martes, 20 de diciembre de 2016

La racionalidad de jugar a la lotería o por qué algunos matemáticos deberían estudiar economía antes de hablar


Como cada año por estas fechas hay alguien que nos recuerda que jugar a la lotería es una mala decisión. La razón básica es que el sorteo de Navidad de la Lotería Nacional dedica el 70% de la emisión a premios. Esto quiere decir que la esperanza matemática (la media) al jugar es recuperar 70 céntimos por cada euro gastado, a lo que hay que restar los impuestos. ¿Es esto irracional?

1. No hay nada irracional en ser un amante de riesgo. La mayor parte de la gente prefiere 50 euros en mano que jugárselos a doble o nada tirando una moneda al aire, pero no hay nada contradictorio en preferir jugárselo. Más aún, lo mismo que mucha gente preferirá 45 euros en mano antes que tener 0 o 100 a cara y cruz, puede haber alguien que prefiera ese juego antes que 55 en mano.

2. Incluso si uno prefiere 45 en mano que 0 o 100 a cara y cruz, si el juego se estima emocionante, además del premio 100 habrá que sumar la emoción de jugar y eso bien puede dar una situación preferida. Esto es distinto de ser amante del riesgo, puesto que depende de que el juego sea emocionante o no.

3. Ana y Bea prefieren 55 euros antes que pagar esa cantidad por entrar en el juego de ganar 0 o 100 a cara y cruz, pero ambas se sentirán mal por no haber jugado si la otra gana. Solo se tira una moneda y ganan o pierden todas las que hayan jugado. Si Ana participa y Bea no, tendremos que Bea se sentirá mal con probabilidad ½. Así, en caso de no jugar, Bea tiene sus 55 euros y una probabilidad de sentirse mal. Eso puede ser peor que jugar y ganar 50 euros de media. Sucederá si la frustración por no haber jugado y que Ana gane (multiplicada o afectada de otra manera por la probabilidad de que ocurra) es mayor que 5 euros.

Podemos representar esta situación como un juego en que ambas deben decidir si entrar en la lotería a cara y cruz pagando 55 euros o no. Para fijar ideas pongamos que la frustración en caso de que la otra gane y no haber participado es de 20. El primer número de cada casilla antes de la coma es el pago de Ana y el segundo, tras la coma, el de Bea. Ambos están miden utilidad, no dinero.


En este juego hay dos equilibrios: (i) ambas juegan y (ii) ninguna juega. Si Bea juega, lo mejor que puede hacer Ana es jugar también (gana 50 en lugar de 45). Si Bea no juega, lo mejor para Ana es no jugar (gana 55 en lugar de 50). Las jugadoras pueden elegir su acción, pero no el equilibrio. Así que no hay nada irracional estar en un equilibrio u otro.

4. Eneko prefiere también 55 en mano que ciento volando (a cara y cruz), pero si pudiera ganar por lo menos 30.000 euros podría acceder a muchas cosas que ahora no puede. Por ejemplo, podría mantenerse durante un año y pagarse un máster que le garantice un buen trabajo. No hay nadie que le pueda prestar ese dinero ni tiene posibilidad alguna de ahorrarlo en un futuro cercano. Hay, sin embargo, una lotería que vende mil números y que ofrece un premio de 30.000 euros a uno de ellos al azar. No hay nada irracional en que Eneko compre un billete de esa lotería por 40 euros aunque su ganancia esperada sea de 30 euros, puesto que a los 30.000 euros en caso de ganar hay que añadir todo lo que puede ganar con esos 30.000 euros y que no puede ganar en ninguna proporción con una cantidad menor (esto último es la clave para no liarnos con otros ejemplos). En general, si con el premio puedes acceder a un estatus o a un bien o servicio indivisible a los que no puedes acceder en ninguna medida sin por lo menos ese premio, tendremos una justificación racional para jugar a la lotería.

Yo no juego a la lotería excepto por alguna pequeña participación o algún décimo que siempre me acaban colocando en la de Navidad. No lo hago porque no soy amante del riesgo, porque no me emociona demasiado apostar en juegos de azar, porque no me da envidia que alguien gane y yo no lo haga (o no la suficiente para que, ponderada por su probabilidad, me merezca la pena jugar), y porque no se me ocurre nada que me coloque en el caso 4 (no que no se me ocurran cosas que hacer con ese dinero, sino cosas que sean un salto cualitativo tan grande al que no pueda acceder en menor proporción sin tanto dinero y que combinadas con la probabilidad de ganar me merezcan la pena). Pero ese soy yo, y no le voy a decir a nadie lo que tiene que hacer, excepto que esté seguro que lo que sea que le motiva a jugar esté bien ponderado con las probabilidades de ganar y perder.

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Hace cinco años en el blog: La Tierra es plana, pero la homeopatía no es Medicina.
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10 comentarios:

  1. Gran artículo, yo pienso lo mismo. Lo único que ese valor del 70% no es real, puesto que una vez se cobra el premio, hay que pagar impuestos. El dinero efectivo que va a premios es más 50% que 70%.

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    1. Buena apreciación. Antes no era así, pero desde hace unos pocos años sí. Lo voy a corregir. Gracias.

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  2. Una sinvergoncería más del PP. Reducir los premios introduciendo fiscalidad cuando la ONLAE depende del mismo ministerio. Engañar al pueblo y darle un bocado más a su economía. Excelente artículo.

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  3. Por principio coherente con mi sentido ético nada de loterías desde hace más de 40 años. Mis descendientes imitaron ejemplo. Para ello hay que enfrentarse al medio y mantenerse firme a sabiendas de ser criticado.
    Bastante nos jugamos la vida a diario sin enterarnos. La vida es la verdadera lotería.

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  4. Hola, muy interesante entrada, pero quisiera hacer un comentario. Comparto totalmente lo expuesto: el valor económico (valor de uso) del premio de un juego (lotería o el que sea) puede ser "subjetivamente" mayor que el valor puramente matemático. El argumento matemático clásico es que si el premio (G) por la probabilidad (P) es mayor que la apuesta (A), conviene jugar (A < P x G). Si G es "subjetivamente" mayor que el "número" G, puede ser una decisión racional aunque no se cumpla esa desigualdad numéricamente. Hasta aquí de acuerdo.

    Sin embargo, hay una parte en la ecuación que para mí tiene mucha más importancia y que creo que es la razón principal por la que se juega a la lotería. Se trata de la percepción subjetiva de la probabilidad. Pienso que por razones evolutivas somos bastante malos manejando cifras muy grandes o muy pequeñas, además de ser proclives a cometer muchos sesgos cognitivos de tipo matemático. Si se pregunta a alguien si jugaría en la Loto los mismos números que salieron premiados en el sorteo anterior, casi todo el mundo dirá que no, tendrán la sensación de que es superimprobable (cuando es igual de probable que otra combinación). Lo mismo que jugar la combinación 1,2,3,4,5,6 "parece" más díficil que una con "números distintos", sin darse cuenta que su cerebro "privilegia" esa combinación porque de algún modo le parece conocida y "única", y entonces, por un mecanismo que desconozco, la clasifica como más improbable.

    La lotería es un juego que por su diseño despista mucho en ese aspecto (siempre le toca a alguien, se sobrerrepresenta a los ganadores, etc.). Si se diseña un juego con iguales probabilidades, apuestas y premios que la Loto por ejemplo, pero de forma que el jugador perciba de forma más "real" la probabilidad, se jugaría mucho menos. Yo he propuesto juegos imaginarios de ese estilo a personas de mi entorno y efectivamente me dicen que a esos juegos no jugarían.

    Por ejemplo, adivinar la cantidad exacta de granos de arena en un determinado volumen con forma indeterminada, diseñado el juego de forma que la probabilidad sea de del orden de la loto (que haya un margen de error de 4,5 millones de granos). Al tercer o cuarto intento de intentar adivinar el número exacto de granos de un vaso hasta la última cifra desanimaría a cualquiera.

    En resumen, la "utilidad" del premio, su valor subjetivo efectivamente puede ser mayor que el matemático, pero si se corrige con una percepción real de la probabilidad de ganar, la racionalidad económica de jugar cae bastante, en mi opinión.

    Está claro que mi razonamiento se aplica a casos de premios muy altos con probabilidades muy pequeñas (el caso de cara o cruz el jugador efectivamente valora de forma muy exacta la probabilidad y estoy de acuerdo totalmente en lo expuesto sobre las dos jugadoras).

    Disculpas por no ser haber sido capaz de ser más conciso y enhorabuena por el blog, siempre son temas muy interesantes.

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    1. Gracias, Riverman, por tu comentario y tus palabras finales.

      Efectivamente, además de las razones racionales para jugar están las irracionales. La entrada no niega esto, pero se centra en las primeras, que hay quien niega que existan. La última frase de la entrada abre la puerta a eliminar las irracionales, algo que desde luego comparto.

      Es posible que en algún caso concreto de alguna lotería hay quien crea que la ganancia esperada es positiva (tiene una corazonada, ha creído advertir un patrón,...), pero yo creo que la mayoría de la gente, a pesar de todos los sesgos en los cálculos de probabilidades, es consciente de que la ganancia esperada es negativa.

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    2. Sí, totalmente de acuerdo, yo creo que casi todo el mundo sabe que la ganancia es negativa, la cuestión para mi es que creo que no se percibe correctamente lo "tan" negativa que es en algunos juegos (ganar el gordo de la bonoloto, por ejemplo).

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  5. Ese "sesgo" psicológico es aprovechado por algunas loterías para funcionar. El mismo por el que compramos la participacion de nuestra empresa o del bar en Navidad. Dejo un enlace sobre la lotería del código postal en Microsiervos

    http://www.microsiervos.com/archivo/azar/loteria-codigo-postal.html

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