miércoles, 17 de marzo de 2010

La torre herida por el rayo


En El Tamiz, blog recomendable donde los haya, hemos estado debatiendo la paradoja de Roos-Littlewood que, en realidad, no es más que una versión de otra paradoja algo más sencilla, La lámpara de Thompson. Tenemos una lámpara encendida. Al cabo de una hora la apagamos, media hora después la encendemos, un cuarto de hora más tarde la apagamos de nuevo, un octavo de hora después la encendemos otra vez, y así sucesivamente. Alternamos la lámpara encendida y apagada en intervalos cada uno la mitad de largo que el anterior. Todo el proceso acabará en dos horas:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+… = 2.

La pregunta inquietante viene ahora. Al cabo de esas dos horas, ¿la lámpara estará encendida o apagada?

Ninguna de las dos respuestas parece adecuada ni preferible a la otra. ¿Qué hacemos entonces?

Ocurre simplemente, que el problema no está bien definido. Parece bien definido porque hemos sido capaces de enunciarlo claramente, pero es solo apariencia. El problema está perfectamente definido para cualquier instante anterior a las dos horas, pero no para ese momento.

Hay quien dice que la indefinición de la paradoja se debe a que esa situación es físicamente imposible. No hay manera de encender y apagar tan rápidamente una lámpara. Además, según la mecánica cuántica, hay un intervalo de tiempo (el tiempo de Planck) que es indivisible. No es que no podamos o sepamos dividirlo, sino que en la mecánica cuántica no existe posibilidad de algo más pequeño (en otras palabras, el tiempo es discreto, va a saltitos).

Pero la paradoja no está planteada en ningún mundo físico que llega a momentos indivisibles, sino en una construcción nuestra, donde es posible dividir siempre un poco más cualquier intervalo de tiempo (en otras palabras, el tiempo es continuo). La indefinición está en que es imposible formular un modelo lógico-formal en el que la pregunta tenga sentido. De hecho, la paradoja es lógicamente equivalente a resolver la siguiente suma:

1-1+1-1+1-1+1-1+….

En esa suma, el 1 corresponde a la vela encendida y el -1 a su apagado. Esa suma no está definida. No existe ni como planteamiento.

El problema es similar a la siguiente paradoja:

¿Qué ocurre si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible?

Volvemos a tener otro problema mal definido, a pesar de que fácilmente hayamos podido expresar esa pregunta en un lenguaje natural. El problema no es que físicamente sea imposible tener un rayo rompelotodo o una torre indestructible. El problema es que en un lenguaje formal la paradoja no se puede plantear. Para ello haría falta definir qué significa un rayo rompelotodo, y para eso tendríamos que enumerar el conjunto de elementos que hay en el todo y que son rompibles por el rayo. Entre esos elementos no puede estar la torre indestructible. La misma indefinición encontraríamos si comenzamos por definir la torre indestructible. De la misma manera, en las matemáticas no puede existir la suma anterior, ni en ningún modelo formal puede existir la lámpara de Thompson.

(En realidad sí se podría definir la suma, pero no como resultado de la operación suma de toda la vida, sino definiendo arbitrariamente un valor, y lo mismo se podría hacer con un modelo formal para la lámpara de Thompson, pero definir arbitrariamente un valor se parece mucho a obviar el problema.)

De esta paradoja toca aprender el cuidado que hay que tener con lo que formulamos, ya que enunciados aparentemente sensatos son, en rigor, imposibles de enunciar.

En la realidad no se da la paradoja porque el tiempo real no es continuo. Este pensamiento es poco evocador. Prefiero el que me llega en momentos de duermevela, según el cuál el secreto de por qué el mundo es cuántico se debe a que una realidad continua no es lógicamente posible.

84 comentarios:

  1. Hola José Luís...
    Pensando en esta paradoja y la de Ross y Litllewood. Me parece que hay algo distinto en una y en otra.

    Antes de nada me gustaría decir que una suma tipo: 1-1+1-1+1.... sí se puede definir. Para ello hay que usar un sistema contradictorio. El problema es que el sistema se vuelve indecidible o indeterminado.Y en este sentido vemos claramente como se puede definir lo indeterminable, es decir, se puede definir un sistema incapaz de darnos valores bien definidos.

    La diferencia que yo veo entre esta paradoja y la otra es que en el caso de la lámpara estamos ante un sistema contradictorio: ni el estado de encendido ni el de apagado pueden ser un estado final o lo que es lo mismo, ambos pueden ser el estado final; hecho, éste, que nos lleva a la indeterminación.

    La paradoja de Pedro, en cambio, se debe a que Ross y Litllewood creen haber demostrado que infinito - infinito= 0.

    Saludos.

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  2. Ya me gustaría poder participar, pero me conformo con poder entender aproximadamente. Como lo mio es analogizar con menor que mayor fortuna, me llevaré estos razonamientos temporales al mundo de la filosofía y ya veremos lo que se me ocurre. Es mi jueguecillo innato desde que tengo memoria. Un abrazo.

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  3. Robert:

    Eres como el Guadiana (o, mejor, como era el Guadiana antes), que te apareces y desapareces.

    Ya decía en la entrada que se puede definir esa suma, pero de manera arbitraria y sin conexión con la suma de números reales.

    Las paradojas son distintas, pero la mayoría de las reflexiones de una se pueden hacer en la otra. No creo que Ross y Littlewood creyeran haber demostrado que infinito-infinito es cero, pero sí que algo así se deduciría de su "solución", aunque solo para el problema concreto de su paradoja.

    emejota:

    Un abrazo. Analogiza y traenos tus razonamientos, que serán bienvenidos.

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  4. Vale, sé que no tiene nada que ver, pero tu post me recordó inmediatamente a esto:

    XLI

    Tú eras el huracán y yo la alta
    torre que desafía su poder:
    ¡tenías que estrellarte o que abatirme!...
    ¡No pudo ser!

    Tú eras el océano y yo la enhiesta
    roca que firme aguarda su vaivén:
    ¡tenías que romperte o que arrancarme!...
    ¡No pudo ser!

    Hermosa tú, yo altivo: acostumbrados
    uno a arrollar, el otro a no ceder;
    la senda estrecha, inevitable el choque...
    ¡No pudo ser!

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  5. Bienvenida a este tu blog, Belén.

    Cualquier momento es bueno para recordar a Bécquer.

    Un saludo.

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  6. La nada y el infinito son abstractos del lenguaje humano; tal para cual. Y no tienen realidad propia, sólo la abstracción -valga la redundancia- del bucle de la mente humana.


    Jules Henri Poincaré -por poco pudo ser el inventor de la T. Relatividad en lugar de Einstein- exclamaba hablando del infinito y la nada: ”¿Es posible razonar sobre objetos que no pueden ser definidos en un número finito de palabras? ¿Es posible aún hablar de ellos y saber que lo que hablamos tiene algún sentido? ¿O por el contrario, deben ser considerados inconcebibles? Para mí, no dudo en considerarlos mera nada”.

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  7. José Manuel:

    Está claro que son conceptos abstractos, pero son bien útiles. El concepto de nada o de cero nos aparece cada vez que nos gastamos todo el dinero que teníamos en la cartera. El infinito no suele aparecer tan fácilmente.

    Pero el problema no es el infinito, sino las operaciones que definimos con infinitos elementos. No hay problema alguno para definir la operación suma de la primera serie:

    1+1/1+1/4+1/8+... = 2.

    ¡Cuidado! Lo primero es observar que esa suma infinita NO se deduce de la suma finita que aprendimos en la escuela con la tabla de sumar. Se trata de otra operación distinta, que hay que definir, y solo se puede definir de manera que mantenga las propiedades de la suma finita (conmutativa, asociativa,...) cuando la serie es convergente. La segunda serie:

    1-1+1-1+1-1+1...

    no es convergente y por eso no se puede definir en ella la suma infinita de manera coherente con las propiedades de la suma. Sí se puede asignar un valor arbitrario, como el 1, el 0, el 1/2 o, incluso definir una "suma cuántica" que toma los valores 1 ó 0 con ciertas probabilidades (a esto me refería en el antepenúltimo párrafo entre paréntesis).

    Pero, repito, nada esto último mantendría las propiedades de la suma (por ejemplo, la que dice que no varía al cambiar el orden o agrupar de distintas maneras los sumandos).

    El problema no es el infinito, sino lo que podemos definir en él.

    Un saludo.

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  8. José Luis:

    La nada no existe en sí. Sólo tiene realidad si le añadimos una locución adjetiva. Siguiendo tu ejemplo, decimos: "No tengo nada de dinero". Que es igual que decir: tengo cero de dinero.

    El infinito no es la inmensidad sino la infinitud. ¿Cómo definiríamos la infinitud en cualquier lenguaje, matemático o coloquial? La mente humana no puede imaginar el infinito. En un sistema cuántico no puede haber infinitos estados sino 1 ó o.

    Útil en el contexto, no en sí.

    Saludos

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  9. Pero lo mismo pasa para cualquier número. No existe el uno, sino un euro.

    El infinito (numerable) se define como el cardinal de un conjunto con el que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre él y el conjunto de los naturales. El cardinal de un conjunto numerable puede ser cero, uno, dos, ... o infinito.

    Si quieres podemos hacerlo de otra manera. Diremos que un conjunto tiene infinitos elementos si no existe ningún número natural tal que podamos contar lo elementos del conjunto y acabemos en ese número natural.

    Todo lo que es útil, lo es en un contexto.

    Un saludo.

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  10. Con lo cual podemos deducir que no hemos descubierto las matemáticas, las hemos inventado. Las matemáticas deducen unas cosas de otras sin importarle la veracidad de cuanto afirma; sólo le importa la coherencia. Una tautología que me encanta.

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  11. Las inventamos, pero atendemos a la realidad para definir cosas de interés (como la suma). Podemos decir que las inventamos, o que las descubrimos, en el sentido que otros seres inteligentes que jueguen a seguir las mismas reglas llegarán a las mismas conclusiones.

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  12. Hola señores...

    José Luís, explicame por qué la conclusión que Ross-littlewood pretenden demostrar no es lo mismo que intentar demostrar que infinito-infinito = 0? Lo que dice Ross, por ejemplo, me parece lo mismo que decir: imagina que tenemos dos conjuntos con infinitas volas positivas y otro conjunto con infinitas bolas negativas; cuando mezclamos una bola positiva con una negativa ambas desaparecen. Entonces, si mezclamos los dos conjuntos de infinitas bolas para generar un nuevo conjunto. se coje una bola positiva y se mete en un nuevo conjunto, se coje, entonces, una bola negativa y se introduce en este conjunto, inmediatamente las dos bolas desaparecen ¿cuántas bolas habrá en este conjunto una vez hayamos terminado de mezclar todas las bolas positivas con las negativas? Ros y Littlewood dirían que cero. Pero la verdad, no lo sabemos porqué no podemos tratar, como ellos sí harían, el infinito como un nº natural y finito, sino como un nº irracional o sea, sin valor determinado o final.Por tanto, no es posible hacer operaciones con infinitos y sacar, de ello, valores concretos y naturales.

    saludos.

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  13. Para el que no conozca bien el argumento de Ross-Littlewood, puede encontrarlo en el enlace de la entrada al blog El Tamiz.

    Una demostración debe ser un argumento general. En cambio R-L hacen un argumento para un ejemplo particular. Aunque en su ejemplo puedas decir que han querido demostrar que infinito-infinito es igual a cero, solo lo habrán querido hacer en ese caso concreto, con esos infinitos concretos, por así decirlo.

    Otra cosa es que su razonamiento fuera falaz por usar conceptos indefinidos, no sobre el infinito, sino sobre la suma de series divergentes.

    Con respecto a tu párrafo final, el infinito no es ni un número natural ni un número racional, ni siquiera es un número real o complejo. Los números racionales, como los reales o los complejos, tienen un valor perfectamente determinado y es posible hacer operaciones con ellos y sacar valores concretos (que serán naturales, racionales, reales o complejos, según la operación de que se trate).

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  14. Gracias por contestar José Luís...

    En cuanto a lo que dices de que una demostración debe ser un argumento general y el caso de la tesis de R-L sólo actua sobre un caso particular, creo que no es cierto... Almenos en matemáticas, en donde la inducción siempre es correcta y lícita, o sea, un caso particular siempre me da una ley general. Esto lo explica muy bien Poincaré en 'ciencia e hipótesis'.

    Creo que esta peculiardiad de las matemáticas se debe a que un caso particular, en matemáticas, muestra una forma de razonar y por tanto, expresa un caso arquetípico, o sea, un caso general.

    En este sentido, pues, me parece que R-L quieren demostrar que se puede operar con conjuntos de infinitos elementos como si estos fueran conjuntos finitos, contradiciendo lo que de ordinario se niega, como muy bien tu mismo nos has explicado ya. Y yo estoy contigo.

    Y en el caso particular de la paradoja que sale en el Tamiz se plantea una operación de infinitos tipo, infinito-infinito=0. He aquí la contradicción que propone Pedro, porque la matemática estandar afirma que infinito-infinito nos da un valor indeterminado, o sea, infinito (aunque normalmente a esta indeterminación se le da, por convenio, el símbolo (?) y no el del infinito própiamente, generando la duda de no tratarse de lo mismo)

    En fin, todo esto me da una idea que quizás tenga alguna utilidad... pero ya me he enrollado mucho.

    Nos vemos!!!

    Ah, por cierto, he dicho (o al menos quería decir) que el infinito es un número irracional, que puede traducirse como "valor indefinido", pues un númeor es un valor y algo irracional es algo indefinido.Pero bueno, esto es pura semiótica.

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  15. Robert:

    Estás mezclando dos cosas. La inducción matemática no tiene nada que ver con la generalidad de la prueba. Puedes entender la inducción matemática como un caso en el que "no hace falta demostrarlo todo", por así decirlo. Pero esto no implica que en todos los casos se pueda "no demostrar todo".

    Si una propiedad se cumple para n=1 y se demuestra que el cumplimiento para n implica el cumplimiento para n+1, la propiedad queda demostrada para todo n. Eso es la inducción matemática.

    Esto no tiene que ver con que si yo demuestro que tal problema tiene tal solución, entonces todos los problemas tendrán esa solución.

    Yo no sé qué "quisieron" demostrar R-L. Si quisieron demostrar que infinito-infinito es cero, obviamente estaban mal de la cabeza queriéndolo hacer en un solo caso. Pero ni en ese caso lo hicieron, por la indefinición de la paradoja, como he señalado.

    La matemáticas no dicen que infinito-infinito sea un valor indeterminado (ni, por tanto, infinito), sino que tal operación no existe.

    En matemáticas un número irracional es un número que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, como la raíz cuadrada de dos, que trajo justamente por eso de cabeza a los pitagóricos. No tiene nada que ver con la indefinición.

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  16. La paradoja de R-L viene a decir de forma resumida: una función que en cada sucesión incrementa en 10 unidades pierde una unidad, o sea, Sumatorio al infinito de 10x-x (y cada vez x vale 1). Bien R-L dicen que este sumatorio, en el infinito, da 0. O sea, en el infinito tenemos: (10-1)+(10-1)+(10-1)+...=0 y esto tb puede escribirse como 10·infinito-1·infinito = 0

    Óvbiamente este sumatorio tb se da con una función tipo 9x-2x, o con una tipo 1000000x-3x. Así pues, no me parece que estemos hablando de un caso aislado, sino de una forma de pensar. O sea, esto quedaría demostrado para todo sumatorio al infinito de nx-mx (siendo n>m)

    Saludos.

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  17. Yo no sé si R-L aceptan esa "demostración". Su argumento es que, para cada bola que se mete en la urna en la que se van añadiendo de 10 en 10, son capaces de decir en qué momento se saca de la urna, cuando se sigue la regla de sacarlas según el orden de los números que tienen pintadas (y estando numeradas consecutivamente a partir del uno).

    No dicen nada para otra manera de sacar las bolas ni dicen nada de hacer la operación infinito-infinito. Obviamente, su argumento se generaliza a meter x bolas y sacar y<x bolas, pero poco más. Y hay muchas otras maneras de llegar a la expresión "infinito-infinito" y sobre esas no se dice nada.

    Tú vienes a decir (y yo estoy de acuerdo), que esa "demostración" de R-L equivale a dar un valor a infinito-infinito. Pero yo digo que, en justicia, sólo en el contexto de R-L. De ese valor en ese contexto no se deduce otro valor en otro contexto, porque recuerda que las operaciones nx-mx siguen sin estar definidas.

    Definir arbitrariamente el resultado de una (10-1+10-1+10-1...) no define ninguna otra, porque no tenemos la operación definida, así que no hay propiedades que aplicar (conmutativa, asociativa, distributiva respecto de la multiplicación,...) y que necesitarías para generalizar el "resultado".

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  18. No me parece encertado lo que comentas sobre el argumento que dan R-L. Me parece que ellos dicen que pueden demostrar que si en la caja verde, despues de infinitos pasos, hay infinitos lutrinos (o bolas), y se sacan, precisamente, infinitos Lutrinos de esta caja verde para meterlas en la roja (pues en la roja tiene que haber, después de los infnitos pasos producidos, infinitos lutrinos procedentes de la caja verde), entonces, en la caja verde no pude haber ningún lutrino, pues todos habrán pasado a la caja roja.

    R_L al visualizar lo que sucede en la caja verde al infinito están aplicando una resta entre dos infinitos, afirmando que ésta operación da cero. Hechoq ue estamos deacuardo que no es admisible.

    Sin embargo, este problema se puede tratar como un límite (tal y como hacen la mayoría de matemáticos, como muy bien expone ya Pedro en el post). Y tratándolo como un límite se puede evitar acabar con una operación de tipo infinito-infinito, que da indeterminado. Y se puede resolver 'satisactoriamente' afirmando que en la caja verde habrán infinitos lutrinos, al igual que en la roja.

    Ilustro lo que digo de forma general; a partir del limite: Lim (cuando x tiende a infinito) de nx-mx (siendo m y n dos nº naturales cualquiera). Esto en principio da infinito-infinito (pues infinito multiplicado por cualquier nº natural da infinito); operación que resulta ser indeterminada. Pero tal indeterminación se puede resolver fácilmente de la siguiente forma:
    Lim (cuando x tiende a infinito) x(n-m). Y esto da, si m y n no son iguales, infinito ¡Si fueran iguales tendríamos otra indeterminación!

    En el caso concreto planteado por Pedro el limite a tratar es: con n=10 y m=1, entonces, Lim (cuando x tiende a infinito) 9·x=infinito. Así de simple.

    Por tanto, el límite que predice los lutrinos que habrán en la caja verde en el instante infinto está definido, y éste es infinito.

    Bueno, no sé, es divertido discutir estas cosas. Saludos.

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  19. José Luis:

    Es un caso de un límite que no está definido, como el de limite de seno de x cuando x tiende a infinito. O el de seno de 1/x cuando x tiende a 0.

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  20. RDC:

    He puesto el argumento de R-L en los términos en que lo ponen ellos. Yo estoy de acuerdo contigo en que todo se debe reducir a plantear la posibilidad del límite de la serie infinita, como creo que está todo el mundo. Pero esa serie, su límite no es infinito ni siete ni cero, es una operación inexistente. Tú dices que

    10-1+10-1+10-1+...

    es igual a

    9+9+9+9+9+..

    Eso no es cierto. La primera serie, no siendo convergente, no tiene límite definido, lo que quiere decir que esa suma infinita no es tal cosa. No es nada. No está definida, no tiene propiedades que usar. Tú usas la propiedad asociativa para deducir que es igual a la segunda, pero no puedes hacer eso. No tienes esa propiedad.

    Sursum corda!:

    Es lo que estoy intentando decir todo el rato. Para estas series (las de la paradoja) definir el límite es lo mismo que definir la suma infinita. Si no existe el límite, no existe la suma como operación.

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  21. José Luis:

    Es la falsa idea de que el valor del límite es el valor de la función o de la serie EN el infinito.

    NO hay el valor de x o de n igual a infinito y los profesores emplean horas en meter en la cabeza la idea de que algo tiende a infinito o de que algo tiende a un límite cuando es punto de acumulación. Pero NUNCA hay un valor x igual a infinito para el que la función o la serie alcancen ese valor del límite.

    El caso de las series o funciones oscilantes es el que comentamos una vez:

    0 = =0+0+0+0... =
    = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=
    = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=
    = 1+0+0+0+0 =1 <-> 0 = 1

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  22. Efectivamente, el infinito no es un número.

    Ese 0 = 1 se obtiene por aplicar reglas que no se pueden aplicar. No se puede definir la suma de una serie no convergente (como esas oscilantes que metes para hacer el truco) y no se puede usar la propiedad asociativa para agrupar sumandos.

    Es una consecuencia de lo que decía desde el comienzo, que no existe un modelo formal en el que plantear la paradoja. Un modelo formal no puede definir un límite de una serie no convergente de manera congruente con las propiedades de la suma sin llegar a contradicción, como no puede juntar en un mismo conjunto a la torre indestructible y al rayo rompelotodo.

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  23. "Efectivamente, el infinito no es un número."

    Y por lo tanto no hay manera de sumar la serie porque no converge y no tiene valor EN el punto. Si sumo +1 y a continuación -1 voy haciendo que oscile pero no hay un limite tal como se define mediante el concepto de punto de acumulación.

    Lo que no me gusta de los juegos con infinitos es que las definiciones de los conceptos se conviertan en oscilantes. El caso del hotel de infinitas habitaciones me parece un caso de sumar la serie de +1-1. Las habitaciones llenas es que el conjunto de habitaciones vacías es igual a cero, pero si sacas a un huésped y dejas una vacía es una operación análoga a la de aplicar la propiedad asociativa con truco pues vacías una (-1) y llenas otra simultaneamente (+1)

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  24. Somos capaces de construir contradicciones porque nuestro conocimiento es un proceso de análisia y síntesis sucesivas: rompemos un hecho en sujeto y predicado y luego podemos pegar diferentes sucesos a diferentes predicados como si fueran piezas lego y no diferentes perspectivas de una realidad.

    Por ejemplo, al hacer la frase autoalusiva:

    Esta frase es falsa.

    "ESTA FRASE" significa "Esta frase es falsa"

    como si la afirmación se pudiera disociar en signo y significado de modo que fueran entidades equiparables.

    O cuando decimos "la nieve es blanca" y pensamos que "la nieve" y "blanca" son entidades equiparables y no partes, diferentes perspectivas de un mismo suceso.

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  25. Supongo que te refieres a la siguiente paradoja (la refiero por si alguien nos lee y no la conoce):

    Hay un hotel con infinitas habitaciones que está lleno. Llega una persona que necesita hospedaje. "Ningún problema", le dice el recepcionista, "las habitaciones están numeradas: 1, 2, 3, ... , así que no hay más que decirle al de la 1 que se vaya a la 2, al de la 2 a la 3 y así sucesivamente. Hay sitio para todos."

    Esta paradoja es físicamente imposible, claro está, pero formalmente no tiene ninguna pega, como no la tiene decir que los números naturales y sus cuadrados tienen el mismo cardinal. En el caso del hotel, diríamos que el conjunto de los naturales y el de los naturales más otro elemento cualquiera tienen el mimo cardinal. No problem.

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  26. Esa, sí.

    Pero la paradoja no es que N y N+1 tengan la misma cardinalidad, que la tienen por biyección, sino que el ejemplo sigue la misma lógica de 0=1

    Es lo mismo que explicaba (muy mal) en lo de la diagonal: no podemos basar el argumento en que la tabla está concluida sino que para cualquier tabla de nxn dígitos, los números que podemos construir con n dígitos no se pueden relacionar por una biyección con los de la tabla, sea n el que sea, y por tanto, tampoco si n es infinito.

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  27. No sé cómo de la paradoja del hotel con infinitas habitaciones se concluye que 0 = 1. Sólo se concluye que el cardinal de N (números naturales) es igual al cardinal de N + 1, y eso no es contradicción. Para concluir que 0 = 1 a partir de la paradoja tienes que ponerte a hacer operaciones indebidas, que en la paradoja no se hacen. En la paradoja no se suma ni se resta, se hace una biyección.

    En un conjunto (el hotel lleno) estableces que el cardinal de las habitaciones llenas es el de los números naturales y el de las vacías es cero.

    En el conjunto tras realizar una operación (mover de sitio a los huéspedes) estableces que el cardinal de las llenas sigue siendo infinito, pero que el de las vacías es uno.

    No hay contradicción. No tienes que 0 = 1. Tienes que, con una manera de numerar los elementos que cumplen una propiedad son unos y con otra manera de numerar son otros.

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  28. Claro. Y en 0=1 aplicas la asociativa de manera que es equivalente a vaciar una habitación y trasladar a otra infinitas veces.

    El problema no es que la cardinalidad de N+1 no sea igual a la de N sino que partes de un hotel lleno para trasladar algún huesped a una habitación llena, no vacía; o bien el número de habitaciones vacías antes es igual al número después 0=1 porque no ha salido ninguno sino que has reordenado, como los paréntesis del 0=1.

    La paradoja desaparece si nos limitamos al concepto de biyección, no al de que sobren habitaciones o sobren huéspedes, que es la manera de comparar conjuntos finitos.

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  29. Puedes plantear un problema bien definido de manera que encontrar la solución sea tarea sencilla, puedes plantearlo de manera que sea complicada o puedes plantearlo de manera que no se pueda encontrar la solución. (No puedes plantearlo de manera correcta y que se encuentre una solución distinta.)

    Plantear el problema del hotel como una biyección te da la solución rápidamente. Plantearlo como una suma infinita no te lleva a ninguna parte. Eso no es contradictorio con lo anterior, es lo que tiene la indefinición.

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  31. No sé si te entiendo bien.

    Yo no intento argumentar que la cardinalidad de N y la de N+1 (N+n) sean un problema de sumas infinitas. Lo que digo es que si se plantea como de sumas infinitas lleva a la misma paradoja de que 0=1 y que me parece una mal ejemplo el del hotel de infinitas habitaciones.

    Tienes un hotel en el que estás pintando las habitaciones según quedan vacías y para ello anotas: hoy entran 15 y salen 20, luego quedan 5 vacías y llamo a cinco pintores. En general, la suma de los que entran menos la de los que salen.

    Si tratas de alojar a un huésped más vaciando una habitación y mandando a cada huésped a la n+1 estás usando el método de sumas infinitas. Y eso es lo que me parece un pésimo ejemplo porque equivale a dejar el primer uno y asegurar que cada menos uno encuentra un más uno con el que sumar cero.

    Evidentemente lo diáfano es que resulta posible hacer una biyección entre N y N+1 y los ejemplos embrollan.

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  32. El problema es:

    "En el hotel con infinitas habitaciones llenas, ¿cabe un huésped más?"

    Planteando el problema como una biyección, llegas a concluir que sí. Planteándolo como una suma infinita no concluyes nada (recuerda que no puedes concluir 0=1 por no poder hacer las operaciones que te llevarían a ello).

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  33. Pero es que decir vacío n y lleno n+1 infinitas veces y queda una habitación vacía es equivalente a resto 1 y sumo 1 infinitas veces y un uno me queda libre pero el resto sigue sumando cero.

    El aspecto paradójico se debe a eso: no había una habitación libre, reordenamos y queda UNA habitación libre, ¡TAACHAAAAAN! ( o dos, o n, o infinitas habitaciones libres)

    No me parece válido aplicar conceptos finitos a lo infinito.

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  34. El aspecto de la paradoja de la lámpara de que al final del proceso la lámpara o bien está apagada o bien encendida es el de la falsa dicotomía porque el problema es que "está" supone un valor de encendido/apagado para un tiempo y ese tiempo no es numerable.

    Es el mismo tipo de argumento que el que os copié acerca de que tras sucesivas ramificaciones de una lista de números decimales binarios en la que tras cada lista de n dígitos se añade una lista dos veces más larga con los números anteriores alargados con 0 y 1, se alcanza 0,111...

    Lo obvio es que NO se alcanza nada, no hay un último número como no hay un último estado de lampara encedida/apagada.

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  35. Quise decir

    vacío la n y lleno la n+1 infinitas veces (para valores de n de 1 a infinito)

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  36. Claro que no es válido extender operaciones sobre un número finito de elementos a un número infinito. Estas operaciones, cuando son definibles, hay que definirlas aparte para el caso infinito.

    Dices:

    "Pero es que decir vacío la n y lleno la n+1 infinitas veces y queda una habitación vacía es equivalente a resto 1 y sumo 1 infinitas veces y un uno me queda libre pero el resto sigue sumando cero."

    Pero justamente esto es lo que no es cierto. No es equivalente. Estás ya queriendo interpretar la historia como una suma infinita.

    De otra manera un poco más laxa: sí puedes pasar de la paradoja a una serie con infinitos sumandos, pero no de una serie con infinitos sumandos a la paradoja, no unívocamente, puesto que puedes pasar a otras paradojas o historias cualitativamente distintas. Esa no equivalencia (necesitas la implicación en los dos sentidos) es la razón por la que pierdes información y que te impide una resolución.

    Si la lámpara estuviera apagada la primera hora, apagada la siguiente media hora, luego también apagada el siguiente cuarto de hora, etc., sí podríamos decir que la lámpara está apagada al cabo de las dos horas.

    Si te parece truco el que la lámpara esté siempre apagada, piensa en esta otra serie: Durante la primera hora la botella está vacía, durante la siguiente media hora la llenamos del todo, el siguiente cuarto de hora le quitamos la mitad, el siguiente octavo de hora le añadimos la mitad de lo quitado, el siguiente dieciseisavo de hora le quitamos la mitad de lo añadido la vez anterior,... ¿Cómo estará la botella al cabo de las dos horas? (Respuesta: 2/3).

    El que haya o no un último número de la serie no es lo importante. Lo importante es que se pueda definir un número para la suma infinita y que sea consistente con las propiedades de la suma finita (para justificar que la operación es una extensión bien hecha de esa operación). Eso solo se puede hacer con las series convergentes.

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  37. ¿No te parece equivalente decir

    1. vacío la habitación 1 y lleno la 2
    2. vacío la habitación 2 y lleno la 3
    ...
    n. vacío la habitación n y lleno la n+1


    a

    1. el sumando 2 no se suma con el 1 sino con el 3
    2. el sumando 3 no se suma con el 2 sino con el 4
    ...
    n. el sumando n+1 no se suma con el n sino con el n+2


    Ahora bien, como la habitación 1 ha quedado vacía (el sumando 1 ha quedado aislado) y el resto están ocupadas (y el resto de sumandos se suman entre si dando cero) queda una habitación libre (queda el primer sumando (1) más la suma del resto (0) = 1


    No había ninguna habitación vacía pero hemos reordenado y queda una para el nuevo huésped (el total sumaba cero pero ahora reordenando la suma resulta 1)


    sigue->

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  38. El problema no es que no haya un valor de la variable x, n, t sino que no hay UN valor unívoco para f(x) o n o t pues la sucesión no converge a ningún valor cuando nos acercamos al límite.

    Con lim(x->0) sen(1/x), claro que hay un valor de x=0 pero no hay UN valor para sen(1/0)

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  39. No entiendo eso de

    "el sumando 2 no se suma con el 1 sino con el 3".

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  40. Tu serie converge, se demuestra con los criterios de convergencia, y por tanto la suma tiene un límite, que es el valor de la serie.

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  41. Me da que estás queriendo usar la propiedad asociativa, cosa que no puedes.

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  42. Claro que converge. Ahí no te digo nada que no sepas. Pero sí me sirve para decirte que no importaba nada el que estuviera definido o no el "último término", que era algo argumentabas en un comentario anterior.

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  43. "el sumando 2 no se suma con el 1 sino con el 3".


    0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=
    =1-1+1-1+1-1...=
    =1+(-1+1)+(-1+1)+...=
    =1+0=1

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  44. No, lo que argumentaba es que no hay UN valor para el último sumando, para el sumando infinito de la serie. Lo hay para cada uno de los valores distintos de infinito pero no UNO para el límite porque no converge.

    De hecho sólo decimos que hay un valor si converge.

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  45. Lo que digo: aplicas la propiedad asociativa cuando no puedes. Decir que el problema del hotel tiene respuesta afirmativa (se puede hospedar a un huésped más) NO ES equivalente a decir que esa serie tiene suma cero y uno. Usar la biyección no es lo mismo que aplicar la propiedad asociativa.

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  46. No puedo usar la propiedad asociativa porque si la uso 1=0

    Que 1 ≠ 0 me prohibe usar la propiedad asociativa.

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  47. Y que una habitación libre sólo se genera si el número de salidas excede en uno a la de entradas me prohibe usar un ejemplo de sumas infinitas para demostrar que la cardinalidad e N es la misma que la de N+1

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  48. No, 1 es disinto de 0 siempre. Y a veces puedes usar la propiedad asociativa (en las sumas finitas y en las infinitas convergentes). Lo que te prohibe usar la propiedad asociativa es el hecho de que no hay manera de asignar límites o valores a las series divergentes de manera congruente con esa propiedad.

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  49. Cuando usas la biyección no usas la propiedad asociativa, y por eso puedes relacionar cada n con cada n+1 sin decir que nada queda vacío.

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  50. José Luis:

    "Lo que te prohibe usar la propiedad asociativa es el hecho de que no hay manera de asignar límites o valores a las series divergentes de manera congruente con esa propiedad."

    Creo que he dicho lo mismo ¿no?

    Si uso la propiedad asociativa de es manera en sumas infinitas puedo llegar a que la serie sume 1 o que sume 0. La propiedad asociativa no está prohibida salvo pro eso.

    De la misma manera, sacar huéspedes y meter huéspedes está vetado en hoteles infinitos porque hace aparecer habitaciones vacías a gusto.

    Si te preguntan cuántas habitaciones vacías puede haber en un hotel de infinitas habitaciones llenas si se te permite recolocar a infinitos huéspedes la respuesta puede ser 0, 1, 2...n

    luego no puedes usar esa propiedad porque el concepto de habitación vacía a la que puedo trasladar a cada huesped numero n te lleva a que los resultados sean cualesquiera.

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  51. "No, 1 es disinto de 0 siempre."

    Evidentemente y por eso usamos la reducción al absurdo. Si puedo aplicar la propiedad asociativa sin restricciones en series infinitas oscilantes 1=0. Luego uno de los dos supuestos es falso. 1≠0, luego es falso que puedo aplicar la propiedad.

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  52. OK. Si ya hemos establecido que los argumentos son distintos y que el de las sumas infinitas no nos lleva a ninguna parte, por indefinido, nos queda ver el de la biyección.

    Y ese sí lleva a que se puedan meter más huéspedes. Como habrás podido notar en tus comentarios, fácilmente has llegado a una contradicción en las series, pero no has llegado a ninguna en la biyección. A lo más que llegas es a decir que si puedes meter a uno más, puedes meter a 17, pero eso no es una contradicción. Así que no está vetado reasignar huéspedes según la biyección descrita.

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  53. En la biyección no se puede llegar a contradicción porque para cada conjunto puedo emparejar un término n con n+k, n*k, n^k, etcétera.

    Quizá la diferencia es que si tratamos de poner el ejemplo del hotel estamos usando una operación para conjunto finitos: toma la habitación vacía numerada tal, pero para un conjunto infinito ideal en el que no había de entrada habitaciones vacías. Es como imaginar que el conjunto de los naturales lo corremos un paso hacia arriba para hacerle sitio al 0 y renumeramos.

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  54. Pues eso, renumeramos para hacer sitio. Al final todo se reduce a si podemos definir reglas que, aplicadas, nos lleven a cosas coherentes e interesantes. La operación biyectiva entre conjuntos es coherente y muy interesante. En particular, permite hablar de cardinalidad sin contar uno por uno los elementos. Por eso se usa en matemáticas.

    En la realidad, su aplicación al infinito es poco relevante, pero se aplica mucho en el caso finito. Si has puesto un montón de sillas para un montón de visitas que esperas, no tienes que contar ambos conjuntos para saber cuál es mayor, te basta saber si están todos sentados o no.

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  55. "definir reglas que, aplicadas, nos lleven a cosas coherentes e interesantes"

    Ese es el problema: que nos lleven a algo coherente e interesante. Si nos llevan a paradojas es que hay algo mal definido, un truco que se cuela sin ser visto.

    Los trucos con el infinito son temibles: los matemáticos se pasaron una buena temporada dando por reales los infinitesimales, como si hicieran falta puntos de un determinado tamaño pero muy pequeños.

    Por ejemplo: una circunferencia de radio infinito ES una recta en el sentido en que si el radio tiende a infinito, etc. Esto no es la Docta ignorancia de Cusa y la coincidencia de los opuestos pues una circunferencia NUNCA es una recta para un valor finito de r.

    Lo interesante de Cantor es que demuestra que hay biyección entre R y R^2 pero no entre N y R. Hablar de habitaciones vacías sugiere cosas que no tiene por qué estar más que en un libro de matemáticas recreativas.

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  56. Si la paradoja no es contradictoria no tiene por qué haber nada mal definido ... y no le digas a una circunferencia lo que puede ser en el límite. Es como los matemáticos que querían demostrar el quinto postulado de Euclides y encontraban cosas tormentosas para sus intuiciones de lo que eran puntos y rectas sin entender que estaban en otra geometría. Menos mal que al final no se apartaron esas geometrías en los libros de matemáticas recreativas.

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  57. No estoy muy de acuerdo:

    Los axiomas no se toman porque sean verdaderos sino porque son lo mínimo necesario a lo que se reduce una teoría.

    No es más verdadero suponer otra cosa si las definiciones son distintas.

    Si queremos una geometría en que se corten las paralelas las debemos definir de otro modo, y debemos definir al plano de otro modo al de Euclides.

    Pero los trucos consisten en decir que en un plano las paralelas se cortan, sólo para que luego se aclare que el plano no era un plano como lo había entendido el profano sino una esfera con una determinada curvatura.

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  58. Lo mismo para definir la operación suma finita o infinita. ¿Qué quieres hacer con ellas?

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  59. Tienes un conjunto finito de elementos y defines una operación suma con ciertas propiedades. Para aplicársela a conjuntos infinitos debes querer llegar a unos resultados coherentes.

    Si te encuentras un caso como el de la suma infinita anterior en que llegas a algo incoherente es que debes renunciar a alguna de las cosas que habías supuesto como evidentes. Y como quieres que 1 sea distinto de 0 siempre, te queda que no puedes reagrupar los infinitos sumandos como te parezca.

    Creo que en toda ciencia con sus conceptos y operaciones bien definidos no hay sitio para paradojas y que cuando las hay es que algún elemento está mal definido.

    También los pitagóricos se llevaron una sorpresa al ver que √2 no es racional a pesar de que todos los números que ellos construían lo eran.

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  60. Eso es. Y llegas a resultados incoherentes con las sumas infinitas de series no convergentes, pero no con la biyección. Así que, o bien la biyección está mal definida (¿por qué? ¿mi intuición lo dice?) o bien es posible meter a un huésped más en el hotel. Considerando todo lo otro interesante que hace la biyección, creo que debemos dar la bienvenida al nuevo huésped.

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  61. No digo que la biyección esté mal definida, pero tampoco que el hotel pueda albergar un huésped más a base de recolocar los huéspedes.

    No me gustan las analogías más que cogidas con pinzas. Valen para un ejemplo pero luego embrollan más que aclaran.

    La idea de que en un hotel infinito cabe un huésped más es una analogía -todo esto ya lo sabes, pero por si alguien nos lee- para explicar algo tan sencillo como que los números naturales, los enteros y los racionales, por ejemplo, tienen la misma cardinalidad, el mismo tamaño de conjunto.

    Pero alguien te dice que si tiene los N naturales y le añades el 0 debes de tener un conjunto mayor N+1; y si añades los racionales, infinitamente mayor N.N

    Sin embargo se puede establecer una biyección entre naturales y enteros o entre naturales y racionales y con eso basta porque la cardinalidad no se basa en que una vez agotado N nos quede el 0, por ejemplo y los enteros tengan UN NÚMERO MÁS (tipo de argumento nó válido: como los naturales y enteros llegan a infinito por igual, contamos desde atrás pues un conjunto tiene los mismos números contados en los dos sentidos, al llegar a uno los naturales se agotan y aún queda el 0, por lo tanto...)

    No me parece adecuada la analogía del hotel porque no se limita al concepto de biyección sino que da la idea de que se vacían y llenan huecos. No hay ningún caso físico en el que la analogía sea útil y consistente y para los casos de N, Z, R ya tenemos lo que está bien definido: la biyección.

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  62. Vaya os habéis recreado ehe jajaja....

    Me ha gustado, sursum corda, que intentaras demostrar que 1=0. creo que de tu demostración se puede ver otras cosas.

    Para empezar: si 0=Sumatorio (al ifinito) (1-1)=(1-1)+(1-1)+(1-1)...=(1-1)xInfinito=Infinito-infinito=0

    Pero esta es una operacion indeterminada y no puede dar cero. O sea, aquí por reducción al absurdo 0= Sum de (1-1) es incorrecto.

    Luego: (1-1)+(1-1)+... se puede escribir como 0xInfinito y esto también es una operación indeterminada.

    En definitiva, ante una operación indeterminada no podemos decir nada. Y por ello no veo nada claro que demuestres que 0=1, puesto que has empleado operaciones invalidas de forma arbitraria.

    por otra parte, el caso del Hotel es muy senzillo. tenemos infinitas habitaciones ¿cuántas tenemos si añadimos otra? ¡Pues las mismas infinitas! Al infinito siempre se le pueden añadir o quitar un numero finito de cosas sin alterarlo.

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  63. Sursum corda!:

    Es cierto que no hay analogías físicas para el hotel, pero eso no tiene nada que ver con el modelo formal que nos hemos montado para extender la noción de contar cuando lidiamos con conjuntos infinitos.

    Por una parte tenemos la idea de contar diciendo 1, 2, 3, 4,.... Por la otra tenemos la idea de que si a un conjunto le añadimos un elemento tenemos un conjunto mayor.

    La idea de vaciar y llenar huecos no es una operación matemática, es una manera de entender la biyección y es perfectamente compatible con ella: damos la regla de pasar el elemento de n a n+1. Esta idea está perfectamente definida por la biyección. Que no sea posible en un mundo real es enteramente irreal para la paradoja, que se formula en un modelo formal.

    Ambas ideas no son compatibles con conjuntos infinitos, en el sentido de que no es posible formalizarlas de manera que se cumplan ambas.

    La idea de seguir usando 1, 2, 3,.. es la que se extiende con la biyección. La idea de tener un conjunto mayor al añadir más elementos se recoge en la idea de inclusión de conjuntos. Ambas ideas son distintas.

    Robert:

    Creo que Sursum corda! no está demostrando que 0 = 1. Sólo dice que se llegaría a esa contradicción de insistir en aplicar las reglas de la suma finita a una serie infinita no convergente. En eso estamos todos de acuerdo.

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  64. RDC, José Luis:

    "Sursum corda! no está demostrando que 0 = 1. Sólo dice que se llegaría a esa contradicción de insistir en aplicar las reglas de la suma finita a una serie infinita no convergente. En eso estamos todos de acuerdo."

    Exacto.

    La idea es que hay pasos ilegítimos en la "deducción" y que esos pasos son análogos a los del hotel de infinitas habitaciones todas llenas en la que aparece una (o más) vacía.

    Veamos

    0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=
    =1-1+1-1+1-1...=
    =1+(-1+1)+(-1+1)+...

    pero podemos despejar

    -1=(-1+1)+(-1+1)+...

    luego la afirmación de que

    (-1+1)+(-1+1)+...=0

    es falsa


    No podemos argumentar que al tratarse de infinitos sumandos, cada -1 se cancela con un +1 pues lo que no podemos hacer es considerar que hay infinito sumandos antes y despues y que infinito es igual a infinito si vemos por el paso anterior que en este caso, la suma es igual a -1


    Ahora con el hotel.

    Tenemos el hotel de infinitas habitaciones llenas, de lo cual se deduce implícitamente que NO HAY ninguna habitación vacía. Pero que basta recolocar a los huéspedes presentes para dejar UNA vacía y alojar al recién llegado.

    Pero si dejamos la primera vacía ¿podemos suponer que para el resto se cancela cada huésped entrante con cada habitación vacante, dejada por el anterior?

    En mi opinión se trata del mismo argumento de la suma. Si lo vemos como huéspedes alojados, desalojados y realojados decimos que hemos dejado una habitación libre y eso significa que hemos dejado un huésped desalojado, si como antes aplicamos las sumas a los términos finitos y dejamos que la suma infinita tenga el valor que se deduce del resultado.

    La otra suposición es que en un hotel de infinitas habitaciones hay habitaciones vacías y eso depende del modo de contar.

    Pero el único modo de contar es el de establecer la biyección entre conjuntos. La suma y la resta son operaciones derivadas de ésta. Tenemos un elemento primero y una operación de dos elementos, cardinalidades, ordenados que es "sucesor de x" y de esa manera generamos una sucesión: 1, sucesor de 1, sucesor de sucesor de 1 y así en general. Luego damos nombres a los sucesores y definimos la suma.

    Pero decir que A tiene n elementos equivale a decir que es posible establecer una aplicación biyectiva entre A y el conjunto enésimo de sucesores.

    Decir que tiene más equivale a usar la biyección con n+m o la suma (resta) finita. Pero aplicar la suma (resta) finita a conjuntos infinitos tiene los problemas que hemos visto pues infinito no es un número como los demás, no es un conjunto cuya cardinalidad se establece por biyección con un conjunto de los sucesores de 1 hasta n, que es para los que está definida la suma. Infinito sólo tiene sentido como límite, como la cardinalidad de N, que sólo es por definición, mayor que la de cualquier conjunto finito, pero no admite ser sucesor de ningún conjunto ni, por tanto, sumas o restas, salvo por convención.

    Saludos

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  65. Cuidado, dije

    "en este caso, la suma es igual a -1"

    porque si no es de esta manera, la suma no está definida para esa sucesión.

    Si tenemos la sucesión de término an=9/(10^-n), la serie suma 0,999...

    Para demostrar lo que suma hay que calcular x

    x=0,999...

    10x=9,999...

    10x-x=9x=9,999...-0,999...=9

    Por tanto

    x=1

    Pero en el caso de la suma de la sucesión de término general
    an=(-1)^n

    tenemos la suma de 1 a infinito y la suma de 2 a infinito y se supone sin demostrar que tienen el mismo valor, cosa que no es verdad.

    Espero que José Luis lo revise y no encuentre algún fallo grave.

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  66. Sursum corda!:

    No llegas a que la afirmación x=(1-1)+(1-1)+...=0 sea falsa. Lo que llegas es a una contradicción con la afirmación x=1+(-1+1)+(-1+1)+...= 1. No hay nada falso en asignar a la serie 1-1+1-1+1... el valor que quieras. Lo que pasa es que no será coherente esa manera de asignar valores con lo que entendemos por suma.

    El argumento del hotel, como he dicho en comentarios anteriores puedes ponerlo en términos de sumas o en términos de biyecciones. Lo correcto es lo que te permite una solución coherente, no lo que te deja sin solución (que podría haber sido el caso, como en el de la lámpara). ¿Por qué es lo correcto? porque es lo que se deduce de maneras coherentes de razonar, y la manera coherente de razonar sobre cardinales es mediante biyecciones.

    Lo demás lo veo bien.

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  67. José Luis:

    "Lo que llegas es a una contradicción con la afirmación x=1+(-1+1)+(-1+1)+...= 1"

    Pero es que creo que podemos decir que la suma de n términos igual a cero es cero y hacer la convención de que si sumamos la serie oscilante cada dos términos, la suma es cero.

    El problema es que no vale la asociativa porque tenemos tantas series oscilantes como modos de agrupar los términos. Es decir, que al agrupar de otra forma es otra serie con otro resultado, y por eso la serie +1-1+1-1+... no tiene un valor definido.

    En el caso del hotel sólo me vale la biyección -parece que no lo he dejado claro- porque las ocupaciones y desocupaciones me parecen equivalente a sumas agrupadas de distintas manera y por tanto con resultados diferentes por le mismo motivo que antes.

    Es lo que trato de decir.

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  68. Creo que te refieres a que

    (-1+1)+(-1+1))+... no vale -1

    Sí, es imprecisión mía, pero no sé expresarlo en términos aritméticos.

    Si generas la sucesión como suma de ceros y cada término (-1+1) vale cero no tienes la misma sucesión que si eliminas el primer +1 de

    (+1-1)+(+1-1)+...

    Creo que esto no es contradictorio pues la serie sólo es lo que está en su definición y las dos las hemos definido de diferente manera: una es ceros y al total se sustrae uno y la otra es ceros. Lo que quiero decir es que aunque parezcan escribirse igual las definiciones son distintas y las series son distintas y su valor también.

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  69. hacer la convención de que sumamos la serie oscilante cada dos términos, y EN ESE CASO la suma es cero.

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  70. Puedes definir la operación que se te antoje con las series infinitas (y con cualquier otro elemento de las matemáticas).

    En economía a menudo nos encontramos con series como

    1-1+1-1+1-1+1-1+...

    interpretada como una suma de pagos que se reciben periodo tras periodo y tiene sentido atribuir el valor cero a esa serie (o algún otro ligeramente positivo si hay una tasa de descuento del futuro). Pero esto solo vale si vale para algo y solo dentro de ese algo.

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  71. En este caso sólo vale para mostrar que los conceptos matemáticos son lo que es su definición, que no son realidades sino construcciones conceptuales.

    Y que no parece oportuno usar la propiedad asociativa donde no se puede, como en el caso de la suma anterior.

    Lo que intento decir es que razonar la cardinalidad de los infinitos a base de infinitas sumas de entradas y salidas de habitación es similar a lo anterior.

    No es que la biyección N <-> N+1 sea equivalente a las sumas. Las sumas son

    sale de 1 y entra en 2
    sale de 2 y entra en 3
    ...
    sale de n y entra en n+1


    equivalente a

    -a1+a2
    -a2+a3
    ...
    -an+an+1

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  72. Y claro: vale dentro de ESTE algo, de argumentar que N<->N+1 a base de infin1tas sumas, pues cada salida y cada entrada se computan como acciones de signos opuestos, y son infinitas.

    También vale para hacer bromas a los amigos de letras...

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  73. Entonces ¿admites que cabe un huésped más? Nunca me queda claro contigo, después de tantas vueltas.

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  74. ¡Pero claro que cabe un huésped más, e infinitos huéspedes más! en el sentido que decimos: que hay biyección entre N y N+1 o N*N


    Lo que no me gusta son las infinitas sumas de valor cero que se desagrupan y reagrupan.

    Trato de rehazar el procedimiento del hotel, no la numerabilidad de N+1, 2 o más

    Veo que huésped fuera de la habitación es +1 (una habitación vacía más), dentro -1 (una habitación vacía menos), se dice que hay cero habitaciones vacías y el resultado sigue siendo el mismo PORQUE se hacen infinitas sumas -1+1

    No discuto lo que parece que crees sino el argumento de sumas infinitas: sale huésped entra huésped, reagrupadas para dejar una habitación vacía, un +1 que se cancela con el huésped que entra nuevo.

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  75. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  76. Y pasando página, ahora que se me entiende, lo que me alucina es la demostración de Cantor de que R y R*R tienen la misma cardinalidad, intercalando los dígitos.

    Es de esas cosas que las ves delante de tus narices y piensas que no puede estar sucediendo porque sobre cada punto de la recta real se proyecta un número de puntos del plano (por la recta perpendicular) que tiene la cardinalidad de R.

    En fin, los no matemáticos vamos de sorpresa en sorpresa en este mundo.

    NOTA: no discuto la demostración sino que anoto lo CONTRAINTUITIVO que es lo demostrado.

    (He corregido porque puse R+R en vez de R*R)

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  77. No es más sorpresa que la que sentimos en otros ámbitos. Nuestras intuiciones y pensamientos son muy libres, en el sentido de que puedo ir asociando y ligando ideas unas tras otras. Por ejemplo puedo hablar de la "igualdad" en un sentido laxo e ir juntándola con la de "justicia" y hacer algo de política con eso.

    Pero resulta que, en cuanto quiero darle un significado preciso a estos términos, observo con sorpresa que hay varias definiciones posibles y que ninguna capta todo lo que quiero, porque todo lo que atribuía a priori al concepto de igualdad es imposible de definir en un modelo. Cada idea que asociaba al concepto desigualdad es un axioma distinto y resulta que son incompatibles entre sí. (Estas son mis entradas sobre la razón moral.)

    En resumidas cuentas. La intuición va por libre, la razón me fuerza a unas reglas. No es de extrañar que lo que obtengo cuando aplico el rigor vaya a menudo contra mi intuición.

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  78. Despues de leer el artículo y todos los comentarios me surgen varias preguntas: ¿Se puede decir que infinito es igual a infinito?¿O es que existe más de un infinito y son diferentes infinitos?

    No entiendo infinito como un conjunto finito ni que exista una biyección entre sus elementos, pero la afirmación de que infinito no sean igual a infinito me descoloca. ¿Alguien me lo puede aclarar? Nivel de matemáticas: usuario bachillerato LOGSE

    Quizás el problema es mi concepción de infinito.
    Lo que entiendo por infinito es un conjunto de elementos que se va incrementando. Es la tendencia a aumentar en número. Pero creo que cuando hablo de un número infinito de manzanas y un número infinito de peras, la tendencia a aumentar en número es la misma. Luego infinito es igual a infinito. Igualmente, cuando pienso en galaxias y estrellas, y aunque parece que el número infinito de galaxias del universo será inferior al número infinito de estrellas (pues cada galaxia es un conjunto de estrellas) para mi, estes dos números infinitos son iguales, pues es la tendencia a crecer en número.

    Por favor, que me aclare alguien que es infinito.

    Por otra parte, en la suma 1+1/2+1/4+1/8+1/16+… = 2, ¿existe un número finito de sumandos que complete la cantidad de 2? Veo que se acerca y cada vez más lentamente, pero parece que nunca llegará. Si fúese posible medir y manipular la lámpara, viendo como la velocidad de encender-apagar se incrementa hacia el infinito (y velocidad infinito es mayor que la velocidad de la luz)¿la lámpara podría estar ON y continuar apagada, o estar OFF y mantenerse encendida? La única conclusión a la que llego es que a las 2 horas la luz estaría apagada, pero porque la bombilla se fundiría.

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  79. Alba:

    Bienvenida al blog. Intentare aclarar tus dudas.

    Si existen o no distintos tipos de infinito es cuestion de definir lo que quieras que cuente como distinto y lo que no. En matematicas hay una manera muy clara en la que es posible decir (en realidad, es necesario decir) que hay distintos tipos de infinito.

    La cantidad de numeros reales es infinita, como la de numeros naturales. Sin embargo el infinito de los reales es superior (hay mas) ya que no es posible "contarlos" con los numeros naturales. Mas precisamente, no es posible establecer una relacion biyectiva entre ambos conjuntos (siempre quedaran reales sin asignar a un natural).

    Pero esto no tiene que ver con la entrada. Si hay infinitas galaxias y cada una tiene millones de estrellas, en un sentido intuitivo es posible decir que hay mas galaxias que estrellas. Pero en cuanto se quiere dar una definicion precisa de en que consiste este ser mas sucede que, jugando adecuadamente con ambos conjuntos, podriamos hacer que hubiera mas estrellas que galaxias segun esa definicion.

    En rigor, solo tiene sentido decir que el infinito de galaxias y el de estrellas es el mismo.

    La suma que propones es siempre estrictamente menor que 2 para cualquier numero finito de sumandos.

    Un saludo.

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  80. Otra bonita paradoja:
    Podría Dios todopoderoso hacer una piedra tan grande que no pudiese moverla

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  81. Bienvenido al blog, Antonio. Efectivamente, es otra bonita paradoja, pero si te fijas, es la misma.

    Un saludo.

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