domingo, 30 de agosto de 2009

Al monte se va con botas: La paradoja de Hempel

Hace unas semanas nos planteó Santiago en su blog La Máquina de Von Neumann la paradoja de Hempel, que dice lo siguiente. La proposición “todos los cuervos son negros” aumenta su verosimilitud a medida que encontramos cuervos y observamos que son negros.  La proposición “todo lo que no es negro es algo distinto de un cuervo” aumenta su verosimilitud si buscamos objetos no negros y observamos que no son cuervos. Como ambas son proposiciones lógicamente equivalentes, esta última manera de buscar objetos no negros sirve también para validar la primera proposición.

La paradoja estriba en que la segunda búsqueda se nos antoja bastante inútil y nos resistimos a creer que, efectivamente, sirva para validar la primera proposición. He aquí un ejemplo de las frases que abundan en esta postura (en esta ocasión digo el pecado, pero no el pecador).

El que encontremos una tiza blanca “apoya” (hempelianamente) tanto que todos los cuervos son negros como que todos los cuervos son verdes, o rojos, o blancos, o a topos o no existen los cuervos. Y como es irrelevante para ella, no cuenta para verificarla.

Para ver cómo para este monte hacen falta las botas de la probabilidad bayesiana y no la lógica proposicional, que parece estar detrás del argumento anterior, propongo el siguiente ejemplo-modelo:

1. Cojamos unas cartas en blanco (tamaño naipe), por ejemplo 20. Pongámoslas sobre una mesa y escribamos en cada una de ellas una de las siguientes palabras: cuervo, canario. Por ejemplo, sea cuervo en 5 y canario en 15.

2. Cojamos a un niño de ocho años y pidámosle que pinte cada carta (por el lado que no está escrito) de uno de los siguientes colores: negro, amarillo. Nos vamos para no ver lo que hace el niño. Le decimos que deje las cartas por el lado pintado. Al volver observamos que hay, por ejemplo, 8 cartas negras y 12 amarillas.

3. Para validar la hipótesis “todos los cuervos son negros” podemos ahora hacer varias cosas:

(a) Pedir al niño que deje las cartas del lado de los nombres, buscar cuervos y darles la vuelta para ver el color. Cada cuervo negro aumenta la probabilidad de que la proposición sea cierta. Por ejemplo, si pensamos que el niño pintó al azar los papeles. A priori pensaremos que la probabilidad es:

8/20 x 7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.0036

(La probabilidad de que cualquier carta sea negra es el número de cartas negras entre el total, 8 sobre 20; descartada la primera, quedan 7 cartas negras sobre 19,…).

Después de coger un cuervo y ver que es negro, la probabilidad pasa a ser

7/19 x 6/18 x 5/17 x 4/16 = 0.009

b) Dejar las cartas del lado coloreado, buscar cartas amarillas y darles la vuelta para ver qué pájaro ocultan. Cada carta amarilla que tenga un canario detrás aumenta la probabilidad de que la proposición “todo lo no negro (amarillo) es un no cuervo (canario)” y, por tanto, la proposición “todo cuervo es negro”. Con la hipótesis de que el niño pintó al azar, a priori pensamos que la probabilidad de que la hipótesis “lo no negro es no cuervo” es:

15/20 x 14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0036

(Fijémonos que es igual a la de antes, no podía ser de otra manera).

Después de coger una carta amarilla y ver que es canario, la probabilidad pasa a ser:

14/19 x 13/18 x 12/17 x 11/16 x 10/15 x 9/14 x 8/13 x 7/12 x 6/11 x 5/10 x 4/9 = 0.0048.

La probabilidad ha aumentado, aunque menos que antes. Q.E.D.

Si teníamos otra teoría sobre cómo pintó el niño las cartas, cambiarán las probabilidades, pero tendremos el mismo proceso, siempre eliminando el primer factor y, por tanto, aumentando la probabilidad. Lo mismo si no sabemos exactamente cuánto hay de cada cosa: tendremos una hipótesis a priori y trabajaremos con ella.

El problema con las opiniones acerca de que la paradoja es falsa es que hacen hincapié en casos que no están recogidos en la paradoja. Así, si uno observa un canario amarillo o una tiza blanca y dice que esto es irrelevante para el color de los cuervos, está saliéndose de los términos de la paradoja. Si uno busca, por ejemplo, cosas amarillas y sabe que no hay cuervos amarillos (solo dudaba entre negros y blancos) está tan fuera de los términos de la paradoja como si observa cuervos que ya sabe que son negros. Ni lo uno ni lo otro alteran las probabilidades que ya teníamos aceptadas, fueran las que fueran. Esto se traduciría en que el primer factor en el cálculo de la probabilidad sería exactamente uno y la probabilidad no aumentaría al eliminarlo. Lo mismo en la prueba de la proposición directa como de la contrarrecíproca.

Otro error habitual es confundir este tipo de inferencias estadísticas con relaciones causales 

Los canarios amarillos no causan el color de los cuervos, por lo que encontrar el primero es irrelevante para saber el color del segundo.

Lo primero es cierto, lo segundo, como hemos visto, no. Si se buscaron cosas no negras aleatoriamente y sin información a priori acerca de que tales cosas no pudieran ser cuervos (es decir, se detectó una cosa amarilla y se observó luego que era un canario, como en el ejemplo de las cartas), entonces, el haber encontrado un canario amarillo disminuye (marginalmente) el conjunto de cosas no negras que puedan ser cuervos, por lo que aumenta (marginalmente) la probabilidad de que la proposición se cumpla.

14 comentarios:

  1. Buen post, hay que aclarar que el término paradoja es bastante polivalente y no siempre significa literalmente contradicción sino a veces simplemente apunta a una aparente contradicción como es el caso.

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  2. “todos los cuervos son negros” y “todo lo que no es negro es algo distinto de un cuervo” no son equivalente sino se incluye "los cuervos tienen algun color".

    Por otra parte, en efecto, encontrar tizas blancas aumenta la probabilidad de que la 1º sentencia sea cierta. Original y acertado el ejemplo de los naipes.

    Mi explicacion a todo esto: Al principio existe un conjunto con los universos posibles que surje de las permutaciones posibles. En este conjunto un numero Y cumplen 1 y un numero Z no lo cumplen. Cuando inspeccionamos una tiza blanca el numero de Ys es el mismo, mientras que el numero de Zs a disminuido, dado que anteriormente habia Zs para los cuales ese blanco era cuervo.

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  3. La verdad que me he entrenenido mucho con este post, jeje. Pero he de decirte que, en mi opinión, dentro de un conjunto de N elementos, si A es equivalente a no B, todo lo no B encontrado reforzará la existencia de A. Aunque te aclaro que tendría que leerme un par de veces más el post para deducir si estás apoyando o contradiciendo la paradoja de Hempel, jeje.

    Un saludo.

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  4. Tengo que decir que la explicacion que he dado es valida si solo hay dos objetos posibles, Tiza y Cuervo.

    Generalizando:

    Cuando son N los elementos que pueden ser blanco, al encontrar un blanco que no es cuervo Y+Z se divide entre N e Y se divide entre N-1, con lo cual Y/Z aumenta.

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  5. Hector:

    Efectivamente hay (por lo menos) dos tipos de paradojas. Las que parecen ciertas (su enunciado o su demostración) y son falsas y las que parecen falsas y son ciertas. Ejemplos de las primeras son las paradojas de Zenon de Elea (hablé de ellas en una entrada). Esta de Hempel es ejemplo de lo segundo.

    Luego están los discursos que no sabes por dónde cogerlos. No sabes si están bien, mal, o no están, y tampoco te queda claro si el autor se lo cree o si lo propone como un ejercicio intelectual en el que se trata de ver en qué falla. Discursos posmodernos, metafísicas medievales, dialécticas de las que están discutiendo ahora en el Otto Neurath,... serían ejemplos de esto.

    Iñigo:

    Tal como está dicho, creo que no hace falta especificar que haya color en los objetos que se buscan. Algo sin color es algo no negro. Lo que sí habría que especificar es qué constituye un objeto. ¿Un ladrillo, una casa, un ciudad, un electrón, un arco iris,...?

    Por lo demás, tu explicación es ilustrativa.

    Siesp:

    Estoy diciendo que la paradoja de Hempel es cierta, cosa que no he descubierto yo, obviamente. En lo que intentaba ser original es en mostrar una explicación intuitiva y en aclarar los términos de la paradoja, ya que es fácil no darse cuenta de que cualquier argumento que muestre que no tiene sentido alguna búsqueda de objetos en la contrarrecíproca (tizas que sabemos blancas) tiene su exacta contrapartida en la original (cuervos que sabemos negros).

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  6. Ok. Entendido, jeje. Es que no había entendido bien el tema, pero releyendo y con tu comentario, ya lo tengo meridianamente claro. Gracias.
    Saludos.

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  7. Muy interesante, la entrada.

    Hablando en plata, existen los cuervos blancos: http://es.wikipedia.org/wiki/Corvus_albus

    No sé si esto afecta a la paradoja de Hempel.


    J
    osé
    M
    anuel

    Postdata: Buena estancia en los EE. UU. de América, José luis. Que os vaya bien.

    Saludos desde Sevilla.

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  8. Estas en lo cierto Ferreira. No tener color es no ser negro, de modo que segun 2 un cuervo no puede no tener color -> por tanto tiene color y el negro es el unico permitido. 2 es equivalente a 1.

    A tu pregunta. Lo que consituye o no un objeto es una decision libre que define uno u otro problema probabilistico, pero que no afecta cualitativamente al fenomeno recogido en la paradoja.

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  9. Pues yo creo que todo es relativo, je, je, que paradójico. Seguro que a un ciego le importa un bledo el color de los cuervos y lo que diría es: "Todos los cuervos graznan" (salvo los mudos), aunque no todo lo que grazna es un cuervo (¿o sí?). Además de noche todos los gatos son pardos y el resto de bichos también (hasta los electrones).
    ¡Que cosas!.

    Abrazos.

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  10. Yo concluiría que generalizar suele ser, generalmente (jeje), un camino al error.

    JL, a ver si haces una como aquella de los estudiantes y el profesor del MIT con el Blackjack :)

    O el próximo Stu Ungar...

    Buena estancia en LA.

    Saludos.

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  11. "El que encontremos una tiza blanca “apoya” (hempelianamente) tanto que todos los cuervos son negros como que todos los cuervos son verdes, o rojos, o blancos, o a topos o no existen los cuervos. "

    Hasta aquí todo bien.

    "Y como es irrelevante para ella, no cuenta para verificarla." Aquí es donde la pifia, no es irrelevante. Si tenemos 13 objetos en el mundo de 3 tipos: cuervos, canarios y tizas; y 3 colores: negro, blanco y amarillo; ocurrirá que encontrar una tiza blanca aumenta las probabilidades de que los cuervos sean negros, de que sean amarillos, de que no haya cuervos... ¿y qué? ¿se llega a algún tipo de absurdo? Yo no sé si lleva botas o no lleva, pero es que usa la lógica proposicional muy mal.

    Otra cuestión es que partamos de un universo donde no sabemos cuantas cosas hay. Pensamos que hay 5.000 cuervos y el ver una tiza blanca no nos diga nada por no saber cuantos objetos no cuervos hay.

    Muy buena entrada.

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  12. Entiendo que es una paradoja de probabilidad bayesiana, y no de logica proposicional, dado que en esta ultima no hay ninguna gradacion de la verosimilitud.

    Seria interesante si se puede plantear la paradoja en logicas con tal gradacion, difusas o algo asi.

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    1. No hace falta tanto. Basta con construir una teoría de la probabilidad respetando la lógica. Algo que ya está hecho y de lo que se olvidan los que quieren hacerlo todo desde la lógica proposicional y se meten en líos. Es que inventar otra vez las matemáticas y la teoría de la probabilidad sin saberlas es muy difícil.

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