lunes, 7 de marzo de 2011

Qué no dice el teorema de Gödel


En la entrada anterior repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos.

1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial.

Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente.

El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una parte, no habría problemas para aceptar que una máquina pueda saltar de un sistema a otro. Por otra, la mente humana es finita y nunca podrá saltar indefinidamente de un sistema a otro. Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo. Simplemente se salta indefinidamente.

2. El teorema de Gödel no establece un dominio de la realidad que sea inaccesible a la mente humana.

Hay dos problemas históricos en la filosofía de la ciencia o del conocimiento. El primero es el problema de la realidad exterior: ¿existe? ¿es como se nos aparece? La ciencia no trata este tema ni, como se suele afirmar, lo supone a priori. Simplemente se dedica a dar cuenta de las regularidades que se nos aparecen en esta acaso apariencia de realidad exterior. Que haya tales regularidades no es ningún fundamente metafísico de la ciencia sino una constatación empírica.

El segundo problema es el de las otras mentes. No tenemos acceso al mundo de sensaciones, sentimientos, pensamientos,... que ocurren en las otras mentes. Ni siquiera tenemos constancia de que existan las otras mentes. Para esto último tenemos el test de Turing: las otras mentes lo pasan sin problema. Para saber de sensaciones y pensamientos no tenemos nada más que la posible empatía por pertenecer a la misma especie.

Quienes ven en el teorema de Gödel un nuevo límite a nuestro conocimiento de la realidad confunden el modelo con la realidad. Si la realidad es finita, por ejemplo, inmediatamente tenemos que no responde a los supuestos del teorema de Gödel y nada de lo que dice el teorema se aplica en ella.

Un  momento, dirá alguno, el sistema formal de las matemáticas está dentro de la realidad y, por tanto, todo lo que pase en ese modelo será parte de la realidad. Sí y no. Sí en un sentido débil, digamos. Es una parte de la realidad que podríamos decir creamos los seres inteligentes. No en un sentido fuerte, puesto que las matemáticas no son nada creado de verdad. Es decir, no hay nuevas partículas elementales, por ejemplo. Lo que hay es un juego inventado, un deducir cosas de acuerdo con unas reglas. Ocurre simplemente que con ciertas reglas no se puede llegar a establecer un valor de verdad a ciertas posiciones del juego. Que ese juego nos sirva a los mortales para interpretar cosas de la realidad es algo ajeno a la realidad.

Pero tampoco dice que no podamos entender la realidad, puesto que incluso si fuera pequeña, finita y abarcable al ser humano podríamos seguir construyendo modelos formales con teoremas de Gödel. Así que el problema que pueda plantear el teorema no es sobre la realidad, sino sobre las reglas deductivas, que no llegan a construir según qué enunciados.

¿Cómo cabe un sistema formal que contienen los números naturales, que son infinitos, en un mundo finito?

Sólo el darse cuenta de lo anterior debería ser suficiente para mostrar que los números naturales (así como los sistemas que los contienen) no existen más que como construcción nuestra y ciertamente nunca los construiremos todos. Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, no porque los hayamos escritos todos. Es la potencia del argumento recursivo lo que se limita en el teorema de Gödel, nada más. Las verdades de la ciencia siguen siendo las mismas, las establecidas empíricamente.

18 comentarios:

  1. ... los números naturales ... Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, ...

    Y no sólo los número naturales; el lenguaje, por eso cada vez hay menos lenguas; el conocimiento, por eso la especialización es cada día mayor ...

    Todo sobreviene - o sobrevive- de una generación tras otra, cada una llegando un poco mas lejos, ... de forma recursiva y ... mas tenue:

    Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo.

    Por eso cuanto mas conocemos, descubrimos que es aun mayor nuestro desconocimiento; que la realidad percibida, no tiene que ser real;
    y que nuestra finitud o nuestras limitaciones, son en si lo que auténticamente somos, nuestro contorno, nuestra silueta.

    Precioso post.

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  2. "por eso cada vez hay menos lenguas"

    No te sigo. ¿Qué tiene que ver una cosa con la otra?

    Gracias por lo de precioso (el post).

    Un saludo,

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  3. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto.

    Un Sistema informal superior puede ser una especialización: de una ciencia natural, una rama. En cada iteración, en cada salto, aparecen nuevas especialidades, p.e.: sociobiología que sigen siendo incompleta.

    En esa iteración (salto al sistema superior) se realiza sobre bases comunes, incluyendo nuevos axiomas indemostrables, que favorecen los argots derivados en detrimento de lenguas o lenguajes originales.

    Y como ejemplo guugu-yimithirr en el que definir los axiomas derecha, izquierda, delante o detrás, deteriora el propio sentido de la orientación.

    La lengua es un sistema mas, cuantas mas palabras tiene, mas perfecto es, si seguimos añadiendo axiomas o palabras, lo será en detrimento de otras lenguas con menos términos.

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  4. Creo que es mucha extrapolación. Las versiones del quinto postulado de Euclides dan lugar a distintas geometrías, pero no creo que podamos decir que cada una de ellas es una "especialización" de la geometría sin ningún postulado.

    Cada lengua, por otra parte, es recursiva ella misma, así que no sé si podemos propiamente decir que una lengua que va ampliando su léxico lo hace "matando" otra lengua, en todo caso por cada lengua que así muriera estaría naciendo otra.

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  5. Excelente planteamiento sobre lo que dice y lo que no dice el teorema de Gödel.

    Gracias por compartirlo.

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  6. Me parece que con respecto a la incompletitud y la ingeligencia artificial queda mucho por decir. Natural e indudablemente nosotros 'escapamos' de alguna manera a ese formalismo estricto que es característico de las computadoras. Gödel obviamente no habla explícitamente de las limitaciones de las computadoras, pero si aceptamos que éstas no son más que la implementación de un sistema formal, pues las cosas no son tan sencillas. Los sistemas formales tienen sus limitaciones; de lo contrario el programa formalista de Hilbert habría significado una reducción de las matemáticas al formalismo. Turing hizo algo parecido de manera más práctica con los problemas indecidibles, que creo que también es importante considerar, pues considero que corrobora estas limitaciones (le da un sentido práctico para quienes dudan de la limitación teórica).

    Sobre el segundo punto, estoy de acuerdo con que la mente humana escapa el formalismo y, por tanto, no está limitado por la incompletitud (creo que es un argumento en contra de las computadoras pero tú no lo ves así). Sobre la comprensión y construcción de conjuntos infinitos como el de los números naturales... no me convence que "no existen más que como construcción nuestra". Tiendo a tener una visión realista-platonista de las matemáticas.

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    1. Bienvenido al blog, Sergio Andrés.

      Claro que los sistemas formales tienen sus limitaciones, esto no lo pone nadie en duda. Lo que niego es que se quiera añadir que la mente escapa a limitaciones semejantes sin aportar evidencias a favor y teniendo muchas en contra. Por ejemplo, es innegable que la mente humana no pude saltar de sistema indefinidamente, como no lo puede hacer ninguna máquina. Así que no podemos decir que la mente humana no esté limitada por la incompletitud.

      Sobre tu realismo-platonismo de las matemáticas, pues tendrás que explicar en qué consiste. Dices que no te convence el que los números existan sino como construcción nuestra. Sería muy fácil defender tu postura si dijeras en dónde existen sino en nuestras mentes. Me extiendo más sobre el tema en estas entradas y sus comentarios (convendría que echaras un vistazo antes de contestar):

      http://todoloqueseaverdad.blogspot.com.es/2011/11/problemas-existenciales.html
      http://todoloqueseaverdad.blogspot.com.es/2010/07/inventar-o-descubrir.html

      Un saludo.

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  7. El teorema de Gödel (el de incompletitud) es muy preciso. Sólo refiere a la verdad y su naturaleza.

    Es curiosa la paradoja: intentar rechazar lo que no es el teorema de Gödel promoviéndolo.

    Considero más adecuado promover lo que sí es.

    No obstante, divulgar al menos la existencia del teorema es útil.

    Saludos.

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    1. Ya has visto que antes de esta entrada sí promovía lo que es el teorema. Esta otra es para aclarar malentendidos.

      Saludos.

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  8. Hola José Luis

    He sido siempre defensor de la llamada Inteligencia Artifical fuerte, al menos hasta que llegó a mis manos The New Emperor's Mind de Roger Penrose, donde utiliza el Teorema de Gödel como parte del argumento contra la posibilidad de que un algoritmo pueda llegar a tener consciencia.

    Mi ignorancia acerca del Teorema de Gödel me hizo buscar por internet alguna explicación completa y encontré este genial pdf de Ernest Nagel y James R. Newman que considero me ha permitido comprender por fin paso a paso, como llegó Gödel a su teorema. Lo compartiré por si a alguien le interesa profundizar más en el tema:http://sistemas.fciencias.unam.mx/~lokylog/images/stories/Alexandria/Logica%20Matematica%20Avanzado/Nagel%20-%20El%20Teorema%20de%20G%C3%B6del.pdf

    En las reflexiones finales del mismo PDF parecen estos dos autores llegar a la misma conclusión a la que llegó Roger Penrose, y efectivamente sirvió para hacerme dudar aún más de mis posiciones filosóficas. Sus argumentos no son sin embargo el que expones aquí (o al menos no los veo yo así), así que con tu permiso voy a tratar de exponerlos la versión más resumida que pueda a ver si efectivamente creo haberlos comprendido.

    Si consideramos que las máquinas no son más que sistemas formales, todas sus capacidades estarán limitadas por sus propias reglas de deducción. Sin embargo, dado un sistema formal lo suficientemente extenso como para incluir a la aritmética podemos encontrar en él proposiciones de Gödel nosotros desde <>. La máquina jamás podrá llegar a encontrar su proposición de Gödel puesto que es indecidible mediante sus reglas de inferencia. Si algún dia llegaramos a descubrir cual es el algoritmo o sistema formal que gobierna nuestra mente, podríamos entonces en consecuencia extraer para ella su proposición de Gödel, lo que nos llevaría entonces a una paradoja.

    En su libro Penrose, discute mucho el planteamiento acerca de si la intuición matemática es realmente computable; acerca de la no computabilidad que hay detrás de nuestros juicios acerca de las verdades matemáticas. Hubo precisamente un parágrafo de su libro con el que me estuve bastante rebanándo los sesos, dice: "¿cómo vamos a decidir qué axiomas o reglas de inferencia adoptar en un caso cualquiera cuando tratamos de establecer un sistema formal? Nuestra guía en la decisión de las reglas a adoptar debe ser siempre nuestra comprensión intuitiva de lo que es <>, dados los significados de los simbolos del sistema. ¿Cómo vamos a decidir qué sistemas formales son razonables para ser adoptados -es decir, que están de acuerdo con nuestras ideas untuitivas sobre <> y <>- y cuales no? Ciertamente, la noción de autoconsistencia no es adecuada para ello. Podemos tener muchos sistemas autoconsistentes que no son <> en ese sentido, enlos que los axiomas y reglas de inferencia tienen significados que rechazaríamos como falsos, o quizá no tienen significado en absoluto. <> y <> son conceptos que seguirían siendo necesarios aun sin el teorema de Gödel. "

    Saludos!

    Ángel

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  9. En la página 48 del pdf que enlazas no se ve ninguna conclusión, solo una opinión.

    Se dice que un algoritmo que obedezca ciertas leyes de composición y que cumpla los requisitos de los sistemas formales sobre los que trata el teorema de Gödel no podrá dilucidar todas las cuestiones debido a la incompletitud inherente al sistema. De ahí salta a que (cito) "el cerebro parece incorporar una estructura de reglas de operación mucho más poderosa que la estructura de las máquinas artificiales."

    Incluso si es verdad esa opinión, nada dice acerca de la posibilidad de la inteligencia artificial. Primero, porque bien podría ser que las máquinas pudieran incorporar esa estructura más poderosa. Así, podríamos tener una estructura en las máquinas que incorpora otros mecanismos además de algoritmos, lo mismo que se presume para el cerebro. Segundo, porque, podría ser que esa estructura más poderosa lo sea no porque tiene algo más que algoritmos, sino porque estos son muchos más y relacionados entre ellos de una manera más intrincada que lo que tenemos actualmente en las máquinas. De manera podría suceder que las deducciones formales y las informales simplemente están en distintos niveles en el cerebro y también en la máquina.

    Desde luego, no sabemos nada de eso todavía, pero tampoco podemos decir que el teorema de Gödel lo impida.

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    1. Hola José Luis, gracias por la respuesta.

      De hecho Penrose, no parece negar que no se puedan construir algún día máquinas de ese tipo y como dices, incluso comenta poder crear esa estructura que incorpore otros mecanismos además de algoritmos para crear entes conscientes. Su crítica, del mismo modo que la de Nagel y Newman es simplemente a la asociación 'mente-algoritmo'.

      Sin embargo, me cuesta comprender como se puede crear algo que siga procesos no algoritmicos mediante procedimientos algoritmicos (deberíamos poder fabricar máquinas que fabriquen esas máquinas en serie, o tener al menos algún "manual de instrucciones"). Previamente a mi experiencia con estos problemas defendía también un comportamiento algoritmico del universo, simplemente pensaba que todo debe tener un proceso, incluyendo al aparente azar de la cuántica en él. Penrose, sin embargo especula mucho sobre posibles aspectos no computables de la física cuántica aunque en realidad parecen ser especulaciones, nada más que eso aunque muy interesantes.

      Por otra parte, diría que muchos más algoritmos, pese a las intrincadas relaciones que existan entre ellos no los convierte en algo diferente de una sola máquina de Turing que pudiera incorporarlos todos, incluidas las reglas de inferencia que establezcan las relaciones entre los distintos niveles donde se den en cada los tipos distintos de deducciones, siendo en su totalidad si lo he entendido bien un solo sistema formal pese a estar compuesto de muchos. Y aunque reconozco que no estoy muy seguro por mí mismo de este punto, los autores afirman que siempre seremos capaces de extraer proposiciones de tipo Gödel de esta clase de sistemas lo suficientemente extensos. Lo que nos llevaría a la supuesta paradoja comentada.

      Veo, que algunas palabras del mensaje que escribí no han aparecido correctamente donde están los <> quería decir por orden de aparición: nosotros desde 'fuera', nuestra comprensión de lo que es 'autoevidentemente verdadero', nuestras ideas intuitivas sobre 'autoevidencia' y 'significado', 'autoevidencia' y 'significado' son conceptos que...

      Saludos!

      Ángel

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    2. A ti y a cualquiera se le hace difícil pensar en otra estructura que no se base en algoritmos. Pero lo que se nos hace difícil para las máquinas, también debería hacérsenos difícil para el cerebro. Estamos igual. El que la computabilidad tenga sus límites no implica nada; por lo que sabemos, el cerebro puede tenerlos también.

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  10. Pero a no ser que sea una falacia (que podría, dada mi falta de conocimiento profundo en el tema) la afirmación: Si fueramos capaces de conocer el sistema formal o el algoritmo que domina nuestra mente, entonces según Gödel deberíamos ser capaces de extraer de él siempre en esa situación una proposición de tipo Gödel.

    Lo que sería una paradoja ya que ese algoritmo somos en realidad nosotros mismos y nuestra propia limitación deberia ser privarnos de encontrar alguna proposición de tipo Gödel. Con lo que si se diera la situación de que fueramos un algoritmo, no deberíamos ser capaces de descubrir o comprenderlo desde nosotros mismos. Si esa limitación es cierta, no deberíamos entonces poder replicar jamás una mente humana en una computadora ya que implicaría conocerla.

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    1. Incluso de ser así caben más posibilidades, como que no se puedan conocer los algoritmos de un cerebro sin dañarlo, de manera que, o bien puedo conocer el de otro, pero no el propio, o que no se pueda llegar a conocer ninguno, porque se daña antes y eso destruye la información que se necesitaría. En fin, que todas las pretendidas deducciones no son tales, solo suposiciones.

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    2. Muy interesante, un principio de incertidumbre para la neurociencia computacional. Sin duda aún queda mucho por aprender del cerebro. Un placer conversar.

      Ángel

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