lunes, 8 de junio de 2009

El Dormilón y la Bella Durmiente van de la mano

Voy a dar en esta entrada la solución a la paradoja de la Bella Durmiente, pero antes hay que resolver la del dormilón.

Recordemos que el dormilón se montaba en un avión en la ciudad A para ir a la B. Se sabe que la mitad de los aviones de ese trayecto van medio llenos (50 pasajeros) y la otra mitad van llenos (100 pasajeros). En la ciudad B preguntan a todos los viajeros que llegan de A cómo venía su vuelo. El dormilón estaba dormido y no se enteró, así que no sabe cómo iba su vuelo, pero se puede asignar una probabilidad a que fuera de los llenos o de los medio llenos. Estas probabilidades deben ser 2/3 para el vuelo lleno y 1/3 para el vuelo medio lleno. ¿Por qué?

Si los encuestadores de B preguntaran, por ejemplo, a 20 personas de cada vuelo, la respuesta sería 1/2, 1/2, pero este no es el caso. Los encuestadores preguntan a todos, así que preguntan al doble de pasajeros de los vuelos llenos que a pasajeros de vuelos medio llenos. Cuando un pasajero es preguntado, aunque no sepa cuál era su vuelo, sabe que tiene el doble de probabilidad de ser de los del vuelo lleno.

Podemos verlo de otra manera. Al embarcar en A, el dormilón no puede pensar que tiene iguales probabilidades de entrar en un vuelo lleno que en uno medio lleno. Si así fuera, y todos los pasajeros fueran asignados a un vuelo u otro mediante el resultado de una moneda lanzada al aire, la mitad irían a cada avión y los dos se llenarían de igual manera. La única forma de pensar algo consistente con la información que tenemos es pensar que, por ejemplo, se lanza un dado y, si sale 1 ó 2, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale 3, 4, 5 ó 6, nos meten en el otro. También podemos pensar que se tira una moneda, de manera que, si sale cara, nos meten en el avión que resultará medio lleno y, si sale cruz, nos meterán a DOS pasajeros en el avión que resultará lleno.

Vamos con la Bella Durmiente. Recordemos que se tiraba una moneda un domingo, antes de dormirse, si salía cara, se despertaba el lunes y se acababa la maldición. Si salía cruz, se despertaba el lunes, se volvía a dormir y luego se despertaba, amnésica, el martes. Así, la Bella Durmiente se despierta una vez tras cara y dos veces tras cruz. Como cara y cruz tienen la misma probabilidad, todos los despertares ocurren con la misma probabilidad. De otra manera, si hubiera 100 Bellas Durmientes, habría 50 despertares en lunes tras cara, 50 en lunes tras cruz y 50 en martes tras cruz. A cada Bella Durmiente se le pregunta por el día en que está tras cada despertar. Así, cada una sabe que tiene el doble de probabilidades de ser despertada tras cruz que tras cara. Las probabilidades que asignará a “cruz” serán 2/3 y a “cara” 1/3. De ahí se sigue que la probabilidad asignada a “lunes” será 2/3 y a “martes” 1/3.

Si todavía no estamos convencidos, pensemos en las Bellas Durmientes que se despiertan como encarnaciones de una misma Bella Durmiente. Cada Bella Durmiente tiene tres encarnaciones, la que se despierta en lunes tras cara, la que se despierta en lunes tras cruz y la que se despierta en martes tras cruz. Ninguna de estas encarnaciones sabe nada de las otras dos. La que se despierta tras cara no sabe nada de las que se despiertan tras cruz, porque ni siquiera existirán. La que se despierta en lunes tras cruz  no sabe nada de la que se despierta en martes tras cruz porque será una futura, y la que se despierta en martes tras cruz no sabe de la que se despertó en lunes tras cruz porque está amnésica. Cuando las tres encarnaciones se ponen a la cola el domingo, para vez cuál les toca ser, deben pensar, como en el caso del dormilón, que, cuando la moneda sale cara, sólo una de ellas pasa, mientras que, si sale cruz, pasan dos. Así, cada Bella Durmiente debe pensar que, con probabilidad 1/3 irá al mundo tras “cara” y con probabilidad 2/3 al mundo tras “cruz”. Los 50 despertares tras cara son el equivalente de los pasajeros que van al avión medio lleno del dormilón, los 100 despertares tras cruz, los que van al avión lleno.

El premio de la Bella Durmiente va para Iñigo (bien por los de Bilbao) y el del dormilón para un anónimo.

2 comentarios:

  1. Creo que entiendo el argumento. Eres un preso y se lanza una moneda para saber si te envían a la cárcel A o a la cárcel B. Y en el primer caso se lanza otra moneda para saber si te encierran en la celda A1 o en la A2, mientras en el otro caso se lanza una moneda para saber si te encierran en la B1 o te dejan libre.

    Cada una de las 4 posibilidades tienen 0.25 de probabilidad de suceder. Pero si te despiertas en una celda puedes descartar que te hayan soltado, así que estás en una de las otras 3 opciones equiprobables. Tras saber que estás en la cárcel la probabilidad de estar en A será de 2/3 tercios y en B de 1/3 a pesar de que la probabilidad antes de lanzar la moneda era de 1/2, la nueva información de que estás en la cárcel modifica (condiciona) la probabilidad.

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