subiendo ochomiles, se va al monte que tiene cerca de casa. Sale el sábado a las 7 de la mañana y llega a la cima a las 7 de la tarde. Duerme en el refugio y, de nuevo a las siete de la mañana, sale para su casa, adonde llega otra vez a las 7 de la tarde. Habrá un momento del domingo en que esté en el mismo sitio y a la misma hora que estaba el sábado. Esas coordenadas espacio-temporales son un punto fijo de la excursión de Edurne. Hay una demostración sencillísima de este hecho, que queda para animar los comentarios.

Estamos en Bilbao y, con nuestro mapamundi de la ciudad en la mano, vamos viendo los distintos lugares de la metrópolis. Aquí está San Mamés (en el mapa, claro, en la ciudad pilla más lejos), aquí el Guggenheim, aquí el Puente Colgante,… y aquí, justamente aquí, donde señalo en el mapa con la punta del lápiz, está el lugar en el que está la punta del lápiz en la ciudad. Hay un lugar, un punto fijo, en el mapa que se corresponde exactamente con el lugar en la ciudad.

El profesor de economía llega a clase con una taza de café en la mano. Se mueve despacio y cada molécula del café está en un sitio tranquilita (despreciemos el movimiento Browniano). Comienza a remover el café, sin salpicar y, cuando termina, habrá dejado una molécula, por lo menos, en el mismo sitio que estaba antes de empezar a darle a la cucharilla. También tiene el movimiento su punto fijo.

Nos sentamos en el coche y giramos el volante. A no ser que demos una vuelta entera, cada punto del volante quedará en un sitio distinto. No hay punto fijo. Si el volante no solo es el aro que agarramos con las manos, sino un disco, con su eje sobre el que gira, el eje sí será un punto fijo.

En muchos museos de ciencia suele haber una enorme esfera sobre una pieza cóncava con agua y sobre la que se mueve libremente. Los niños la mueven y mueven. Después de cada movimiento habrá, por lo menos, dos puntos de la superficie de la esfera que hayan vuelto a su posición de partida. Dos puntos fijos, señoras y señores.

Mi hija hace un dibujo en el ordenador e imprime dos copias. Deja una sobre la mesa, arruga la segunda y la deja caer sobre la primera. Habrá un punto fijo, un punto de la copia arrugada cuya proyección vertical cae exactamente sobre el mismo punto del dibujo en la copia sin arrugar.

En un juego, según qué estrategia creo que elija mi contrincante, así elegiré yo la mía. Claro que si yo estaba en lo cierto, mi contrincante podrá prever mi reacción y cambiará de estrategia, y yo después, y así hasta el infinito. O tal vez no, si se dan algunas condiciones sencillas en cómo es el juego, habrá un punto fijo, una combinación de estrategias tales que la reacción frente a ella es, para cada jugador, mantenerse en la misma estrategia. Ese punto fijo se llama equilibrio de Nash.

En un mercado, los agentes reaccionan ante los precios comprando o vendiendo según sus deseos. Estas reacciones hacen cambiar los precios, que implican nuevos planes de compra y venta. El precio de equilibrio mercado es un punto fijo, que es el resultado de los planes de todos los individuos y que a su vez provoca esos planes.

Todos esos puntos fijos son, matemáticamente, hijos de la misma madre.