¿Se puede elegir un número al azar?

O, dicho con más precisión: ¿es posible elegir un número al azar de manera que cada número tenga las mismas probabilidades de salir?

Si tengo un número finito de números, sí es posible. Cada uno puede ser elegido con probabilidad 1/n, donde "n" es el número de números que tengo. Puedo elegir entre 2, 4 y 8 (tres números) cada uno con probabilidad 1/3.

Si tengo un número infinito ya no es posible. No hay manera de elegir entre los números naturales 0, 1, 2, 3,.... de manera equiprobable. Si así fuera, no podría ser una probabilidad positiva, porque, al multiplicarla por infinitos números, daría infinito, y la probabilidad total debe sumar uno. No puede ser cero, porque, multiplicado por infinito no me da nada definido (no está definida la operación), y debería dar uno y no otra cosa.

Cuando, en la entrada anterior, Bruno suponía (era un suponer) que en su sobre había un 4 y asignaba las mismas probabilidades a que el otro sobre hubiera un 2 o un 8 no cometía ningún error. Eso podía ser perfectamente posible. Pero suponer que el mismo razonamiento lo podía hacer con cualquier otro número (que el otro sobre tuviera la mitad o el doble con iguales probabilidades) es ya imposible.

Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números ... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1.

No es difícil demostrar que, con cualquier distribución de probabilidades, la ganancia esperada de cambiar es exactamente la misma que de no cambiar. Podéis ver ejemplos sencillos en los últimos comentarios de Pedro Terán en la entrada anterior. También podéis leer mi explicación de hace unos años en una página de matemáticas recreativas.

¿Cambiamos sobres?

Silvia decide dar un premio a su amigo Bruno, y lo hace de la siguiente manera. Hay dos sobres, uno con el doble de dinero del otro. Para simplificar, pongamos que las cantidades pueden ser potencias de dos: …1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8,…

Bruno elije uno de los dos sobres y se dispone a ver su premio, cuando Silvia lo para y le da la oportunidad de cambiar. Bruno, en un primer momento ve esto absurdo. ¿Qué más dará un sobre que otro? Pero, luego, reflexiona de la siguiente manera:

“Si mi sobre tiene, digamos, 4 euros, el otro puede tener 8 o 2, que en media me da un número mayor, 5. Y lo mismo pasa con cualquier otra cantidad. ¡Vaya, vaya! Después de todo no es tan mala idea cambiar.”

¿Debe cambiar o es un absurdo? ¿Por qué?

La clave está en el porqué. Todos podemos tener una idea clara de cuál es la respuesta correcta, pero tal vez no sepamos decir exactamente la razón. De eso se trata en este acertijo, de dar buenas razones para tomar buenas decisiones.

No viajes sin la media armónica

Un tren va de Madrid a Barcelona, que están separadas por 600 km. Hasta Zaragoza, exactamente a la mitad del trayecto, va a 100 km/h y después acelera hasta 300 km/h. Otro tren sale de Barcelona a Madrid y va a 200 km/h. ¿Cuál llegará antes a su destino?

A bote pronto parece que llegarían igual, ¿no es acaso 200 la media entre 100 y 300? Un sencillo cálculo, sin embargo, nos dice que el primer tren tardará cuatro horas (tres hasta Zaragoza y una más hasta Barcelona) mientras que el segundo tardará solamente tres.

Esto nos abre dos cuestiones de interés:

1. ¿A qué velocidad constante debe ir el segundo tren para tardar lo mismo que el primero? La respuesta es dividir 600 km entre 4 horas, naturalmente, y eso da 150 km/h. Quien sepa sumar y dividir fracciones podrá ver fácilmente que esos 150 son la media armónica entre 100 y 300.

2. Esta confusión entre media aritmética y media armónica es especialmente peligrosa cuando se viaja. Uno va de A a B y se encuentra con tráfico denso durante la mitad del camino. Luego quiere recuperar el tiempo en la segunda mitad. Si pensábamos ir a una media de 120 y hemos ido solo a 100, no basta con ir luego a 140, habrá que ir bastante más rápido para compensar, y eso es fuente de inquietud y estrés, pues uno va a 140 y ve que no se cumple su plan. Mejor no hacer esos planes compensatorios, nos dice la media armónica.

Un turista tiene 600 euros y llega al país X, cuya moneda es el Peso. Primero cambia 300 euros a un tipo de cambio de 1 euro por 1 peso. Cuando va a cambiar los otros 300 resulta que le cambian a 3 euros por 1 peso (cosas de las fluctuaciones de los mercados de divisas). El turista hace un cálculo rápido y estima que el cambio medio que ha tenido es de 2 euros por 1 peso. Craso error, el cambio medio es la media armónica, no la aritmética, y es de 1,5 euros por 1 peso. Los cálculos son los mismos que los del ejemplo del tren.

Moraleja: Si vas a viajar no te olvides de la media armónica.

P.D.: Como siempre, lamentablemente, mejor en la wiki en inglés, llena de ejemplos.

Las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres

En la academia de pilotos Volare llevan las cosas manu militari. Los alumnos empiezan de cero y van aprendiendo, con sus altos y bajos. Al nuevo director se le ocurrió la idea de hacer un estudio para saber si un sistema de incentivos basado en premios es más efectivo que uno basado en castigos, de manera que dividió a los alumnos en dos grupos.

Cuando un alumno del primer grupo hace las cosas especialmente bien, recibe un premio; cuando uno del segundo grupo hace las cosas especialmente mal, recibe un castigo. Al cabo de unas semanas dispone de los siguientes datos:

• La gran mayoría de los alumnos que reciben un premio suelen hacer las cosas peor en los días siguientes.
• La gran mayoría de los alumnos que reciben un castigo suelen hacer las cosas mejor en los días siguientes.

Con estos datos en la mano, el director concluye que el método del castigo es el adecuado.

¿Tiene razón? ¿Por qué? ¿Quién dijo aquello de que las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres? ¿Qué tiene esto que ver con el experimento del director de la academia Volare?

Pulpo fiction

Anda por un acuario alemán un pulpo que adivina los resultados del Mundial de Fútbol y que hizo lo propio con los de la pasada Eurocopa. En realidad, no es tanto así. Solo se le pregunta por Alemania (y ahora también por la final) y, además, en la Eurocopa acertó cuatro y falló dos, un resultado bastante pobre.

En la Copa del Mundo actual, lleva seis aciertos de seis intentos. Acertar por azar un resultado así ocurre una vez cada 64. Si no hay un azar completo, la probabilidad de acertar puede ser mucho mayor.

Alemania es una selección potente, que gana el 70% de sus partidos. Un proceso que dé siempre ganadora a Alemania acertará el 70% de las veces. Un proceso que dé ganadora a Alemania el 90% de las veces, acertará el 70% de ese 90%, es decir, el 63%, más el 30% del 10% restante, un 3%. En total, acertará el 66% de las veces. Acertar seis veces seguidas en estas condiciones ocurrirá 8,3 veces de cada cien o, en otros términos, una vez cada doce veces que se intente.

¿Cómo es el proceso de elección del pulpo Paul? No lo sé, pero podemos imaginar fácilmente procesos que eligen con mucha probabilidad a Alemania. Por ejemplo, si la bandera de Alemania está la mayoría de las veces en la urna de la derecha y el pulpo tiende a ir a la derecha. O si le gusta más la bandera alemana (por casualidad empezó por ella y encontró allí un mejillón, sin saber que lo hay en las dos urnas o le gustan esos colores). O si entra en juego el efecto Clever Hans. O si es cualquier otra cosa de este estilo o una mezcla de varias.

Pero todavía hay más. En toda competición de gran audiencia mundial como esta aparecen siempre adivinos (personas, animales o cosas). Si se puede acertar una serie de resultados por azar un vez de cada 12, ocurrirá que, de cada 12 procesos de adivinación parecidos a los del pulpo, uno de ellos acertará. Por supuesto, solo tenemos noticias de los que aciertan. He aquí mi predicción de adivino: Hay por el mundo 11 pulpos (o perros, o vacas, o astrólogos,…) que no aciertan por cada pulpo (o perro,…) que lo hace.

Esto ocurre siempre y es trivial. ¿Cómo era eso de que no es noticia que un perro muerda a una persona, pero sí lo era que una persona mordiera a un perro?

La torre herida por el rayo (3). Una inquietud de Wittgenstein.

Sigo aquí la serie de paradojas que se diluyen cuando se entiende que son del tipo “¿qué pasa si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible?” como en estas dos entradas anteriores.

Nos recordaba hace unos meses Héctor una cita de Umberto Eco respondiendo a una inquietud de Wittgenstein:

En el libro Decir casi lo mismo de Umberto Eco, página 381:

Wittgenstein se preguntaba qué sucedería si, una vez identificado el efecto que un minueto produce en los oyentes, se pudiera inventar un suero que, debidamente inyectado, ofreciera a las terminaciones nerviosas del cerebro los mismo estímulos producidos por el minueto. Observaba que no se trataría de lo mismo, porque no es el efecto de ese minueto lo que cuenta.

El efecto estético no es una respuesta física o emotiva, sino la invitación a mirar cómo esa respuesta física o emotiva está causada por esa forma en una especie de "vaivén" entre efecto y causa. La apreciación estética no se resuelve en el efecto que experimentamos, sino también en la apreciación de la estrategia textual que lo produce.

Esta apreciación implica, precisamente, también las estrategias estilísticas llevadas a cabo en el nivel de la sustancia. Que es otra manera de indicar, con Jakobson, la autorreflexividad del lenguaje poético.

Esta fue mi respuesta:

"Observaba que no se trataría de lo mismo, porque no es el efecto de ese minueto lo que cuenta."
Si hay más efectos es que no se había reproducido todo el estímulo. 
No se pueden hacer argumentos del tipo "¿qué pasaría si el rayo rompelotodo se encuentra con la torre indestructible?" Ambas cosas no pueden coexistir. Igual que si se supone que se reproducen los estímulos y luego se supone que no se reproducen.

La torre herida por el rayo (2). La paradoja de Newcomb.

Esta vez la discusión fue en el Otto Neurath, magnífico blog de mi amigo y coautor Jesús Zamora (lo digo para presumir). Debatíamos las implicaciones de la paradoja de Newcomb en los conceptos de causalidad y de libre albedrío.

Transcribo (con un poco de edición), la redacción de Jesús Zamora.

“Un ser omnisciente y que siempre dice la verdad nos ofrece dos cajas cerradas, y nos da a elegir entre coger una sola de ellas, o las dos; después de nuestra elección, nos podremos quedar con el contenido de las cajas que hayamos tomado. En la caja A, ha puesto 1000 euros; en la caja B, en cambio, su acción depende de la nuestra: habrá puesto un millón de euros SI ÉL SABE que vamos a coger SÓLO la caja B, y la habrá dejado vacía SI ÉL SABE que vamos a coger la caja A. Naturalmente, nosotros sabemos que el ser nunca se equivoca y que nunca miente.

El problema consiste, por lo tanto, en preguntarnos qué elegir: ¿sólo la caja A?, ¿sólo la caja B?, ¿las dos? Tomar la caja A sólo, es obviamente una tontería. Tomar las dos cajas parece que también lo es: si las tomas, el ser no habrá puesto el millón de euros en la segunda caja. Así que lo racional parece tomar sólo la B. Por otro lado, puesto que en el momento de elegir TÚ la caja, el ser ya ha puesto el dinero en las cajas (sea la cantidad que sea), y entonces, si él ha puesto un millón de euros en la caja B, y tú decides llevártela, no pierdes nada tomando la A también (y te llevas 1000 euros más); así que parece racional llevarse ambas.”

Me interesa deshacer las implicaciones sobre el libre albedrío (que, indirectamente llevan también a deshacer las pretendidas implicaciones sobre el concepto de causalidad). Lo hago resumiendo mis comentarios en esa discusión.

La paradoja se puede resumir en este esquema: La coexistencia de un ser omnisciente y un ser con libre albedrío lleva a un contradicción. Esto plantea tres posibilidades.

(i)    El ser con libre albedrío no puede existir (y esto plantea un problema con el libre albedrío).

(ii)  El ser omnisciente no puede existir (y esto plantea un problema con el ser omnisciente).

(iii) El argumento que muestra la contradicción expresada en la paradoja es falaz.

El argumento sobre la posibilidad de que el ser omnisciente pueda poner dinero en dos estados cuánticos superpuestos parece encontrar una falacia en la deducción. Sin embargo el enunciado dice claramente que el ser omnisciente pone una cantidad determinada y que él es la causa de esta cantidad. Así que nos quedan los puntos (i) y (ii). No veo por qué la gente se enreda con el (i) cuando el (ii) es lo más obvio.

Como decía en una entrada reciente: ¿Qué pasa si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible? Venga, todos a hacer filosofía sobre esto y a sacar consecuencias sobre el mundo. Hay que ver en qué cosas se enredan algunos.

Una nota:

No es posible dar una definición del término “omnisciente” (como no es posible dar una de “omnipotente”, “omnipresente” y otros “omnis”) sin hacer referencia a un conjunto universal, donde esté claro cuáles son todos y cada uno de los elementos que constituyen el todo (omni). No he considerado que este sea el problema con la paradoja porque está claro lo que suponemos que sabe el ser. Podemos reformular la paradoja diciendo que sabe qué caja va a elegir uno y no que es omnisciente, lo que equivaldría a reformular la posibilidad (ii) en el sentido de que el ser que sabe lo que voy a elegir no puede existir.