Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente. Los alumnos razonan de la siguiente manera. El viernes no podrá ser, puesto que si llega el viernes sin haber tenido examen, sabremos que será ese día. El jueves tampoco podrá ser, puesto que hemos descartado el viernes, así que si llega el jueves, tampoco será sorpresa. Por inducción, no podrá ser ningún día de la semana. Los alumnos deducen que la profesora no podrá poner ningún examen sorpresa.
Para asombro de todos, llega el miércoles y la profesora pone el examen.
La paradoja está resuelta desde hace muchos años. Se trata de mostrar que el enunciado de la profesora consta de varias proposiciones incompatibles entre sí. Lo vemos mejor si la semana solo tuviera dos días. Así, la profesora está diciendo:
- Si el examen es el día 1, la víspera (o ese día antes de clase) de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 1.
- Si el examen es el día 2, la víspera de ese día los estudiantes no sabrán que el examen es el día 2 y sabrán que no ha sido el día 1.
- El examen será alguno de esos dos días.
Es posible, usando las reglas de la lógica proposicional, mostrar que las tres afirmaciones no pueden ser ciertas a la vez (no lo voy a hacer). Hasta aquí no hay problema, todos los lógicos están de acuerdo. Lo que ha creado una larga confusión es que, a pesar de que la profesora ha dicho algo falso, resulta que consigue su objetivo de dar un examen sorpresa.
Llegados a este punto, la discusión ha dado lugar a decenas de artículos en revistas serias. Casi todos van al monte sin botas. Hay autores que se inventan ramas de la lógica sólo para intentar abordar la cuestión.
Borwein y compañía miden el grado de sorpresa con una definición de entropía y buscan así una estrategia para la profesora que maximice la tal entropía.
Según Shaw, la profesora hace unas afirmaciones autorreferenciales de tal manera que nada bueno se puede deducir de ellas.
Olin y Sorensen se ponen a definir “puntos ciegos” epistemológicos y no sé qué diantre hacen con ellos.
Otros se ponen a decir cosas como que saber una preposición un día no es lo mismo que saberla otro día.
Sober, que propone una buena manera de abordar el problema, sin embargo se pone a decir que hay que distinguir entre predicciones prudenciales y evidenciales para concluir no sé tampoco muy bien qué cosa.
En realidad, la cosa es más sencilla. Pensemos en una semana de dos días. Cada día la profesora decide si poner o no un examen, y cada día los alumnos apuntan un SÍ o un NO en un sobre. Si hay examen y apuntaron SÍ, o si no hay examen y apuntaron NO, no hay sorpresa. En caso contrario sí la habrá. Pongamos que la sorpresa le reporta un beneficio (felicidad, utilidad, como quiera llamarse) de 1 a la profesora y de -1 a los alumnos. La no sorpresa cambia el beneficio de cada uno. Los pagos son arbitrarios y podemos cambiarlos si se quiere.
Si no ha habido examen el día 1, el día 2 se enfrentarán al siguiente juego
| Día 2 | SÍ | NO |
| Examen | -1,1 | 1,-1 |
| No examen | 1,-1 | -1,1 |
La única manera de elegir consistentemente en este juego es echar a cara o cruz entre poner examen o no por parte de la profesora y escribir SÍ o NO por parte de los alumnos. El beneficio esperado para cada uno será cero.
Sabido esto, el día 1 el juego es parecido. Ambos tienen que elegir como antes, pero aquí surge un problema. Si la profesora elige no poner examen y los alumnos eligieron SÍ, ¿seguimos con el juego? Si es así, esto querría decir que los alumnos pueden anticipar el examen cada día, de manera que alguno acertarán. Una cosa sensata es decir que, en ese caso, perdieron su oportunidad y el juego se acaba. Otra es decir que esto les impide decir SÍ en el futuro, de manera que el juego del día dos tras (No examen, SÍ) habría sido trivial, con la profesora poniendo el examen los alumnos sorprendidos. Voy a seguir el primer caso, que deja así el primer día:
| Día 1 | SÍ | NO |
| Examen | -1,1 | 1,-1 |
| No examen | 1,-1 | 0,0 |
En la casilla (No examen, No) hemos puesto ceros, que son los pagos que se esperan obtener el día siguiente. La casilla (No examen, NO) la podemos interpretar como que el juego se acaba o como que, aún siguiendo, los beneficios son (1,-1) no importa lo que pase el segundo día, porque ya se erraron los alumnos en su elección. La única manera consistente de decidir ahora es, para la profesora, elegir poner examen con probabilidad 2/3 y, para los alumnos, elegir SÍ con probabilidad 1/3. (Otras posibles variantes las tengo publicadas con Jesús Zamora aquí. Se puede leer también aquí.) En el análisis vemos claramente los dos hechos fundamentales de la paradoja:
No es posible poner un examen y que sea sorpresa. Pero esto es porque no es posible que ocurra con probabilidad uno. Vemos que, en nuestro análisis, hay una probabilidad 1/3 x 1/2 = 1/6 de que no hay examen, y una probabilidad positiva de que, habiéndolo, no sea sorpresa. Podíamos haber insistido en que debía haber examen, sólo habría que alterar el juego del día 2 y tendríamos la misma conclusión acerca de que el examen no puede se sorpresa con probabilidad 1.
¡Pero la profesora consigue poner un examen sorpresa! Esto es porque nos cuentan sólo uno de los posibles finales de la historia, cuando los dados cayeron de manera que la profesora pone el examen y los alumnos no lo adivinaron. Lo que he expuesto aquí dice que eso sólo puede pasar con alguna probabilidad si, al lado, está la probabilidad de que no pase.
Lo que ha pasado es que ni alumnos ni profesora pueden razonar al margen de lo que crean que va a hacer el otro, ni al margen de cómo valoren acertar o no, y esto nos coloca en el mundo de la Teoría de los Juegos, puesto que la lógica proposicional no podrá dar cuenta de la interacción entre las acciones y creencias de los dos jugadores. No estaban hechas esas botas para este monte.
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46 comentarios:
Muy interesante. Sabía de la paradoja, no del por qué de la solución.
p.d: El enlace de Sorensen está mal, mu mal. Te has confundio y te lleva a blogger :-P
Hola, Héctor:
Gracias por el aviso, ya lo he corregido.
La respuesta a esta paradoja es bien sencilla y no tiene nada que ver con la lógica, sólo con el sentido común: si la profesora anuncia un examen sorpresa para la semana que viene, el examen deja de ser una sorpresa. Sólo lo sería si la profesora no lo anunciara.
Anónimo:
No será sorpresa qué semana habrá examen, pero podrá serlo el día.
El objetivo del examen sorpresa no es sorprenderles a los estudiantes, sino que tenga lugar sin preaviso exacto. En otros idiomas ni existe esta expresion. Yo siempre lo hago en la clase donde menos materia tengo para explicar. Ya que esto no pueden controlar (ni averiguar) los estudiantes con antelacion, para ellos la fecha es aleatoria. Lo que les suelen sorprender son los ejercicios. Eso siempre. Incluso si los copio del libro o de los apuntes del dia anterior.
En todo caso el enunciado es incorrecto. Si es un examen sorpresa es precisamente para sorprender a los estudiantes. Por eso el enunciado debería decir "pondré un examen la semana que viene" y no "pondré un examen sorpresa la semana que viene".
Anónimo (supongo que eres el mismo de antes):
Tu manera de poner exámenes, siguiendo una distribución aleatoria (definida por la materia, algo que los alumnos no controlan) sigue la lógica de mi argumentación.
En cuanto al objetivo de la sorpresa, el enunciado de la paradoja dice que se trata de que los alumnos no puedan deducir el día del examen, a pesar de saber la semana. Es a ese enunciado al que hay que dar un sentido claro.
Cierto que podemos hablar sobre si eso es o no lo que queremos llamar sorpresa.
Yo una vez puse exactamente el mismo examen en septiembre que en junio e igualmente les sorprendieron los ejercicios a los alumnos. La tasa de aprobados no varió significativamente sobre la media histórica.
Se me olvidaba: Bienvenid@ al blog y saludos.
Bueno...yo propongo otra teoría...
Podemos llamarle simplemente "paja mental" y concluir que no hay que sacar demasiada punta a las cosas. Y no es que no le vea una utilidad teórica a la cuestión, es que lo mismo yo soy un poco más práctico. O tal vez es que me he hecho un lío con el post.
En fin, que una vez más, no lo tengo claro. Dudo luego existo.
Un artículo sencillamente formidable, de verdad...
Me preguntaba si te interesaria intercambiar enlaces con mi web de Tarot.
Un saludo!
cambiosocialya:
No es tampoco mala teoría, y algo de eso denuncio en la literatura al respecto. El problema tiene su enjundia, puesto que se trata de saber si tenemos claro lo que significa la inducción lógica y si es posible hablar formalmente de conceptos elusivos como el de sorpresa.
Saludos
Hola Tarot:
Me alegro que te gustara el artículo, pero no es mi política hacer publicidad de negocios que se basan en engañar a la gente.
Un saludo
José Luis:
Uno de los motivos de no escribir cosas que tenía pensadas en mis blogs es que paso mucho tiempo disfrutando de los vuestros. Siempre traéis ideas interesantes y bien desarrolladas.
Mi opinión en la paradoja del examen sorpresa es que puede que no todos entiendan lo mismo por examen sorpresa. Evidentemente está tan mal planteado si se quiere decir que TODOS LOS DÍAS será sorpresa como si te dicen que dentro de una de cinco cajas está el tesoro y que tienes cinco intentos o que una de cinco llaves del llavero que te dan abre una puerta y tienes cinco intentos.
La cosa funciona si el profesor pone el examen pero lo pone al azar, tirando una moneda, y sobre todo si a los alumnos el jueves ya no les sirve para nada saber que el examen será el viernes porque no les da tiempo a estudiar toda la materia en una noche y han perdido el resto de días vagueando.
Si el jueves no ha habido examen y ya no tienes tiempo, mal. Te arriesgas un poco menos si no estudias hasta el miércoles, estudias algo el jueves y te sirve si el viernes hay examen. Y así, en general.
Sursum corda!:
Efectivamente, habría varias maneras de definir "sorpresa" y lo que se entiende por "adivinar" cuándo va a ser el examen. Para cualquier especificación sensata pasará algo parecido a lo que dices y a lo que recojo en la entrada.
Gracias por comentar y te animo a que no dejes descuidado tu blog. De vez en cuando me meto a ver si hay algo nuevo.
"Una profesora anuncia un examen sorpresa para la semana siguiente", lo traduzco por:"Para la próxima semana os pondre un examen, pero vosotros no podreis saber el dia".
El razonamiento de los alumnos es perfecto, pero falla. En la engorrosa explicación que das (incomprensible de seguir para mi) necesitas alterar el enunciado eliminando precisamente su factor principal " el tiempo " que es el que hace crear la paradoja. Y es que la lógica y el tiempo no se llevan muy bien. Por eso tambien fallan los alumnos, porque lo que es logico para un dia no lo es para toda la semana. El tiempo hace "emerger" cualidades nuevas e imprevisibles, y en el caso que nos ocupa esta cualiad nueva e imprevisible es la sorpresa. Con el tiempo no se puede jugar a la lógica.
Nunnez:
Bienvenido al blog. Siento que no hayas entendido bien la entrada. Es posible que se pueda explicar mejor, pero esto es lo que me ha salido después de intentarlo de varias maneras. Si te interesa la paradoja, te animo a que releas la entrada con cuidado y a preguntarme cuantas dudas tengas.
Una de las cosas que justamente hago en la entrada es considerar el tiempo. No lo he eliminado de ninguna manera, simplemente he considerado una semana de dos días para hacer más sencillo el análisis, que se extiende fácil, pero engorrosamente, a más días.
El tiempo hace que haya que actualizar la información, por eso la lógica proposicional se pierde en él. No así la teoría de los juegos, que sabe incorporar las probabilidades, con regla de Bayes incluida para actualizar la información.
En primer lugar darte las gracias por contestar a mi nota, en segundo lugar reconocer el esfuerzo realizado por aclarar o descifrar la paradoja y por ultimo agradecerte tu disposición en aclarar mis dudas.
A continuación sigo con el consejo, y releo la entrada, una, dos, tres, cuatro veces...y comienzo con exponer dudas y mi criterio sobre la paradoja. Dices que se trata de mostrar que el enunciado consta de proposiciones incompatibles entre si. Expones tres en un ejemplo con dos días. Sin embargo la 2ª proposición la encuentro incoherente. Para mí, si los alumnos en la víspera del segundo día, al final de la clase del día uno, comprueban que no ha habido examen, ellos saben con certeza que el examen será el segundo día, por eso encuentro incoherente que digas que ellos no lo saben. Y si ellos saben que el examen será el día dos, ¿ donde se encuentre la incompatibilidad?
Y si las proposiciones con correctas, afirmaciones como" que la profesora ha dicho algo falso", las encuentro del todo gratuitas.
En tu exposición repites lo mismo, que si no ha habido examen el día uno el segundo dio se enfrentan a un juego, pero ellos no se enfrentan a ningún juego, saben taxativamente que habrá examen, como he expuesto anteriormente. El unico juego que cabe en tu exposición es el del día uno.
Cuando comente que eliminabas el factor tiempo, es por que así lo creo. Fíjate… el ejemplo mencionado consta de dos días igual que tu exposición y la deducción de los alumnos también consta de dos días: Si al jueves no hay examen, será el viernes, pero entonces lo sé. Se elimina el viernes, y si el miércoles no hay examen será el jueves, pero entonces lo se. Etc. Siempre dos días.
¿No te resulta extraño? Dos son los términos mínimos necesarios que nos permiten un razonamiento deductivo y un desarrollo lógico lineal de causa-efecto. Pero eso no es el tiempo. Y llegados a este punto, aparece la gran pregunta ¿Reduccionismo o emergentismo ?. Según Mario Bunge, el emergentismo está asociado al sistémico y se caracteriza por la tesis de que los sistemas poseen propiedades globales, sistémicas o emergentes que sus partes componentes no poseen y son, por tanto, irreducibles a propiedades de niveles de organización inferior.
A mi, personalmente me gusta creer en esto, en que hay espacios y tiempos donde quepan el azar, el caos, la casualidad, la sorpresa…. Donde no todo se pueda saber de antemano, que, aunque dispongamos de todos los componentes iniciales, siempre pueda surgir lo inesperado. Que no exista el destino, ni el propósito ni la finalidad ni lo absoluto.
En resumidas cuentas, si admitimos el elemento sorpresa como una propiedad global del sistema (la semana) que sus partes componentes no poseen (el día a día), la paradoja deja de ser tal, la profesora ha dicho la verdad, y cualquier intento de reduccionismo resulta baldío.
Saludos
NUNNEZ:
Vamos por partes.
En términos generales, las proposiciones incompatibles entre sí son dos:
(i) La profesora pondrá un examen la próxima semana, y
(ii) El examen será una sorpresa
Las proposiciones con que ilustro el caso de los tres días intentan ser un poco más precisas, pero van de lo mismo. Se trata de definir con un poco más de precisión qué es eso de la sorpresa o de saber lo que va a hacer la profesora.
Con dos días, si la profesora decide por un razonamiento lógico que el examen no debe ser el día 1, entonces, o bien tenemos que deducir que el día 2 no habrá examen o que no será sorpresa. Suponer cualquiera de las dos cosas llevará a contradicción. A ti te choca que en mi proposición 2. postule que se deban cumplir las dos cosas que dice la profesora (que habrá examen y que sea sorpresa) porque ves la contradicción enseguida (esto es lo que pretendía hacer notar). Pero esto es lo que tiene que ocurrir si el examen no es el primer día y se debe cumplir lo que decía la profesora.
Respondiendo a tu duda: las afirmaciones no pueden ser ciertas, por lo que la profesora no dice la verdad cuando dice que va a poner un examen sorpresa.
Así pues, no pueden darse las dos cosas. A partir de ahí podemos construir el caso en que no se cumpla una o la otra para aclarar el resto de aspectos de la paradoja. En particular cómo es que, a pesar de que hayamos dicho que ambas cosas son incompatibles, al final se cumplan.
El caso que he construido es en el que permite que no haya examen (para estar en el caso más favorable a que haya sorpresa), por eso se permite que no haya examen el segundo día.
Podía haber insistido en que hubiera examen el segundo día. En ese caso quita la posibilidad de No examen del segundo día. Los alumnos elegirán Sí y los pagos serán (-1,1), que corresponderán a la casilla (No examen, No) de primer día. En este caso el equilibrio será que la profesora elige Examen con probabilidad 1/2 y No examen con probabilidad 1/2, mientras que los alumnos elegirán Si y No también a cara y cruz.
Intentar deducir qué va a hacer el otro cuando la mejor estrategia es ser impredecible y para ello tiene que echar a suertes es una imposibilidad. A veces se acertará y a veces se fallará. Te invito a echar un vistazo a mi entrada sobre Nadal y Federer:
http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2009/09/la-teoria-de-los-juegos-la-historia-mas_24.html
Aún sabiéndolo todo sobre el juego y sobre la manera de razonar del otro, no será posible deducir lo que va a hacer, porque lo que va a hacer es jugar aleatoriamente. Esa es la esencia de la paradoja del examen sorpresa. No hace falta inventarse nuevas lógicas ni apelar al reduccionismo-emergismo.
Espero haberte aclarado un poco más la cosa. Con gusto contestaré más preguntas.
Madre mía, esto es de loco, como se puede estar de acuerdo con todo lo que dices y sin embargo llegar a conclusiones diferentes.
Creo que es la extrapolación lo que nos difiere, tu llevas el razonamiento (perfecto) de sus partes (dos días) a todo el conjunto y por eso deduces que la profesora ha dicho algo falso,( porque son incompatibles entre si el punto i y punto ii ) y yo quería demostrar ( sin ningún acierto) que es precisamente la división del conjunto lo que hace incompatible dichos puntos.
Siento disentir contigo, pero creo que es un claro ejemplo de emergentimos, donde el conjunto tiene unas propiedades (la sorpresa) que es imposible que se pueda dar en sus partes, como bien hemos comprobado.
La extensión a una semana del argumento que he hecho para dos días no es una extrapolación, es la repetición exacta del mismo argumento.
Imagina que solo hay un día y que profesora dice:
-"Mañana pondré un examen sorpresa".
Sin duda que no puede estar diciendo la verdad. O no pone examen o, si lo pone, no es sorpresa. Este es todo el misterio.
Ahora podemos insistir en qué debe hacer la profesora para dar sentido a su frase. Si está comprometida a poner un examen, no hay nada que hacer, lo pone y ya está. Si no está comprometida, echando a suertes si pone o no el examen causará la mayor sorpresa posible, a costa de no poner el examen alguna vez.
Establecida una de las opciones podemos seguir un día o los que haga falta hacia atrás. Lo que tenemos no son propiedades de la semana que emerjan como distintas de las propiedades de los días. Lo que tenemos es que no usar la lógica proposicional sino la teoría de los juegos y la teoría de la probabilidad.
Sobre reduccionismo y holismo tengo una entrada:
http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2009/03/holismo-y-reduccionismo.html
Aprovechando la licencia imaginativa de tu última aclaración, también voy a poner un ejemplo imaginario, por si nos diera un poco de luz.
Imaginemos que la profesora dice: “ Este curso no pondré examen, pero para el próximo curso pondré un examen sorpresa sobre lo aprendido en este curso”. Copio a continuación la respuesta tuya a Anónimo: “En cuanto al objetivo de la sorpresa, el enunciado de la paradoja dice que se trata de que los alumnos no puedan deducir el día del examen, a pesar de saber el curso. Es a ese enunciado al que hay que dar un sentido”. Solo he cambiado la palabra semana por curso. Un curso ( 9 meses) abarca tanto tiempo que creo que ningún alumno se atrevería hacer cábalas sobre que día será el examen. La respuesta ha perdido todo su sentido. Si hacemos cábalas con la paradoja de marras, es porque al ser “solo” una semana, nos crea la ilusión de que es aprehensible y manejable, pero en el fondo contiene todos los elementos necesarios para hacerla tan inescrutable como con todo un curso.
NUNNEZ:
No hay ningún problema con extender la resolución a cualquier número de días, sean los de la semana o los de un curso. Claro que cuando el problema se hace complicado o tedioso, uno puede renunciar la resolverlo, pero esto no es argumento de nada para su lógica interna, aunque sí lo será para su observación en la práctica. La paradoja iba de lo primero.
Con permiso, José Luis.
Nunnez:
El problema es que hay cinco opciones y cinco elecciones, pero no es más paradójico que éste:
Una caja se abre con una de las cinco llaves de un llavero sorpresa.
Pero eso no puede ser porque si no es ninguna de la 1 a la 4, no es sorpresa que sea la 5. Luego no puede ser la 4, porque la 5 no es y si llegamos de la 1 a la 3 sin abrirlo, es que la llave es la 4 y no es sorpresa. Y así ¿con todas? ¿con alguna? ¿con ninguna?
El llavero es "sorpresa" si no sabes cuál de las cinco llaves es la que abre la caja. Sólo después de cuatro elecciones puedes estar seguro de que se trata de la quinta llave. Pero el planteamiento contiene la razón de la paradoja. Si no ha sido de la 1 a la 4, es claro que se trata de la 5, pero ¿y si ha sido, por ejemplo la 2? ¿Si el examen ha sido puesto al azar para el martes? La condición de haber llegado al jueves sin examen ya queda invalidada.
También hay 60.000 números de la lotería tradicional y también podemos comprar un décimo de cada número. Pero eso no nos sirve de nada pues el gasto es necesariamente igual o mayor que el premio.
Un saludo.
Aquí, ya sabéis, entra cada uno como por su casa. No hace falta pedir permiso.
No me he parado a pensar si tu problema tiene todos los elementos del examen, pero la parte aleatoria de la sorpresa creo que se capta bien.
Un saludo
José Luis:
Espero que te parezca convincente cuando lo examines. El caso se da donde hay tantas opciones como elecciones y podemos, una por una, ir descartando todas.
Por ejemplo: tienes dos elecciones, pero antes de tirarla no puedes acertar lo que saldrá en una moneda y para ti será sorpresa. Y que te respondan que no, ya que si haces una tirada y me dices que ha salido cruz es obvio que la siguiente elección es decir que ha salido cruz.
Lo interesante es que antes del hecho no puedes adivinar y que sólo puedes acertar con seguridad cuando sólo te queda una opción.
Me he percatado de que hay un tercero en discordia del cual nunca hemos hablado. El OBSERVADOR, o sea, todos los que pensamos en la paradoja.
Podríamos decir que al no poderse determinar con precisión el significado de la palabra sorpresa dentro de su contexto, y por el mismo hecho introspectivo de definir la palabra , el observador modifica los datos de la paradoja de algún modo, haciendo válido la introducción de elementos extraños
A sursum corda le permite introducir el llavero sorpresa, a José Luis le permite introducir el beneficio y la estrategia con el fin de elaborar su teoría de los juegos, a mi me permite la introducción de la emergencia, como compresión de la paradoja.
Y curiosamente todos vemos en los demás las distorsiones de su planteamiento, solo los de cada uno nos parece coherente.
Quisiera dejar para su reflexión una cita de Heraclito que me parece que nos viene como anillo al dedo “Aunque el logos sea común a todos, la mayor parte de los hombres viven como si cada uno tuviera en propiedad una sabiduría particular”
Desde luego, en dar una apropiada definición de sorpresa está gran parte de la clave para dar sentido riguroso al enunciado de la paradoja y, con ello, a dar una explicación de los enunciados sobre ella.
A Sursum corda
Voy intentar explicarte porque el llavero no puede ser sorpresa y sin embargo lo cerca que andas de mi exposición de la emergencia ( por muy extraño que te parezca)
Aunque no tengo la menor duda de que sabes el significado de la palabra sorpresa, voy a transcribir lo que dice la RAE y otras definiciones que he encontrado por la red, porque viéndolas escritas parece como si los pensamientos se aclararan.
RAE
SORPRESA=Acción y efecto de sorprender
SORPRENDER= -Coger desprevenido
-Conmover, suspender o maravillar con algo imprevisto, raro o incomprensible
-Descubrir lo que alguien ocultaba o disimulaba
Otras definiciones de la red
-Impresión que causa algo inesperado, extraño o incomprensible
-Sin avisar, inesperadamente
Naturalmente que hay muchas más pero que creo que estas definiciones son una buena muestra.
Fíjate en la primera definición, sorpresa es la acción y efecto del verbo sorprender, y como tú sabes, los verbos indican acción y movimiento. Esto quiere decir que un objeto no puede tener el calificativo de sorpresa. Ya se que existe la caja sorpresa y el Kinder sorpresa y el sobre sorpresa, pero eso es una forma familiar de llamar a esos objetos, porque el verdadero efecto de la sorpresa se efectúa cuando uno abre la caja, el kínder o el sobre, y descubre lo que hay dentro. Es la acción de abrir la caja sin saber lo que hay dentro y no la caja en si lo que define a la palabra sorpresa. También es cierto que de ciertas cosas se puede decir que son sorprendentes, por ejemplo, ver un diamante del tamaño de un frigorífico. “Es un diamante sorprendente” Pero no es el diamante en sí el sorprendente, sino el efecto que causa en el observador al verlo, ese efecto es el sorprendente.
El examen, sí puede tener el calificativo de sorpresa, porque el examen no es un objeto, sino una acción. El papel y el bolígrafo son los medios de que se vale el estudiante para ejecutar el examen. Un examen es la acción de comprobar o demostrar el aprovechamiento en los estudios.
Una vez descartado que puedas tener un llavero sorpresa, el enunciado te quedaría” tengo una caja y cinco llaves y solo una de las llaves abre la caja.” En este anunciado ya no hay nada extraño, ni imprevisto ni inesperado ni sorpresivo, y salvo que te saques un as de la manga y digas que dentro de la caja hay una nota indicando el día del examen, todo está claro como el agua. Siguiendo tu razonamiento el enunciado de la paradoja quedaría así “ La profesora anuncia un examen para la semana siguiente” Bien, también todo esta claro, y por estar tan claro ha desaparecido la paradoja, la profesora puede poner el examen cuando mejor le convenga.
Fíjate que has hecho. Le has quitado la palabra sorpresa al examen y se la has añadido a la semana. Has convertido el examen un una caja, y a la semana en un llavero pero como necesitas añadirle la sorpresa que le sustrajiste al examen te queda semana+sorpresa= llavero+sorpresa , de la que cuelgan los días de la semana, que son las llaves. Rocambolesco si que resulta, visto así, y sin embargo en mi exposición de la emergencia he hecho casi lo mismo, he sustraído la palabra sorpresa al examen y se la he pasado a la semana. Tengo que cortar aqui, el especio no me deja imprimir mas.
NUNNEZ:
Aunque te dirigías a Sursum corda! permíteme una puntualización. La definición de sorpresa es la que has dado y es la que entendemos en el lenguaje normal. Para usarla en un contexto formal, como se presenta la paradoja del examen sorpresa necesitamos una definición formal y operativa en el lenguaje de la paradoja y que responda a la noción intuitiva del concepto. Hasta que no la tengamos, no sabremos muy bien lo que está pasando con la formulación de la paradoja y su resolución.
En la formulación formal uno puede sorprenderse de que una llave abra una puerta (sin dejar de ser intuitivo) si se atribuía una probabilidad alta a que no lo hiciera y si la definición formal tiene que ver con las probabilidades.
Todas las definiciones expuestas en mi anterior comunicado sobre la palabra sorpresa tienen un denominador común y es que hay algún elemento desconocido u oculto sobre el suceso que se va a producir y que este elemento desconocido no se manifiesta o revela hasta que el suceso no se produce. Es algo intrínseco en la definición de la palabra sorpresa. En el caso que nos ocupa lo desconocido es la fecha del examen. Así que podríamos decir atendiendo exclusivamente al anunciado de la paradoja que sorpresa significa:”Que no podemos saber o desvelar a priori la fecha del examen”. Y ese es el meollo de la cuestión, porque si pudiéramos, de algún modo, deducir la fecha del examen, o llegar a su contradicción, entonces la palabra sorpresa pierde todo su significado y por consiguiente falsea el enunciado. O en palabras tuyas, la profesora dice algo falso o miente. Y esta contradicción te la encuentras cuando analizas un solo día, o dos, porque no concurren los elementos necesarios para que se de la definición de sorpresa, el supuesto elemento oculto lo podemos saber a priori.
Esto nos lleva a posicionarnos en una de las dos soluciones posibles. A) La palabra sorpresa tiene todo su significado, y por lo tanto aceptamos que no podemos saber a priori la fecha del examen, y B) Con dos variantes pero con la misma conclusión. 1ª Podemos deducir la fecha del examen y 2ª llegamos a una contradicción. Ambas soluciones nos conducen a que la palabra sorpresa falsea el enunciado o la profesora dice algo falso.
Tu te has posicionado en la solución B, y tratas de demostrarlo a través de la teoría de los juegos. Yo me he posicionado en la solución A, por medido del concepto de la emergencia, pero no puedo demostrarlo, es por eso que me basé en la crítica a tu demostración, tratando de exponer que si tu teoría fuese falsa, la mía seria verdadera. Pero mi postura no es razonable, tu teoría podría estar equivocada y la mía no tiene que ser por eso cierta.
Es por ello, que voy a intentar demostrar a través de una analogía, mi posición en la solución A. El que lo consiga es harina de otro costal.
Va sobre el roscón de reyes. Ya sabes, se divide el roscón en tantas partes como comensales hay, pero solo en un trozo hay una sorpresa (sea lo que sea). Bien, pues pensemos en un solo comensal y su roscón, no hay que hacer particiones, por lo que aquí no hay sorpresa (no reúne las condiciones necesarias expuestas en la definición de sorpresa) ya sabe a priori que le va tocar a él . Si fuera para dos comensales se harían dos partes, y también sabe a priori que si él no la tiene, la tendrá el otro, por lo que no da tampoco para la sorpresa. Se necesitan más comensales para que emerja la sorpresa. Si fueran dieciséis comensales, el tamaño del roscón sería enorme (o sus partes muy pequeñas) y la posibilidad de que puedas saber a priori a que comensal le va a tocar la sorpresa ha desaparecido, (salvo el azar). Aquí se manifiesta en todo su esplendor la sorpresa. Como puedes comprobar “el tamaño si que importa” (entendiendo por tamaño el número de particiones del roscón)
El espacio disponible no me deja escribir más, te mando un segundo comentario con el resto.
Y esa es mi postura, que para que emerja o se revele la sorpresa, se necesita de todo el conjunto, que en el caso de la paradoja es una semana ( o cinco días lectivos) pues como dice el principio emergente “ el total es mas que la suma de sus partes”. Que lo que es razonable y lógico para un día o dos (una parte o dos) no lo es para el conjunto, pues solo el conjunto contiene la propiedad de la sorpresa.
Por tus comentarios deduzco que tu no crees en el emergentismo, pero como dicen los gallegos “haberlo, haílo”, y si no, explícame como se produce el deseo que tengo de mover los dedos para escribirte este comentario.
Encuentro muy meritorio el esfuerzo que has hecho por demostrar la contradicción de la paradoja, pero el que haya encontrado asimismo contradicciones en tu exposición, demuestra que no está del todo perfilada, yo reconozco que es imposible demostrar mi teoría, pero hay fenómenos que por el momento son inexplicables, como por ejemplo el origen de la vida a partir de lo inerte, o la mente a partir del sistema nervioso. Encuentro que es más fructífero trabajar con la idea de que existe y que hay que acoplarse a ese fenómeno, que negarlo, que solo nos conduce a callejones sin salida.
Vaya, creía haberte convencido de algo, pero veo que no. Te respondo.
1. No das una definición rigurosa y operativa de lo que significa "sorpresa". Hasta que no lo hagas no sé muy bien qué alternativa estás proponiendo.
2. Creo no haber optado por A o B, como dices, sino que doy cuenta de ambos casos. Según mi formalización de la paradoja, ocurre A con cierta probabilidad (no podemos saber la fecha del examen con probabilidad 1) y B1 con cierta probabilidad (podemos deducir la fecha del examen con cierta probabilidad). B2 ocurre siempre (es contradictorio poner un examen con probabilidad uno y que sea sorpresa también con probabilidad uno).
3. Para mi definición de sorpresa no hacen falta más que dos días. Te repito que el análisis se puede hacer para cualquier duración de la semana y sería igual. El número de días sólo cambiará la probabilidad de que adivinar el examen, que será menor a medida que aumente el número de días.
4. Puedes proponer un modelo riguroso alternativo en el que estudiar la paradoja y decir que es mejor que el que propongo, porque recoge, p.e., mejor la idea de sorpresa. Pero no puedes decir que en el mío hay contradicciones. No las hay. Es un juego perfectamente bien definido y resuelto. En ninguna parte se afirma una cosa y la contraria (o se usa una definición con dos sentidos o cualquier otra cosa que puedas llamar contradicción).
5. Encuentro irrelevante la apelación a la máxima "el total es más que la suma de sus partes" como explicación de nada. Como mucho, la expresión es descriptiva de un proceso en el que las partes se definen de una manera y el total de otra. Tal vez me anime a hacer una entrada sobre esto.
Respuesta al punto 1.
La definición que he dado de sorpresa, es lo máximo a lo que he podido llegar, quizás no sea todo lo rigurosa que tu desees, pero es la mejor definición que se me ha ocurrido, en cuanto a que sea operativa, esa es una exigencia imposible de cumplir por mi. Imagínate que me pidieras la definición de la palabra vida y que ésta definición fuera operativa para realizar los cálculos necesarios que enlazara lo inerte con la vida. Lo dicho, imposible, por lo menos imposible para mi, ¡que más quisiera yo!
En cuanto a la alternativa creí que había quedado bien establecida: La sorpresa solo se produce en el conjunto de la semana. Es una propiedad emergente. En palabras de Robert B. Laughlin (premio Nobel de física en 1998) es un fenómeno colectivo o de organización. El estudio de sus partes solo se presta a confusión, además de eliminar ese fenómeno colectivo, o sea la sorpresa. El enunciado “la profesora anuncia una examen sorpresa para la semana siguiente” resulta completamente asumible y plausible al leerla. La paradoja es un invento maquiavélico creado por el autor, solo se establece cuando el autor introduce como razonamiento la supuesta deducción de los alumnos, que no tiene porque ser así. Es una inferencia que trata de manipularnos, cuya intencionalidad es indicarnos el falso camino a seguir. Es una maquinación que solo está en la mente del autor. No existe en la realidad, y queda patente cuando dice al final de la exposición: “Llega el miércoles y la profesora pone el examen” Lo de “para asombro de todos” es una afirmación gratuita y retorica cuyo único fin es el de confundirnos.
Respuesta al punto 2.
No entiendo como B2 ocurre siempre y A y B1 con cierta probabilidad, la verdad, lo encuentro antagónico, lo siento pero no puedo comprenderlo, por mucho que me esfuerce. Cuando afirmas con toda rotundidad que la profesora dice algo falso, ¿dice algo falso en ciertos supuestos? En el supuesto A ¿la profesora podría decir la verdad aunque solo sea con cierta probabilidad? Mis pocas entendederas no dan más de sí.
Respuesta al punto 3.
Me remito a la respuesta al punto uno.
Respuesta al punto 4
He propuesto un modelo que aunque no sea riguroso, si que me parece alternativo, y personalmente, creo que recoge mejor la idea de sorpresa. En cuanto a lo de las contradicciones, siento de veras que te hayas molestado, desde ahora mismo te pido excusas y perdón, trataré de medir mis palabras, aunque en una cosa puedes estar seguro, en mis comentarios no ha habido nunca ni la mas mínima intención de molestarte u ofenderte, solo me ha guiado la búsqueda de la coherencia. En algún que otro comunicado me he pronunciado sobre lo bien elaborado que está y hasta de estar de acuerdo con ello, pero son las conclusiones las que me chocan y las nuevas perspectivas que van surgiendo con los diversos comentarios, para todo lo demás me remito a mi respuesta al punto 2, decir otra cosa seria engañarme y engañarnos.
Respuesta al punto 5
En este punto disentimos irremediablemente, lo que a ti te parece irrelevante, a mi me parece fundamental. Encuentro que es la clave para comprender la paradoja. Donde tú expresas que el total es simplemente una definición distinta de sus partes, yo entiendo que es distinto porque contiene un “añadido” que no poseen sus partes.
Por otro lado, me alegro haber dado pie para un nuevo artículo, que estoy seguro será muy interesante, como tienes por costumbre.
NUNNEZ:
La paradoja es sobre una proceso de deducción lógica. Si no definimos las cosas de manera que tengan un significado preciso en los términos lógico-formales, no adelantamos nada y seguimos sin entender qué está mal en el razonamiento lógico.
No tengo nada contra las propiedades emergentes, sólo digo que apelar a ellas para renunciar a explicar la paradoja en los términos que la constituyen no explica nada y es innecesario. Todo lo que se dice en la paradoja puede ser expresado a partir de sus elementos constitutivos.
Una persona puede echar a cara y cruz si dice la verdad o no cada vez que va a enunciar un predicado, pero no es esto de lo que se trata. Lo que digo es que el predicado que enuncia la profesora solo se cumple con cierta probabilidad. No sé qué tiene de raro esto.
La proposición A es "el examen será sorpresa con cierta probabilidad", la B1 es "habrá examen con cierta probabilidad", la B2 es "no puede ser cierto a la vez que haya un examen con probabilidad 1 y que sea sorpresa con probabilidad 1". Si tanto A como B1 se cumplen no tienen por qué ser contradictorias con B2, que sigue siendo cierta. A no ser que esas probabilidades sean uno.
Ninguna ofensa he sentido por tus palabras. Sólo que si encuentras una contradicción en mi análisis me gustaría saber dónde está para corregirla o rechazar el análisis. Hasta ahora no la veo.
Insistes en cosas añadidas en la semana de cinco días que no está en la de dos, pero no explicas cuáles son estas cosas. Yo he hecho una definición de sorpresa que se puede aplicar tanto a las cosas que pasan en una semana como en otra. En tus comentarios hay una definición imprecisa de lo que constituye la sorpresa en el contexto de la paradoja y una afirmación sin pruebas de que ocurre en la semana de cinco días y no en la de dos. Afirmar (sin pruebas) que es una propiedad emergente (sin definir lo que es en el contexto de la paradoja) no es aportar una prueba.
Voy a intentar demostrar que en un día o dos, no puede haber sorpresa, pero para ello necesito un poco de comprensión, buena voluntad por tu parte y que tantees la solidez del planteamiento. No niego ni discuto que pueda estar solo hilvanado, cogido con hilo, pero creo en su fondo, o sea que la duda existe, es real, porque tiene su por qué.
Voy añadirle a la profesora ciertos valores que aunque estén implícitos en el enunciado, quiero sacarlos a la luz para reflexionar ellos, por ejemplo: que la profesora siempre cumple lo que dice,(en esto estarás de acuerdo, porque en uno de tus comentarios tu mismo lo reconoces al terminas con la coletilla de “se debe de cumplir lo que decía la profesora”) así como que es coherente y además sensata, (resultaría extraño que un loco fuera coherente y sensato). Pues bien, una persona sensata y coherente jamás diría una frase tal como “pondré un examen sorpresa que será mañana” entendiendo por sorpresa la fecha del examen como se deduce del enunciado de la paradoja. Resulta absurda e incoherente, tu mismo lo reconoces en tu ejemplo, al decir “ Sin duda no puede estar diciendo la verdad. O no pone examen o, si lo pone, no es sorpresa. Este es todo el misterio”. Exacto, decir el día y que a la vez sea eso la sorpresa es absolutamente misterioso, e incongruente, no tiene ningún sentido, es como decir que te voy hacer un regalo sorpresa para tu cumpleaños que consistirá en una corbata, y continuas “ Si está comprometida a poner un examen, no hay nada que hacer, lo pone y ya está. Si no está comprometida, echando a suertes si pone o no el examen causará la mayor sorpresa posible, a costa de no poner el examen alguna vez”. Es aquí donde te equivocas. La profesora no tiene la opción de no poner el examen, recuerda, se debe de cumplir lo que dice la profesora, por consiguiente has creado una contradicción con el ejemplo, una incongruencia, una absurdidad. Y una incongruencia no puede servir de base para ninguna argumentación (si partes de premisas falsas, llegarás a conclusiones erróneas). Hay que quitar la incongruencia y solo se puede hacer eliminando la palabra sorpresa del ejemplo de un día. Con lo cual queda demostrado que con un día no puede haber sorpresa. En la analogía que puse del roscón de reyes de un solo comensal, se ve con mas claridad, solo entra una sola posibilidad, que la figurita (la sorpresa) esté en su roscón, no entra la posibilidad de que no esté la figurita, eso seria jugar a otro juego, y eso es lo que haces cuando introduces la posibilidad de que no ponga el examen (de que no haya figurita), estás jugando a otro juego, no al del enunciado de la paradoja.
El espacio disponible no me deja escribir más, te mando un segundo comentario con el resto
Con el estudio de dos días, haces decir implícitamente a la profesora lo mismo: “Pondré un examen sorpresa que si no es el lunes será el martes”, lo cual también resulta absurdo como con un día y llegas a las mismas conclusiones. Solo puedes dilucidar con el lunes si pone el examen o no, con el martes ya no puedes dilucidar nada, lo pondrá si no lo ha puesto el lunes y no lo pondrá si lo ha puesto el lunes, recuerda, se debe cumplir lo que dice la profesora, y aquí se acaba la historia, todo lo demás como que el martes contiene la posibilidad de que puede poner el examen o no, independientemente de lo que ocurra el lunes, es cambiar las reglas del juego. Para que este enunciado de dos días sea coherente, como en el caso de un día, hay que eliminar la palabra sorpresa. Solo hay sorpresa si se desconoce a priori la fecha, así que poner ejemplos donde se sabe a priori la fecha y añadirle a continuación la palabra sorpresa, lo que se hace es crear una incongruencia, salen del contexto de la paradoja, estás en otra cosa. Ahora caigo en la cuenta que cuando comente sobre la solución A y la solución B. La solución B2 es falsa, no puede haber contradicción, no podemos poner ese tipo de ejemplos contradictorios, nunca se debe crear una contradicción y la B1 hay que demostrarla, porque como ha quedado patente, con un día o dos no se demuestra
NUNNEZ:
Dices que hay que hacer lo que dice la profesora y, por tanto, que ha de haber examen. Por lo mismo debes decir que ha de haber sorpresa.
Sin embargo eliminas la sorpresa sin ningún problema. ¿Por qué no eliminas el que haya examen?
Si eliminas la sorpresa podrá haber examen. Si eliminas el examen podrá haber sorpresa.
Esto todo es consecuencia de la contradicción en la frase de la profesora. La confusión que he intentado aclarar es que la eliminación del factor examen o del factor sorpresa debe estar sujeta al azar, puesto que constituye la mejor manera de decidir para ser impredecible.
Ya que estamos de acuerdo que la frase es una contradicción, lo lógico y razonable sería eliminar toda la frase, o sea el ejemplo. No obstante, podemos especular sobre las consecuencias de eliminar la palabra sorpresa o la palabra examen.
Empecemos con la frase exacta del ejemplo imaginario: “Mañana pondré un examen sorpresa”. Eliminando la palabra sorpresa, nos quedará “Mañana pondré un examen”, bien, la frase es completamente coherente, no se le puede poner ni un pero, tiene relación con la paradoja y se puede cumplir lo que dice la profesora, solo que ya no hay sorpresa, que es lo que se intenta demostrar. Veamos ahora la frase sin la palabra examen: “Mañana pondré una sorpresa”. Primero deberíamos cambiar la palabra “pondré” por la palabra “daré” para hacerla gramaticalmente mas correcta. Pero si como está expresa bien la idea, ya vale. Esta frase es libre e independiente, no tiene ninguna cohesión con el enunciado, también puede cumplir lo que dice la profesora pero sin ningún nexo de unión con la paradoja. Por ejemplo, la profesora podría dar una fiesta porque es su cumpleaños, o porque es el aniversario del colegio, o la sorpresa podría consistir en que mañana vendrá Kevin Mihata a dar una charla sobre la emergencia. En fin, las posibilidades de dar sorpresas son infinitas, pero ninguna relacionada con la paradoja, salvo que la sorpresa que dé mañana sea anunciar que no habrá examen porque lo que dijo el día anterior fue una broma. Todo un disparate.
No se que piensas tú, pero creo que hemos expuesto todo lo que había que exponer, o sea dos puntos de vista diferentes de analizar la paradoja y que posiblemente ambos tengamos algo de razón desde nuestras concepciones distintas, y salvo que se nos ocurra algo nuevo y sorprendente, por mi parte creo que ha llegado el momento de finiquitar este asunto.
Te animo a que hagas el estudio sobre la máxima “el total es más que la suma de sus partes”, lo encuentro un tema interesante que puede dar mucho juego, pero con cuidado, porque te vas a mover por arenas movedizas, hay tantas opiniones a favor como en contra. Personalmente he tomado partido y estoy a favor.
Por mi parte considero que ha sido una agradable controversia y solo me resta darte las gracias por ello, pues me has ayudado mucho a aclarar las ideas sobre el tema
Nunnez:
No entiendo tantas vueltas al problema y a la palabra sorpresa.
"La semana que viene podré un examen sorpresa"
equivale a
"pondré un examen uno de los cinco días lectivos de la semana que viene y ahora no sabéis cuál"
La repuesta de que si llega el jueves y no ha habido examen significa que será el viernes y ya en la tarde del jueves no es sorpresa es inservible a todos los efectos.
La profesora ha dicho que HOY, cuando dice lo que dice, ES SORPRESA. Y lo es. Y para que el viernes no sea sorpresa tiene que darse el caso de que no haya sino ninguno de los casos anteriores, cosa que no se sabe por los alumnos ni la semana anterior n hasta el jueves, como mucho. Y puede haber sido el martes, o el jueves y el argumento deja de ser válido.
"Voy a tirar una moneda y miraremos si sale cara boca arriba y, si no, la daremos la vuelta, y no sabes si saldrá es o en el orden contrario" es lo mismo con dos casos.
Si sale cruz, damos la vuelta y no es sorpresa, pero antes de tirarla es imposible saber si saldrá cara y cruz o cruz y cara.
Me alegro si de algo te ha servido la charla. Con todo, permíteme un par de precisiones a tu último comentario:
1. No es necesario eliminar el examen (para sustituirlo por una fiesta, por ejemplo). Basta sustituir la NECESIDAD del examen por la POSIBILIDAD de que haya o no haya. Creo que eso está más en la línea de la paradoja.
2. Sigue haciendo falta definir el significado de sorpresa.
En cuanto al total y la suma de las partes y las propiedades emergentes, todo depende también de cómo estemos definiendo estos conceptos, primera cautela para no hundirse en arenas movedizas. A ver si preparo una entrada no muy insensata sobre el tema.
Espero seguirte leyendo por aquí.
Un saludo.
Sursum corda!
Una vez que se define la sorpresa, podemos trabajar. Propones, como yo lo hago en la entrada, que la sorpresa sea la incapacidad de adelantar un resultado o elección ajenos.
No era a única posibilidad. Alguien puede definir que no es sorpresa si adelanto que la profesora elegirá poner o no el examen echándolo a cara y cruz y la profesora, efectivamente, hace eso. Con esa definición, nunca habrá sorpresa.
Claro:
Y tampoco hay sorpresa si sorpresa incluye que todos los días será sorpresa. Y es obvio que el viernes no será sorpresa jamás, bien porque no haya sido ninguno de los anteriores y tenga que ser el viernes o porque haya sido un dían aterior y ya se sabe el día.
Pero la suposición natural cuanto te dicen que no sabes si saldrá cara o cruz o cruz y cara es que cuando te lo dicen no lo sabes. Cuando tiran la moneda y sale cruz/cara sabes que al darla la vuelta saldrá la alternativa: cara/cruz.
Claro.
O si te dicen que sorpresa implica que todos los días sea sorpresa. Pero es obvio que el viernes no va a ser sorpresa en ese sentido ya que el examen o ha sido uno de los anteriores o no lo ha sido y va a ser el viernes.
Pero la idea natural es la misma que cuando te dicen que si tiramos una moneda y la damos la vuelta saldrá cara cruz o cruz cara, pero no sabemos en cuál de los dos órdenes. Lo que es obvio es que si sale una de las dos, al dar la vuelta sale la otra. Y si se tratara de una caja con cinco llaves, una de las cuales la abre pero no sabemos cuál, lo mismo, como dije en el ejemplo de más arriba. Nadie objetará que si probamos cuatro llaves y no abren, sabemos que es la quinta pues eso va de suyo, como decían antes.
Si estoy de acuerdo en que eso es lo natural, pero hay que explicitarlo. Si no, vienen todas las discusiones ad nauseam.
No definir los conceptos trae siempre líos. Fíjate el del relativismo moral frente a valores absolutos, en el que todo se debe a que "bien" no esta bien definido.
Mi primer comentario no salió inmediatamente y volví a escribirlo.
AAAAAAH, que es que has habilitado la moderación. No lo vi.
Definir bien. Primer paso del m'etodo cient'ifico.
La habilitaci'on de comentarios viene por defecto para las entradas de hace m'as de 15 d'ias. Lo he dejado as'o porque de esta manera me entero de cuando alguien comenta en entradas viejas.
Un saludo.
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