jueves, 9 de julio de 2009

Al monte se va con botas: La paradoja del examen sorpresa.

Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente. Los alumnos razonan de la siguiente manera. El viernes no podrá ser, puesto que si llega el viernes sin haber tenido examen, sabremos que será ese día. El jueves tampoco podrá ser, puesto que hemos descartado el viernes, así que si llega el jueves, tampoco será sorpresa. Por inducción, no podrá ser ningún día de la semana. Los alumnos deducen que la profesora no podrá poner ningún examen sorpresa.

Para asombro de todos, llega el miércoles y la profesora pone el examen.

La paradoja está resuelta desde hace muchos años. Se trata de mostrar que el enunciado de la profesora consta de varias proposiciones incompatibles entre sí. Lo vemos mejor si la semana solo tuviera dos días. Así, la profesora está diciendo:

  1. Si el examen es el día 1, la víspera (o ese día antes de clase) de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 1.
  2. Si el examen es el día 2, la víspera de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 2 y sabrán que no ha sido el día 1.
  3. El examen será alguno de esos dos días.

Es posible, usando las reglas de la lógica proposicional, mostrar que las tres afirmaciones no pueden ser ciertas a la vez (no lo voy a hacer). Hasta aquí no hay problema, todos los lógicos están de acuerdo. Lo que ha creado una larga confusión es que, a pesar de que la profesora ha dicho algo falso, resulta que consigue su objetivo de dar un examen sorpresa.

Llegados a este punto, la discusión ha dado lugar a decenas de artículos en revistas serias. Casi todos van al monte sin botas. Hay autores que se inventan ramas de la lógica sólo para intentar abordar la cuestión.

Borwein y compañía miden el grado de sorpresa con una definición de entropía y buscan así una estrategia para la profesora que maximice la tal entropía.

Según Shaw, la profesora hace unas afirmaciones autorreferenciales de tal manera que nada bueno se puede deducir de ellas.

Olin y Sorensen se ponen a definir “puntos ciegos” epistemológicos y no sé qué diantre hacen con ellos.

Otros se ponen a decir cosas como que saber una preposición un día no es lo mismo que saberla otro día.

Sober, que propone una buena manera de abordar el problema, sin embargo se pone a decir que hay que distinguir entre predicciones prudenciales y evidenciales para concluir no sé tampoco muy bien qué cosa.

En realidad, la cosa es más sencilla. Pensemos en una semana de dos días. Cada día la profesora decide si poner o no un examen, y cada día los alumnos apuntan un SÍ o un NO en un sobre. Si hay examen y apuntaron SÍ, o si no hay examen y apuntaron NO, no hay sorpresa. En caso contrario sí la habrá. Pongamos que la sorpresa le reporta un beneficio (felicidad, utilidad, como quiera llamarse) de 1 a la profesora y de -1 a los alumnos. La no sorpresa cambia el beneficio de cada uno. Los pagos son arbitrarios y podemos cambiarlos si se quiere.

Si no ha habido examen el día 1, el día 2 se enfrentarán al siguiente juego

Día 2

NO

Examen

-1,1

1,-1

No examen

1,-1

-1,1

La única manera de elegir consistentemente en este juego es echar a cara o cruz entre poner examen o no por parte de la profesora y escribir SÍ o NO por parte de los alumnos. El beneficio esperado para cada uno será cero.

Sabido esto, el día 1 el juego es parecido. Ambos tienen que elegir como antes, pero aquí surge un problema. Si la profesora elige no poner examen y los alumnos eligieron SÍ, ¿seguimos con el juego? Si es así, esto querría decir que los alumnos pueden anticipar el examen cada día, de manera que alguno acertarán. Una cosa sensata es decir que, en ese caso, perdieron su oportunidad y el juego se acaba. Otra es decir que esto les impide decir SÍ en el futuro, de manera que el juego del día dos tras (No examen, SÍ) habría sido trivial, con la profesora poniendo el examen los alumnos sorprendidos. Voy a seguir el primer caso, que deja así el primer día:

Día 1

NO

Examen

-1,1

1,-1

No examen

1,-1

0,0

En la casilla (No examen, No) hemos puesto ceros, que son los pagos que se esperan obtener el día siguiente. La casilla (No examen, NO) la podemos interpretar como que el juego se acaba o como que, aún siguiendo, los beneficios son (1,-1) no importa lo que pase el segundo día, porque ya se erraron los alumnos en su elección. La única manera consistente de decidir ahora es, para la profesora, elegir poner examen con probabilidad 2/3 y, para los alumnos, elegir SÍ con probabilidad 1/3. (Otras posibles variantes las tengo publicadas con Jesús Zamora aquí. Se puede leer también aquí.) En el análisis vemos claramente los dos hechos fundamentales de la paradoja:

No es posible poner un examen y que sea sorpresa. Pero esto es porque no es posible que ocurra con probabilidad uno. Vemos que, en nuestro análisis, hay una probabilidad 1/3 x 1/2 = 1/6 de que no hay examen, y una probabilidad positiva de que, habiéndolo, no sea sorpresa. Podíamos haber insistido en que debía haber examen, sólo habría que alterar el juego del día 2 y tendríamos la misma conclusión acerca de que el examen no puede se sorpresa con probabilidad 1.

¡Pero la profesora consigue poner un examen sorpresa! Esto es porque nos cuentan sólo uno de los posibles finales de la historia, cuando los dados cayeron de manera que la profesora pone el examen y los alumnos no lo adivinaron. Lo que he expuesto aquí dice que eso sólo puede pasar con alguna probabilidad si, al lado, está la probabilidad de que no pase.

Lo que ha pasado es que ni alumnos ni profesora pueden razonar al margen de lo que crean que va a hacer el otro, ni al margen de cómo valoren acertar o no, y esto nos coloca en el mundo de la Teoría de los Juegos, puesto que la lógica proposicional no podrá dar cuenta de la interacción entre las acciones y creencias de los dos jugadores. No estaban hechas esas botas para este monte.

92 comentarios:

  1. Muy interesante. Sabía de la paradoja, no del por qué de la solución.

    p.d: El enlace de Sorensen está mal, mu mal. Te has confundio y te lleva a blogger :-P

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  2. Hola, Héctor:

    Gracias por el aviso, ya lo he corregido.

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  3. La respuesta a esta paradoja es bien sencilla y no tiene nada que ver con la lógica, sólo con el sentido común: si la profesora anuncia un examen sorpresa para la semana que viene, el examen deja de ser una sorpresa. Sólo lo sería si la profesora no lo anunciara.

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  4. Anónimo:

    No será sorpresa qué semana habrá examen, pero podrá serlo el día.

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  5. El objetivo del examen sorpresa no es sorprenderles a los estudiantes, sino que tenga lugar sin preaviso exacto. En otros idiomas ni existe esta expresion. Yo siempre lo hago en la clase donde menos materia tengo para explicar. Ya que esto no pueden controlar (ni averiguar) los estudiantes con antelacion, para ellos la fecha es aleatoria. Lo que les suelen sorprender son los ejercicios. Eso siempre. Incluso si los copio del libro o de los apuntes del dia anterior.

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  6. En todo caso el enunciado es incorrecto. Si es un examen sorpresa es precisamente para sorprender a los estudiantes. Por eso el enunciado debería decir "pondré un examen la semana que viene" y no "pondré un examen sorpresa la semana que viene".

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  7. Anónimo (supongo que eres el mismo de antes):

    Tu manera de poner exámenes, siguiendo una distribución aleatoria (definida por la materia, algo que los alumnos no controlan) sigue la lógica de mi argumentación.

    En cuanto al objetivo de la sorpresa, el enunciado de la paradoja dice que se trata de que los alumnos no puedan deducir el día del examen, a pesar de saber la semana. Es a ese enunciado al que hay que dar un sentido claro.

    Cierto que podemos hablar sobre si eso es o no lo que queremos llamar sorpresa.

    Yo una vez puse exactamente el mismo examen en septiembre que en junio e igualmente les sorprendieron los ejercicios a los alumnos. La tasa de aprobados no varió significativamente sobre la media histórica.

    Se me olvidaba: Bienvenid@ al blog y saludos.

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  8. Bueno...yo propongo otra teoría...
    Podemos llamarle simplemente "paja mental" y concluir que no hay que sacar demasiada punta a las cosas. Y no es que no le vea una utilidad teórica a la cuestión, es que lo mismo yo soy un poco más práctico. O tal vez es que me he hecho un lío con el post.
    En fin, que una vez más, no lo tengo claro. Dudo luego existo.

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  9. Un artículo sencillamente formidable, de verdad...

    Me preguntaba si te interesaria intercambiar enlaces con mi web de Tarot.

    Un saludo!

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  10. cambiosocialya:

    No es tampoco mala teoría, y algo de eso denuncio en la literatura al respecto. El problema tiene su enjundia, puesto que se trata de saber si tenemos claro lo que significa la inducción lógica y si es posible hablar formalmente de conceptos elusivos como el de sorpresa.

    Saludos

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  11. Hola Tarot:

    Me alegro que te gustara el artículo, pero no es mi política hacer publicidad de negocios que se basan en engañar a la gente.

    Un saludo

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  12. José Luis:

    Uno de los motivos de no escribir cosas que tenía pensadas en mis blogs es que paso mucho tiempo disfrutando de los vuestros. Siempre traéis ideas interesantes y bien desarrolladas.

    Mi opinión en la paradoja del examen sorpresa es que puede que no todos entiendan lo mismo por examen sorpresa. Evidentemente está tan mal planteado si se quiere decir que TODOS LOS DÍAS será sorpresa como si te dicen que dentro de una de cinco cajas está el tesoro y que tienes cinco intentos o que una de cinco llaves del llavero que te dan abre una puerta y tienes cinco intentos.

    La cosa funciona si el profesor pone el examen pero lo pone al azar, tirando una moneda, y sobre todo si a los alumnos el jueves ya no les sirve para nada saber que el examen será el viernes porque no les da tiempo a estudiar toda la materia en una noche y han perdido el resto de días vagueando.

    Si el jueves no ha habido examen y ya no tienes tiempo, mal. Te arriesgas un poco menos si no estudias hasta el miércoles, estudias algo el jueves y te sirve si el viernes hay examen. Y así, en general.

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  13. Sursum corda!:

    Efectivamente, habría varias maneras de definir "sorpresa" y lo que se entiende por "adivinar" cuándo va a ser el examen. Para cualquier especificación sensata pasará algo parecido a lo que dices y a lo que recojo en la entrada.

    Gracias por comentar y te animo a que no dejes descuidado tu blog. De vez en cuando me meto a ver si hay algo nuevo.

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  14. "Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente", lo traduzco por:"Para la próxima semana os pondre un examen, pero vosotros no podreis saber el dia".
    El razonamiento de los alumnos es perfecto, pero falla. En la engorrosa explicación que das (incomprensible de seguir para mi) necesitas alterar el enunciado eliminando precisamente su factor principal " el tiempo " que es el que hace crear la paradoja. Y es que la lógica y el tiempo no se llevan muy bien. Por eso tambien fallan los alumnos, porque lo que es logico para un dia no lo es para toda la semana. El tiempo hace "emerger" cualidades nuevas e imprevisibles, y en el caso que nos ocupa esta cualiad nueva e imprevisible es la sorpresa. Con el tiempo no se puede jugar a la lógica.

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  15. Nunnez:

    Bienvenido al blog. Siento que no hayas entendido bien la entrada. Es posible que se pueda explicar mejor, pero esto es lo que me ha salido después de intentarlo de varias maneras. Si te interesa la paradoja, te animo a que releas la entrada con cuidado y a preguntarme cuantas dudas tengas.

    Una de las cosas que justamente hago en la entrada es considerar el tiempo. No lo he eliminado de ninguna manera, simplemente he considerado una semana de dos días para hacer más sencillo el análisis, que se extiende fácil, pero engorrosamente, a más días.

    El tiempo hace que haya que actualizar la información, por eso la lógica proposicional se pierde en él. No así la teoría de los juegos, que sabe incorporar las probabilidades, con regla de Bayes incluida para actualizar la información.

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  16. En primer lugar darte las gracias por contestar a mi nota, en segundo lugar reconocer el esfuerzo realizado por aclarar o descifrar la paradoja y por ultimo agradecerte tu disposición en aclarar mis dudas.
    A continuación sigo con el consejo, y releo la entrada, una, dos, tres, cuatro veces...y comienzo con exponer dudas y mi criterio sobre la paradoja. Dices que se trata de mostrar que el enunciado consta de proposiciones incompatibles entre si. Expones tres en un ejemplo con dos días. Sin embargo la 2ª proposición la encuentro incoherente. Para mí, si los alumnos en la víspera del segundo día, al final de la clase del día uno, comprueban que no ha habido examen, ellos saben con certeza que el examen será el segundo día, por eso encuentro incoherente que digas que ellos no lo saben. Y si ellos saben que el examen será el día dos, ¿ donde se encuentre la incompatibilidad?
    Y si las proposiciones con correctas, afirmaciones como" que la profesora ha dicho algo falso", las encuentro del todo gratuitas.
    En tu exposición repites lo mismo, que si no ha habido examen el día uno el segundo dio se enfrentan a un juego, pero ellos no se enfrentan a ningún juego, saben taxativamente que habrá examen, como he expuesto anteriormente. El unico juego que cabe en tu exposición es el del día uno.
    Cuando comente que eliminabas el factor tiempo, es por que así lo creo. Fíjate… el ejemplo mencionado consta de dos días igual que tu exposición y la deducción de los alumnos también consta de dos días: Si al jueves no hay examen, será el viernes, pero entonces lo sé. Se elimina el viernes, y si el miércoles no hay examen será el jueves, pero entonces lo se. Etc. Siempre dos días.
    ¿No te resulta extraño? Dos son los términos mínimos necesarios que nos permiten un razonamiento deductivo y un desarrollo lógico lineal de causa-efecto. Pero eso no es el tiempo. Y llegados a este punto, aparece la gran pregunta ¿Reduccionismo o emergentismo ?. Según Mario Bunge, el emergentismo está asociado al sistémico y se caracteriza por la tesis de que los sistemas poseen propiedades globales, sistémicas o emergentes que sus partes componentes no poseen y son, por tanto, irreducibles a propiedades de niveles de organización inferior.
    A mi, personalmente me gusta creer en esto, en que hay espacios y tiempos donde quepan el azar, el caos, la casualidad, la sorpresa…. Donde no todo se pueda saber de antemano, que, aunque dispongamos de todos los componentes iniciales, siempre pueda surgir lo inesperado. Que no exista el destino, ni el propósito ni la finalidad ni lo absoluto.
    En resumidas cuentas, si admitimos el elemento sorpresa como una propiedad global del sistema (la semana) que sus partes componentes no poseen (el día a día), la paradoja deja de ser tal, la profesora ha dicho la verdad, y cualquier intento de reduccionismo resulta baldío.
    Saludos

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  17. NUNNEZ:

    Vamos por partes.

    En términos generales, las proposiciones incompatibles entre sí son dos:

    (i) La profesora pondrá un examen la próxima semana, y
    (ii) El examen será una sorpresa

    Las proposiciones con que ilustro el caso de los tres días intentan ser un poco más precisas, pero van de lo mismo. Se trata de definir con un poco más de precisión qué es eso de la sorpresa o de saber lo que va a hacer la profesora.

    Con dos días, si la profesora decide por un razonamiento lógico que el examen no debe ser el día 1, entonces, o bien tenemos que deducir que el día 2 no habrá examen o que no será sorpresa. Suponer cualquiera de las dos cosas llevará a contradicción. A ti te choca que en mi proposición 2. postule que se deban cumplir las dos cosas que dice la profesora (que habrá examen y que sea sorpresa) porque ves la contradicción enseguida (esto es lo que pretendía hacer notar). Pero esto es lo que tiene que ocurrir si el examen no es el primer día y se debe cumplir lo que decía la profesora.

    Respondiendo a tu duda: las afirmaciones no pueden ser ciertas, por lo que la profesora no dice la verdad cuando dice que va a poner un examen sorpresa.

    Así pues, no pueden darse las dos cosas. A partir de ahí podemos construir el caso en que no se cumpla una o la otra para aclarar el resto de aspectos de la paradoja. En particular cómo es que, a pesar de que hayamos dicho que ambas cosas son incompatibles, al final se cumplan.

    El caso que he construido es en el que permite que no haya examen (para estar en el caso más favorable a que haya sorpresa), por eso se permite que no haya examen el segundo día.

    Podía haber insistido en que hubiera examen el segundo día. En ese caso quita la posibilidad de No examen del segundo día. Los alumnos elegirán Sí y los pagos serán (-1,1), que corresponderán a la casilla (No examen, No) de primer día. En este caso el equilibrio será que la profesora elige Examen con probabilidad 1/2 y No examen con probabilidad 1/2, mientras que los alumnos elegirán Si y No también a cara y cruz.

    Intentar deducir qué va a hacer el otro cuando la mejor estrategia es ser impredecible y para ello tiene que echar a suertes es una imposibilidad. A veces se acertará y a veces se fallará. Te invito a echar un vistazo a mi entrada sobre Nadal y Federer:

    http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2009/09/la-teoria-de-los-juegos-la-historia-mas_24.html

    Aún sabiéndolo todo sobre el juego y sobre la manera de razonar del otro, no será posible deducir lo que va a hacer, porque lo que va a hacer es jugar aleatoriamente. Esa es la esencia de la paradoja del examen sorpresa. No hace falta inventarse nuevas lógicas ni apelar al reduccionismo-emergismo.

    Espero haberte aclarado un poco más la cosa. Con gusto contestaré más preguntas.

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  18. Madre mía, esto es de loco, como se puede estar de acuerdo con todo lo que dices y sin embargo llegar a conclusiones diferentes.
    Creo que es la extrapolación lo que nos difiere, tu llevas el razonamiento (perfecto) de sus partes (dos días) a todo el conjunto y por eso deduces que la profesora ha dicho algo falso,( porque son incompatibles entre si el punto i y punto ii ) y yo quería demostrar ( sin ningún acierto) que es precisamente la división del conjunto lo que hace incompatible dichos puntos.
    Siento disentir contigo, pero creo que es un claro ejemplo de emergentimos, donde el conjunto tiene unas propiedades (la sorpresa) que es imposible que se pueda dar en sus partes, como bien hemos comprobado.

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  19. La extensión a una semana del argumento que he hecho para dos días no es una extrapolación, es la repetición exacta del mismo argumento.

    Imagina que solo hay un día y que profesora dice:

    -"Mañana pondré un examen sorpresa".

    Sin duda que no puede estar diciendo la verdad. O no pone examen o, si lo pone, no es sorpresa. Este es todo el misterio.

    Ahora podemos insistir en qué debe hacer la profesora para dar sentido a su frase. Si está comprometida a poner un examen, no hay nada que hacer, lo pone y ya está. Si no está comprometida, echando a suertes si pone o no el examen causará la mayor sorpresa posible, a costa de no poner el examen alguna vez.

    Establecida una de las opciones podemos seguir un día o los que haga falta hacia atrás. Lo que tenemos no son propiedades de la semana que emerjan como distintas de las propiedades de los días. Lo que tenemos es que no usar la lógica proposicional sino la teoría de los juegos y la teoría de la probabilidad.

    Sobre reduccionismo y holismo tengo una entrada:

    http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2009/03/holismo-y-reduccionismo.html

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  20. Aprovechando la licencia imaginativa de tu última aclaración, también voy a poner un ejemplo imaginario, por si nos diera un poco de luz.
    Imaginemos que la profesora dice: “ Este curso no pondré examen, pero para el próximo curso pondré un examen sorpresa sobre lo aprendido en este curso”. Copio a continuación la respuesta tuya a Anónimo: “En cuanto al objetivo de la sorpresa, el enunciado de la paradoja dice que se trata de que los alumnos no puedan deducir el día del examen, a pesar de saber el curso. Es a ese enunciado al que hay que dar un sentido”. Solo he cambiado la palabra semana por curso. Un curso ( 9 meses) abarca tanto tiempo que creo que ningún alumno se atrevería hacer cábalas sobre que día será el examen. La respuesta ha perdido todo su sentido. Si hacemos cábalas con la paradoja de marras, es porque al ser “solo” una semana, nos crea la ilusión de que es aprehensible y manejable, pero en el fondo contiene todos los elementos necesarios para hacerla tan inescrutable como con todo un curso.

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  21. NUNNEZ:

    No hay ningún problema con extender la resolución a cualquier número de días, sean los de la semana o los de un curso. Claro que cuando el problema se hace complicado o tedioso, uno puede renunciar la resolverlo, pero esto no es argumento de nada para su lógica interna, aunque sí lo será para su observación en la práctica. La paradoja iba de lo primero.

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  22. Con permiso, José Luis.

    Nunnez:

    El problema es que hay cinco opciones y cinco elecciones, pero no es más paradójico que éste:

    Una caja se abre con una de las cinco llaves de un llavero sorpresa.

    Pero eso no puede ser porque si no es ninguna de la 1 a la 4, no es sorpresa que sea la 5. Luego no puede ser la 4, porque la 5 no es y si llegamos de la 1 a la 3 sin abrirlo, es que la llave es la 4 y no es sorpresa. Y así ¿con todas? ¿con alguna? ¿con ninguna?

    El llavero es "sorpresa" si no sabes cuál de las cinco llaves es la que abre la caja. Sólo después de cuatro elecciones puedes estar seguro de que se trata de la quinta llave. Pero el planteamiento contiene la razón de la paradoja. Si no ha sido de la 1 a la 4, es claro que se trata de la 5, pero ¿y si ha sido, por ejemplo la 2? ¿Si el examen ha sido puesto al azar para el martes? La condición de haber llegado al jueves sin examen ya queda invalidada.

    También hay 60.000 números de la lotería tradicional y también podemos comprar un décimo de cada número. Pero eso no nos sirve de nada pues el gasto es necesariamente igual o mayor que el premio.

    Un saludo.

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  23. Aquí, ya sabéis, entra cada uno como por su casa. No hace falta pedir permiso.

    No me he parado a pensar si tu problema tiene todos los elementos del examen, pero la parte aleatoria de la sorpresa creo que se capta bien.

    Un saludo

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  24. José Luis:

    Espero que te parezca convincente cuando lo examines. El caso se da donde hay tantas opciones como elecciones y podemos, una por una, ir descartando todas.

    Por ejemplo: tienes dos elecciones, pero antes de tirarla no puedes acertar lo que saldrá en una moneda y para ti será sorpresa. Y que te respondan que no, ya que si haces una tirada y me dices que ha salido cruz es obvio que la siguiente elección es decir que ha salido cruz.

    Lo interesante es que antes del hecho no puedes adivinar y que sólo puedes acertar con seguridad cuando sólo te queda una opción.

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  25. Me he percatado de que hay un tercero en discordia del cual nunca hemos hablado. El OBSERVADOR, o sea, todos los que pensamos en la paradoja.
    Podríamos decir que al no poderse determinar con precisión el significado de la palabra sorpresa dentro de su contexto, y por el mismo hecho introspectivo de definir la palabra , el observador modifica los datos de la paradoja de algún modo, haciendo válido la introducción de elementos extraños
    A sursum corda le permite introducir el llavero sorpresa, a José Luis le permite introducir el beneficio y la estrategia con el fin de elaborar su teoría de los juegos, a mi me permite la introducción de la emergencia, como compresión de la paradoja.
    Y curiosamente todos vemos en los demás las distorsiones de su planteamiento, solo los de cada uno nos parece coherente.
    Quisiera dejar para su reflexión una cita de Heraclito que me parece que nos viene como anillo al dedo “Aunque el logos sea común a todos, la mayor parte de los hombres viven como si cada uno tuviera en propiedad una sabiduría particular”

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  26. Desde luego, en dar una apropiada definición de sorpresa está gran parte de la clave para dar sentido riguroso al enunciado de la paradoja y, con ello, a dar una explicación de los enunciados sobre ella.

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  27. A Sursum corda

    Voy intentar explicarte porque el llavero no puede ser sorpresa y sin embargo lo cerca que andas de mi exposición de la emergencia ( por muy extraño que te parezca)
    Aunque no tengo la menor duda de que sabes el significado de la palabra sorpresa, voy a transcribir lo que dice la RAE y otras definiciones que he encontrado por la red, porque viéndolas escritas parece como si los pensamientos se aclararan.
    RAE
    SORPRESA=Acción y efecto de sorprender
    SORPRENDER= -Coger desprevenido
    -Conmover, suspender o maravillar con algo imprevisto, raro o incomprensible
    -Descubrir lo que alguien ocultaba o disimulaba
    Otras definiciones de la red
    -Impresión que causa algo inesperado, extraño o incomprensible
    -Sin avisar, inesperadamente
    Naturalmente que hay muchas más pero que creo que estas definiciones son una buena muestra.
    Fíjate en la primera definición, sorpresa es la acción y efecto del verbo sorprender, y como tú sabes, los verbos indican acción y movimiento. Esto quiere decir que un objeto no puede tener el calificativo de sorpresa. Ya se que existe la caja sorpresa y el Kinder sorpresa y el sobre sorpresa, pero eso es una forma familiar de llamar a esos objetos, porque el verdadero efecto de la sorpresa se efectúa cuando uno abre la caja, el kínder o el sobre, y descubre lo que hay dentro. Es la acción de abrir la caja sin saber lo que hay dentro y no la caja en si lo que define a la palabra sorpresa. También es cierto que de ciertas cosas se puede decir que son sorprendentes, por ejemplo, ver un diamante del tamaño de un frigorífico. “Es un diamante sorprendente” Pero no es el diamante en sí el sorprendente, sino el efecto que causa en el observador al verlo, ese efecto es el sorprendente.
    El examen, sí puede tener el calificativo de sorpresa, porque el examen no es un objeto, sino una acción. El papel y el bolígrafo son los medios de que se vale el estudiante para ejecutar el examen. Un examen es la acción de comprobar o demostrar el aprovechamiento en los estudios.
    Una vez descartado que puedas tener un llavero sorpresa, el enunciado te quedaría” tengo una caja y cinco llaves y solo una de las llaves abre la caja.” En este anunciado ya no hay nada extraño, ni imprevisto ni inesperado ni sorpresivo, y salvo que te saques un as de la manga y digas que dentro de la caja hay una nota indicando el día del examen, todo está claro como el agua. Siguiendo tu razonamiento el enunciado de la paradoja quedaría así “ La profesora anuncia un examen para la semana siguiente” Bien, también todo esta claro, y por estar tan claro ha desaparecido la paradoja, la profesora puede poner el examen cuando mejor le convenga.
    Fíjate que has hecho. Le has quitado la palabra sorpresa al examen y se la has añadido a la semana. Has convertido el examen un una caja, y a la semana en un llavero pero como necesitas añadirle la sorpresa que le sustrajiste al examen te queda semana+sorpresa= llavero+sorpresa , de la que cuelgan los días de la semana, que son las llaves. Rocambolesco si que resulta, visto así, y sin embargo en mi exposición de la emergencia he hecho casi lo mismo, he sustraído la palabra sorpresa al examen y se la he pasado a la semana. Tengo que cortar aqui, el especio no me deja imprimir mas.

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  28. NUNNEZ:

    Aunque te dirigías a Sursum corda! permíteme una puntualización. La definición de sorpresa es la que has dado y es la que entendemos en el lenguaje normal. Para usarla en un contexto formal, como se presenta la paradoja del examen sorpresa necesitamos una definición formal y operativa en el lenguaje de la paradoja y que responda a la noción intuitiva del concepto. Hasta que no la tengamos, no sabremos muy bien lo que está pasando con la formulación de la paradoja y su resolución.

    En la formulación formal uno puede sorprenderse de que una llave abra una puerta (sin dejar de ser intuitivo) si se atribuía una probabilidad alta a que no lo hiciera y si la definición formal tiene que ver con las probabilidades.

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  29. Todas las definiciones expuestas en mi anterior comunicado sobre la palabra sorpresa tienen un denominador común y es que hay algún elemento desconocido u oculto sobre el suceso que se va a producir y que este elemento desconocido no se manifiesta o revela hasta que el suceso no se produce. Es algo intrínseco en la definición de la palabra sorpresa. En el caso que nos ocupa lo desconocido es la fecha del examen. Así que podríamos decir atendiendo exclusivamente al anunciado de la paradoja que sorpresa significa:”Que no podemos saber o desvelar a priori la fecha del examen”. Y ese es el meollo de la cuestión, porque si pudiéramos, de algún modo, deducir la fecha del examen, o llegar a su contradicción, entonces la palabra sorpresa pierde todo su significado y por consiguiente falsea el enunciado. O en palabras tuyas, la profesora dice algo falso o miente. Y esta contradicción te la encuentras cuando analizas un solo día, o dos, porque no concurren los elementos necesarios para que se de la definición de sorpresa, el supuesto elemento oculto lo podemos saber a priori.
    Esto nos lleva a posicionarnos en una de las dos soluciones posibles. A) La palabra sorpresa tiene todo su significado, y por lo tanto aceptamos que no podemos saber a priori la fecha del examen, y B) Con dos variantes pero con la misma conclusión. 1ª Podemos deducir la fecha del examen y 2ª llegamos a una contradicción. Ambas soluciones nos conducen a que la palabra sorpresa falsea el enunciado o la profesora dice algo falso.
    Tu te has posicionado en la solución B, y tratas de demostrarlo a través de la teoría de los juegos. Yo me he posicionado en la solución A, por medido del concepto de la emergencia, pero no puedo demostrarlo, es por eso que me basé en la crítica a tu demostración, tratando de exponer que si tu teoría fuese falsa, la mía seria verdadera. Pero mi postura no es razonable, tu teoría podría estar equivocada y la mía no tiene que ser por eso cierta.
    Es por ello, que voy a intentar demostrar a través de una analogía, mi posición en la solución A. El que lo consiga es harina de otro costal.
    Va sobre el roscón de reyes. Ya sabes, se divide el roscón en tantas partes como comensales hay, pero solo en un trozo hay una sorpresa (sea lo que sea). Bien, pues pensemos en un solo comensal y su roscón, no hay que hacer particiones, por lo que aquí no hay sorpresa (no reúne las condiciones necesarias expuestas en la definición de sorpresa) ya sabe a priori que le va tocar a él . Si fuera para dos comensales se harían dos partes, y también sabe a priori que si él no la tiene, la tendrá el otro, por lo que no da tampoco para la sorpresa. Se necesitan más comensales para que emerja la sorpresa. Si fueran dieciséis comensales, el tamaño del roscón sería enorme (o sus partes muy pequeñas) y la posibilidad de que puedas saber a priori a que comensal le va a tocar la sorpresa ha desaparecido, (salvo el azar). Aquí se manifiesta en todo su esplendor la sorpresa. Como puedes comprobar “el tamaño si que importa” (entendiendo por tamaño el número de particiones del roscón)
    El espacio disponible no me deja escribir más, te mando un segundo comentario con el resto.

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  30. Y esa es mi postura, que para que emerja o se revele la sorpresa, se necesita de todo el conjunto, que en el caso de la paradoja es una semana ( o cinco días lectivos) pues como dice el principio emergente “ el total es mas que la suma de sus partes”. Que lo que es razonable y lógico para un día o dos (una parte o dos) no lo es para el conjunto, pues solo el conjunto contiene la propiedad de la sorpresa.
    Por tus comentarios deduzco que tu no crees en el emergentismo, pero como dicen los gallegos “haberlo, haílo”, y si no, explícame como se produce el deseo que tengo de mover los dedos para escribirte este comentario.
    Encuentro muy meritorio el esfuerzo que has hecho por demostrar la contradicción de la paradoja, pero el que haya encontrado asimismo contradicciones en tu exposición, demuestra que no está del todo perfilada, yo reconozco que es imposible demostrar mi teoría, pero hay fenómenos que por el momento son inexplicables, como por ejemplo el origen de la vida a partir de lo inerte, o la mente a partir del sistema nervioso. Encuentro que es más fructífero trabajar con la idea de que existe y que hay que acoplarse a ese fenómeno, que negarlo, que solo nos conduce a callejones sin salida.

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  31. Vaya, creía haberte convencido de algo, pero veo que no. Te respondo.

    1. No das una definición rigurosa y operativa de lo que significa "sorpresa". Hasta que no lo hagas no sé muy bien qué alternativa estás proponiendo.

    2. Creo no haber optado por A o B, como dices, sino que doy cuenta de ambos casos. Según mi formalización de la paradoja, ocurre A con cierta probabilidad (no podemos saber la fecha del examen con probabilidad 1) y B1 con cierta probabilidad (podemos deducir la fecha del examen con cierta probabilidad). B2 ocurre siempre (es contradictorio poner un examen con probabilidad uno y que sea sorpresa también con probabilidad uno).

    3. Para mi definición de sorpresa no hacen falta más que dos días. Te repito que el análisis se puede hacer para cualquier duración de la semana y sería igual. El número de días sólo cambiará la probabilidad de que adivinar el examen, que será menor a medida que aumente el número de días.

    4. Puedes proponer un modelo riguroso alternativo en el que estudiar la paradoja y decir que es mejor que el que propongo, porque recoge, p.e., mejor la idea de sorpresa. Pero no puedes decir que en el mío hay contradicciones. No las hay. Es un juego perfectamente bien definido y resuelto. En ninguna parte se afirma una cosa y la contraria (o se usa una definición con dos sentidos o cualquier otra cosa que puedas llamar contradicción).

    5. Encuentro irrelevante la apelación a la máxima "el total es más que la suma de sus partes" como explicación de nada. Como mucho, la expresión es descriptiva de un proceso en el que las partes se definen de una manera y el total de otra. Tal vez me anime a hacer una entrada sobre esto.

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  32. Respuesta al punto 1.
    La definición que he dado de sorpresa, es lo máximo a lo que he podido llegar, quizás no sea todo lo rigurosa que tu desees, pero es la mejor definición que se me ha ocurrido, en cuanto a que sea operativa, esa es una exigencia imposible de cumplir por mi. Imagínate que me pidieras la definición de la palabra vida y que ésta definición fuera operativa para realizar los cálculos necesarios que enlazara lo inerte con la vida. Lo dicho, imposible, por lo menos imposible para mi, ¡que más quisiera yo!
    En cuanto a la alternativa creí que había quedado bien establecida: La sorpresa solo se produce en el conjunto de la semana. Es una propiedad emergente. En palabras de Robert B. Laughlin (premio Nobel de física en 1998) es un fenómeno colectivo o de organización. El estudio de sus partes solo se presta a confusión, además de eliminar ese fenómeno colectivo, o sea la sorpresa. El enunciado “la profesora anuncia una examen sorpresa para la semana siguiente” resulta completamente asumible y plausible al leerla. La paradoja es un invento maquiavélico creado por el autor, solo se establece cuando el autor introduce como razonamiento la supuesta deducción de los alumnos, que no tiene porque ser así. Es una inferencia que trata de manipularnos, cuya intencionalidad es indicarnos el falso camino a seguir. Es una maquinación que solo está en la mente del autor. No existe en la realidad, y queda patente cuando dice al final de la exposición: “Llega el miércoles y la profesora pone el examen” Lo de “para asombro de todos” es una afirmación gratuita y retorica cuyo único fin es el de confundirnos.
    Respuesta al punto 2.
    No entiendo como B2 ocurre siempre y A y B1 con cierta probabilidad, la verdad, lo encuentro antagónico, lo siento pero no puedo comprenderlo, por mucho que me esfuerce. Cuando afirmas con toda rotundidad que la profesora dice algo falso, ¿dice algo falso en ciertos supuestos? En el supuesto A ¿la profesora podría decir la verdad aunque solo sea con cierta probabilidad? Mis pocas entendederas no dan más de sí.
    Respuesta al punto 3.
    Me remito a la respuesta al punto uno.
    Respuesta al punto 4
    He propuesto un modelo que aunque no sea riguroso, si que me parece alternativo, y personalmente, creo que recoge mejor la idea de sorpresa. En cuanto a lo de las contradicciones, siento de veras que te hayas molestado, desde ahora mismo te pido excusas y perdón, trataré de medir mis palabras, aunque en una cosa puedes estar seguro, en mis comentarios no ha habido nunca ni la mas mínima intención de molestarte u ofenderte, solo me ha guiado la búsqueda de la coherencia. En algún que otro comunicado me he pronunciado sobre lo bien elaborado que está y hasta de estar de acuerdo con ello, pero son las conclusiones las que me chocan y las nuevas perspectivas que van surgiendo con los diversos comentarios, para todo lo demás me remito a mi respuesta al punto 2, decir otra cosa seria engañarme y engañarnos.
    Respuesta al punto 5
    En este punto disentimos irremediablemente, lo que a ti te parece irrelevante, a mi me parece fundamental. Encuentro que es la clave para comprender la paradoja. Donde tú expresas que el total es simplemente una definición distinta de sus partes, yo entiendo que es distinto porque contiene un “añadido” que no poseen sus partes.
    Por otro lado, me alegro haber dado pie para un nuevo artículo, que estoy seguro será muy interesante, como tienes por costumbre.

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  33. NUNNEZ:

    La paradoja es sobre una proceso de deducción lógica. Si no definimos las cosas de manera que tengan un significado preciso en los términos lógico-formales, no adelantamos nada y seguimos sin entender qué está mal en el razonamiento lógico.

    No tengo nada contra las propiedades emergentes, sólo digo que apelar a ellas para renunciar a explicar la paradoja en los términos que la constituyen no explica nada y es innecesario. Todo lo que se dice en la paradoja puede ser expresado a partir de sus elementos constitutivos.

    Una persona puede echar a cara y cruz si dice la verdad o no cada vez que va a enunciar un predicado, pero no es esto de lo que se trata. Lo que digo es que el predicado que enuncia la profesora solo se cumple con cierta probabilidad. No sé qué tiene de raro esto.

    La proposición A es "el examen será sorpresa con cierta probabilidad", la B1 es "habrá examen con cierta probabilidad", la B2 es "no puede ser cierto a la vez que haya un examen con probabilidad 1 y que sea sorpresa con probabilidad 1". Si tanto A como B1 se cumplen no tienen por qué ser contradictorias con B2, que sigue siendo cierta. A no ser que esas probabilidades sean uno.

    Ninguna ofensa he sentido por tus palabras. Sólo que si encuentras una contradicción en mi análisis me gustaría saber dónde está para corregirla o rechazar el análisis. Hasta ahora no la veo.

    Insistes en cosas añadidas en la semana de cinco días que no está en la de dos, pero no explicas cuáles son estas cosas. Yo he hecho una definición de sorpresa que se puede aplicar tanto a las cosas que pasan en una semana como en otra. En tus comentarios hay una definición imprecisa de lo que constituye la sorpresa en el contexto de la paradoja y una afirmación sin pruebas de que ocurre en la semana de cinco días y no en la de dos. Afirmar (sin pruebas) que es una propiedad emergente (sin definir lo que es en el contexto de la paradoja) no es aportar una prueba.

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  34. Voy a intentar demostrar que en un día o dos, no puede haber sorpresa, pero para ello necesito un poco de comprensión, buena voluntad por tu parte y que tantees la solidez del planteamiento. No niego ni discuto que pueda estar solo hilvanado, cogido con hilo, pero creo en su fondo, o sea que la duda existe, es real, porque tiene su por qué.
    Voy añadirle a la profesora ciertos valores que aunque estén implícitos en el enunciado, quiero sacarlos a la luz para reflexionar ellos, por ejemplo: que la profesora siempre cumple lo que dice,(en esto estarás de acuerdo, porque en uno de tus comentarios tu mismo lo reconoces al terminas con la coletilla de “se debe de cumplir lo que decía la profesora”) así como que es coherente y además sensata, (resultaría extraño que un loco fuera coherente y sensato). Pues bien, una persona sensata y coherente jamás diría una frase tal como “pondré un examen sorpresa que será mañana” entendiendo por sorpresa la fecha del examen como se deduce del enunciado de la paradoja. Resulta absurda e incoherente, tu mismo lo reconoces en tu ejemplo, al decir “ Sin duda no puede estar diciendo la verdad. O no pone examen o, si lo pone, no es sorpresa. Este es todo el misterio”. Exacto, decir el día y que a la vez sea eso la sorpresa es absolutamente misterioso, e incongruente, no tiene ningún sentido, es como decir que te voy hacer un regalo sorpresa para tu cumpleaños que consistirá en una corbata, y continuas “ Si está comprometida a poner un examen, no hay nada que hacer, lo pone y ya está. Si no está comprometida, echando a suertes si pone o no el examen causará la mayor sorpresa posible, a costa de no poner el examen alguna vez”. Es aquí donde te equivocas. La profesora no tiene la opción de no poner el examen, recuerda, se debe de cumplir lo que dice la profesora, por consiguiente has creado una contradicción con el ejemplo, una incongruencia, una absurdidad. Y una incongruencia no puede servir de base para ninguna argumentación (si partes de premisas falsas, llegarás a conclusiones erróneas). Hay que quitar la incongruencia y solo se puede hacer eliminando la palabra sorpresa del ejemplo de un día. Con lo cual queda demostrado que con un día no puede haber sorpresa. En la analogía que puse del roscón de reyes de un solo comensal, se ve con mas claridad, solo entra una sola posibilidad, que la figurita (la sorpresa) esté en su roscón, no entra la posibilidad de que no esté la figurita, eso seria jugar a otro juego, y eso es lo que haces cuando introduces la posibilidad de que no ponga el examen (de que no haya figurita), estás jugando a otro juego, no al del enunciado de la paradoja.
    El espacio disponible no me deja escribir más, te mando un segundo comentario con el resto

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  35. Con el estudio de dos días, haces decir implícitamente a la profesora lo mismo: “Pondré un examen sorpresa que si no es el lunes será el martes”, lo cual también resulta absurdo como con un día y llegas a las mismas conclusiones. Solo puedes dilucidar con el lunes si pone el examen o no, con el martes ya no puedes dilucidar nada, lo pondrá si no lo ha puesto el lunes y no lo pondrá si lo ha puesto el lunes, recuerda, se debe cumplir lo que dice la profesora, y aquí se acaba la historia, todo lo demás como que el martes contiene la posibilidad de que puede poner el examen o no, independientemente de lo que ocurra el lunes, es cambiar las reglas del juego. Para que este enunciado de dos días sea coherente, como en el caso de un día, hay que eliminar la palabra sorpresa. Solo hay sorpresa si se desconoce a priori la fecha, así que poner ejemplos donde se sabe a priori la fecha y añadirle a continuación la palabra sorpresa, lo que se hace es crear una incongruencia, salen del contexto de la paradoja, estás en otra cosa. Ahora caigo en la cuenta que cuando comente sobre la solución A y la solución B. La solución B2 es falsa, no puede haber contradicción, no podemos poner ese tipo de ejemplos contradictorios, nunca se debe crear una contradicción y la B1 hay que demostrarla, porque como ha quedado patente, con un día o dos no se demuestra

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  36. NUNNEZ:

    Dices que hay que hacer lo que dice la profesora y, por tanto, que ha de haber examen. Por lo mismo debes decir que ha de haber sorpresa.

    Sin embargo eliminas la sorpresa sin ningún problema. ¿Por qué no eliminas el que haya examen?

    Si eliminas la sorpresa podrá haber examen. Si eliminas el examen podrá haber sorpresa.

    Esto todo es consecuencia de la contradicción en la frase de la profesora. La confusión que he intentado aclarar es que la eliminación del factor examen o del factor sorpresa debe estar sujeta al azar, puesto que constituye la mejor manera de decidir para ser impredecible.

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  37. Ya que estamos de acuerdo que la frase es una contradicción, lo lógico y razonable sería eliminar toda la frase, o sea el ejemplo. No obstante, podemos especular sobre las consecuencias de eliminar la palabra sorpresa o la palabra examen.
    Empecemos con la frase exacta del ejemplo imaginario: “Mañana pondré un examen sorpresa”. Eliminando la palabra sorpresa, nos quedará “Mañana pondré un examen”, bien, la frase es completamente coherente, no se le puede poner ni un pero, tiene relación con la paradoja y se puede cumplir lo que dice la profesora, solo que ya no hay sorpresa, que es lo que se intenta demostrar. Veamos ahora la frase sin la palabra examen: “Mañana pondré una sorpresa”. Primero deberíamos cambiar la palabra “pondré” por la palabra “daré” para hacerla gramaticalmente mas correcta. Pero si como está expresa bien la idea, ya vale. Esta frase es libre e independiente, no tiene ninguna cohesión con el enunciado, también puede cumplir lo que dice la profesora pero sin ningún nexo de unión con la paradoja. Por ejemplo, la profesora podría dar una fiesta porque es su cumpleaños, o porque es el aniversario del colegio, o la sorpresa podría consistir en que mañana vendrá Kevin Mihata a dar una charla sobre la emergencia. En fin, las posibilidades de dar sorpresas son infinitas, pero ninguna relacionada con la paradoja, salvo que la sorpresa que dé mañana sea anunciar que no habrá examen porque lo que dijo el día anterior fue una broma. Todo un disparate.
    No se que piensas tú, pero creo que hemos expuesto todo lo que había que exponer, o sea dos puntos de vista diferentes de analizar la paradoja y que posiblemente ambos tengamos algo de razón desde nuestras concepciones distintas, y salvo que se nos ocurra algo nuevo y sorprendente, por mi parte creo que ha llegado el momento de finiquitar este asunto.
    Te animo a que hagas el estudio sobre la máxima “el total es más que la suma de sus partes”, lo encuentro un tema interesante que puede dar mucho juego, pero con cuidado, porque te vas a mover por arenas movedizas, hay tantas opiniones a favor como en contra. Personalmente he tomado partido y estoy a favor.
    Por mi parte considero que ha sido una agradable controversia y solo me resta darte las gracias por ello, pues me has ayudado mucho a aclarar las ideas sobre el tema

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  38. Nunnez:

    No entiendo tantas vueltas al problema y a la palabra sorpresa.

    "La semana que viene podré un examen sorpresa"

    equivale a

    "pondré un examen uno de los cinco días lectivos de la semana que viene y ahora no sabéis cuál"


    La repuesta de que si llega el jueves y no ha habido examen significa que será el viernes y ya en la tarde del jueves no es sorpresa es inservible a todos los efectos.

    La profesora ha dicho que HOY, cuando dice lo que dice, ES SORPRESA. Y lo es. Y para que el viernes no sea sorpresa tiene que darse el caso de que no haya sino ninguno de los casos anteriores, cosa que no se sabe por los alumnos ni la semana anterior n hasta el jueves, como mucho. Y puede haber sido el martes, o el jueves y el argumento deja de ser válido.

    "Voy a tirar una moneda y miraremos si sale cara boca arriba y, si no, la daremos la vuelta, y no sabes si saldrá es o en el orden contrario" es lo mismo con dos casos.

    Si sale cruz, damos la vuelta y no es sorpresa, pero antes de tirarla es imposible saber si saldrá cara y cruz o cruz y cara.

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  39. Me alegro si de algo te ha servido la charla. Con todo, permíteme un par de precisiones a tu último comentario:

    1. No es necesario eliminar el examen (para sustituirlo por una fiesta, por ejemplo). Basta sustituir la NECESIDAD del examen por la POSIBILIDAD de que haya o no haya. Creo que eso está más en la línea de la paradoja.

    2. Sigue haciendo falta definir el significado de sorpresa.

    En cuanto al total y la suma de las partes y las propiedades emergentes, todo depende también de cómo estemos definiendo estos conceptos, primera cautela para no hundirse en arenas movedizas. A ver si preparo una entrada no muy insensata sobre el tema.

    Espero seguirte leyendo por aquí.

    Un saludo.

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  40. Sursum corda!

    Una vez que se define la sorpresa, podemos trabajar. Propones, como yo lo hago en la entrada, que la sorpresa sea la incapacidad de adelantar un resultado o elección ajenos.

    No era a única posibilidad. Alguien puede definir que no es sorpresa si adelanto que la profesora elegirá poner o no el examen echándolo a cara y cruz y la profesora, efectivamente, hace eso. Con esa definición, nunca habrá sorpresa.

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  41. Claro:

    Y tampoco hay sorpresa si sorpresa incluye que todos los días será sorpresa. Y es obvio que el viernes no será sorpresa jamás, bien porque no haya sido ninguno de los anteriores y tenga que ser el viernes o porque haya sido un dían aterior y ya se sabe el día.

    Pero la suposición natural cuanto te dicen que no sabes si saldrá cara o cruz o cruz y cara es que cuando te lo dicen no lo sabes. Cuando tiran la moneda y sale cruz/cara sabes que al darla la vuelta saldrá la alternativa: cara/cruz.

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  42. Claro.

    O si te dicen que sorpresa implica que todos los días sea sorpresa. Pero es obvio que el viernes no va a ser sorpresa en ese sentido ya que el examen o ha sido uno de los anteriores o no lo ha sido y va a ser el viernes.

    Pero la idea natural es la misma que cuando te dicen que si tiramos una moneda y la damos la vuelta saldrá cara cruz o cruz cara, pero no sabemos en cuál de los dos órdenes. Lo que es obvio es que si sale una de las dos, al dar la vuelta sale la otra. Y si se tratara de una caja con cinco llaves, una de las cuales la abre pero no sabemos cuál, lo mismo, como dije en el ejemplo de más arriba. Nadie objetará que si probamos cuatro llaves y no abren, sabemos que es la quinta pues eso va de suyo, como decían antes.

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  43. Si estoy de acuerdo en que eso es lo natural, pero hay que explicitarlo. Si no, vienen todas las discusiones ad nauseam.

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  44. No definir los conceptos trae siempre líos. Fíjate el del relativismo moral frente a valores absolutos, en el que todo se debe a que "bien" no esta bien definido.



    Mi primer comentario no salió inmediatamente y volví a escribirlo.

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  45. AAAAAAH, que es que has habilitado la moderación. No lo vi.

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  46. Definir bien. Primer paso del m'etodo cient'ifico.

    La habilitaci'on de comentarios viene por defecto para las entradas de hace m'as de 15 d'ias. Lo he dejado as'o porque de esta manera me entero de cuando alguien comenta en entradas viejas.

    Un saludo.

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  47. Desde luego si querías sorprenderme, no hay duda de que los has conseguido. Con tu frase, como diría, “heraclitoniana” me has dejado incluso perplejo, porque oscura, es un rato de oscura. ¡Vaya, vaya!, así que… ¿Hay una necesidad con la posibilidad de que no sea una necesidad? Pero no caeré en la trampa de hablar sobre ella. ¡Ah, no!, desde luego que no.
    Lo que si quiero hablar es sobre la emergencia, ojo con tratar de definirla porque es una tarea que me parece muy ardua, cualquier definición conlleva ineludiblemente un cierto grado de arbitrariedad, la única razón de creer en los fenómenos emergentes es porque son observables. Lo que es cierto a determinadas escalas suele se falso en otras. Por ejemplo, las leyes de Newton no son fundamentales sino emergentes, pues son una consecuencia de la agregación de materia cuántica que forma fluidos y sólidos macroscópicos, fenómeno colectivo de organización. A nivel de la mecánica cuántica, las predicciones hechas de acuerdo con las leyes de Newton son muy erradas. Estas últimas parrafadas no son mías, las he copiado por ahí, las pongo solamente como ejemplo de lo complejo que es el tema.
    El que si es mío, es el siguiente ejemplo: Todos los días ingerimos una determinada cantidad de sal, calculada en unos 6 gramos diarios, a partir de aquí puede ser peligrosa para la salud, sobre todo si padecemos hipertensión. Pues bien, como sabes, la sal en su denominación química es cloruro sódico, o sea, dos productos muy tóxicos, por no decir venenosos. Sin embargo el ingerir la sal resulta inocuo para nuestra salud en su apropiada dosis diaria. Me gustaría saber que le ocurriría a nuestra salud, si en vez de tomar sal, tomáramos 4 gramos de cloro y otros 2 de sodio al día. Yo desde luego, no pienso comprobarlo. ¿No crees que la sal tenga algo más que esos tóxicos no tienen? Pero ¿el qué? Desde luego, material no es. Podríamos decir que lo agregado es una nueva propiedad o cualidad que podríamos definir como inocuidad. ( ya se que la sal común puede tener otros elementos, como por ejemplo yodo, pero ninguno explicaría el concepto de inocuidad) Por mucho que definamos la inocuidad, dudo que podamos sacar conclusiones de por qué dos productos tóxicos al juntarse se vuelven inocuos y necesarios para nuestra salud. Y en eso creo que consiste la emergencia, que aunque no es definible si es observable. En la paradoja ocurre lo mismo, la sorpresa no es definible, pero en el conjunto de la semana es observable, porque se da.

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  48. NUNNEZ:

    No me sorprende que usted hable del emergentismo y no de la sorpresa. Lleva haciéndolo desde el principio.

    Pero con el ejemplo de la sal no demuestra nada a favor del emergentismo: el cloro y el sodio forman el cloruro sódico dado que el cloro capta electrones con facilidad y el sodio los cede. Todos los efectos de ingerir sodio metálico o cloro gas se deben a esas mismas propiedades de los átomos y no a nada que aparezca o desaparezca al combinarse con otros elementos.

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  49. Nunnez:

    Me preguntas si "¿Hay una necesidad con la posibilidad de que no sea una necesidad?" como si yo haya dicho algo así. La verdad es que no entiendo la pregunta. En todo caso yo he dicho lo que vengo repitiendo, que negar que haya sorpresa al 100% o examen al 100% no es decir que ocurra alguna de estas cosas al 0%. Falacia en la que fácilmente se cae si uno no tiene cuidado.

    Yo digo que, de la constatación de que es imposible que haya examen y sorpresa al 100% de probabilidad se deduce que debemos jugar con el resto de posibilidades para dar sentido al resto de cuestiones que plantea la paradoja. En particular la que dice que si era imposible, cómo puede ser que al final ocurra. Para ir examinando la paradoja podemos reducir la probabilidad de examen a un x% o la de la sorpresa a un y%.

    Sobre las propiedades emergentes, sin definición no sé de qué estamos hablando. Por poner un ejemplo, podemos llamar propiedades básicas en el modelo newtoniano a las tres leyes de la mecánica Newton y a la ley de la gravedad. Podemos llamar emergentes a las que se derivan de ellas, como las leyes de Kepler. ¿Es de esto de lo que hablamos? Antes de seguir adelante tenemos que definir.

    Cosas más curiosas pasan con el CO y el CO2. Ambos tienen los mismos elementos. El primero es veneno y el segundo no. Los químicos son capaces de predecir unas cuantas características de las moléculas antes de experimentar con ellas. De hecho, así han nacido unos cuantos fármacos y productos industriales. ¿Son propiedades emergentes las que no somos capaces de predecir y no emergentes las que sí?

    Los átomos de hierro hacen unas cosas si con ellos formamos una vía de tren o un puente. ¿Es una vía una propiedad emergente? ¿Lo es un puente?

    La química no se preocupa mucho de la física, que toma como dada. ¿Llamamos a las leyes de la química propiedades emergentes? La biología toma a la química como dada, ¿son sus leyes propiedades emergentes? ¿Llamamos emergente a toda propiedad que definimos sin hacer referencia a los constituyentes primitivos de la materia?

    Una vez que establecemos que algo es una propiedad emergente, ¿qué hacemos con la distinción entre propiedades emergentes y no emergentes? ¿qué aprendemos con ello? ¿hemos dado con una clave del universo o hemos organizado nuestro conocimiento de una manera más adecuada a nuestras percepciones e intuiciones?

    Entiendo la intuición de las propiedades emergentes, pero entiendo que hay muchas maneras de definirlas.

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  50. Estoy seguro que no querías decir lo que he interpretado, solo quería resaltar lo oscura que me pareció la frase, me pareció bonito el juego de palabras, tómalo como una broma, o como un gesto divertido y relajado en nuestros comentarios. Sobre la paradoja, creo que ya hemos dicho todo lo que nos teníamos que decir, cada uno ha dado su enfoque sobre la misma y ahí queda, añadir algo sería ya ad nauseam como muy bien has señalado. Si no te importa, prefiero seguir con la emergencia, que es un tema que me atrae. A Sursum corda, pedirte por favor que me trates de tú, soy de esos tipos raros que creen que no merece la pena relacionarse con sujetos a los que no se le pueda tratar de tú. Lo del respeto, lo conduzco por otros cauces.
    El término emergente en general se refiere a aquellas propiedades de un sistema que son distintas de las propiedades de los componentes individuales y que resultan de las interacciones entre sus partes. Tales propiedades no pueden predecirse fácilmente con base en las propiedades individuales y desaparecen cuando el sistema se reorganiza o descompone.
    Las propiedades químicas de un solo átomo son emergentes con respecto a las propiedades de los electrones, protones y neutrones que lo componen. Las propiedades químicas de una molécula (compuesto) son emergentes con respecto a las de los átomos presentes (elementos)
    Un ejemplo: el oxigeno es un gas, el hidrogeno también es un gas. Al unirlos en determinada proporción, se produce una reacción y como consecuencia aparece una propiedad que no tenían en su forma individual, a la cual llamamos “líquido”. Las propiedades de un líquido como el agua son emergentes con respecto a las de las moléculas individuales presentes en el fluido. Propiedades que desaparecen cuando el sistema se reorganiza o descompone, se puede convertir en solido o en fluido otra vez.
    Los procesos causales directos tienden a ocurrir en sistemas con partes bien diferenciadas que interaccionan de manera restringida y secuencial. Por ejemplo la circulación sanguínea.
    Los procesos emergentes se deben a la acción colectiva, simultanea y continúa sin que sea fácil determinar una causa o una secuencia causal determinada. Un ejemplo es la difusión de un fluido en otro, la cual resulta del movimiento azaroso y de la interacción de todas las partículas en el sistema.
    El espacio disponible no me deja escribir más, te mando un segundo comentario con el resto.

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  51. Con respecto a las vías del tren o del puente, se le podría denominar propiedades emergentes estáticas. De la piedra de mármol trabajada por la mano del escultor, emerge la belleza de la escultura. Es la “forma”, como decía Aristóteles, que según él, es el alma de las cosas.
    Se le atribuye a Hegel el planteamiento de las siguientes ideas:
    - El todo es mas que la suma de sus partes
    - El todo determina la naturaleza de su partes
    - Las partes no pueden comprenderse si se consideran en forma aislada del todo
    - Las partes están dinámicamente interrelacionadas o son interdependientes.

    Estas ideas, junto con otras muchas, como pueden ser el principio isoformo o similar, la relación, el ambiente, la entropía, etc. sirven de base para la teoría general de sistemas (TGS) que en la actualidad se aplica, o se apoyan en ella, o le dan elementos para completar sus planteamientos en áreas tan diferentes como la cibernética, teoría de las comunicaciones, bioquímica, ecología, la citología, la sociología o la economía. También se suele utilizar este enfoque para conocer y comprender los seres vivos en sus diferentes niveles, desde la biología molecular al de ecosistemas.
    Mas que de la definición se trata de la aplicación del concepto, en lo referente a la perspectiva, al enfoque, al punto de vista, a la cosmovisión del análisis. Es necesario estudiar no solo las partes y procesos aislados de un sistema, sino también resolver los problemas y escollos hallados en el mismo como resultado de la interacción dinámica de sus partes, que hace diferente el comportamiento de éstas cuando se estudian aisladas o cuando se consideran dentro de un todo. No sé si habré respondido a todos tus interrogantes, pero lo expuesto ha sido el resultado de una selección de información previa. Lo más importante para mí de conceptos como estos, es la actitud que uno toma ante los sucesos que le ocurren a diario, pues como dice Epicteto: “No pidas nunca que sucedan las cosas como tú deseas, sino desea que sucedan como suceden” que me parece que algo tiene que ver con lo que estamos comentando, aunque no lo tengo muy claro.

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  52. NUNNEZ:

    Ok con lo del juego de palabras.

    Todo lo que dices sobre las propiedades emergentes me parece bien. Es cuestión de llamar a las cosas de alguna manera. Lo que dice Hegel me parece mal, en el sentido de que son afirmaciones completamente inoperativas. No sirven para hacer ni definir nada. En el mejor de los casos son trivialidades.

    Ha de entenderse, y me parece que apuntas en esa dirección, que las propiedades emergentes se refieren a nuestra incapacidad de deducirlas a partir de los componentes, no a que aparezcan de pronto como propiedades al margen de las primitivas. Al responder estas propiedades a nuestra incapacidad de preverlas no queda otra que la conclusión de a qué llamamos propiedades emergentes dependerá de nuestra limitación en cada caso. Una propiedad "primitiva" en una teoría o ciencia puede ser "emergente" en otra.

    Todas las propiedades de todo sistema o de todo "todo" están, al final, basadas en las propiedades físicas de las partículas elementales. Lo que pasa es que no hay necesidad de establecer este vínculo para el desarrollo de las ciencias no físicas. Ni necesidad, ni posibilidad física dada nuestra limitación. Por eso hablaremos de elementos primitivos y deducidos (teórica o empíricamente). Podemos llamar propiedades emergentes a los últimos, si queremos.

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  53. NUNNEZ:

    "A Sursum corda, pedirte por favor que me trates de tú"

    Pues te trato de tú.

    Favor por favor: separa los párrafos. Me parece que se leen con mucha más comodidad.

    "El término emergente en general se refiere a aquellas propiedades de un sistema que son distintas de las propiedades de los componentes individuales y que resultan de las interacciones entre sus partes. Tales propiedades no pueden predecirse fácilmente con base en las propiedades individuales y desaparecen cuando el sistema se reorganiza o descompone."

    Pues bien, podemos ver que los ejemplos que pones son de propiedades que RESULTAN de las interacciones de las partes. Si el cloro capta electrones y el sodio los cede, las reacciones fuertemente oxidantes del cloro gas sobre el organismo si se respira son tan resultado de su electronegatividad como el que forme enlace iónico con el sodio. O que el sodio arda con facilidad, dado que es fácilmente oxidado por el oxígeno del aire.


    "Las propiedades químicas de un solo átomo son emergentes con respecto a las propiedades de los electrones, protones y neutrones que lo componen."

    En absoluto. El carácter electronegativo del cloro se deduce de la estructura de sus orbitales y de su número atómico. Son los protones, neutrones y electrones los que crean la tendencia a que el cloro capte un nuevo electrón o dos.

    "Un ejemplo: el oxigeno es un gas, el hidrogeno también es un gas. Al unirlos en determinada proporción, se produce una reacción y como consecuencia aparece una propiedad que no tenían en su forma individual, a la cual llamamos “líquido”."

    Me parece un ejemplo totalmente contrario al emergentismo, lo cual agradezco.

    El hidrógeno gas no ES gas, ni lo ES el oxígeno. Se encuentran (en su estado molecular) en estado gaseoso a unas determinadas presiones y temperaturas, mientras que -por ejemplo- a bajas temperaturas y/o altas presiones se encuentran en estado líquido.

    El agua resultado de combinar oxígeno e hidrógeno tampoco ES líquida, sino que se encuentra en ese estado a las presiones y temperaturas habituales el nuestro entorno, pero sólido o gaseoso a otras.

    Y sus diferentes puntos de ebullición etcétera son resultado también de que el agua está formada por oxígeno e hidrógeno y que los enlaces de cada H forman un ángulo que da a la molécula un carácter dipolar.

    Si tenemos otros átomos, S y H, por ejemplo, ya no tenemos agua ni las mismas propiedades sino sulfhídico con otras. Y esas propiedades resultan de las del S, como las del aguan resultaban de las del O.

    sigue ->

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  54. sigue ->

    Es muy fácil caer en paradojas que nos creamos nosotros mismos. El dos es la suma de uno mas uno, pero el que el dos sea par no resulta de que cada unidad sea par, precisamente.

    De la misma manera, dos objetos pueden tener un tercer objeto ENTRE ellos, sin que la propiedad de estar ENTRE sea nada emergente ni nada que se encuentre EN los elementos. Es nuestra descripción de la realidad la que hace aparecer aparentemente nuevas propiedades que bien definidas NO EXISTEN como propiedades nuevas o irreducibles sino como meros agregados o resultados de la agregación de los elementos y de sus propiedades, del mismo modo que una patrulla de soldados puede desplegarse sin que los soldados individuales puedan desplegarse en solitario. O como que A esté sobre B no constituye un hecho diferente de que B esté bajo A, ni estar sobre o bajo algo es una propiedad diferente de la recíproca ni algo que deba estar en los objetos relacionados.


    "Un ejemplo es la difusión de un fluido en otro, la cual resulta del movimiento azaroso y de la interacción de todas las partículas en el sistema."

    Precisamente porque resulta del movimiento azaroso de las moléculas, la difusión se reduce a movimientos estudiables de forma estadística. No hay nada nuevo en el agregado, sino las meras consecuencias de ser un agregado. Inluso el llamarlas "consecuencias" debe ser entendido de forma adecuada, ya que no son algo diferente de lo que es su causa. La descripción del agregado como un todo y como conjunto de elementos son tan sinónimas como "burro" y "asno" y así como si tengo un burro tengo un asno, pero no dos animales sino que un sinónimo reemplaza totalmente al otro en la descripción, la explicación en forma de mecánica estadística de las propiedades de un gas o de la difusión de un gas e otro reemplaza totalmente a la descripción de las propiedades del gas: no tenemos dos realidades sino una misma denominada de dos formas diferentes o con respecto a dos definiciones operativas diferentes y que implican variables observacionales diferentes.


    Espero la continuación de tu respuesta.

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  55. Llegados a este punto se hace imperativa una definición de propiedad emergente, por lo menos en algún ámbito de la realidad. Hay varias definiciones candidatas.

    1.- Las que no son elementos primitivos del modelo. Ejemplo: las leyes de Kepler, que se deducen de las de Newton.

    2.- Las que no se pueden deducir fácilmente de las propiedades ya conocidas por limitación de nuestra imaginación. Ejemplo: e=mc2, que se tardó en descubrir, aún teniendo todos los datos a mano.

    3.- Las que no se pueden deducir fácilmente de las propiedades ya conocidas por imposibilidad de cálculo. Ejemplo: las propiedades de la atmósfera terrestre, imposibles de deducir por problemas de computación a partir de los datos de gravedad, masa, composición de la atmósfera,... a pesar de que son sus causantes.

    4.- Las que necesitan de varias unidades de los elementos primitivos para ser definidas. Ejemplo: las que requieren dos o más partículas elementales, como las propiedades de los protones.

    5.- ....

    Sin definir, a veces parece que se habla de una, luego se contesta como si se hablara de otra y no nos aclaramos.

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  56. José Luis:


    Una explicación es la creación de un modelo conceptual de la realidad de tal manera que introduciendo en el modelo como datos de partida lo que observamos en la realidad se obtengan unos resultados equivalentes a los de la realidad. Así que las explicaciones asumen algún tipo de reduccionismo.

    La idea de que hay propiedades emergentes es la de que hay situaciones observables que no se pueden explicar por un modelo en el que los datos de entrada son el estado de las partes de la realidad observada.

    Así que la definición de propiedades emergentes no puede ser la 1 pues los conceptos primitivos permiten deducir los derivados. Ni la 2 ni la 3 porque el que la deducción sea fácil o realizable en un modelo fácil o en un tiempo reducido o con la cantidad de datos disponible sólo es una limitación práctica. Tampoco puedes reducir a una ecuación el movimiento de tres cuerpos o más, pero sí a un modelo que explique cada paso.

    No puede ser la 4 porque podemos explicar las leyes de los gases acerca de presión temperatura y volumen como las de un conjunto de partículas en movimiento y que chocan entre sí y con la superficie que delimita el sistema.

    Podemos explicar una propiedad, como la temperatura, como un potencial para la transferencia del calor tal que el calor va a favor del gradiente de potencial. O quizá no podemos explicarla. Peor lo que NO ES POSIBLE es explicar una propiedad por algo que no sea los elementos observables de una realidad más su entorno. Y no lo es porque no sería una explicación.

    Explicación y reducción son sinónimos.

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  57. Sursum corda!

    "La idea de que hay propiedades emergentes es la de que hay situaciones observables que no se pueden explicar por un modelo en el que los datos de entrada son el estado de las partes de la realidad observada."

    Creo que esta idea intuitiva de propiedad emergente es aceptable. El problema se da cuando queremos dar un sentido más riguroso a la parte que dice "no se pueden explicar". Creo que eso admite varias interpretaciones.

    Yo estoy de acuerdo contigo, y así lo he dicho en mis comentarios, en que todas las propiedades emergentes se derivan de sus elementos constituyentes (y del medio en que se encuentran). Pero alguien puede decir que "no se pueden explicar" debe interpretarse como que "nosotros no podemos explicar" (por falta de capacidad de cálculo, p.e.).

    Pero si es así (o de otra manera), hay que decirlo. De ahí mi insistencia en que quien habla de estas propiedades defina de qué está hablando antes de seguir y así evitar discusiones semánticas. Una vez definido lo que es una propiedad emergente podemos empezar a valorar la pertinencia, conveniencia o utilidad de tal definición.

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  58. En primer lugar, deciros la envidia que me producís por vuestras prontas respuestas, siento decirlo, pero no tengo esa capacidad. Estaba preparando una respuesta, y vosotros exponéis nuevos comentarios. Soy lento (es una forma de justificar mi corto entendimiento) y necesito leer una y otra vez vuestros comentarios a fin de poder captarlos y entenderlos, aunque esto no quiera decir que lo consiga. Por otro lado no me explico bien o no redacto bien, y esta causa da lugar a malentendidos, aunque Sursum muy gentilmente, me sugiere que separe los párrafos, de lo cual tomo nota.
    Jose Luis dice que las ideas de Hegel al no ser operativas no sirven para nada y que en el mejor de los casos son trivialidades, puede ser, pero son trivialidades que han inspirado a mucha gente, voy a citar solo a cuatro, aunque la lista es muchísimo mas grande.
    Ilya Prigonine (Novel de química en 1977) se pasó media vida, pregonando a los cuatro vientos, hasta la saciedad, su coletilla preferida “y una vez más, se demuestra que el total es más que las sumas de sus partes”. A Robert B. Laughlin (mencionado en uno de mis comentarios anteriores) le sirvió de base para escribir su actual libro “Un universo diferente”. Bertalanffy las usó para desarrollar la TGS, mencionada en mi anterior comentario, que junto a la dinámica de sistemas, crean el marco para el análisis metódico de las entidades complejas (las ideas de Hegel no son operativas, pero su influencia, sí). Edgar Morin, lleva toda su vida luchando por reformar el pensamiento, para que nuestra mirada y nuestro saber se muestren menos serviles con la unilateralidad, el esquematismo y la causalidad, es el paladín del pensamiento complejo en nuestra compleja sociedad. Las nuevas ideas cuestan que calén, siempre ha sido así. En general, nos cuesta mucho cambiar nuestras percepciones de las cosas. Estamos educados para una secuencia causal. Los saltos nos horrorizan. Sigue….

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  59. Con respecto a Sursum, decirte, que cuando mencionas que todos los ejemplos que pongo son de propiedades que resultan de las interacciones de las partes, pues naturalmente que si. No podría ser de otra forma, nunca he intentado decir otra cosa, si lo has interpretado de manera diferente, mea culpa, por no haberlo expresado correctamente. Así, que voy a intentar explicarlo nuevamente.
    Pero antes quiero hacerte una observación que te va a sorprender, tú eres un “emergentista” que todavía no lo sabe, pero ya lo sabrás, es cuestión de tiempo.
    Las propiedades emergentes dependen tanto de la estructura como de la dinámica del sistema. No son propiedades materiales en el sentido de tener una sustancia en sí, sino que desaparecen cuando la dinámica que la sustenta se para. Casi todo lo existente tiene propiedades que las podemos confundir con sustancias en si, pero que son solo el resultado emergente de una organización dinámica, aunque se le asigne con un sustantivo, solo son sustantivaciones de acciones verbales. Por ejemplo, el movimiento es solo la sustantivación del verbo mover. Solo existen cosas, pero el movimiento en sí no tiene sustancia. Es solo una acción. Un automóvil es un sistema del que emerge la propiedad de automoverse. Esta propiedad brota de la estructura de su motor y su dinámica. Cuando el motor está parado, su estructura permanece, pero de él no brota la propiedad de automoverse. Para que ésta propiedad emergente exista, es necesario que exista dinámica. Un átomo es como un motor en movimiento, y su estructura (los elementos que lo compone) es como el motor parado. Sigue….

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  60. Las respuestas que das (que son todas correctas y denota que dominas la materia) son todas a posteriori, o sea con el átomo en movimiento, y los ejemplos eran a priori, o sea sin conocimiento previo, como quien dice con el átomo parado. Cuando dices que son los protones, neutrones y electrones los que crean la tendencia a que el cloro capte un nuevo electrón o dos, lo que estás diciendo es que es de la dinámica del átomo de la que brota la tendencia. A la vista (perdón), al conocimiento que tenemos de los electrones, potrones y neutrones por separado, fuera del conjunto, o sea parados, sin formar aun el átomo, dudo que puedas deducir la tendencia que va a tener el átomo. Es como ver al átomo parado, sin dinámica. Y eso es lo que quería decir el ejemplo, que las propiedades químicas de un átomo no son deducibles de las propiedades de los electrones, potrones o neutrones antes de crear dinámica en el átomo. Luego, una vez formado, en el conjunto, su dinámica hace observar efectos que por separado no se observaban.
    Con respecto al agua, ocurre lo mismo, tus conocimientos son a posteriori, por observación empírica. Con el conocimiento de H o de O, estén en el estado molecular que estén, para el ejemplo, es como si estuvieran parados, tu no puedes deducir los otros estados a priori, aun no puedes saber si le afecta o no le afecta la temperatura y la presión, aun no sabes su dinámica en relación con estas causas externas. El cambio de estado es un fenómeno emergente, porque no es deducible de su estado original, solo se dan en sus estados dinámicos.
    Sobre los agregados y todo lo demás, os contestaré mas adelante. Como podéis ver, la cosa se las trae.

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  61. NUNNEZ:

    Un científico puede inspirarse, para desarrollar su investigación, en las ideas de su filósofo preferido, en una musa o en una ideología incluso, pero esto no hace de esas cosas una parte de su modelo.

    Prigonine podía haber expuesto todo su trabajo, como lo han hecho otros científicos con investigación semejante, sin añadir la coletilla del todo y las partes, puesto que no es parte de sus modelos.

    El automóvil no es menos automóvil porque sus inventores no hayan caído en la cuenta de que deben pronunciar esa frase. Cualquier tema de sistemas dinámicos complejos se puede trabajar y estudiar sin pararse a pensar a cada rato que el todo es más que la suma de las partes.

    Esto no es más que una interpretación, tal vez interesante en algún momento, pero no es parte del modelo. En un modelo hay elementos y propiedades primitivas y derivadas. ¿Cuáles son las emergentes? Estas responden a una clasificación ex-post para hablar del tema, pero no son parte del modelo.

    Las propiedades del agua con respecto al Hidrógeno y al Oxígeno no son ellas mismas a priori ni a posteriori ni nada. Lo que es a posteriori es nuestro conocimiento de esas propiedades dada nuestra limitada capacidad de cálculo y de imaginación. Con todo, los químicos son capaces de saber bastantes propiedades de algunas moléculas antes de sintetizarlas.

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  62. NUNNEZ:

    Es algo tarde para mí y no tengo ahora tiempo suficiente para responderte en la extensión que yo creo necesaria para explicar mi postura. Lo malo de mis explicaciones es que son parajójicamente más largas que los hechos explicados porque pretenden una generalización que puede que no esté a mi alcance, pero ahí dejo alguna idea que servirá aunque sólo sea para ser refutada.

    Es muy de agradecer tu humildad al explicar tus ideas. Todos somos enanos sobre hombros de gigantes o, más bien, sobre unos gigantes que están sobre los hombros de otros gigantes de manera que vemos lo que otros no vieron gracias a que el esfuerzo de muchos nos ha ayudado a subir.

    Un saludo.

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  63. Las ideas de un científico a la hora de desarrollar su investigación, tienen nombre, se llaman “paradigma” o “cosmovisión” o “modelo” etc., y las características de su investigación van en función del paradigma elegido. Los hechos no existen, solo las interpretaciones.
    Prigonine, añadía la coletilla al final de sus demostraciones porque creía en el paradigma emergente. Por ejemplo, la famosa Gestalt, usa dicho paradigma para sus lucubraciones.
    Los métodos señalados para los sistemas complejos, no es que estén a cada rato pendientes de que el todo es más que la suma de las partes, es que esa es la función de dichos métodos, ese es su trabajo, hacer aflorar las posibles propiedades emergentes. Su perspectiva es través del todo, aunque bien es verdad que necesitan de un propósito, de una finalidad, ese es su pecado.
    Mi conocimiento sobre dichos métodos, son solo a nivel cultural. Pero por lo se, son usados para hacer verificaciones o simulaciones. Supongamos que un científico, después de todas las investigaciones y cálculos pertinentes, precisa de una comprobación empírica para confirmarlo, pero ésta, resulta muy costosa para realizarla, ahí entran los métodos señalados, con ellas se puede (si es que se puede) recrear una simulación lo mas próxima a la realidad, dentro de la finalidad perseguida, que verifique o no lo propuesto por el científico. También puede ser que el científico solo sepa un montón de datos sueltos, pero intuye que detrás de ellos, hay algo nuevo, para lo cual, también se usa dichos métodos. De momento, dichos métodos no es la panacea para resolver todos los problemas, parece ser que es bastante restringido, aún así, abarca un amplio campo de estudios. Es muy posible que las propiedades que los químicos saben de algunas moléculas antes de sintetizarlas, se deban a estos métodos.
    La cosa es clara, si creemos en la emergencia, podemos desarrollar sistemas con el fin de que broten. Si no creemos, nunca desarrollaremos dichos sistemas. Lo cual no quiere decir que no se desarrollen otros métodos, o se tome otros caminos. En último término, sería un método más dentro de los muchos que hay.
    En caso de litigio, negaré rotundamente ante el juez, todo lo que he escrito.

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  64. Sursum, estoy completamente de acuerdo con todo lo que dices, aunque ver, lo que se dice ver, vemos más bien poco. ¿Tú has visto un átomo? Yo, no. ¿Tú has visto los agujeros negros o la radiación de fondo? Yo, no. Bueno, sobre este último caso, he visto una estampita con un montón de puntitos, y me han dicho que eso es la representación de la radiación de fondo.
    Hegel, sobre la ciencia de su época (el libro se editó en 1807) decía que era “patrimonio esotérico”, porque no tenia una visión total en su desarrollo y estaba en mano de unos cuantos. Creo que nuestro saber actual, sigue estando en manos de unos cuantos. No se si gigantes o no. La ciencia ha llegado a un tal grado de complejidad, que para avanzar, se necesitan unos aparatos tan monstruosos como el CERN, al que, para la inmensa mayoría de nosotros, jamás habrá acceso, así que nuestro conocimiento será tipo “doxa”, o sea, la opinión de la opinión de la opinión de alguien que tenga acceso a los resultados. Y con tantas opiniones de opiniones, algo se perderá en el camino, o se tergiversara. Y no estoy en contra de la ciencia, sino a su favor, es la única fe que me queda, pero con escepticismo con respecto a la información que me llega. ¿De que me sirve saber si la Tierra desaparecerá dentro de diez mil o doce mil millones de años, si eso no va conmigo?
    Sobre el reduccionismo, decía: El capullo y la flor, la flor y el fruto, han de ser visto “en su fluir” como “momentos de una unidad orgánica, en la que lejos de contradecirse, son todos igualmente necesarios”, siendo la vida del organismo un todo no reductible a ninguno de sus momentos. “No nos contentamos con que nos enseñen una bellota, cuando lo que queremos ante nosotros es un roble, con todo el vigor de su tronco, la expansión de sus ramas y la masa de su follaje”.
    Estos últimos comentarios los he insertado con la sola intención de que nos provoque una sonrisa. Los encuentro francamente magníficos.

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  65. NUNNEZ:

    Desde que los científicos se tomaron en serio la experimentación y la observación insesgada hacen lo que dices que deberían hacer si tuvieran en cuenta las propiedades emergentes. La curiosidad es lo que nos lleva a experimentar o a observar (o a simular) "a ver qué pasa". No adelantamos nada especial por llamar a eso que pasa "propiedad emergente".

    Seguimos hablando y seguimos sin una definición de propiedad emergente. Podemos seguir así años y años. Para avanzar, porfa, una definición operativa.

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  66. José Luis:

    (Voy a tratar de ir respondiendo a todo lo atrasado).

    Sin una definición, como tú dices, podremos estar bailando eternamente dando saltitos de una idea a otra. Pero parece que la idea básica del holismo es precisamente la de oponerse al reduccionismo. Si sólo se refiriera a que no podemos por limitaciones prácticas deducir un resultado concreto del conocimiento de sus partes el holismo se quedaría casi sin cancha e la que jugar ya que lo difícil es conocer con exactitud los datos que permitan calcular un resultado dada cualquier teoría.

    La idea no puede ser meramente la de que toda teoría es por necesidad un aproximación sino la de que hay algo radicalmente nuevo en el compuesto y que lo hace diferente de la mera agregación de las partes.

    Luego contestaré a NUNNEZ, pero si él me dice que soy un emergentista que aún no lo sabe, yo podría decir que él es reduccionista sin darse cuenta. Argumentaremos luego, pero date cuenta de que él propone una idea bien sentada: la de que no basta conocer un dato o una serie de datos para poder inferir otro dato u otra serie que no se contenga en los primeros.

    Es diferente la ley general F=m.a de la generalización "si todos los casos a1...an cumplen F=m.a entonces an+1 cumple F=m.a.

    La inducción consiste en asumir que es lógicamente imposible probar lo segundo a partir de lo primero en el mismo sentido en que si mis diez hermanos son pelirrojos, mi hermano mayor es pelirrojo, y que si es posible predecir con acierto que an+1 cumple F=m.a esto equivale a postular una ley general y a contrastarla con los hechos dando por supuesto que si cada suceso es independiente de otro y la probabilidad de que un nuevo suceso cumpla una ley es pequeña, el hecho de que la cumpla corrobora (=fortalece) la hipótesis de la ley general.

    Pero NUNNEZ parece decir que viendo que los móviles tiene determinadas velocidades no es posible inferir la conservación del momento cinético con más motivo que la conservación de la suma de las velocidades lineales.

    Conocemos fenómenos, no esencias, y por tanto no podemos inferir generalizaciones a partir de datos aislados, que son lo único que podemos conocer. En ese sentido, cualquier generalización sería algo que "emerge" por encima de los datos individuales.

    Los que no somos emergentistas, no reduccionistas, creo que nos oponemos a esa idea porque cualquier sistema complejo podemos reducirlo a sistemas más simples. Por ejemplo, si conocemos que un hecho psicológico es correlativo a uno de la fisiología del cerebro, podemos inferir que en casos similares se correlacionarán también, aunque no sepamos qué es la correlación entre descripción física de un estado cerebral y autopercepción de ese estado.

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  67. Sursum corda!

    No sé si todos los "emergentistas" son holistas o no. Para algunas definiciones de propiedad emergente (las más triviales que he apuntado arriba) no hace falta aceptar el holismo (que tampoco tiene una definición clara). Otras sí lo implicarán.

    Tiendo a pensar que la mayoría, no sé si todos, los que insisten en el "emergentismo" acaban cayendo en esa postura. Pero, de momento, si me hablan de propiedades emergentes, quiero dejar claro lo que significan y las consecuencias que de ello se derivan en la discusión antes de pasar a cuestionar el holismo, que no sé si se está proponiendo o no. Tal vez NUNNEZ quiera contestar a esto.

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  68. Cuando expuse al explicación de la emergencia en relación con la paradoja del examen, lo que quería, era dar otra visión sobre la solución a la misma, en reme moranza a mis recuerdos sobre lo emergente, que hacia años que no revisaba. Gracias a vosotros, estoy intentando ponerme al día a través de Internet. Y una de las cosas que me ha sorprendido, es la gran difusión que esta teniendo dicha idea. Ha sido algo inesperado para mí. Hasta me atrevería a decir, que es un concepto asumido por la ciencia (Bueno, por algunos científicos). Fue una idea que en su día, me caló, la encontré razonable, la aprehendí.
    Así es que, con mi conciencia lasa, y los nuevos conocimientos adquiridos, voy a intentar explicar, a dos escépticos como vosotros en éste tema, el concepto de lo emergente. Espero que los de la SGAE no me descubran y me hagan pagar los derechos de autor.
    Según una ley de la época romana de los 7 reyes, los ciudadanos se dividían de la siguiente forma: diez casas formaban una gens; diez gens o cien casas, una curia; diez curias o cien gens o mil casas, constituyen la ciudad (a los romanos les gustaban los números redondos). Cada casa contribuía con un soldado de infantería (nota al margen: es fácil comprobar que la infantería de una ciudad estaba constituido por mil soldados, a estos soldados le llamaban los milis, de donde proceden las palabras: militar, miliciano, etc.). Cada gens, contribuía con uno de caballería y daba un senador. Claramente se observa que de cada nivel, emergen propiedades distintas de su nivel anterior, como pueden ser los senadores, el ejército, el rey, etc. con sus correspondientes instituciones y nuevas organizaciones. Todas las sociedades humanas tienen reglas de organización y ordenación que trascienden las dimensiones del individuo. Una empresa o una institución, no deja de existir si uno de sus directivos sufre un accidente. El estado no sufre modificaciones significativas después de un proceso electoral.

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  69. Fueron las ciencias sociales y biológicas los primeros en observa estos fenómenos de organización y ordenación, estudiarlos y trabajar con ellos, sentando las bases para los métodos señalados en mis anteriores comentarios. Algunos investigadores físicos, comenzaron a intuir que el mundo inanimado también tiene leyes de organización y ordenación, y esas leyes permiten explicar muchas cuestiones importantes, por ejemplo muchas de las leyes físicas macroscópicas con las que nos movemos en la vida cotidiana. Cosas de todos los días, como el carácter cohesivo del agua o la rigidez del acero. La capacidad que tienen ciertos metales para generar un campo magnético cuando están a temperaturas muy bajas, resulta muy sorprendente, porque los átomos de que están hechos esos metales no pueden crear campos magnéticos por separado.
    Como las consecuencias de los principios de organización pueden ser leyes, éstas pueden, a su vez, formar parte de organizaciones que den lugar a nuevas leyes, y así sucesivamente. De las leyes sobre el movimiento de los electrones, surgen las leyes de la termodinámica y la química, que a su vez dan origen a las leyes de la cristalización, pilar para las leyes que gobiernan los fenómenos de rigidez y plasticidad, punto de origen de las leyes que se utilizan en ingeniería. Así, la naturaleza es una estructura jerárquica cuyos elementos, son interdependientes. La tendencia a la organización y ordenación es tan fuerte que muchas veces es difícil distinguir entre una ley fundamental y una derivada. Sabemos que los átomos no son entidades fundamentales porque se rompen cuando colisionan a gran velocidad. Los núcleos atómicos se fisionan cuando chocan a una velocidad aun mayor, las partículas que libera el núcleo se separan cuando colisionan a velocidades aun mayores, y así sucesivamente. Por lo tanto, la tendencia de la naturaleza a organizarse en una jerarquía de leyes físicas, es mucho más que una disputa. Gracias a esa tendencia, nos es dado conocer el mundo, pues vuelve insignificantes las leyes fundamentales, sean cuales fueren, lo que nos permite vivir sin comprender los secretos últimos del universo.

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  70. Las leyes de la naturaleza que nos interesan surgen de la autoorganización, y no se necesita conocer sus componentes para entenderlas y aplicarlas. En este instante estoy usando la informática, sin tener conocimiento de la misma, de la misma forma que conduzco un coche sin saber de mecánica, o uso un televisor sin saber de electrónica.
    La naturaleza de lo emergente es que los efectos no están de antemano determinados por las fases anteriores.
    A principios del siglo pasado se descubrió que las moléculas, los átomos y las partículas subatómicas responde a las leyes de la mecánica cuántica, que son tan distintas de las “newtonianas” que se tuvo que buscar términos nuevos para ponerlas en palabras.
    Si se proyecta un rayo de átomos de helio en una superficie sólida, no rebotan y se disparan en todas direcciones, como indican las leyes de Newton, sino que se difractan y producen un arco iris, como lo haría un rayo de luz. Los átomos no son bolas de billar, sino ondas, y sus partículas también: se unen para formar átomos como las olas del mar se unen para formar la marea.
    Así, llegamos a la conclusión de que las legendarias leyes de Newton no son fundamentales, sino emergentes, pues son una consecuencia de la agregación de materia cuántica que forman fluidos y sólidos macroscópicos, fenómeno colectivo de organización y de ordenación. Las leyes de Newton, fueron las primeras que se descubrieron, trajeron aparejada una revolución tecnológica sin precedentes y son lo mas exacto y verdadero que conocemos en física, pero se reducen a nada cuando las observamos de cerca.
    Las fases de la materia- los estados sólido, líquido y gaseoso-son fenómenos de organización. Si por alguna razón fallara, se perdería la rigidez, porque no existe ningún recurso físico que la sostenga. La propiedad que valoramos es el orden.

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  71. Por irónico que parezca, la gran fiabilidad de los fenómenos relacionados con las fases de la materia, es la pesadilla de los reduccionistas, cuyo mundo feliz, se ve aplastado, incendiado y aterrorizados por esa especie de Godzilla que los químicos dejaron suelto. Un fenómeno exacto como la rigidez no puede depender de ningún detalle. El agua es uno de los casos problemáticos. Los científicos han identificado once fases cristalinas en el hielo del agua común, y de ninguna se habían hecho predicciones correctas a partir de principios.
    Las fases de la materia son fenómenos emergentes muy estudiados y constituyen una prueba contundente de que en la naturaleza, las escalas están bien separadas. Las leyes microscópicas pueden ser verdaderas, y al mismo tiempo, irrelevantes a nivel macroscópico, bien porque lo que medimos es insensible o bien porque es demasiado sensible a esas leyes, y por extraño que parezca, las dos situaciones pueden ocurrir simultáneamente. Esa es la razón por la que es tan difícil predecir que fase cristalina adoptará el hielo a una determinada presión y temperatura. Algo que sabemos con certeza es que los sólidos cristalinos son redes ordenadas de átomos, hecho observable en su tendencia a desviar los rayos X en ángulos específicos, un fenómeno inexistente en los líquidos y los gases.
    También sabemos que los sistemas con un número pequeño de átomos responden a leyes deterministas de la cinética y nada más. Sabemos además que los intentos por descubrir la escala a la cual esas leyes dejan de regir o son reemplazadas por otras, no han tenido éxito. Por último, sabemos que las leyes elementales tienen, en principio, la capacidad de generar fases o transacciones de fase como fenómenos de organización u ordenación.
    Así, cuando prescindimos de las complejidades inútiles, nos queda este sencillo argumento: Las leyes microscópicas son verdaderas y existe la posibilidad de que intervengan en la formación de fases, entonces podemos asegurar que son la causa, aunque no podemos probarlo mediante el método deductivo.

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  72. Desde una perspectiva práctica, no hay mucha diferencia entre una ley emergente y un milagro, pero desde el punto de vista filosófico, la diferencia es abismal. Una representa un mundo regido por una evolución jerárquica ordenada; la otra, un mundo regido por la magia.
    El tema de las fases de la materia sienta un precedente; es la prueba de que, al menos, algunas de las maravillas del mundo (quizás todas) dependen de la organización. Esta es una de las razones principales por las que dudaremos de la veracidad de las causas sobrenaturales, hasta que se demuestre mediante la experimentación, que las causas organizativas no son válidas.

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  73. NUNNEZ:

    Perdona la tardanza en responder. He estado viajando mucho durante la última semana.

    Básicamente estamos en lo mismo, sin una definición de la emergencia. En tus últimos comentarios a veces parece que te refieres a la dificultad de su deducción a partir de las propiedades conocidas y otras veces a la distinción entre fenómeno primitivo y fenómeno derivado. Ambas cosas son interesantes, pero no sé si eso es todo lo que quieres decir con propiedades emergentes. Si lo es, llamarlas emergentes es poner otro nombre a las cosas. Si no lo es, no sé todavía que son, en rigor, estas propiedades.

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  74. Te equivocas muy mucho, cuando dices que lo emergente es poner otro nombre a las cosas. Lo emergente es un concepto que rompe con algunas nociones importantes de la ciencia clásica. Es aceptar, por ejemplo, que la jerarquía no implica que la ciencia de un nivel superior es simplemente ciencia aplicada de un nivel inferior, o sea que la química no es simplemente física aplicada, ni la biología es química aplicada. En cada nivel son necesarios, leyes, conceptos y generalizaciones enteramente nuevos, requiriendo un grado tan grande de inspiración y creatividad como en el nivel previo.
    La perspectiva de lo emergente puede ser positiva y de gran ayuda para una mejor teorización general, porque dicho concepto rompe con la idea reduccionista de la realidad y los modelos excesivamente mecanicistas. Un énfasis excesivo en este procedimiento científico puede llegar a ser negativo para el propio avance del conocimiento, al olvidar y descartar fenómenos tan importantes como el contexto-medio-en que se produce el fenómeno, aquello que ocurre no solo por una yuxtaposición ordenada de las partes, sino por una interacción no simple entre ellas o bien entre ellas y otros elementos fundamentales del entorno, ¿como explicar sino la sincronización espontanea? El concepto de lo emergente, tiene su enjundia, si fuera cierto, la búsqueda de la “Teoría Unificada del Todo” no tendría ningún sentido, como así parece que resulta, en principio, la teoría de las cuerdas.
    Nuestras lentes paradigmáticas van a determinar, en gran parte, las construcciones conceptuales que creeremos ver. Una cuestión, pues, trascendental, es ¿desde qué paradigma o paradigmas miraremos el mundo? ¿Con qué perspectivas y visiones de la realidad nos aproximaremos a la comprensión de los fenómenos de la naturaleza?

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  75. Tienes un enfoque erróneo de cuestionar el concepto de lo emergente, porque no se trata de mi capacidad pedagógica para ilustrarte sobre dicho concepto, (que por lo que se ve, es nula) si no de si dicho concepto puede servirte para “alumbrar” una mejor comprensión de la realidad. El hecho de que yo sea un burro pedagógo no desprestigia ni un ápice el concepto de lo emergente. Por eso, me permito recomendarte el libro, reseñado en anteriores comentarios, “Un universo diferente. La reinvención de la física en la edad de la emergencia”, del cual, y dicho sea de paso, obtuve las anotaciones científicas expuestas en los mismos. Dicho libro, según declaró el propio autor, se basó en trabajos de Ilya Prigonine, plasmados en su libro “El fin de las certidumbres” y en el ensayo de Philip Anderson “More is different”. El ensayo se puede encontrar en http://www.escet.urjc.es/~fisica/msanjuan/complejidad/masesdiferente.pdf
    Me acabo de percatar, que he citado a tres premios nobel que creen en esas trivialidades de que el total es más que la suma de sus partes. ¿No te resulta extraño?
    Espero que estas lecturas, te puedan dar una información más concreta sobre lo emergente que éste burdo comentarista, y aclaren tus dudas sobre este tema.
    También te envío la siguiente dirección:
    http://www.ted.com/talks/lang/spa/steven_strogatz_on_sync.html
    En la que el matemático Steven Strogatz da una conferencia sobre el fenómeno de la sincronización espontanea.
    Otra dirección en la que un chaval consigue la sincronización espontanea con cinco metrónomos, es la siguiente:
    http://www.youtube.com/watch?v=W1TMZASCR-I

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  76. NUNNEZ:

    Olvidas que HAY interacción, que cuando un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno forman agua no están aislados sino que comparten orbitales electrónicos y que la carga se distribuye de manera que se forma un dipolo. No es como poner tres bolas de billar unas cerca de otras y olvidar incluso que se atraen de forma gravitatoria.

    En el caso de los metrónomos es obvio que se están transmitiendo energía a través de la lámina de madera, que oscila y los sincroniza. Situados sobre la mesa, más rígida, no se sincronizarían.

    Un modelo reduccionista no es lo que imaginas: una yuxtaposición de partes que n interaccionan sino todo lo contrario. Pero imagina que hay un resultado que no se debe a las partes del agregado. Entonces ¿por qué el agua siempre tiene las mismas propiedades y no unas veces unas y otras, cualquiera otras diferentes? ¿Por qué los metales son buenos conductores eléctricos y no aislantes como la goma?

    Si no puedes reducir un fenómeno sus componentes, lo primero te quedas sin explicación posible; lo segundo, podrás esperar cualquier cosa, como vigas de hierro a las que crecen unas hojas.

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  77. NUNNEZ:

    Yo no he dicho que llamar a un fenómeno emergente es poner otro nombre a las cosas. He dicho que si la definición es una de las dos que me parecía que usabas, entonces lo era. Como sigues sin dar una definición de lo que es una propiedad emergente seguimos dando vueltas al asunto sin saber de qué hablamos.

    Sigues poniendo ejemplos de cosas interesantes y las llamas emergentes. Yo digo que no hace falta llamarlas emergentes para que sean interesantes y dignas de estudio. Si el concepto emergente ha de ser, además de metafórico o poético, algo de interés, deberá tener una clara definición y deberá haber alguna ganancia por distinguir propiedades emergentes de las no emergentes. Me falta todo eso.

    Hasta ahora todos los científicos se las han apañado para descubrir propiedades que bien podrían llamarse emergentes sin necesidad de hacer de esto un "no sé qué" especial. Uno puede decir "mira qué teoría tan bonita" como puede decir "mira qué todo distinto de la suma de las partes". Apreciación poética sin relevancia más que para ayudar al asombro, que no es mala cosa.

    No sé de dónde sacas que sin hablar de propiedades emergentes no podemos hablar del contexto. Se ha hecho siempre. Un conjunto de moléculas de agua forman un líquido en un contexto y un sólido en otro. Todas las variables de control en todos los experimentos definen claramente cómo se toman los científicos en serio esto del contexto. Esta mirada que dices que podrían no tener la llevan en el núcleo del método científico.

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  78. No estoy en contra del reduccionismo, ni nadie creo que esté en contra del reduccionismo, ¿Cómo se puede estar en contra, si ha ayudado a lo largo de la historia a dar grandes pasos a la ciencia? Lo que me parece que ocurre, es que con esta metodología fundamentalmente analítica, se encuentran los científicos con límites muy marcados para dar explicaciones de un montón de fenómenos que ocurren en la naturaleza, está incompleto, no termina por mostrar claramente las expectativas fundadas en él. En el supuesto que conociéramos todas las redes neuronales y el funcionamiento de todas las sinapsis cerebrales ¿ explicaríamos la conciencia, la intencionalidad, la idea del deber (ética), la contemplación estética, la libertad, el sentido de la vida, como expresa Laughlin “el sentido que trasciende los átomos de los cuales estoy hecho”? No es solamente una falta de potencia de las herramientas utilizadas y del procesamiento de los datos, sino que es un problema ontológico. Como señaló el propio Einstein “Los conceptos nunca pueden considerarse como derivados lógicos de las impresiones de los sentidos”.
    La teoría de las estructuras disipativas, tiene como principal representante al químico Ilya Prigogine, y plantea que el mundo no sigue estrictamente el modelo del reloj, previsible y determinado, sino que tiene aspectos caóticos. El observador no es quien crea la inestabilidad o la imprevisibilidad con su ignorancia: ellas existen de por sí, y un ejemplo típico es el clima. Los procesos de la realidad dependen de un enorme conjunto de circunstancias inciertas, que determinan, por ejemplo, que cualquier pequeña variación en un punto del planeta, genere en los próximos días o semanas un efecto considerable en el otro extremo de la tierra. Las estructuras disipativas obtienen orden (disminuyen su entropía) a costa del entorno. Son estructuras abiertas que aumentan su información útil a partir de la información exterior. La vida, los ecosistemas y las propias sociedades humanas, están encuadradas en este tipo especial de estructuras.

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  79. En el equilibrio o cerca de él, no se produce nada interesante, todo es lineal. Cuando pueden ocurrir cosas sorprendentes es lejos del equilibrio: si llevamos un sistema lo bastante lejos del equilibrio, entra en un estado inestable con relación a las perturbaciones en un punto llamado de bifurcación. A partir de entonces, la evolución del sistema está determinada por la primera fluctuación que se produzca y que conduzca al sistema a un nuevo estado estable. Una fluctuación origina una modificación local de la microestructura que, si los mecanismos reguladores resultan inadecuados, modifica la macroestructura. Lejos del equilibrio, la materia se autoorganiza de forma sorprendente y pueden aparecer espontáneamente nuevas estructuras y tipos de organización. Aparece un nuevo tipo de orden, llamado orden por fluctuaciones: si las fluctuaciones del ambiente aumentan fuera de límite, el sistema, incapaz de disipar entropía a ese ambiente, puede a veces "escapar hacia un orden superior" emergiendo como sistema más evolucionado. En el límite, este fenómeno es el que lleva a la ciencia a confirmar con experimentos la veracidad de sus teorías.
    Estas investigaciones comenzaron a partir de la década de los 7O: los fisiólogos empezaron a investigar porqué en el ritmo cardíaco normal se filtraba el desorden, produciendo un paro cardíaco repentino; los ecólogos examinaron la forma aparentemente aleatoria en que cambiaban las poblaciones en la naturaleza; los ingenieros concentraron su atención en averiguar la razón del comportamiento a veces errático de los osciladores; los químicos, la razón de las inesperadas fluctuaciones en las reacciones; los economistas intentaron detectar algún tipo de orden en las variaciones imprevistas de los precios. Poco a poco, fue pasando a un primer plano el examen de ciertos otros fenómenos tan inherentemente caóticos y desordenados que, al menos en apariencia, venían a trastocar la imagen ordenada que el hombre tenía del mundo: el movimiento de las nubes, las turbulencias en el cauce de los ríos, los huracanes, el movimiento de una hoja por el viento, las epidemias, los atascamientos en el tránsito de vehículos, los a veces erráticos dibujos de las ondas cerebrales, etc.

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  80. “Las grandes teorías (dice Prigogine), surgen indudablemente debido a la inspiración de un genio, pero esto no es lo único ni lo más importante: ciertas teorías aparecen en ciertas épocas y determinados lugares, no tanto por diferencias de inteligencia del sabio con las demás personas, sino por haber diferentes condiciones históricas o culturales. Así por ejemplo, si un pueblo cree en un ser que creó el mundo y determina su futuro, las teorías propondrán leyes deterministas, y sobre esa base el sabio construirá su teoría. No obstante, las teorías así creadas no tienen una duración eterna, con lo cual, la verdad científica es solo parcial”
    Los estudios de Prigonine, junto con los de otros, sentaron las bases para la construcción de una perspectiva que se ha convenido en llamar ‘de la complejidad’, que aporta, precisamente, la posibilidad de ver el mundo a través de nuevos conceptos y ángulos, mucho mas comprehensivos y transdiciplinares que los usados en las distintas tradiciones científicas clásicas, es un portentoso avance autocreativo y emergente hacia niveles superiores de realidad. En palabras de Philip W. Andersón:
    “… otra fracción grande (de físicos) se concentra en un tipo enteramente distinto de investigación fundamental: Investigación en los fenómenos que son demasiados complejos como para ser analizados directamente bajo la simple aplicación de las leyes fundamentales. Estos físicos están trabajando en otra frontera situada entre lo misterioso y lo ya entendido: la frontera de la complejidad. En esta frontera, la consigna no es el reduccionismo, sino la emergencia. Los fenómenos complejos emergentes de ninguna manera violan las leyes microscópicas; pero tampoco surgen como meras consecuencias lógicas de tales leyes… El principio de emergencia es un convincente fundamento filosófico de la ciencia moderna, como lo es también el reduccionismo. Este principio, representa una frontera abierta para los físicos, una frontera que no tiene barreras prácticas en términos de gastos de investigación o de credibilidad o si acaso las tiene, sería aquellas de tipo intelectual. Esta frontera de la complejidad, es por mucho, la de mayor crecimiento de la física de hoy.”

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  81. El emergentismo está asociado al sistémico, y se caracteriza por la tesis de que los sistemas poseen propiedades globales, sistémicas o emergentes que sus partes componentes no poseen, y son, por lo tanto, irreducibles a propiedades de niveles de organización inferior. El pensamiento sistémico no se concentra en los bloques contructivos, sino en los principios de organización: es “contextual”, que es opuesto al pensamiento analítico. La termorregulación no es detectable en una célula aislada, tal propiedad solo surge al integrarse a una colectividad, a un tejido. Los átomos y las moléculas que constituyen una célula, no determinan sus cualidades.
    Lo real, no surge por la mera evolución de los sistemas lineales. La estabilidad de los sistemas biológicos es dinámica y fluctuante, es la base de la evolución en busca de nuevas formas de evolución. En el mundo inanimado se produjo la emergencia de la vida, en la vida la emergencia de la sensibilidad y en los humanos la emergencia de la conciencia. Una neurona por si misma no posee ningún tipo de inteligencia, pero miles de millones de ellas interactuando entre sí, pueden originar una mente, algo totalmente diferente. “No hay nada que encontrar en la colmena que no pertenezca a una abeja. Sin embargo, en una abeja nunca se encontrara la colmena” (Kevin Kelly).
    Sursum, encuentro correcta tu observación sobre los metrónomos de que es a través de la madera como se comunican, ahora, que sea por medio de energía, no lo “veo”, quizás podríamos decir que la comunicación, se produce a través de la resonancia y que ésta, se transmite a través del soporte, sin embargo, ninguno de los dos casos, serviría para aclarar porque ocurre el fenómeno de la sincronización, solo el medio por el cual ocurre. En la conferencia, viene a decir que es un fenómeno muy común en la naturaleza (incluido el universo), y pone ejemplos como las bandadas de aves, los bancos de peces, las luciérnagas orientales y otros más. Yo añadiría también, las manifestaciones de olas por los espectadores que se producen en los campos de futbol, sobretodo si son mejicanos. El ejemplo de los metrónomos, era para añadir que no solo la sincronización ocurría con seres vivientes, sino también con cosas inanimadas.

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  82. NUNNEZ:

    Añades textos interesantes pero que pecan -a mi juicio- de lo que dice José Luis: no definir qué es la emergencia.

    Es obvio que lo que corresponde a un órgano o a un tejido no va estar tal cual en las células, ni el estado sólido o líquido en las moléculas. Son propiedades del agregado que no pueden estar en el elemento. Pero son las propiedades del elemento las que producen las propiedades del agregado. Es el metabolismo celular el que disipa calor por algo tan reduccionista como que sólo parte de la energía libre de las reacciones catabólicas se puede aprovechar para otras anabólicas, y eso es mera termodinámica. Son señales fisiológicas las que disparan la producción de calor, o la sudoración, o la disipación de calor en la piel aumentando el riego bajo la piel. No hya otras cosas que ésas, y nada queda sin explicar partiendo de la fisiología de las células.

    Toma también el ejemplo de las propiedades de los metales o de las moléculas formadas por enlaces covalentes o iónicos. La maleabilidad o ductilidad no va estar en el átomo de oro, ni la dureza en el átomo de carbono del diamante. Pero estas cualidades del metal o del diamante se deben a los enlaces entre los átomos y éstos, a las diferentes propiedades de los orbitales, que tiene que ver con el número atómico etcétera, etcétera.

    La vida, tan compleja como se quiera o más, no se explica sin la existencia de propiedades debidas a la composición de los elementos que la forman. Las membranas sirven para aislar debido a que son dos capas de lípidos cuya estructura depende de la de los ácidos grasos. Los enzimas tiene un centro de reacción que funciona porque las proteínas pueden tener una estructura espacial. La señal nerviosa depende para propagarse con eficacia de la mielina como aislante. Y todo así. El agregado no tiene unas propiedades ajenas a las de los componentes y nunca verás un polímero formado por átomos de gases nobles.

    Lo chocante de las propiedades emergentes sería que algo nos sorprendiera contradiciendo las propiedades esperadas de sus componentes o alejándose de las predichas. Y eso no sucede.

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  83. Los metrónomos se sincronizan porque cada uno tiene un periodo de oscilación y al estar en distintas fases se producen interferencias.

    La sincronización de las respuestas biológicas es muy distinta, como el movimiento de un banco de peces o el celo, el desove o la migración en función de la temperatura, la marea, la duración del día o cualquier otro fenómeno periódico. No se trata de un péndulo amortiguado sino de señales internas o externas que disparan un comportamiento.

    Las analogías son muy peligrosas. Por ejemplo, se relaciona popularmente la menstruación humana con las fases de la luna porque su periodo parece similar. Pero se trata de dos fenómenos que no están sincronizados. En cambio se ha visto que las mareas, regidas por la luna, aunque no por su fase, pueden disparar comportamientos. O las mareas vivas.

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  84. NUNNEZ:

    Iba a contestarte, pero se me ha adelantado Sursum corda! ... y debo decir que pienso exactamente como él. Subrayaría la frase:

    "Lo chocante de las propiedades emergentes sería que algo nos sorprendiera contradiciendo las propiedades esperadas de sus componentes o alejándose de las predichas. Y eso no sucede."

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  85. Sursum, tienes una tendencia generalizada a confundir los hechos y las predicciones con su explicación. Te voy a poner un ejemplo estudiado.
    Se trata de la progresión del humo de un cigarrillo. Este humo comienza subiendo y siguiendo un flujo laminar suave (un hilillo de humo que sube) pero de repente, se quiebra, generándose un flujo turbulento (las volutas): del orden, hemos pasado misteriosamente al desorden. Existe un recurso matemático que permite predecir cuándo ocurrirá esta turbulencia (la fórmula de Reynolds), pero sin embargo, no sirve para aclarar porqué ocurre.
    Todas tus explicaciones siguen este proceso, explican lo que ocurre, pero no porqué ocurre.
    Estamos, al respecto, como los antiguos, que podían predecir la trayectoria del sol en el cielo, aunque no sabían a que se debía, así es que terminaron afirmando que el movimiento del sol es real, confundiendo lo aparente con la realidad.
    Otra cosa que creo que tienes confusa, es la diferencia entre causa y propiedad. El resultado de una causa, no tiene que ser, necesariamente, derivado de las propiedades del causante, sino de su acción.
    Te voy a poner un ejemplo, en este caso mío, así es que dado que no soy científico, probablemente no sea el más apropiado, por eso te pido un poco de benevolencia y que captes solamente la idea del ejemplo.
    Imagínate que somos colegas, y por las razones que sean, nos encontramos bajando una escalera. Yo voy delante, tú detrás de mí. Tú me empujas, y como consecuencia, ruedo por las escaleras pegándome el gran batacazo. Tú eres el causante, pero las magulladuras, las heridas, los dolores y la pata rota, son mías, o sea, ahora tengo unas nuevas propiedades que no derivan de ti, sino de tu acción.

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  86. Ahora, contemos el relato versión Prigonine. Ambos bajamos la escalera distraídamente, charlando, relajados. Tú sufres un traspié (una fluctuación), y como consecuencia del mismo, pierdes el equilibrio y generas una turbulencia (pasas del orden al desorden). En ese momento, mi destino depende de la orientación que tu tomes (una bifurcación), si te vas contra la pared, a mi no me ocurrirá nada, pero si te estrellas contra mí, me puedes causar la muerte. Como ves, han ocurrido una serie de sucesos azarosos que no se encuentran en ti, aunque seas el causante. Pero aun hay más. Volvamos al momento en que chocas contra mi (lo de la muerte, ha sido extremadamente dramático, sobre todo para mi). Una vez haya recibido tu empuje, lo que me ocurra después, dependerá de mi capacidad para aguantarlo y de mi habilidad para sortear los acontecimientos, y además, también dependerá de la estructura y composición de la escalera. No es lo mismo, una escalera larga y muy inclinada, que una escalera corta de dos o tres peldaños, ni una escalera recta que una escalera de caracol. Como tampoco será lo mismo, una escalera rígida de mármol, o de hierro, que otra mas moldeable de madera o de alguna composición con materiales actuales mas blando, que amortiguaría mejor la caída. Como ves, las consecuencias de las causas, en algunos casos, no solo dependen de los actuantes, sino también de su entorno. Los sucesos interesantes y sorprendentes ocurren lejos del equilibrio.
    Las explicaciones que das sobre la sincronización espontanea, son todas fútiles, no explicas como consiguen comunicarse, ni como moverse al unísono, ni a través de que fuerza, ¿Porqué no pensar que existe una fuerza complementaria en el universo con la tendencia al orden espontaneo, si las circunstancias le son favorables? Aunque lo más simple, es aceptar, que de momento, es un fenómeno sin explicación. Con respecto a la sincronización espontanea de los seres vivos, te has olvidado de añadir la causa de la defensa, sobre todo, si hablamos de seres pequeños, como los boquerones, las sardinas o los estorninos, que son muy vulnerables.

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  87. La ciencia está estudiando su funcionamiento y descubre reglas, como las de que los individuos son conscientes de sus vecinos mas cercanos, de que tienen tendencia a alinearse o de que se atraen unos a otros manteniendo una pequeña distancia entre ellos, y a partir de aquí empiezan a agruparse, pero ¿De donde proviene esta organización? ¿Cómo es que las reglas dan origen a patrones? Como ves, de momento, todo son preguntas sin respuestas.
    Dices sobre la capacidad termodinámica de los tejidos, que son “propiedades del agregado que no pueden estar en el elemento. Pero son las propiedades del elemento las que producen las propiedades del agregado”, digamos que las propiedades del elemento, son la causa que producen las propiedades del agregado, y en eso estamos de acuerdo, siempre y cuando se acepte la causa como la del ejemplo que he dado, y a continuación indicas que es el metabolismo con sus señales fisiológicas las que disparan la producción de calor, bien, también estamos de acuerdo, pero fíjate, son las acciones del metabolismo las que producen el calor, no las propiedades de las células.
    Sobre los metales, tu mismo lo reconoces, no se encuentra en los átomos la rigidez, ni la maleabilidad, etc., tú apuntas a los enlaces, a las orbitales, al número atómicos, etc. bien, pues digamos que es la predisposición del átomo en su conjunto el causante de esas nuevas propiedades que tendrá el sólido. ¿No te das cuenta?, estás diciendo lo mismo que Laughlin. Lo único que tienes que comprender ahora, es que las propiedades que produce la causa no tienen nada que ver con las propiedades del causante. Es de la acción de la causa de la que surgen las nuevas propiedades. La dureza, la contienen todos los metales, con más o menos intensidad, la propiedad es la misma, pero sus átomos son diferentes, luego cabe pensar que esa propiedad no se deriva solo de la composición de sus átomos, sino de su acción. Laughlin propone que tales propiedades se obtienen con la organización u ordenación que tomen los propios átomos. Dado que estoy hablando de cosas que jamás podré comprobar o refutar, solo me queda creer, subjetivamente, en mi propio razonamiento, y esta última explicación la encuentro más razonable

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  88. Sobre la vida, también reconoces que es muy compleja, y en eso también estamos de acuerdo, después indicas unas cuantas propiedades de su funcionamiento, como las membranas, las enzimas o el sistema nervioso, que también estamos de acuerdo, pero en tu relato de la vida hay una frase al final que me choca: “el agregado no tiene unas propiedades ajenas a las de los componentes”, acaso quieres decir que lo inerte, que es de donde procede la vida, ¿tiene las mismas propiedades que la vida? O sea, que lo inerte, nace, crece, se reproduce y muere, además de todo lo demás que se le supone a la vida.
    Y para terminar, la critica a la frase que citas al final de tus comentarios “Lo chocante de las propiedades emergentes seria que algo nos sorprendiera contradiciendo las propiedades esperadas de sus componentes o alejándose de las previstas. Y eso no sucede”
    Vaya, te hubiera quedado una perfecta tautología, si en vez de las propiedades emergentes, hubieras puesto el universo. Me recuerda, una ingeniosa frase que leí no se donde, que decía algo así como “Prohibido llevarse nada del universo”.
    ¿No crees que la vida emergiendo de los componentes inertes, contradice todas las propiedades esperadas de lo inerte y se aleja, pero que muy mucho, de ellas? Y eso, ha sucedido.
    De todos modos, tampoco es para montar un drama, como dice la famosa obra teatral de Luigi Pirandello: Así es (si así os parece).

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  89. NUNNEZ:

    Tomaremos tu propio ejemplo: un empujón y una caída. Es evidente que lo que suceda no es sólo efecto del empujón como no es igual el efecto de acercar una cerilla encendida a un vaso con gasolina o a uno con agua. Si alguien te empuja al lado de una piscina tampoco lo juzgaremos igual que si te empuja del balcón de un piso 50.

    la idea de causa suele ser muy confusa y no equivale a que los efectos estén dentro de uno de los factores y simplemente hagan PUM y aparezcan enteritos. Pero tú, al explicar las circunstancias y diferenciar qué ocurriría a raíz de un empujón si las escaleras son de marmol o si hay algún tipo de acolchado, ya estar relacionando el resultado, el efecto, con las condiciones del suceso: te descalabrarás o te darás unos golpes sin casi importancia de acuerdo con los componentes de la situación. También será diferente si eres joven y ágil en el salto o si tienes 80 años estás con una pierna escayolada.

    Emergentismo sería algo como decir que el que te rompas los huesos no depende de que la escalera sea de mármol, que tengas 80 años y vayas con una pierna escayolada y una muleta. O que se puede esperar lo mismo y con la misma frecuencia de que te empujen a una piscina -por supuesto CON agua- que si te empujan de lo alto de un edificio.

    Cuando citas un flujo turbulento estás poniendo un caso de caos determinista: es tan complejo el sistema y tan numeroso el número de interacciones entre moléculas distintas que es IMPREDECIBLE lo que hará el humo a pesar de que las condiciones iniciales nos parezcan iguales. Podemos tener el mismo humo y el mismo cigarro, pero variaciones pequeñísimas en algunas moléculas del aire producirán variaciones enormes en las volutas del humo.

    Bueno, hay cosas que estimamos poco probables como que el humo dibuje un corazón delante de nuestra chica el día del aniversario de que la conocimos. Sería bonito pero no va a pasar.

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    El segundo tema que tocas es el de la diferencia entre explicaciones y descripciones o entre lo que sucede y su porqué.

    Ambas van a tener, en principio, el mismo aspecto, la misma "gramática". Por ejemplo, describir el clima va a consistir en crear una tabla que relacione fechas con temperaturas y precipitaciones, es decir, en relacionar variables observables. Pero va a haber una importante diferencia: la capacidad explicativa.

    Tenemos el caso del clima o del movimiento de los planetas, que son recurrentes. Y eso hace el caso más difícil, pues si se trata de un hecho no recurrente basta con predecir el futuro suceso dado el presente o la posición del suceso dentro de una tabla.

    Por ejemplo -creo que el ejemplo es de Bertrand Russell, si no recuerdo mal- un día sales de tu casa y ves un coche y anotas su matrícula. Lo mismo con el segundo y así con todos. Un poco de matemáticas te permite generar un polinomio que dé esos números en función del orden de aparición ya que habrá un polinomio que pase por los puntos (1,1838), (2,7749)... etcétera. Sin embargo si crees que eso es una explicación de la aparición de las matriculas quedas comprometido a predecir el siguiente número de matrícula. Es decir, que si el siguiente coche va a ser el número 17 y el polinomio produce el 8888, ésa es una explicación si y sólo si es una predicción verificable y verificada.

    Como predicción es falsable pues predice un número determinado que se va a dar o a no dar, por ejemplo si en vez del 8888 aparece el 0461. Y puede ser rechazada a priori si predice el 189654, el 3,1416 o el -2233. Y si predice el 8888 y aparece un coche con es matricula y luego aciertas la segunda y la tercera y un número elevado de ocasiones al menos, creeré que hay "algo" que relaciona los números y acabaré como John Nash pero sin premio Nobel.

    Algo es explicación, en esencia, si nos da información e información es lo que nos permite vincular un suceso a otro con mayor probabilidad que el azar. Así, la información que nos da un adivino que predice que saldrá cara o cruz, es nula. Si nos dice que la probabilidad de que salga cara es 1/2, es también nula, pero si nos dice que saldrá en tiradas sucesivas 112233445566 y salen, acabaremos creyendo en él o en el hospital mental.

    Tenemos una probabilidad de los sucesos sin la supuesta explicación. algo es explicación si nos da una probabilidad de acierto mayor. José Luis te lo explicará mejor con lenguaje riguroso de probabilidad bayesiana, que es lo que debería hacer yo en realidad.


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    Cuando los sucesos son recurrentes: en invierno hace de media más frío, en verano más calor y llueve más en Bilbao que en Murcia, o los planetas aparecen en posiciones tabuladas y lo hacen año tras año, por ejemplo los eclipses lunares o las mareas, la descripción nos revela un orden intrínseco a la Naturaleza pues la probabilidad a priori de que ocurra eso parece pequeña y la regularidad del suceso viene probaba porque, en vez de variar como una secuencia aleatoria, es recurrente.

    Sin embargo, una explicación consiste en vincular variables observables y no meramente en tabular fenómenos y, lo más importante, consiste en poder hacerlo vinculando hechos no incluidos en las tables pero que pueden suceder, o que se salen de la regularidad aparente de las tablas.

    Por ejemplo, la gravitación no es una mera descripción como las tablas ptolemaicas por esas dos razones: no meramente tabula que en fecha tal el planeta tal estará en el sitio tal sino que relaciona las posiciones, velocidades y masas de unos planetas con los de otros. Cada suceso no es un dato independiente o que pertenezca sólo a la recurrencia de sucesos de Júpiter, sino que revela un sistema en el que los planetas están relacionados más de lo esperado por la simple tabulación. Y, en segundo lugar, y más importante, permite explicar sucesos que serían irregulares para una simple tabulación como las anomalías de Urano o Neptuno, o la trayectoria de un satélite o de una piedra lanzada por nosotros, como parte del sistema, de un modelo que evita tabular informaciones aisladas al lado de informaciones aisladas sino que REDUCE EL NÚMERO DE VARIABLES INDEPENDIENTES, predice sucesos verificables y son verificados.

    Así que las explicaciones reduccionistas son verdaderas explicaciones pues parten del conocimiento EXCLUSIVO de los componentes y PREDICEN CON EXACTITUD el comportamiento del compuesto. Por ejemplo, sabemos que todo compuesto orgánico con grupo carboxilo tendrá carácter de ácido débil. No de base ni de ácido fuerte, a pesar de que ese compuesto no haya sido sintetizado nunca antes.

    O podemos creer que la Física atómica es una verdadera explicación si predice el comportamiento por ejemplo de núcleos pesados producidos de forma artificial o si aparecen las nuevas partículas en el colisionador de Suiza tal como predice la mecánica cuántica.

    Tenemos explicaciones, por ponerte otro ejemplo, de cómo se transmite el impulso nervioso que se REDUCEN a canales que dejan entrar o salir iones de sodio, potasio y calcio o que los transportan a través de una membrana que sería impermeable. Y todo eso ocurre según leyes que explican la distribución de iones cargados. No hay ningún resultado inesperado. De hecho se ha conseguido medir el comportamiento de UN SOLO canal y el paso de iones a través. Y se ha descrito el canal como proteínas con una determinada forma espacial, determinados movimientos y determinadas cargas.

    Tenemos cosas como esa, la explicación del metabolismo como reacciones quimificas en equilibrio que se desplazan por la concentración de los solutos, por activación o inactivación de los enzimas que las catalizan y en general, tenemos explicaciones químicas de la fisiología, físicas de la química y así en general hasta que llegamos a lo último conocido como no reducido por ahora al menos a nada más básico.

    El programa reduccionista funciona. Lo que no es reduccionismo no es explicación y consiste en palabras bonitas y nada que predica sucesos diferentes a los esperados.

    Es muy tarde hoy y tengo la disculpa de que si te aburro lo he pagado con un tiempo de escribir y no dormir. Espero que te sira o que dé ocasión a que José Luis lo explique con más detalle.

    Un saludo.

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  92. Desearos tanto a Jose Luis como a Sursum, que tengais unas agradables fiestas y un suertudo año 2010.

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