viernes, 3 de diciembre de 2010

¿Se puede elegir un número al azar?


O, dicho con más precisión: ¿es posible elegir un número al azar de manera que cada número tenga las mismas probabilidades de salir?

Si tengo un número finito de números, sí es posible. Cada uno puede ser elegido con probabilidad 1/n, donde "n" es el número de números que tengo. Puedo elegir entre 2, 4 y 8 (tres números) cada uno con probabilidad 1/3.

Si tengo un número infinito ya no es posible. No hay manera de elegir entre los números naturales 0, 1, 2, 3,.... de manera equiprobable. Si así fuera, no podría ser una probabilidad positiva, porque, al multiplicarla por infinitos números, daría infinito, y la probabilidad total debe sumar uno. No puede ser cero, porque, multiplicado por infinito no me da nada definido (no está definida la operación), y debería dar uno y no otra cosa.

Cuando, en la entrada anterior, Bruno suponía (era un suponer) que en su sobre había un 4 y asignaba las mismas probabilidades a que el otro sobre hubiera un 2 o un 8 no cometía ningún error. Eso podía ser perfectamente posible. Pero suponer que el mismo razonamiento lo podía hacer con cualquier otro número (que el otro sobre tuviera la mitad o el doble con iguales probabilidades) es ya imposible.

Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números ... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1.

No es difícil demostrar que, con cualquier distribución de probabilidades, la ganancia esperada de cambiar es exactamente la misma que de no cambiar. Podéis ver ejemplos sencillos en los últimos comentarios de Pedro Terán en la entrada anterior. También podéis leer mi explicación de hace unos años en una página de matemáticas recreativas.

50 comentarios:

  1. Iñigo:

    Si digo que mi sobre tiene N, no puedo suponer que el otro puede tener N. Puedes, eso sí, decir que no sabes cuál tiene N y cuál tiene N/2 o 2N. En ese caso puedes decir que, con probabilidad 1/2 el tuyo tiene N y entonces cambiar vale 5N/4 o el otro tiene N, en cuyo caso cambiar vale 4N/5, lo que en media da N.

    Es una manera elegante de hacer las cuentas, pero es erróneo decir que esta es la solución y que mi argumento (y el de Pedro) no lo es.

    Recuerda que mi pregunta no era acerca de cómo calcular bien la ganancia esperada de cambiar, sino acerca de encontrar la falacia del argumento de Bruno.

    Para calcular la ganancia de cambiar vale tanto el argumento tuyo como el del enlace que nos pones como la versión mía al comienzo del presente comentario.

    Para encontrar la falacia de Bruno, recordemos lo que dice él:

    "Si mi sobre tiene, digamos, 4 euros, el otro puede tener 8 o 2, que en media me da un número mayor, 5. Y lo mismo pasa con cualquier otra cantidad."

    Es posible perfectamente calcular la media entre los pagos del otro sobre (fijando la cantidad del elegido en N). Esa no es la falacia (no se están sumando peras y manzanas, como dice el enlace).

    Lo que no se puede hacer, y esta sí es la falacia, es calcular la media con ponderaciones 1/2, 1/2. Hay que usar las probabilidades condicionales que vengan de una distribución de probabilidad posible, y ninguna posible da condicionales 1/2, 1/2 para cualquier cantidad.

    Lo correcto es, para cada N, calcular la media de cambiar según las condicionales y calcular la media de las medias, según la probabilidad de cada N.

    El ejemplo de Pedro o los míos en la página enlazada de matemáticas recreativas muestran justamente eso.

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  2. Iñigo:

    Algo raro ha pasado. Tu comentario apareció y, después de publicar el mío, ha desaparecido.

    Todos:

    Iñigo argumentaba en los términos de este artículo:

    www.dpye.iimas.unam.mx/federico/STATSpanishCorto.pdf

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  3. Tu planteamiento:

    Tu dices que las probabilidades no son identicas, y las atribuyes ad-hoc. Imaginate que silvia ha metido un 2 y un 4, ¿porque Bruno hiba a suponer que la mitad del valor que tiene su sobre es mas probable que el doble, si de echo en el otro sobre la mitad de las veces habra la mitad y la mitad de las veces habra el doble?

    Mi planteamiento:

    Ferreira, a lo que voy es a por la Falacia de Bruno.

    Veamos, imaginate que existe un universo alternativo donde Bruno ha dicho que tiene un 4 y a destapado su carta. A esa carta destapada es a la que Bruno llama 4, que es una carta determinada. Ahora volvamos al universo donde no se ha destapado la carta. Bruno no sabe si en su sobre estara esa carta determinada que ha llamado 4 en el universo alternativo, si estara su doble o su mitad, seran sucesos equiprobables. Y lo mismo pasa con el otro sobre.

    La falacia esta en que Bruno no puede llamarle 4 que no sabe que valor va a tener, si la carta resulta ser la mitad de otra cualquiera, la probabilidad de que en la otra haya el doble y la mitad ya no son 0,5 y 0,5 sino 0 y 0,5 !

    Iñigo

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  4. "Tu dices que las probabilidades no son identicas, y las atribuyes ad-hoc."

    No, no las atribuyo ad hoc. Digo que para cualquier atribución de probabilidades (posible) pasará lo que digo.

    "... si de echo en el otro sobre la mitad de las veces habra la mitad y la mitad de las veces habra el doble?"

    No, esto es justamente lo que estoy mostrando que no puede pasar. Podrá pasar para algún N ya para alguna distribución de probabilidad, pero, para esa misma distribución, no puede pasar para todo N y, en media, no puede pasar.

    "si estara su doble o su mitad, seran sucesos equiprobables"

    No, como he señalado.

    "La falacia esta en que Bruno no puede llamarle 4 que no sabe que valor va a tener"

    Llamarle 4 es por fijar ideas. Llámale N, y calcula la media recorriendo todos los N con sus probabilidades (según cualquier distribución de probabilidades que sea factible). No hay falacia en calcular esta esperanza matemática. Hay un error si se usan unas condicionales que no salen de ninguna distribución de probabilidad buena.

    Bruno sólo calcula para un N porque asume que el resultado será igual para todo N y la media de cosas iguales es la misma cosa. Si lo hace bien tiene que recorrer todos los N, que cada uno da un número distinto para cualquier distribución de probabilidad posible.

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  5. Problemas tecnicos aparte, estoy suscrito a comentarios asi que todo lo tengo guardado.

    No me he expresado con claridad al señalar la falacia. Bruno no puede adjudicarle un valor numérico a una carta que no conoce sin tener en cuenta las implicaciones y las limitaciones que ello le va a suponer.

    Si llama 4 a una carta que no conoce, y si dice que existe 0,5 de que la del otro sobre sea el doble y 0,5 de que sea la mitad ¿Qué pasa si esa carta resulta ser la mitad de la que funciona con ese 0,5 y 0,5? pues que ahora la probabilidad de que sea la mitad es 0, que sea igual es 0,5 y que sea mayor es 0,5.

    Iñigo

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  6. Tu planteamiento:


    "... si de echo en el otro sobre la mitad de las veces habra la mitad y la mitad de las veces habra el doble?"

    No, esto es justamente lo que estoy mostrando que no puede pasar. Podrá pasar para algún N ya para alguna distribución de probabilidad, pero, para esa misma distribución, no puede pasar para todo N y, en media, no puede pasar.



    Puedes programarlo, o simularlo en la vida real con alguien. La mitad de las veces la otra carta sera el doble y la mitad de las veces sera la mitad. Porque existe simetria, lo mismo pasara si en vez de coger siempre el 1º sobre cojes el 2º

    Iñigo

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  7. "Bruno no puede adjudicarle un valor numérico a una carta que no conoce sin tener en cuenta las implicaciones y las limitaciones que ello le va a suponer."

    Exacto, son esas implicaciones la clave. Para cada número que le adjudique (y tiene que hacer la esperanza matemática recorriéndolos todos si su razonamiento va por ahi) debe calcular las probabilidades condicionales de que la otra sea el doble o la mitad de acuerdo con alguna distribución de probabilidad.

    Y resulta que, para cualquiera, esas serán distintas y al hacer el cálculo de la media de lo que gana al cambiar siempre le da la misma media.

    He aquí un ejemplo de probabilidades a los pares de sobres:

    1/3, 1/3, 1/3 para (2,4), (4,8), (8,16), respectivamente.

    Las probabilidades de 2, 4, 8 y 16 son 1/6, 2/6, 2/6 y 1/6, respectivamente

    Si mi carta es 2, las probabilidades condicionales de 0 y 4 son 0 y 1, respectivamente y la esperanza de cambiar es 0x1+1x4=4.

    Si mi carta es 4, las probabilidades condicionales de 2 y 8 son 1/2 y 1/2, respectivamente y la esperanza de cambiar es 1/2x2+1/2x8=5.

    Si mi carta es 8, las probabilidades de 4 y 16 son 1/2 y 1/2, y la esperanza de cambiar es 1/2x4+1/2x16=10.

    Si mi carta es 16, las probabilidades de 8 y 32 son 1 y 0, y la esperanza de cambiar es 1x8+0x32=8.

    La ganancia esperada de cambiar es 1/6x4+2/6x5+2/6x10+1/6x8=42/6=7.

    La ganancia esperada de no cambiar es 1/6x2+2/6x4+2/6x8+1/6x16=42/6=7.

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  8. Perfecto, se ha cerrado el circulo.

    http://www.youtube.com/watch?v=RoKNF_JLjsI

    Saludos

    Iñigo

    http://ministerioteescucha.blogspot.com/

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  9. Faltaba, tal vez, añadir que la distribución no puede ser de iguales probabilidades para todos los infinitos pares de sobres, que daría iguales probabilidades a todos los múltiplos de dos y que daría como condicionales siempre 1/2, 1/2, que es con lo que se maneja falazmente Bruno para hacer su cálculo.

    Cualquier distribución posible tiene la propiedad de la que he puesto como ejemplo, que da la misma esperanza a cambiar y no cambiar.

    El problema no es imaginarse números concretos para la carta de mi sobre. El problema es no calcular bien las condicionales.

    Estoy de acuerdo que con la manera del enlace (la de O'Reilly) se calcula todo mejor, pero no se manifiesta la falacia del argumento que seguía Bruno, que iba de considerar las condicionales, y ahí hay que mostrar que no pueden ser siempre 1/2, 1/2, como se ve en el ejemplo.

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  10. Nos hemos cruzado los últimos mensajes. Veo que todo está bien, entonces. Gracias por el nuevo enlace.

    Me voy a dormir.

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  11. Veamos he visto lo de "Exacto" y he sacado la orquesta sinfonica sin mas dilacion, es algo que no tendria que hacer de ninguno de los modos.

    Si pretendes basar que Bruno tiene que asumir las restricciones que supone marcar como "4" un numero que no conoce, en que la distribucion de numeros que le da Silvia no es equiprobable, lo que dices es incorrecto. Este hecho es absolutamente indiferente, la paradoja puede definirse unicamente con un par de numeros tal que uno sea el doble del otro, ambos equiprobables. No es la raiz de la paradoja que no se pueda elegir un numero al azar, o que estos se presenten con mayor o menor frecuencia. Esto tengo que subrayarlo por si acaso.


    La falacia esta encerrada en el uso inadecuado que hace de ese "4". Imagina que en vez de "4" lo llama "3", Si Bruno llama a todo numero que tiene "3", justamente lo que esta haciendo es que el valor medio esperable en su sobre sea "3" esto significa que estan apareciendo 2s y 4s y en general 2/3N y 4/3 N. Lo que no se puede hacer es calcular el doble y la mitad del valor medio y ponderarlo al 50%, se tiene que calcular solo el doble 2/3N y solo la mitad de 4/3 N al 50%, que es 4/6N y 2/6N respectivamente. Porque ni la mitad de 2/3N ni el doble de 4/3N pueden existir dentro de los sobres. Lo otro es un atajo conceptual que se desacredita algebraicamente.

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  12. La paradoja es que el argumento de Bruno, en una primera impresión, parece correcto. Resolver la paradoja es mostrar dónde se equivoca Bruno.

    Es cierto que la resolución del problema puede hacerse de manera sencilla, considerando que tengo un par de números (uno en cada sobre) que son N y N/2, y que los tengo con probabilidad 1/2.

    Como sabes, muchos problemas tienen una solución fácil y otra difícil. Bruno se empeña en la difícil, en considerar que tiene un número N en su sobre y en considerar las probabilidades de N/2 y de 2N. Este planteamiento no es falaz, como parecéis decir O'Reilly y tú mismo. Es perfectamente posible resolver el problema con este planteamiento, como he mostrado. En esta manera de encontrar la solución lo falaz es asumir que las probabilidades de N/2 y 2N son iguales para todo N.

    Mostrar esta falacia requiere mostrar que no es posible ninguna distribución sobre los N de manera que todas las condicionales en N/2 y 2N sean 1/2, 1/2. Es lo que he hecho.

    La solución larga que intenta Bruno (que hace resuelve mal y que yo muestro en un ejemplo cómo puede hacerse bien hace dos comentarios) no está exenta de interés, pues muestra, por ejemplo, que si abre el sobre y ve un 4 no puede asignar un valor a cambiar el sobre hasta que no tenga una distribución de probabilidad (acaso subjetiva) sobre todos los pares de sobres posibles. Esto implica que no se puede decir sin más que las probabilidades de 2 y 8 sean 1/2, 1/2 (pueden serlo o no).

    Justamente porque en la solución fácil no entran estas consideraciones, O'Reilly se equivoca cuando en su discusión habla de este caso. (No se equivoca cuando resuelve el problema.)

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  13. "En esta manera de encontrar la solución lo falaz es asumir que las probabilidades de N/2 y 2N son iguales para todo N.

    Mostrar esta falacia requiere mostrar que no es posible ninguna distribución sobre los N de manera que todas las condicionales en N/2 y 2N sean 1/2, 1/2. Es lo que he hecho."


    Lo que has hecho es establecer ad-hoc una forma de entregar sobres de Silvia, como medio de disolver la paradoja. Bruno no puede saber si Silvia es capaz de traerle un numero mas grande que el que el sera capaz de imaginar. Bruno no puede considerar limites a N ni condiciones de no equiprobabiliadd como tu haces.

    Ademas expones en tu solucion

    "Si abre la caja y observa el premio 4, el razonamiento del problema será correcto (asigna iguales probabilidades a un premio de 2 y a uno de 8), le conviene cambiar"

    Con lo cual tu argumentacion te conduce a la paradoja.

    -------------------------------------------

    Te he señalado la falacia en el anterior mensaje.

    1º Bruno no puede llamar a todo sobre que le llege "3" sin establecer que el valor medio de los sobres que le llegan es "3".

    2º Esto implica que a Bruno recive 2N/3 (2s) y 4N/3 (4s), de media N, esta es una implicacion de su propio deseo de establecer como "3" todo lo que le llega.

    3º En el otro sobre solo existen los dobles de 2s y las mitades de 4s, no pueden existir los dobles de 4s y las mitades de 2s. Es decir el otro sobre suma 2 x 2N/3 x 0.5 + 0.5 x 4N/3 x 0.5= N

    Bruno no puede calcular el valor esperado del otro sobre a partir del valor medio es decir 2 x N x 0.5 + 0.5 x N x 0.5 = 1.25N, porque no tiene en cuenta que ni el doble del valor medio ni su mitad se encuentran en ninguno de los sobres.

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  14. No he mostrado una forma de ofrecer sobres por parte de Silvia. He mostrado que la única manera de hacer explícitas unas probabilidades condicionales de N/2 y 2N (dado N) es a partir de una distribución de probabilidades a priori de la que no tenemos datos, pero que, cualquiera que sea esa probabilidad nos dará lo que nos da la del ejemplo que he puesto, es decir, que da lo mismo cambiar que no cambiar si N no es conocido.

    De otra manera: cualquiera que sea esa distribución a priori, no puede dar condicionales iguales para N/2 y 2N para todo N.

    Debes estar atento a los cuantificadores antes de decirme que me saco cosas de la manga. Que haya una distribución a priori no se saca de la manga, que todas tengan alguna propiedad en común, tampoco. Me sacaría de la manga algo si tomara una distribución particular con sus propiedades particulares para hacer el argumento.

    Si N es conocido (por ejemplo, 4) yo nunca he dicho, ni se deduce de mi razonamiento, que se deba cambiar. Ahí si que no hay tutía, hace falta tener una distribución a priori para contestar. No se puede, como intenta O'Reilly, hacerlo sin ese dato. Él es quien cae en ese error, no yo.

    Insistes en decirme que la falacia de Bruno es que no calcula las cosas según una versión del método sencillo de resolución, pero insisto en que Bruno está intentando el método complicado, con las condicionales, que no es erróneo si se hace bien.

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  15. Veámoslo con sencillez:

    _Silvia: oye Bruno tengo un sobre con un 2 y otro sobre con un 4, y están mezclados. Toma este.
    _Bruno: Vale, espera! Si llamo “100” a este sobre, el otro será el doble o la mitad, 0.5 x 100 x 2+ 0.5 x 100 x 0.5= 125 y me conviene cambiar. Dame el otro.
    _ Silvia: No no, una serie de estudiosos en la materia dicen que 50 y 200 no son igual de probables, de hecho 200 es dos veces menos probable, además 12.5 es dos veces mas probable que 50, imagínate! Por eso hay tantos pobres!
    _Bruno: grandísimo hallazgo! Me quito el sombrero, directamente voy a rellenar la bonoloto 1,2,3…. Y en que se basan para afirmar eso?
    _Silvia: Bueno…. hace que no tengas que cambiar de sobre.
    _Bruno: Ya pero…. ¿es verdad que dado este sobre que tengo en mi mano, la probabilidad de que el otro sea el doble es 0,5?
    _ Silvia: Si, porque están mezclados
    _Bruno: Y si a mi sobre le llamo “100” no será igual de probable que el otro tenga “200” o tenga “50”.
    _Silvia: Claro, llamarlo de una forma u otra no va ha hacer que se cambie la probabilidad.
    _ Bruno: Pues entonces no se sostiene que no pueda cambiar de sobre por eso.
    _Silvia: Quizás sea por otra cosa.

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  16. Si tu rechazo a la solución larga que he mostrado todo este rato se parece algo a lo que planteas, eso tiene fácil refutación: no se parece en nada.

    -Si tiene un sobre con un 2 o un 4, las probabilidades de N=2 y N=4 son 1/2 1/2. Las condicionales de N/2 y 2N para N=2 son 0 y 1 y para 4, 1 y 0. La ganancia esperada de cambiar es 1/2(0x1+1x4)+1/2(1x2+0x8)=3. La de no cambiar es 1/2x2+1/2x4=3.

    Pregunta 1: ¿Hay algo erróneo en lo anterior?

    -Si llamo "100" a este sobre... Supongo que quieres decir ...si en este sobre N=100...
    La probabilidad de N=100 es cero según tu ejemplo. Las condicionales de N/2 y 2N no están definidas. En el cálculo de la ganancia según el método corto, N=100 se multiplica por cero. En el cálculo según el método largo tendremos, en el sumando correspondiente 0x(indef.x50+indef.x200). Da igual el valor de indef., que ese sumando (el de N=100) aporta cero.

    Pregunta 2: ¿Hay algún error en lo anterior?

    -Espera... una serie de estudiosos...
    Una serie de estudiosos, si son de los buenos, dicen lo que he dicho supra.

    -¿En qué se basan...?
    En un buen cálculo de las probabilidades.

    -...¿Es verdad que dado este sobre que tengo en la mano la probabilidad de que el otro sea el doble es o,5?

    La respuesta a esto es NO para todo N en general y NO para N=2 (es 1) y NO para N=4 (es 0) en tu ejemplo.

    Pregunta 3: ¿Hay algún error en eso?

    -Llamarlo de una forma u otra no va a hacer que cambie la probabilidad.

    Claro que sí, para N=2 es 1 y para N=4 es 0 para el doble y 0 y 1 para la mitad en tu ejemplo, como hemos visto.

    Pregunta 4: ¿Hay algún error en esto?

    -Entonces no se sostiene...

    No, entonces se sostiene todo. Vide supra.

    He numerado las preguntas para facilitar las aclaraciones. ¿A cuál de ellas contestas que sí?

    Si a todas contestas que no, es que ya lo has entendido.

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  17. -Si tiene un sobre con un 2 o un 4, las probabilidades de N=2 y N=4 son 1/2 1/2. Las condicionales de N/2 y 2N para N=2 son 0 y 1 y para 4, 1 y 0. La ganancia esperada de cambiar es 1/2(0x1+1x4)+1/2(1x2+0x8)=3. La de no cambiar es 1/2x2+1/2x4=3.

    Pregunta 1: ¿Hay algo erróneo en lo anterior?


    No hay probabilidad condicionada cuando N es 2 , o cuando N es 4, hay certeza pura porque la situación ha quedado definida. Tienes por tanto el prorrateo de dos estados discretos y bien definidos. Esto que has hecho no se distingue conceptualmente en nada de lo que ha hecho O´Reilly, el calculo es correcto y la consecuencia también. Pero la interpretación no, la interpretación que de ella emanas es una pura falacia cuando hablas de números no igual de probables en situaciones no definidas, cuando estos suceden en estados definidos. Y evidentemente, si dices que O´Reilly no ha mostrado la falacia tú tampoco lo haces, porque te limitas a resolver el problema esquivando el razonamiento de Bruno.

    -Si llamo "100" a este sobre... Supongo que quieres decir...si en este sobre N=100...
    La probabilidad de N=100 es cero según tu ejemplo. Las condicionales de N/2 y 2N no están definidas. En el cálculo de la ganancia según el método corto, N=100 se multiplica por cero. En el cálculo según el método largo tendremos, en el sumando correspondiente 0x(indef.x50+indef.x200). Da igual el valor de indef., que ese sumando (el de N=100) aporta cero.

    Pregunta 2: ¿Hay algún error en lo anterior?


    Bruno puede llamarle 100 a 2 o a 4 si quiere, es una cuestión de escala. Y la probabilidad de 200 al obrar de esa manera no es 0. Tu razonamiento lo que no puede hacer es ignorar este hecho y replantearlo como mejor te venga.


    -Espera... una serie de estudiosos...
    Una serie de estudiosos, si son de los buenos, dicen lo que he dicho supra.

    -¿En qué se basan...?
    En un buen cálculo de las probabilidades.


    Yo me lo guiso, yo me lo como.

    Continua..

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  18. -...¿Es verdad que dado este sobre que tengo en la mano la probabilidad de que el otro sea el doble es o,5?

    La respuesta a esto es NO para todo N en general y NO para N=2 (es 1) y NO para N=4 (es 0) en tu ejemplo.

    Pregunta 3: ¿Hay algún error en eso?


    Céntrate en la pregunta que realiza Bruno, no la ignores y reescribas su propia pregunta en otros términos para responderla.

    Si respondes No a la pregunta de Bruno. Estas rechazando la propia noción básica de la probabilidad. Cuando el sobre que tiene Bruno en su mano sea uno determinado, entonces el otro sobre será otro determinado y hablamos de estados discretos, existe la certeza y no la probabilidad, que es lo que haces y lo que hace O´Really. Pero como Bruno no sabe cual es el sobre que esta en su mano, esta en el perfecto estado legitimo de decir que hay un 50% de tal y otro 50% de tal. No puedes negar esto sin negar que cuando tienes un dado oculto tras un cubilete los diferentes estados tienen 1/6 de probabilidad.


    -Llamarlo de una forma u otra no va a hacer que cambie la probabilidad.

    Claro que sí, para N=2 es 1 y para N=4 es 0 para el doble y 0 y 1 para la mitad en tu ejemplo, como hemos visto.

    Pregunta 4: ¿Hay algún error en esto?


    No estas respondiendo a la pregunta, el que Bruno llame a su sobre “2”, “1000” o “San Jorge”, no altera en nada las probabilidades de que su otro sobre sea mayor o menor. Vuelve al dialogo con Silvia.

    En general, en el mejor de los casos lo que haces es resolver el problema tal y como lo hace O´Really esquivando el razonamiento de Bruno. Con el inconveniente que tienes que decidir sobre un aspecto insustancial al kid de la falacia de bruno como es la posibilidad o no de elegir un número al azar, y esto solo para que tú forma de abordarlo no se desmorone. Además, la forma de abordarlo que tienes no necesita de conceptos erróneos que expones.

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  19. En mi comentario anterior he seguido tu diálogo (no necesariamente el razonamiento de Bruno en la entrada) pensando que así veíamos dónde no me estás siguiendo.

    "No hay probabilidad condicionada cuando N es 2"

    Sí la hay, son 0 y 1 para 1 y 4 en tu ejemplo. La teoría de la probabilidad se aplica igual.

    "Pero la interpretación no, la interpretación que de ella emanas es una pura falacia cuando hablas de números no igual de probables en situaciones no definidas"

    No sé a qué interpretación te refieres ¿a lo que hago antes de la pregunta 2?

    "Bruno puede llamarle 100 a 2 o a 4 si quiere, es una cuestión de escala. Y la probabilidad de 200 al obrar de esa manera no es 0."

    "Céntrate en la pregunta que realiza Bruno"

    ¿Te refieres a esta?:

    "¿es verdad que dado este sobre que tengo en mi mano, la probabilidad de que el otro sea el doble es 0,5?"

    Creo haberla respondido. La respuesta es que no, en general, para cualquier número, como he mostrado.

    Parece que te refieres, sin embargo, a hacer la media recorriendo todos los números. La respuesta en este caso también es NO: Si los pares posibles son (2,4) y (4,8) con probabilidad 1/3 2/3, dado un sobre la probabilidad de tener 2, 4 y 8 es 1/6, 3/6, 2/6. Si es 2 el otro sobre tendrá el doble con probabilidad 1, si es 4, con probabilidad 1/2 y si es 8, con probabilidad 0. Así pues, sin saber el número de mi sobre, la probabilidad de que el otro tenga el doble es 1/3x1+3/6x1/2+2/3x0 = 7/12.

    Claro que esto es porque las probabilidades de los pares (2,4) y (4,8) no son idénticas. Pero es lo que pasa en general. La respuesta es NO, en general.

    La respuesta será SI, si partes de una distribución particular (como 1/2 1/2) sobre los pares de sobres.

    Pero acaso te refieras a la probabilidad de que el valor del otro sobre sea el doble que la media de lo que tengo en este sobre. En este caso la respuesta es SI.

    En este caso, el significado de el doble será de "el doble de la media", como bien has hecho tú en algún comentario anterior. Es decir, será el doble de la media entre 2 y 4, que es 3. Pero, en la manera "larga" de resolver el problema nunca he considerado yo esta media, sino cada número posible (2 o 4) y las probabilidades de doble o mitad condicionadas a estos números.

    He sido siempre consecuente con esto.

    Parece que esta es la fuente del malentendido. Me achacas que no considero que la probabilidad es 1/2 de un suceso que no estoy nunca computando.

    La trabajar con N y N/2 tienes razón en que no importa la escala. Pero yo no trabajo con N y N/2. Yo trabajo (en la manera larga) con N y las condicionales de N/2 y 2N. En este caso 2N no es el doble de la media de lo que puede haber en mi sobre, sino el doble de un N en particular, sobre los que tomo la media (ponderando las condicionales por la a priori). Son distintas definiciones de eventos.

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  20. La clave de la falacia es que Bruno inicia el camino largo: considera las probabilidades condicionales de N/2 y 2N fijado N, no considerando la media de los N. Fíjate que compara la esperanza de los pagos con N y no con la media de N y 2N. Puedes decir, ¡ahá! ESE es el error. Ese sería el error si antes no hubiera dicho que consideraba N/2 y 2N. Puedes decir, ¡ahá!, entonces ESE es el error. Lo que yo digo es que considerar N/2 y 2N NO es un error. Puede seguirse perfectamente y comparar la media de esos dos valores con N. El error es que, en esa manera de actuar NO se pueden poner probabilidades idénticas y la razón nos lleva a la imposibilidad de poner una distribución de probabilidad con condicionales 1/2 1/2 para todo N.

    Todos los conceptos que he usado en todos los comentarios están bien definidos y sus probabilidades bien calculadas. Muéstrame uno en que no sea así (antes mira bien que el concepto significa lo que yo digo y no lo que tú crees, como esto de ser el doble, para lo que te he dado arriba tres definiciones).

    Respóndeme a la siguiente pregunta:

    Si Bruno mira el sobre y es un 4, ¿las probabilidades de 8 son las mismas que las de 2? ¿debe cambiar? Si no son las mismas ¿cuáles son y de qué distribución salen?

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  21. "¿es verdad que dado este sobre que tengo en mi mano, la probabilidad de que el otro sea el doble es 0,5?"

    Creo haberla respondido. La respuesta es que no, en general, para cualquier número, como he mostrado.


    Céntrate en la situación en la que le ha puesto Silvia a Bruno. En la manera “corta” la pregunta de Bruno no tiene ningún sentido y evidentemente Bruno no la hace en ese sentido. ¿ No es verdad acaso que su sobre la mitad de las veces será el mayor de ambos y la mitad de las veces será el menor de ambos porque están mezclados? Por favor, estas negando una cosa que es realmente elemental. ¿Cuando tiras una moneda no es cierto que la mitad de las veces tendrás cara y mitad de las veces cruz? Vuelve al dialogo.

    Si los pares posibles son (2,4) y (4,8)

    De donde sacas que los pares posibles son esos. Solo hay un par posible (2,4) como ha comentado Silvia, que es igual que decir que los pares posibles son (2N,4N) abarcando todo el espectro de números posibles en un único y solo problema. No has podido resolver el problema de una forma esencialmente diferente a O´Really, porque esa es la única forma esencialmente valida de resolverlo, es decir considerando prorrateos de 2 únicos estados discretos. Debes de asumir que si O´Really no consigue dilucidad la paradoja tu tampoco lo haces, además mientras que O´Really acota grosso modo la falacia en lo de “peras y manzanas” tu no lo haces, ni los otros muchos que como tu mantienen esta postura.

    De otro modo, porque iban a ser posibles (2,4) y (4,8), y no (N,2N) en todo el infinito, estas haciendo una aseveración del mundo físico cuando el problema transciende de la imposibilidad física. ¿Qué ocurre que con una distribución (N,2N) la cosa no sale y por eso Ad-Hoc descartado? ¿Te das cuenta de que esta decisión es solo para que las cuentas os salgan y no tiene nada que ver con acotar la falacia?

    Si Bruno mira el sobre y es un 4, ¿las probabilidades de 8 son las mismas que las de 2? ¿debe cambiar? Si no son las mismas ¿cuáles son y de qué distribución salen?

    Recuerda que Silvia le ha dicho que dentro de los sobres hay un 2 y un 4, una vez que ha visto el sobre con un 4 no cambiara, tiene la certeza de lo que pasa. La paradoja no habla de un Bruno que destapa sobres, no lo olvides.

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  22. "¿ No es verdad acaso que su sobre la mitad de las veces será el mayor de ambos y la mitad de las veces será el menor de ambos porque están mezclados? Por favor, estas negando una cosa que es realmente elemental."

    A ver, que yo no he negado eso. Me he molestado en encontrar tres tipos de eventos distintos que pueden corresponder con la expresión "el otro sobre tiene el doble". En algunos es cierto, en otros no. En el que ha quedado claro que dices aquí, sí lo es. En otros, que son los que usa Bruno en la versión original de la paradoja, no.

    "De donde sacas que los pares posibles son esos"

    Los pongo como ejemplo para mostrar los cálculos en la manera larga y distinguirlos de la manera corta y evitar que estemos refiriéndonos a cosas distintas con las mismas palabras y no aclararnos.

    "No has podido resolver el problema de una forma esencialmente diferente a O´Really, porque esa es la única forma esencialmente valida de resolverlo,"

    Es posible que uno pueda decir que distintas maneras de resolver un problema son "esencialmente la misma". Pero si hacen distintas operaciones, habrá que ceñirse a las que hacen, y ver que se hagan bien. La manera larga incluye prorrateos de todos los N y de todas las condicionales de N/2 y 2N. Me parece bastante distinto.

    "Debes de asumir que si O´Really no consigue dilucidad la paradoja tu tampoco lo haces"

    O'Really dilucida la paradoja si uno acepta que Bruno quiere hacer el camino corto y lo hace mal. Yo dilucido la paradoja si se acepta que Bruno quiere hacer el camino largo y lo hace mal. Las peras y manzanas aparecen en la dilucidación de O'Reilly (comparar N con el valor medio de N y 2N en lugar de N/2 con el valor medio de N y 2N). En mi dilucidación aparece la imposibilidad de una distribución uniforme sobre los múltiplos de 2 (y de otorgar la misma probabilidad a N/2 y 2N para compararlo con N)

    Fíjate de nuevo en eso: En la versión corta, la base de la comparación es N/2, en la larga es N.

    "el problema transciende de la imposibilidad física"

    Esto es irrelevante, estamos planteando una paradoja en un modelo lógico-matemático.

    "¿Qué ocurre que con una distribución (N,2N) la cosa no sale y por eso Ad-Hoc descartado?"

    La cosa sale exactamente igual. Aunque para ser más concreto, dime qué aspecto de la cosa, no querría llenar decenas de líneas en vano.

    "Recuerda que Silvia le ha dicho que dentro de los sobres hay un 2 y un 4"

    Me refería al planteamiento original, cuando no sabe que los números son 2 y 4, sino uno y su doble (en el de tu diálogo la pregunta es una trivialidad). Sé que en la paradoja no se ve el sobre, pero te pido que contestes a la pregunta para que entiendas mejor el papel de las condicionales a partir de una distribución apriorística.

    Así, pues, en el planteamiento original, si Bruno ve un 4 en su sobre, ¿cambia? ¿qué probabilidades hay para 2 y 8? ¿de dónde salen?

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  23. Te he presentado un dialogo entre Silvia y Bruno donde la paradoja existe, donde se muestra que “200” y “50” son igual de probables. Dices que depende de cómo se entienda, claro, pero el caso es que Bruno alude a una interpretación legítima y propia de la probabilidad, y ese caso es el que hace que “200” y “50” sean equiprobables. Este es el caso que debe de servir para encontrar la falacia de Bruno. Para resolver el problema al margen del caso, existen otros planteamientos.

    El planteamiento que propones como ese que denominas “largo” prorratea el beneficio de cambiar frente al de quedarse en todo N, incluso no tiene problemas en los extremos infinitos dado que para todo conjunto, existirá una N que no tenga doble o mitad. Este es el punto fijo que también utiliza O´Really pero de otro modo.

    Dices en el artículo:

    Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

    ¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128


    Las probabilidades son únicamente distintas en los extremos y cuando sabes la distribución que te da Silvia. Para dos cartas solo dos valores son posibles al 50%. Para un N solo otros dos, si se habla de situaciones determinadas no existe probabilidad sino certeza. Tendrías que contextualizar y razonar esto que estas afirmando y que puede parecer disparatado para no dar lugar a malentendidos.

    Así, pues, en el planteamiento original, si Bruno ve un 4 en su sobre, ¿cambia? ¿qué probabilidades hay para 2 y 8? ¿de dónde salen?

    Las probabilidades reales dependen de la distribución de Silvia. Las que suponga Bruno dependerán de una serie de supuestos que el asuma, si asume equiprobabilidad en todo el recorrido de N, pensara que 2 y 8 se presentan junto con el 4 al 50%, y en base a ello cambiar. Puede proratear beneficios para saber si termina estando en lo cierto.

    ¿Cómo lo responderías?

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  24. "Te he presentado un dialogo entre Silvia y Bruno donde la paradoja existe, donde se muestra que “200” y “50” son igual de probables."

    Supongo que no quieres decir que 200 y 50 son equiprobables, sino que Bruno dice eso, que parece sensato, pero que es equivocado. En esta versión de la paradoja que presentas, como la distribución a priori ya es conocida y es muy sencilla la versión larga de la solución se queda en 1/2(0x1+1x4)+1/2(1x2+0x8)=3 (más cero por todos los demás valores que tienen probabilidad cero). Pero, según cuentas el diálogo, no está claro qué versión intenta. Por una parte fija el número N (en 100), pero, por otra, no hace el recorrido de los posibles N (que es lo que hay que hacer si fijas el sobre que tienes). Si fija un número, tiene que ser la media de N y N/2. Así que puedes pensar que está intentando la manera corta. No me meto.

    "Las probabilidades son únicamente distintas en los extremos y cuando sabes la distribución que te da Silvia."

    Las probabilidades serán distintas en los extremos o en cualquier otra parte, dependiendo de la distribución. No hace falta, para esto, saber la distribución de Silvia, porque sucede para cualquier distribución.

    "si asume equiprobabilidad en todo el recorrido de N, pensara que 2 y 8 se presentan junto con el 4 al 50%"

    Es que eso es precisamente lo que no puede asumir en ningún caso. No existe ninguna distribución de probabilidad sobre los posibles múltiplos de 2 que tenga esa propiedad.

    Cuando no se sabe la distribución de probabilidad, faltan datos. Si he de tomar decisiones con este tipo de incertidumbres, he de hacerlo, por lo menos de manera consistente y esto implica tomar decisiones de acuerdo con una distribución de probabilidad subjetiva. Con esta resolveré las condicionales de N/2 y 2N para cada N y prorratearé recorriendo todos los N de acuerdo también con la probabilidad según la distribución subjetiva.

    Si le sale un 4 cambiará o no según qué distribución esté usando. Pero la consistencia requerirá que para algunos números cambie y para otros no. No que cambie siempre o que no cambie nunca.

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  25. Veamos el siguiente juego de casino:

    Bruno va al casino con 10€, se echa una moneda cada vez que sale cara multiplica por 2 , cada vez que sale cruz divide entre 2. ¿Le conviene jugar?

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  26. Sí, claro.

    Pero fíjate que el casino no está eligiendo los pagos de acuerdo con una función probabilística a priori, sino que la distribución de probabilidades de los pagos va cambiando cada vez según el resultado anterior. No es el caso de la paradoja de los dos sobres (cambian las condicionales, pero no la distribución original).

    Podríamos preguntarnos si esas distribuciones que van cambiando podrían ser todas consideradas condicionales de alguna distribución. La respuesta es negativa, por lo que ya sabemos.

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  27. Se ha borrado el comentario anterior al del casino:
    __________________________________

    No has dado una explicación a lo de:

    Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

    ¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128


    Tienes que ponerlo en contexto, si quieres que no se te malinterprete.

    Por otra parte:

    "Las probabilidades son únicamente distintas en los extremos y cuando sabes la distribución que te da Silvia."

    Las probabilidades serán distintas en los extremos o en cualquier otra parte, dependiendo de la distribución. No hace falta, para esto, saber la distribución de Silvia, porque sucede para cualquier distribución.


    Me baso en tu propio planteamiento (2,4),(4,8)…… etc. Que dan valores iguales a los internos y la mitad para los extremos, en este planteamiento solo aparecen 2 probabilidades distintas. En resumen debes de razonar lo señalado en el punto anterior.

    Continua

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  28. "si asume equiprobabilidad en todo el recorrido de N, pensara que 2 y 8 se presentan junto con el 4 al 50%"

    Es que eso es precisamente lo que no puede asumir en ningún caso. No existe ninguna distribución de probabilidad sobre los posibles múltiplos de 2 que tenga esa propiedad.


    Razona claramente porque eso es así. Te recuerdo que no es una razón decir que es lo que hace que cambiar y no cambiar sea equivalente, eso no seria un argumento, seria un recurso socorrido.

    continua

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  29. Cuando no se sabe la distribución de probabilidad, faltan datos. Si he de tomar decisiones con este tipo de incertidumbres, he de hacerlo, por lo menos de manera consistente y esto implica tomar decisiones de acuerdo con una distribución de probabilidad subjetiva. Con esta resolveré las condicionales de N/2 y 2N para cada N y prorratearé recorriendo todos los N de acuerdo también con la probabilidad según la distribución subjetiva.

    Ten en cuenta que esto pertenece al problema donde se destapan los sobres. Esto es otro problema de una naturaleza diferente y no conviene mezclarlos. Estas diciendo de una forma velada que Bruno tendrá que asumir una distribución de probabilidad ad-hoc para que su desarrollo no se vuelva inconsistente, ademas tu planteamiento para la resolucion del problema original no contempla la distribucion que ahora asumes. De todos modos Bruno podrá asumirlo, pero si pretende que esa distribución sea no solo una asunción sino representativo de la realidad, tendrá que comprobar que los resultados lo avalan. Si Silvia decide que los numeros sean equiprobables, Bruno se dara cuenta de ello y su premeditada asunción tendrá que ser revocada. Y si Silvia le ha dicho de antemano que los infinitos numeros seran equiprobables, Bruno estará realizando de antemano una asunción que sabe fracasara a la larga.

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  30. "No has dado una explicación a lo de:

    Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

    ¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128

    Tienes que ponerlo en contexto, si quieres que no se te malinterprete."

    No te entiendo, ¿quieres una prueba de que, si las probabilidades condicionales de N/2 y 2N son 1/2 1/3 para todo N, entonces las probabilidades de N son idénticas para todo N?

    Me parece bastante obvio, por eso no lo he hecho más explícito. (Indiquemos las probabilidad condicional por \) Tenemos pr(N/2\N)=pr(N/2)/(pr(N/2)+pr(N))
    y también
    pr(N\N/2)=pr(N)/(pr(N/2)+pr(N))
    Si pr(N/2\N)=pr(N\N/2) para todo N, tenemos que pr(N/2)=pr(N) para todo N (estas son las probabilidades sin condicionar, es decir, las de la distribución original).

    Esto no puede ser, porque sumando probabilidades positivas e iguales para los infinitos múltiplos de N tendremos que la probabilidad total suma infinito y no uno. QED.

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  31. "Me baso en tu propio planteamiento (2,4),(4,8)…… etc. Que dan valores iguales a los internos y la mitad para los extremos, en este planteamiento solo aparecen 2 probabilidades distintas. En resumen debes de razonar lo señalado en el punto anterior."

    Mi planteamiento era un ejemplo. Puedes poner las probabilidades que te plazca a todos los pares (N, 2N) mientras sume uno y de ahí obtener las probabilidades de cada N y de ahí las condicionales de N/2 y 2N para cada N.

    Puedes poner 1/4 para (1/1024, 1/512), 1/4 para (512, 1024) y repartir el 1/2 que te queda entre los valores intermedios.

    Con todo, por la desigualdad de Chebychev (o como quiera que se escriba ahora) es cierto que las probabilidades disminuirán según se tienda a infinito o a cero para cualquier distribución.

    No veo la relevancia de estas observaciones para el asunto.

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  32. "No existe ninguna distribución de probabilidad sobre los posibles múltiplos de 2 que tenga esa propiedad.

    Razona claramente porque eso es así. Te recuerdo que no es una razón decir que es lo que hace que cambiar y no cambiar sea equivalente, eso no seria un argumento, seria un recurso socorrido."

    Como he mostrado antes, para que las probabilidades de N/2 condicionado a N y de 2N condicionado a N sean iguales para todo N se requiera que las probabilidades absolutas de N sean iguales para todo N. Si valen x, la probabilidad de la unión de los N será infinita. Contradicción.

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  33. "Ten en cuenta que esto pertenece al problema donde se destapan los sobres. Esto es otro problema de una naturaleza diferente y no conviene mezclarlos. Estas diciendo de una forma velada que Bruno tendrá que asumir una distribución de probabilidad ad-hoc para que su desarrollo no se vuelva inconsistente, ademas tu planteamiento para la resolucion del problema original no contempla la distribucion que ahora asumes."

    Claro que es para ese problema. Yo mismo te lo he dicho. No he dicho nada de forma velada. Desde el principio he dicho que hace falta una distribución de probabilidad a priori para hacer los cálculos de las condicionales de N/2 y 2N condicionado a N y luego hacer la media para todos los N.

    Cuando Bruno sabe que N=4, no le queda más remedio que asumir una distribución concreta a priori para todos los N.

    Cuando Bruno no sabe N, no hace falta que la asuma, puesto que, PARA CUALQUIERA que asuma, el resultado será que cambiar o no cambiar es lo mismo, como muestran los ejemplos que he puesto y como se puede mostrar en general.

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  34. No te entiendo, ¿quieres una prueba de que, si las probabilidades condicionales de N/2 y 2N son 1/2 1/3 para todo N, entonces las probabilidades de N son idénticas para todo N?

    No, quiero que razones porque para cada N, N/2 se presenta 2/3 de las veces y 2N 1/2 de veces. Era obvio lo que decías, pero no te pregunto por eso. Debes de dar razonas por las cuales esa atribución 2/3 y 1/3 para cualquier numero N, no es el absurdo que indica que es.

    Por ejemplo supon una disitribucion legitima como cualquier otra (2,4)(4,8)(8,16), la probabilidad para N=4 de N/2 es 0.5 y 2N es =0.5 no 2/3 y 1/3. QED

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  35. "No, quiero que razones porque para cada N, N/2 se presenta 2/3 de las veces y 2N 1/2 de veces."

    ¿Por qué habría de razonar eso, que nunca he afirmado?

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  36. Cuando Bruno no sabe N, no hace falta que la asuma, puesto que, PARA CUALQUIERA que asuma, el resultado será que cambiar o no cambiar es lo mismo, como muestran los ejemplos que he puesto y como se puede mostrar en general.

    Si Silvia decide de forma tacita que la disitribucion va a ser equiprobable, ten por seguro que lo sera, porque es la tautologia encerrada en que Silvia decide de forma tacita que la distribucion va a ser equiprobable. QED

    Lo que haces justamente y parece que no te das cuenta de ello, es que frente dos cosas en apariencia absurdas como que Bruno deba de cambiar de sobre y que 8 y 2 no se presenten en la misma frecuencia cuando sale un 4. Eliges la que menos absurda de ambas te parece, y justificas la no absurdidad de la otra simplemente en la validez de la primera.

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  37. "No, quiero que razones porque para cada N, N/2 se presenta 2/3 de las veces y 2N 1/2 de veces."

    ¿Por qué habría de razonar eso, que nunca he afirmado?


    Aqui abajo.

    ¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1.

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  38. "Si Silvia decide de forma tacita que la disitribucion va a ser equiprobable, ten por seguro que lo sera, porque es la tautologia encerrada en que Silvia decide de forma tacita que la distribucion va a ser equiprobable."

    Silvia puede decidir lo que quiera, pero si decide hacer una imposibilidad matemática, ten por seguro que no la hará. QED.

    Que Bruno deba cambiar de sobre es absurdo, que 2N y N/2 salgan con probabilidades 1/2 1/2 para todo N también. Que para toda distribución de probabilidad sobre los múltiplos de 2 deba existir algún N para el que la probabilidad de N/2 y 2N no sea idéntica no solo no es absurdo sino que es una necesidad matemática.

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  39. "¿Por qué habría de razonar eso, que nunca he afirmado?

    Aqui abajo.

    ¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1."

    Iñigo, hay que tener paciencia, esa es UN ejemplo, NUNCA he dicho que deba cumplirse así para TODA distribución. De hecho, en las decenas de comentarios que llevamos te he puesto otros ejemplos que no cumplen eso.

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  40. Silvia puede decidir lo que quiera, pero si decide hacer una imposibilidad matemática, ten por seguro que no la hará. QED.

    No hay ningun imposibilidad matematica en que un numero pueda estar distribuido en todo N. Para todo N existe una funcion de normalizacion. QED

    Pero bueno si te resulta menos incomodo hablemos de conjuntos finitos, por ejemplo del (1,2)......(64,128). Argumenta que para la carta destapada 4 de Bruno 2 se presentara el doble de veces que el 8.

    que 2N y N/2 salgan con probabilidades 1/2 1/2 para todo N también.

    Claro, en los extremos es diferente.

    Que para toda distribución de probabilidad sobre los múltiplos de 2 deba existir algún N para el que la probabilidad de N/2 y 2N no sea idéntica no solo no es absurdo sino que es una necesidad matemática.

    No para toda, si la diseñas Ad-hoc. Pero para la equiprobable si. QED

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  41. "No hay ningun imposibilidad matematica en que un numero pueda estar distribuido en todo N."

    Por supuesto, pero no uniformemente distribuida en los múltiplos de 2, que es un conjunto infinito numerable. Esto está en cualquier manual mínimamente avanzado de probabilidad.

    "Pero bueno si te resulta menos incomodo hablemos de conjuntos finitos, por ejemplo del (1,2)......(64,128). Argumenta que para la carta destapada 4 de Bruno 2 se presentara el doble de veces que el 8."

    ¿Y por qué voy a argumentar eso, si nunca lo he afirmado? Además, será falso para muchas distribuciones de probabilidad.

    Lo que normalmente ocurrirá es que para algunos números será mejor cambiar y para otros no. En media dará igual. Revisa, por favor, los ejemplos que te puse al principio.

    "No para toda"

    Muéstrame una, please.

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  42. Por supuesto, pero no uniformemente distribuida en los múltiplos de 2, que es un conjunto infinito numerable. Esto está en cualquier manual mínimamente avanzado de probabilidad.

    Lo esencial es que es normalizable para todo N natural, tambien para sus subconjuntos.

    ¿Y por qué voy a argumentar eso, si nunca lo he afirmado? Además, será falso para muchas distribuciones de probabilidad.

    Cuando me planteastes la cuestion de la carta descubierta, me parece que estaba implicito en tu contestacion. Para evitar el cambio.

    Muéstrame una, please.

    Una distribucion donde exista alguna N con N/2 y 2N identicas. (1,2),(2,4),(4,8) equiprobables con N=4

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  43. que para toda distribución de probabilidad sobre los múltiplos de 2 deba existir algún N para el que la probabilidad de N/2 y 2N no sea idéntica no solo no es absurdo sino que es una necesidad matemática.

    No para toda, si la diseñas Ad-hoc. Pero para la equiprobable si. QED

    Correcto, no he valorado esa "no".

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  44. Correcto claro, cuando se valora la existencia de extremos

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  45. "Lo esencial es que es normalizable para todo N natural, tambien para sus subconjuntos."

    No entiendo esto.

    "Cuando me planteastes la cuestion de la carta descubierta, me parece que estaba implicito en tu contestacion. Para evitar el cambio."

    Cuando se descubre el sobre, se puede cambiar o no según la distribución a priori que tengas y ALGUNA tienes que tener.

    "Una distribucion donde exista alguna N con N/2 y 2N identicas. (1,2),(2,4),(4,8) equiprobables con N=4"

    Ejemplos donde para algún N las condicionales de N/2 y 2N ya te he dado yo desde el principio. Estábamos hablando de que fuera para todo N.

    "Correcto claro, cuando se valora la existencia de extremos"

    El que haya alguna razón para que lo que yo digo sea cierto no es un argumento en contra de lo que yo digo, sino a favor.

    Pero no hace falta llegar a los extremos. Pon 1/2 para (1,2), 1/4 para (32,16) 1/16 para (2,4), 1/32 para... Uso la secuencia 1/2, 1/4, 1/8 porque es la más sencilla que sabemos que suma uno, pero puedes poner cualquier otra.

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  46. Bueno por lo que expones creo que ya se donde esta el malentendido. La redacción de la entrada me ha inducido a pensar que aludías a una distribución tacita de los números, de todos ellos.

    las probabilidades de los números... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

    Cuando estas hablando del diagrama de cambios.

    Por otra parte el ver que justamente asignabas una distribución que hace desaparecer la paradoja de inmediato tal que hacia 2N el doble de probable que N, entre toda la bastedad de distribuciones posibles, sugería que se hacia con intencionalidad.

    asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8

    De forma que no me he desprendido de esta percepción hasta que lo has abordado de forma expresa. Veo ahora que solo necesitas sostener la existencia de puntos fijos en los extremos, y esto es algo que igualmente asumo en el contexto del modelo, de acuerdo por tanto.

    La solución que luego has desarrollado en la discusión es correcta como ya dije, y hasta visualmente elegante. Solo que he tenido la impresión equivocada de que no sabias porque lo hacías, por eso la discusión, pero no es así en absoluto. Por tanto, en verdad una vez que habías aceptado que la forma que he presentado de resolver la paradoja corresponde al otro entendimiento que puede tener Bruno del “4”, la discusión podía haber concluido.

    Saludos

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  47. Enhorabuena a los dos por tener tanto aguante :)

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  48. Me estaban saliendo canas esperando este final, me parecio todo el tiempo que estaban diciendo ideas parecidas.

    Gracias.

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  49. Vaya. No sospechaba que alguien más hubiera aguantado hasta el final. Tiene mérito.

    Saludos.

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